Inhaltsverzeichnis Zahlen, Operationen und Strategien verstehen einige Grundlagen Ist die Bruchrechnung heute noch nötig? Zur Einführung von Brüchen

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Zahlen, Operationen und Strategien verstehen einige Grundlagen Verstehen und Grundvorstellungen Verstehenuntersuchen Aufbau von Grundvorstellungen Überwinden von Grundvorstellungsumbrüchen BedeutungderProzessorientierung Ist die Bruchrechnung heute noch nötig? Die Bruchrechnung ist überflüssig einigehäufigergenannteargumente Die Bruchrechnung ist keineswegs überflüssig einigeausgewählteargumente Anschauliche Fundierung des Dezimalbruchbegriffs mittels Brüchen Einsichtige Fundierung des Rechnens mit Dezimalbrüchen mittels Brüchen Prävention und Intervention bei Problembereichen der Dezimalbruchrechnung mittels Brüchen Leichtere Begründung algebraischer Eigenschaften von Q C mittels Brüchen Wahrscheinlichkeitsrechnung Gleichungslehre Algebra Reichhaltige und vielseitige Möglichkeiten zurprozessorientierung Resümee Zur Einführung von Brüchen Zentrale Grundvorstellungen Einige Verwendungssituationen von Brüchen Zwei zentrale Grundvorstellungen AlternativeZugänge IX

2 X Inhaltsverzeichnis 3.2 BruchalsAnteil zweiteilaspekte Teilaspekt1 AnteileinesGanzen Teilaspekt2 AnteilmehrererGanzer Bruch als Anteil zwei sachorientierte Bemerkungen SchreibweisenundRepräsentanten BruchalbumundStationenlernen zweiinnovativeansätze Drei Grundaufgaben AnschaulicheVorkenntnissezuBrüchen Ein unterrichtlicher Zugang zu den Bruchzahlen Unterschiede zwischen den natürlichen Zahlen und Bruchzahlen Erweitern/Kürzen von Brüchen AnschaulicheVorkenntnisse GleichwertigeBrüche anschaulichezugangswege Erweitern systematischebehandlung Kürzen systematischebehandlung VariationsreichesÜben Mögliche Problembereiche und Hürden/ PräventionundIntervention Vertiefung Größenvergleich von Brüchen AnschaulicheVorkenntnisse AnschaulicheWegezumGrößenvergleich SystematischeBehandlung VariationsreichesÜben MöglicheProblembereicheundHürden PräventionundIntervention Vertiefung Addition und Subtraktion von Brüchen AnschaulicheVorkenntnisse Grundvorstellungen und anschauliche Wege zur Addition und SubtraktionvonBrüchen Addition und Subtraktion systematische Behandlung GemischteZahlen VariationsreichesÜben MöglicheProblembereicheundHürden Grundvorstellungen und Rechenkalkül Anschauliche Vorstellungen oft Fehlanzeige Schwierigkeitsfaktoren AbfolgeimSchwierigkeitsgrad einüberblick... 86

3 Inhaltsverzeichnis XI BruchplusBruch/BruchminusBruch KombinierterFall(BruchundnatürlicheZahl) PräventionundIntervention Vertiefung Multiplikation von Brüchen AnschaulicheVorkenntnisse Anschauliche Wege zur Multiplikation Natürliche Zahl mal Bruch Grundvorstellung undsystematischebehandlung Bruch mal natürliche Zahl Grundvorstellung undsystematischebehandlung Bruch mal Bruch Grundvorstellungen undsystematischebehandlung Grundvorstellung: Anteil vom Anteil Grundvorstellung: Flächeninhalt VergleichbeiderWege VariationsreichesÜben MöglicheProblembereicheundHürden Multiplizieren vergrößert immer AbfolgeimSchwierigkeitsgrad einüberblick Multiplikation gleichnamiger Brüche Multiplikation ungleichnamiger Brüche Natürliche Zahl mal Bruch/Bruch mal natürliche Zahl Multiplikation gemischter Zahlen Regelformulierung und Begründung PräventionundIntervention Vertiefung Division von Brüchen AnschaulicheVorkenntnisse AnschaulicheWegezurDivision Bruch durch natürliche Zahl Grundvorstellung undsystematischebehandlung Bruch durch Bruch/Natürliche Zahl durch Bruch Grundvorstellungen und systematische Behandlung Grundvorstellung Messen Grundvorstellung Umkehroperation VergleichderbeidenWege NatürlicheZahldurchnatürlicheZahl VariationsreichesÜben

4 XII Inhaltsverzeichnis 8.7 MöglicheProblembereicheundHürden AbfolgeimSchwierigkeitsgrad einüberblick BruchdurchBruch Bruch durch natürliche Zahl/Natürliche Zahl durch Bruch NatürlicheZahldurchnatürlicheZahl Grundvorstellungsumbrüche bei der Division Division von Brüchen und praktische Anwendungen Regelformulierung und Begründung PräventionundIntervention Vertiefung Brüche und natürliche Zahlen viele Gemeinsamkeiten, aber auch starke Umbrüche in den Grundvorstellungen Resümee Brüche VorkenntnisseüberBrücheüberraschendgering Gründliche Fundierung des Bruchbegriffs erforderlich Grundvorstellungen sorgfältig erarbeiten Mögliche Problembereiche und Hürden geschickt thematisieren VariationsreichesÜbenundVertiefen Prozessorientierter Zugang zu Dezimalbrüchen ZurBedeutungvonDezimalbrüchen VorteilederSchreibweisealsDezimalbruch ZielsetzungdesDezimalbruchlehrgangs BedeutungderProzessorientierungundVernetzung Grundvorstellungen aufbauen Überwinden von Grundvorstellungsumbrüchen Veranschaulichungen zu Dezimalbrüchen Rolle von Anschauungsmitteln Kriterien zur Auswahl von Arbeitsmitteln Konkrete Arbeitsmittel für Dezimalbrüche Zehnersystemblöcke/Dienes-Material LineareArithmetikblöcke Decimats Millimeterpapierquadrate Stellenwerttafeln Zahlengerade Arbeitsmittel sind nicht selbsterklärend Vom konkreten Material zur Grundvorstellung ÜbersetzeninSachsituationen

5 Inhaltsverzeichnis XIII 13 Erweiterung des Stellenwertsystems StellenwerteundderenZusammenhänge MöglicheProblembereicheundHürden Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Darstellen, Lesen und Schreiben von Dezimalbrüchen BrücheinStellenwertschreibweisedarstellen Schreib-undSprechweisen MöglicheProblembereicheundHürden Probleme beim Übersetzen in eine nichtsymbolischedarstellung ProblemebeimLesenundSchreiben Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern VariationsreichesÜbenundVertiefen Erweitern und Kürzen bei Dezimalbrüchen VerfeinernundVergröberneinerUnterteilung Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Größenvergleich und Anordnung bei Dezimalbrüchen WegezumGrößenvergleich Über die Stellenwerte an flächigen Veranschaulichungen ÜberdieZahlengerade ÜberGrößen ÜberStellenwerttafeln Beispiel VergleichderverschiedenenWege Anordnung von Dezimalbrüchen MöglicheProblembereicheundHürden ProblemebeimVergleichenvonDezimalbrüchen Probleme bei der Anordnung von Dezimalbrüchen Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern VariationsreichesÜbenundVertiefen Zusammenhang zwischen Brüchen und Dezimalbrüchen UmwandlungvonBruch-inDezimalbruchschreibweise UmwandlungvonDezimalbruch-inBruchschreibweise MöglicheProblembereicheundHürden Typische Fehlerstrategien bei der Umwandlung zwischendezimalbruch-undbruchschreibweise Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern

6 XIV Inhaltsverzeichnis 18 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Grundvorstellungen zur Addition und Subtraktion Rechenstrategien und -methoden zur Addition und Subtraktion OperativeAdditions-undSubtraktionsstrategien Stellenweises Rechnen und schriftlicher Algorithmus WeitereStrategien RechnenimkleinstenStellenwert Zehnerbrüche Größen ZusammenfassungundBewertung Lösungsquoten und -wege MöglicheProblembereicheundHürden Stellenwertprobleme Komma-trennt-Strategie Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern VariationsreichesÜbenundVertiefen Multiplikation von Dezimalbrüchen Grundvorstellungen zur Multiplikation Multiplizieren von Stellenwerten Multiplikation mit Zehnerpotenzen Multiplikation mit Stellenwerten kleiner Strategien zur Berechnung von Multiplikationstermen NutzendesFlächeninhaltsamRechteckmodell Malkreuz Größen RechnenmitZehnerbrüchen RechnenmitkleinstenStellenwerten Regel zur Multiplikation von Dezimalbrüchen Sonderfall: Multiplikation mit natürlichen Zahlen MöglicheProblembereicheundHürden Gering ausgeprägte Grundvorstellungen Fehlvorstellungen ProblemebeiRechenstrategien Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Diagnostische Aufgaben und Beobachtungsschwerpunkte Fördervorschläge: Grundvorstellung und Grundvorstellungsumbruch Multiplikation Fördervorschläge:Rechenstrategien VariationsreichesÜbenundVertiefen

7 Inhaltsverzeichnis XV 20 Division von Dezimalbrüchen Grundvorstellungen zur Division StrategienzurDivisiondurchDezimalbrüche AnschaulicheDivisionamModell DivisionüberZehnerbrüche RückgriffaufGrößen Umkehroperation GleichsinnigesVerändern Sonderfall: Division durch Zehnerpotenzen Sonderfall: Divisionsstrategien Dezimalbruch geteiltdurchnatürlichezahl MöglicheProblembereicheundHürden Fehlende Grundvorstellungen Fehlerstrategien Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern Diagnostische Aufgaben Fördervorschläge VariationsreichesÜbenundVertiefen Wahl der Rechenoperation Divisionsstrategien Runden, Überschlagen und Schätzen Runden ÜberschlagenvonRechenausdrücken SchätzenvonZahlenundGrößen MöglicheProblembereicheundHürden Vorbeugen, Diagnostizieren und Fördern VariationsreichesÜbenundVertiefen Resümee und Konsequenzen Zielsetzung: Verstehen und Prozesse Modelle:TragfähigkeitstattVielfalt Inhalte:ZahlenstattZiffern Zahlvorstellungen im Stellenwertsystem Vorwissen aufgreifen, gegenüberstellen, Umbrüche vollziehen Probleme bei mangelnden Grundvorstellungen FehlerstrategienbeimsyntaktischenArbeiten Fehlvorstellungen Diagnose: Erfassung von Prozessen

8 XVI Inhaltsverzeichnis FörderungundFörderkonzepte Aktivieren von Grundvorstellungen Überwinden von Fehlvorstellungen Fehlerstrategienerkennenundüberwinden Vernetzung: eine Herausforderung Diagnostische Tests Zitierte Literatur Zitierte Schulbücher Vertiefende Literatur Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II