Didaktik der Arithmetik

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1 Friedhelm Padberg Didaktik der Arithmetik 2., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford

2 Inhaltsverzeichnis I Erarbeitung der ersten Zahlen 1 1 Die Zahlwortreihe Erwerb und Einsatz in der Vorschulzeit Vorkenntnisse von Schulanfängern Aspekte des Zahlbegriffs Zählzahlen / Kenntnis der Zahlwortreihe Ziffernkenntnis Kardinalzahlen Umfang der Kenntnisse Techniken bei der Anzahlbestimmung Strategien bei der Anzahlbestimmung Größenvergleich Maßzahlen Messen und Maßzahlrepräsentierung Ordnen Addition Zusammenfassung Wissen über den Gebrauch von Zahlen 21 3 Neue Mathematik ein typischer Einführungsweg Skizze des Einführungsweges Zur mathematischen und entwicklungspsychologischen Begründung dieses Weges Kritische Anmerkungen 33

3 4 Der gegenwärtige Anfangsunterricht Ursachen für die starken Veränderungen Zum gegenwärtigen Anfangsunterricht 39 II Das dezimale Stellenwertsystem 51 1 Stellenwert Systeme 51 2 Ausbau des Zahlenraumes bis Weiterer Ausbau des Zahlenraumes 68 III Nichtschriftliche Rechenverfahren 75 1 Addition Vorkenntnisse von Schulanfängern Additionsstrategien und häufige Fehler Zur Behandlung des Kleinen im Unterricht Klassifikation von Additionssituationen Bemerkungen zum Gebrauch des Gleichheitszeichens Addition größerer" Zahlen 89 2 Subtraktion Vorkenntnisse von Schulanfängern Subtraktionsstrategien und häufige Fehler Zur Behandlung des Kleinen 1 1 im Unterricht Subtraktion größerer" Zahlen Multiplikation Zur Entwicklung des Verständnisses der Multiplikation Grundmodelle zur Einführung der Multiplikation Mengenvereinigung 111

4 3.2.2 Kartesisches Produkt Operatoren Zur Schreibweise von Produkten Rechengesetze Kommutativgesetz Distributivgesetz Assoziativgesetz Zur Erarbeitung des Einmaleins Zur globalen Abfolge der Einmaleinsreihen Zum Erwerb der Einmaleinskenntnisse Schwierige" Aufgaben und typische Schülerfehler beim Kleinen Einmaleins Zur Multiplikation größerer Zahlen Multiplikation von reinen Zehnerzahlen Multiplikation von gemischten Zehnerzahlen Multiplikation von gemischten Hunderterzahlen Division Aufteilen Verteilen Vom Aufteilen und Verteilen zur Division Weitere Modelle zur Einführung bzw. zur Behandlung der Division Operatoren Umkehroperation Wiederholte Subtraktion / Rückwärtszählen 139

5 4.5 Zum Erwerb der Grundaufgaben der Division Null als Dividend oder Divisor Das Distributivgesetz / Division größerer Zahlen Typische Schülerfehler Division mit Rest Restschreibweise Zerlegungsschreibweise Divisionsschreibweise Abschließende Bemerkungen 150 IV Schriftliche Rechenverfahren Sind schriftliche Rechenverfahren im Computerzeitalter überflüssig? Normalverfahren Zum Begriff Vorteile Nachteile und Gegenmaßnahmen Addition Das Normalverfahren Addition in nichtdezimalen Stellenwertsystemen Stufenfolge Aufgaben zur Festigung des Additionskalküls Typische Schülerfehler, mögliche Ursachen und Gegenmaßnahmen Subtraktion Überblick über verschiedene Subtraktionsverfahren / Typisierung 167

6 4.1.1 Das Abzieh-und das Ergänzungsverfahren Verschiedene Übertragstechniken Die Borgetechnik Die Erweiterungstechnik Die Auffülltechnik Typisierung Das Normalverfahren Subtraktionsverfahren im Ausland Subtraktion in nichtdezimalen Stellenwertsystemen Methodische Stufenfolge I (Erweiterungstechnik) Subtraktion ohne Übertrag Das Gesetz von der Konstanz der Differenz Subtraktion mit einem Übertrag Weiterführende Aufgaben Probe / Vertiefung Methodische Stufenfolge II (Auffülltechnik) Subtraktion ohne Übertrag Auffüllen zum vollen Zehner Subtraktion mit Übertrag Vergleich verschiedener Subtraktionsverfahren Typische Schülerfehler, mögliche Ursachen und Gegenmaßnahmen Schwierigkeitsdimensionen / Diagnostischer Test Die wichtigsten systematischen Fehler Fehlergruppen und Fehlerhäufigkeiten 197

7 4.8.4 Auswirkungen ausgewählter Faktoren auf die Rechenleistungen Notation der Überträge Nichtdezimale Stellenwertsysteme Abschließende Bemerkungen Computer-Subtraktion Multiplikation Das Normalverfahren Methodische Stufenfolge Multiplikation mit einstelligem Multiplikator Multiplikation mit Vielfachen von Multiplikation mit gemischten zwei- und mehrstelligen Multiplikatoren Problembereiche Überschlags- und Proberechnung Aufgaben zur Festigung des Multiplikationskalküls Multiplikationsverfahren im Ausland Typische Schülerfehler, mögliche Ursachen und Gegenmaßnahmen Schwierigkeitsdimensionen / Diagnostischer Test Die wichtigsten systematischen Fehler Die häufigsten Fehler und mögliche Ursachen Auswirkungen ausgewählter Faktoren auf die Rechenleistung Behalteziffern Endnullen 222

8 Nullzeilen Schlußfolgerungen Alternative - leichtere" - Multiplikationsverfahren Das Verdoppelungs- / Halbierungsverfahren Das Verdoppelungsverfahren Die Neperschen Streifen/Die Gittermethode Abschließende Bemerkungen Division Bemerkungen zum Normalverfahren Zur Komplexität des Normalverfahrens Methodische Stufenfolge Division durch einen einstelligen Divisor Division durch ein Vielfaches von 10 ( reine Zehnerzahl") Division durch gemischte Zehnerzahlen Problembereiche Überschlags- und Proberechnung Divisionsverfahren im Ausland Typische Schülerfehler, mögliche Ursachen und Gegenmaßnahmen Schwierigkeitsdimensionen / Diagnostischer Test Die wichtigsten systematischen Fehler Die häufigsten Fehler und mögliche Ursachen Schlußfolgerungen Alternative - leichtere" - Divisionsverfahren 256

9 6.6.1 Das Subtraktionsverfahren Das Verfahren zunehmender Schematisierung (Wiskobas) Das Verdoppelungsverfahren Die Neperschen Streifen Das schwedische Divisionsverfahren 262 V Üben im Arithmetikunterricht Übungsformen Automatisierendes Üben Operatives Üben Übungsgrundsätze Beispiele zum automatisierenden Üben Spiele im Spielkreis Wegespiele Kartenspiele Dominospiele Würfelspiele Puzzle Bilder aus Punkten Ausmalen Geheimschrift Kreuzzahlrätsel Beispiele zum operativen Üben Rechenpyramide Zahlenfeld 287

10 4.3 Rechenspinne / Zauberquadrate Hasenjagd Kreiseltreiben Zaunkönig Zahlenfussball Gleichungen raten Kommissar Rechenfix Sprengen der Bank 295 VI Taschenrechner und Computer im Arithmetikunterricht? Taschenrechner Einsatz im Arithmetikunterricht? Kopfrechnen Überschlagsrechnung/Schätzen Resümee Computer Bewertungskriterien von Unterrichtssoftware Ergebnisse Resümee 307 Anhang 311 Diagnostische Tests 311 Verzeichnis der im Text genannten Literatur 315 Index 331