Didaktik der Grundschulmathematik 2.1

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1 Didaktik der Grundschulmathematik 2.1 Didaktik der Grundschulmathematik

2 Didaktik der Grundschulmathematik 2.2 Inhaltsverzeichnis Didaktik der Grundschulmathematik 1 Anschauungsmittel 2 Aufbau des Zahlbegriffs 3 Addition und Subtraktion 4 Multiplikation und Division 5 Schriftliche Rechenverfahren

3 Didaktik der Grundschulmathematik 2.3 Didaktik der Grundschulmathematik Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs

4 Didaktik der Grundschulmathematik 2.4 Inhaltsverzeichnis Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs 2.1 Aspekte des Zahlbegriffs 2.2 Stellenwertsysteme 2.3 Aufbau des Zahlenraums bis 100 Homepage zur Veranstaltung Lehre

5 Didaktik der Grundschulmathematik 2.5 Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs 2.1 Aspekte des Zahlbegriffs

6 Didaktik der Grundschulmathematik 2.6 Aspekte des Zahlbegriffs Zahlaspekt Beschreibung Beispiele Addition Subtraktion Kardinalzahl Ordinalzahl Maßzahl Operator Rechenzahl Kodierung Mächtigkeit von Mengen, d. h. die Anzahl der Elemente. Zählzahl: Folge der beim Zählen durchlaufenen natürl. Zahlen Ordnungszahl: Rangplatz eines Elements in einer total geordneten Reihe Nat. Zahlen dienen als Maßzahlen für Größen. (In Relation zu einer gewählten Einheit.) Bezeichnung der Vielfachheit einer Handlung / eines Vorgangs Algebraischer Aspekt: (N, +) ist eine alg. Struktur mit gewissen Eigenschaften Algorithmischer Aspekt: Nat. Zahlen lassen sich durch Ziffernreihen darstellen (Ziffernrechn.) Zahlen werden zur Bezeichnung von Objekten benutzt 3 Äpfel Möglichkeiten eins, zwei,... fünf Studentinnen... Lisa wurde beim Wettrennen fünfte. 3 Stunden 4 kg 100 Schritte Ich habe dir das jetzt schon fünfmal gesagt! = (Komm.) (6 + 7) + 3 = 6 + (7 + 3) (Assoziativität) Landau ISBN Mengenvereinigung Restmengenbildung Weiterzählen Rückwärtszählen Addition / Subtraktion von Größen zurückführen auf Aneinandersetzen / Abtrennen von Repräsentanten. Operatorenverketten Umkehrop. aufsuchen Rechnen mit Ziffern im Gegensatz zum Rechen mit Zahlen beim halbschriftlichen Rechnen und Kopfrechnen.

7 Didaktik der Grundschulmathematik 2.7 ISBN-Code ISBN Sprachbereich des Verlags 0 bzw. 1: Englisch 2: Französisch 3: Deutsch Prüfziffer Verlagsinterne Buchnummer Nummer des Verlags

8 Didaktik der Grundschulmathematik 2.8 Zählprinzipien Eindeutigkeitsprinzip Jedem Zählding wird genau ein Zahlwort zugeordnet. Prinzip der stabilen Ordnung Zahlworte haben eine feste Reihenfolge. Es darf kein Zahlwort ausgelassen werden. Kardinalzahlprinzip Die letzte Zahl beim Abzählen gibt die Anzahl der Elemente (die Mächtigkeit) der abgezählten Menge an. Woran erkennt man Probleme mit einzelnen Zählprinzipien? Abstraktionsprinzip Einen Menge von Zähldingen kann aus Elementen mit sehr unterschiedlichen Merkmalen zusammengesetzt werden, die keinen nahe liegenden Bezüge aufweisen, aber trotzdem gezählt werden können. Prinzip der beliebigen Reihenfolge Das Zählergebnis ist unabhängig von der Anordnung der zu zählenden Objekte. Zahlwörter sind nicht Eigenschaften der Objekte. Fördermaßnahmen?

9 Didaktik der Grundschulmathematik 2.9 Arithmetische Modelle Mengenmodell Kuropatwa: Didaktik der Arithmetik. Unveröffentlichtes Skript Größenmodell Zählmodell

10 Didaktik der Grundschulmathematik 2.10 Erstes Arbeiten mit Zahlen Radatz, Schipper: Erarbeitung des Zahlbegriffs. In: Radatz, Schipper: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Schroedel, Hannover, 1983, S Vielfältige Zähl- und Schätzübungen Zählen mit Dingen und Darstellungen Zählübungen mit abstrakten Mengen Rhythmisches Zählen und Zählverse Zahlen mit allen Sinnen wahrnehmen Mächtigkeitsvergleiche Quasi-simultane Zahlauffassung Zahlen zerlegen Relationen zwischen Zahlen ist kleiner als, gleich, ist größer als liegt zwischen Zahlen der Größe nach ordnen Ziffern richtig lesen und schreiben Die Zahl Null

11 Didaktik der Grundschulmathematik 2.11 Zahlen KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4). Luchterhand, München, Jahrgangsstufe 1 Jahrgangsstufe 2 Jahrgangsstufe 3 Jahrgangsstufe 4 Lebenswelt im Hinblick auf Mengen und Zahlen erkunden und untersuchen Zahlen bis 20 erfassen und auf verschiedene Weise darstellen Zahlen bis 20 zerlegen Zahlen und Rechenausdrücke bis 20 vergleichen und ordnen Zahlen bis 100 erfassen und auf verschiedene Weise darstellen Zahlen und Rechenausdrücke bis 100 vergleichen und ordnen Zahlen bis erfassen und auf verschiedene Weise darstellen Zahlen und Rechenausdrücke bis vergleichen und ordnen Zahlen b erfassen und auf verschiedene Weise darstellen Zahlen und Rechenausdrücke bis vergleichen und ordnen

12 Didaktik der Grundschulmathematik 2.12 Pascalsches Dreieck Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997

14 Didaktik der Grundschulmathematik 2.14 Pascalsches Dreieck Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, = 1 = 2 0 = 2 = 2 1 = 2 2 = 2 2 = = 2 3 = 2 4 = 2 5 = 2 6 = 2 7 = 2 8 = 2 9 = 2 10 = 2 11 = 2 12 = 2 13 = 2 14 = 2 15 = 2 16

15 Didaktik der Grundschulmathematik 2.15 Pascalsches Dreieck Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München,

16 Didaktik der Grundschulmathematik 2.16 Fibonacci-Zahlen und Jemand setzt ein Paar Kaninchen in einen Garten, der auf allen Seiten von einer Mauer umgeben ist, um herauszufinden, wie viele Kanin-chen innerhalb eines Jahre geboren werden. Wenn angenommen wird, dass jeden Monat jedes Paar ein weiteres Paar erzeugt, und dass Kaninchen zwei Monate nach ihrer Geburt geschlechtsreif sind, wie viele Paare Kaninchen werden dann jedes Jahr geboren? Aus dem Rechenbuch Liber Abacci (Buch vom Abakus) des italienischen Mathematikers Leonardo von Pisa, der besser unter dem Namen Fibonacci (filius Bonacci) bekannt ist. Definition: (Anzahl der Paare im n-ten Monat) F 1 = 1 F 2 = 1 F n+2 = F n+1 + F n

17 Didaktik der Grundschulmathematik 2.17 Fibonacci-Zahlen Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, und Hasenuhr Eltern Kinder Enkel Urenke l Fibonacci -Paare

20 Didaktik der Grundschulmathematik 2.20 Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs 2.2 Stellenwertsysteme

21 Didaktik der Grundschulmathematik 2.21 Römische Zahlschrift eins fünf zehn fünfzig hundert fünf- tausend hundert I V X L C D M alternierende Fünfer-Zweier-Bündelung Heutige Regeln (international vereinbart) 1. Von links nach rechts werden zunächst ggf. die Tausender, dann ggf. die Hunderter, danach ggf. die Zehner und schließlich ggf. die Einer notiert. 2. Die Zahlenwerte kleinerer Zahlzeichen die rechts von einem größeren stehen, werden zum Wert des größeren addiert. 3. Ein Zeichen I, X oder C darf von dem jeweils Fünf- oder Zehnfachen abgezogen werden. Man notiert das abzuziehende Zeichen dann unmittelbar links vor dem zu vermindernden. 4. Unter Beachtung der ersten drei Regeln müssen möglichst wenige Zeichen geschrieben werden. Regeln der Römerzeit bis zum Mittelalter 1. Von links nach rechts werden zunächst ggf. die Tausender, dann ggf. die Hunderter, danach ggf. die Zehner und schließlich ggf. die Einer notiert. 2. Kein Zeichen darf so oft vorkommen, dass die untereinander gleichen Zeichen in ein höherwertiges umgetauscht werden könnten. 3. Abweichend von Regel 1 darf unmittelbar links vor dem ersten Zeichen der selben Sorte (höchstens) ein weniger wertiges Zeichen stehen. Der kleinere Wert ist dann von dem größeren abzuziehen. Beispiel: 99 = XCIX (heute) = LXXXXVIIII = IC

22 Römische Zahlschrift Stellenwertsystem Didaktik der Grundschulmathematik 2.22 Römische Zahlschrift MMMDCCCLXXXVIII Dezimales Stellenwertsystem 3888 Alternierende Fünfer-Zweier-Bündelung Jede Ziffer gibt auch die Bündelungseinheit an. Jede Ziffer hat einen festen Wert (geringfügige Ausnahme: Regel 3), unabhängig von ihrer Stellung im Zahlwort. Jede Ziffer übermittelt nur eine Information, nämlich ihren Zahlenwert. Den Zahlenwert eines mehrstelligen Zahlwortes erhält man im wesentlichen durch Addition, daher ist eine Ziffer 0 in diesem Zusammenhang nicht erforderlich. Für größere (und kleinere) Zahlen werden ständig weitere Zeichen benötigt. Die Zahlwörter sind vielfach relativ lang und kompliziert zu lesen. Schriftliche Rechenverfahren (besonders die Multiplikation und die Division) sind äußerst kompliziert und langwierig. Reine Zehnerbündelung Stellung der Ziffer gibt Bündelungseinheit an. Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stellung innerhalb des Zahlwortes ab (Stellenwert). Jede Ziffer übermittelt zwei Informationen, nämlich ihren Zahlen- & ihren Stellenwert. Zahlenwert eines mehrstelligen Zahlwortes durch Kombination aus Multiplikation & Addition. Nicht besetzte Stellen innerhalb eines Zahlwortes müssen kenntlich gemacht werden. Ziffer 0 erforderlich. Für beliebig große (und kleine) Zahlen kommt man mit zehn Ziffern aus. Die Zahlwörter sind relativ kurz und einfach zu lesen. Schriftlichen Rechenverfahren können rasch, elegant und weitgehend unkompliziert durchgeführt werden.

23 Didaktik der Grundschulmathematik 2.23 Stellenwertsysteme Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn Zentrale Begriffe: Bündelung Stellenwert

24 Didaktik der Grundschulmathematik 2.24 Zaubertrick

30 Didaktik der Grundschulmathematik 2.30 Zahldarstellung im Dualsystem

36 Didaktik der Grundschulmathematik 2.36 Addition im 4er-System V 3 V 2 V E

37 Multiplikation im 4er-System Jürgen Roth = Didaktik der Grundschulmathematik

38 Didaktik der Grundschulmathematik 2.38 Bündeln und Entbündeln

39 Didaktik der Grundschulmathematik 2.39 Zehnerbündel

40 Didaktik der Grundschulmathematik 2.40 Systemblöcke

41 Didaktik der Grundschulmathematik 2.41 Zahlenraum bis

42 Didaktik der Grundschulmathematik 2.42 Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs 2.3 Aufbau des Zahlenraums bis 100

43 Didaktik der Grundschulmathematik 2.43 Zahlen im Hunderterraum Zehnerzahlen bis 100 Anzahlen bestimmen: Zehnerbündelung Zahlen sprechen, zeigen, schreiben Zählen in verschiedenen Schritten Übungen an der Hundertertafel Zahlen und Nachbarn Zahlenfolgen Wege im Hunderterfeld Zahlen als Maßzahlen Geld Zeit Längen Übungen im Zahlenraum bis 100

44 2 3 Didaktik der Grundschulmathematik 2.44 Nachbarn 1 ' Arbeiten an der Hundertertafel Abstand Radius ' ' ' Zahlenfolgen fortsetzen 100, 98, 96, 15, 30, 45, 60, 9, 18, 27, 36, 100, 99, 97, 94, 1, 21, 12, 32, 23, 43, 34, 54, 1, 19, 22, 38, 43, 57, 11' 21' Turm-, Läufer, Springerbewegung

45 Nachbarn auf der Hundertertafel Didaktik der Grundschulmathematik 2.45 Hier sind Ausschnitte aus der Hundertertafel. Trage in die dicken Kästchen die richtigen Zahlen ein!