Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung

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1 Friedhelm Padberg Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung 3. erweiterte, völlig überarbeitete Auflage ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spektrum kjlakademischer VERLAG

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 I Die ersten Zahlen 7 1 Entwicklung der Zählkompetenz Erwerb der Zahlwortreihe Zählprinzipien und Konventionen Niveaus beim Einsatz der Zahlwortreihe Phasen der prozeduralen Sicherheit 12 2 Aspektreichtum der natürlichen Zahlen Vielfältige Zahlaspekte Mathematische Fundierungen Probleme einseitiger Fundierung 17 3 Vorkenntnisse von Schulanfängern Zählen Ziffernkenntnis Kardinalzahlaspekt Größenvergleich Maßzahlaspekt Wissen über den vielseitigen Einsatz von Zahlen im täglichen Leben Schlussfolgerungen 27 4 Thematisierung der Zahlen im Anfangsunterricht Der gegenwärtige Anfangsunterricht - ein Überblick Zählraum und Arbeitsraum Festigung und Vertiefung des Zählens Repräsentationen von Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen Subjektive Zahlauffassungen Die Zahl Null Zerlegen von Zahlen Vergleichen von Zahlen Schreiben von Ziffern Vertiefung des aspektreichen Vorwissens über die natürlichen Zahlen 45 5 Arbeitsmittel im arithmetischen Anfangsunterricht 50

3 II Unsere Zahlschrift das dezimale Stellenwertsystem 53 1 Die römische Zahlschrift - ein Kontrastbeispiel 53 2 Das dezimale Stellenwertsystem 55 3 Nichtdezimale Stellenwertsysteme - eine Verallgemeinerung III Erweiterungen des Zahlenraums 63 1 Der Hunderterraum 63 2 Der Tausenderraum 72 3 Der Millionenraum 75 IV Kopfrechnen 81 1 Addition Vorkenntnisse von Schulanfängern Informelle Lösungswege von Schulanfängern - Zählstrategien Zählstrategien - effizient und problemlos? Kleines Zur Erarbeitung der Addition Heuristische Strategien Vielseitiges Lösen und Einprägen des Kleinen Das Gleichheitszeichen - einige Anmerkungen Heuristische Strategien im Hunderterraum Problembereiche 98 2 Subtraktion Vorkenntnisse von Schulanfängern Informelle Lösungsstrategien von Schulanfängern - Zählstrategien Kleines Zur Erarbeitung der Subtraktion Heuristische Strategien Vielseitiges Lösen und Einprägen des Kleinen Heuristische Strategien im Hunderterraum Problembereiche Multiplikation Vorkenntnisse und informelle Lösungsstrategien Grundvorstellungen Zeitlich-sukzessive Handlungen Räumlich-simultane Anordnungen 118

4 3.2.3 Kombinatorische Aufgabenstellungen Weitere multiplikative Kontextaufgaben Resümee Rechengesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Kleines lxl Sichere und schnelle Beherrschung erforderlich? Ganzheitliche oder getrennte Erarbeitung des Kleinen lxl? Heuristische Strategien Vielseitiges Lösen und Einprägen der Einmaleinsreihen 131? 3.5 Multiplikation größerer Zahlen Problembereiche 135 t Division Vorkenntnisse und informelle Lösungsstrategien 138 ) 4.2 Grundvorstellungen 141» Aufteilen Verteilen Vom Aufteilen und Verteilen zur Division Weitere Grundvorstellungen Heuristische Strategien Vielseitiges Lösen und Einprägen von Divisionsaufgaben im Hunderterraum Sonderfall Null Division mit Rest Division größerer Zahlen Problembereiche 156 Halbschriftliches Rechnen 159 Zum Begriff des halbschriftlichen Rechnens 159 S". Zur Bedeutung des halbschriftlichen I Rechnens - eine erste Bestandsaufnahme 160 Hauptstrategien des halbschriftlichen Rechnens Eine einleitende Bemerkung Addition Subtraktion 170

5 L 3.4 Multiplikation Division Zusammenfassender Überblick Einige Forschungsergebnisse zum halbschriftlichen Rechnen Halbschriftliches Rechnen - flexibles Rechnen? Variationen im Rahmen der wenigen Hauptstrategien? Unterschiede im Erfolg bei den halbschriftlichen Strategien? Charakteristische Fehlerstrategien Halbschriftliches Rechnen - Lieblingsmethode? Unterschiede im Erfolg je nach Rechenmethode? Zur Dominanz der schriftlichen Verfahren nach ihrer Einführung Stärken und Problembereiche des halbschriftlichen Rechnens Stärken Problembereiche Konsequenzen für den Unterricht 199 VI Schriftliches Rechnen Schriftliche Rechenverfahren - ein Auslaufmodell? Zum Begriff des schriftlichen Rechnens Stärken des schriftlichen Rechnens Problembereiche beim schriftlichen Rechnen Konsequenzen für den Unterricht Addition Verschiedene Zugangswege Sachsituation Stellenweises Rechnen Endform und mathematische Begründung Schwierigkeitsfaktoren Problembereiche, Ursachen und Therapie Überschlagendes und kontrollierendes Rechnen Flexibles Rechnen Vertiefung Subtraktion Verschiedene Subtraktionsverfahren 222

6 3.1.1 Überblick Abziehen oder Ergänzen? Verschiedene Übertragstechniken - Darstellung und Bewertung Ein Blick in das Ausland Empirische Befunde Zusammenfassung Verschiedene Zugangswege Sachsituation mit Geld - Entbündeln Zehner-Systemblöcke - Entbündeln Sachsituation mit Geld - Erweitern 240 * Sachsituation mit Kilometerzähler - Auffüllen Problembereiche, Ursachen und Therapie Schwierigkeitsfaktoren und diagnostischer Test Systematische und typische Fehler Ursachen und Therapie 248 V 3.4 Überschlagendes Rechnen Kontrollierendes Rechnen 252 : 8.6 Flexibles Rechnen 252 ' 3.7 Vertiefung 253 ^Multiplikation 256 f'4.1 Verschiedene Zugangswege Wiederholte Addition Halbschriftliches Rechnen als Ausgangspunkt Malstreifen und Gittermethode Sachsituation mit Geld Charakteristika heutiger Zugangswege 264 t.2 Der weitere Weg Multiplikation mit Vielfachen von Multiplikation mit mehrstelligen Multiplikatoren Problembereiche, Ursachen und Therapie Schwierigkeitsfaktoren und diagnostischer Test Systematische Fehler Typische Fehler und ihre Ursachen Therapie 276 M Überschlagendes Rechnen Kontrollierendes Rechnen 280 Flexibles Rechnen Vertiefung 281

7 L 5 Division Verschiedene Zugangswege Wiederholte Subtraktion Sachsituation mit Geld Halbschriftliches Rechnen als Ausgangspunkt Endform bei einstelligem Divisor - ein Vorschlag Der weitere Weg Aufgaben mit Nullen Division durch Zehnerzahlen Division durch mehrstellige Divisoren Problembereiche, Ursachen, Therapie Schwierigkeitsfaktoren und diagnostischer Test Systematische Fehler Typische Fehler und ihre Ursachen Therapie Überschlagendes Rechnen Kontrollierendes Rechnen Flexibles Rechnen Vertiefung 308 VII Taschenrechner und Computer im Arithmetikunterricht Taschenrechner Verkümmerung der Rechenfertigkeit durch Taschenrechner? Kopfrechner gegen Taschenrechner Förderung des überschlagenden Rechnens Entdecken von Gesetzmäßigkeiten Sachaufgaben Resümee Computer Anforderungen definieren Warten können Argumente fordern Ressentiments und Euphorie vermeiden 323 Literaturverzeichnis 325 Index 345

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