Vorkenntnisse von Schulanfängern zu Zahlen Entwicklung der Zählkompetenz

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1 Vorkenntnisse von Schulanfängern zu Zahlen Entwicklung der Zählkompetenz

2 Peanosches Axiomensystem P I P II P III P IV P V Null ist eine natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n. Null ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl. Jede Menge M von natürlichen Zahlen, die die Zahl Null und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen.

3 Ein Gespräch zwischen zwei Kindern A: Sag mal, in wie vielen Tagen hast du eigentlich Geburtstag? B: Es dauert noch 4 Tage, dann werde ich endlich 7 Jahre. A: Hast du schon die Gäste eingeladen? B: Ja, Mama hat mir erlaubt, dass 6 Kinder kommen dürfen. Aber als erstes habe ich meine Oma Hanni eingeladen. A: Hast ihr wohl ne Karte geschrieben? B: Nein, ich telefoniere lieber, weil Oma Hanni so eine tolle Nummer hat: A: Die kann man sich ja wirklich leicht merken. B: Weißt du, was noch ganz toll ist? Ich kann immer sagen, wie alt meine Oma ist. Sie ist nämlich 60 Jahre älter als ich, also muss ich nur rechnen und schon weiß ich, wie alt meine Oma ist.

4 Zahlaspekte Kardinalzahlaspekt (Wie viele?) Zahlen beschreiben die Mächtigkeit von Mengen, also die Anzahl der Elemente Beispiele: In der Schale liegen 5 Äpfel. Gib mir bitte 3 Murmeln. In meiner Federtasche habe ich 8 Buntstifte.

5 Ordinalzahlaspekt a) Zählzahl Folge der natürlichen Zahlen, die beim Zählen durchlaufen wird (durch Zählzahlen wird auch Reihenfolge beschrieben) Beispiele: Das ist das Haus mit der Nummer 15. Im Buch bin ich auf Seite 24. b) Ordnungszahl (An welcher Stelle?) gibt den Rangplatz eines Elementes in einer geordneten Reihe an Beispiele: Er ist 4. beim Laufen geworden. Die fünfte Perle der Kette ist rot.

6 Maßzahl (Wie lang?, Wie schwer?...) Zahlen sind Maßzahlen in Größenangaben Beispiele: Der Zug fährt 3 Stunden 15 Minuten. Eine Tafel Schokolade wiegt 100 g. Operatoren (Wie oft?) Zahlen beschreiben die Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs Beispiele: Ich war diese Woche 3 Mal an der Uni. Ich war 5 Mal Sieger der Schulmeisterschaften.

7 Rechenzahlaspekt a) algebraischer Aspekt Zahlen werden zum Rechnen (auf der Grundlage algebraischer Gesetze) genutzt Beispiel: = (Kommutativität - algebraisches Gesetz) b) algorithmischer Aspekt mit Zahlen kann man nach eindeutig bestimmten Folgen von Handlungen (Algorithmen) rechnen Beispiel:

8 Relationaler Zahlaspekt (neu) Zahlen werden als Relationen ausgefasst (durch Zahlbeziehungen) Beispiele: 5 liegt zwischen 2 und 7 18 liegt vor 20 Codierungsaspekt Zahlen dienen dazu, Dinge zu benennen und zu unterscheiden Beispiele: Postleitzahlen Telefonnummern

9 Bestimmen Sie die Zahlaspekte zu den unterstrichenen Angaben. Familie Meier wohnt in der dritten Etage eines Mehrfamilienhauses. Zu ihrer Wohnung gehören fünf Zimmer. Das Wohnzimmer ist das größte Zimmer mit einer Länge von 5,80 m und einer Breite von 6,20 m. Jedes der zwei Kinder muss das Zimmer wöchentlich zwei Mal saugen. Notieren Sie eine Sachsituation, in der eine Zahl/ Zahlen als Ordnungszahl(en) vorkommt(en). Zur Familie Meier gehören fünf Personen. Das zweitgeborene Kind ist eine Tochter, das erste und das dritte Kind sind jeweils Söhne. Der kleinste Sohn ist zwar zwei Jahre jünger als die Tochter, jedoch 18 cm größer als sie. Er ist 1,87 m groß. Bei den Meiers gibt es also fünf Mal im Jahr ein Geburtstagsfest. Notieren Sie eine Sachsituation, in der eine Zahl/ Zahlen als Rechenzahl(en) vorkommt(en).

10 Entwicklung der Zählfähigkeit in Verbindung mit der Zahlvorstellung (in Anlehnung an Hasemann u.a.) Phase 1 verbales Zählen Zahlwortreihe wird wie ein Gedicht aufgesagt (einszweidrei), Zahlwörter werden nicht zum Zählen eingesetzt (ohne kardinale Bedeutung) Phase 2 asynchrones Zählen Zahlwörter werden jetzt zum Zählen eingesetzt, aber es werden oft Objekte vergessen oder der Zählprozess abgebrochen Phase 3 Ordnen der Objekte während des Zählens Kinder ordnen die Objekte während des Zählens wegschieben, anders hinlegen Phase 4 resultatives Zählen Kinder wissen, dass sie beim Zählen mit der eins anfangen müssen, dass jedes Element nur einmal gezählt wird und dass die letztgenannte Zahl die Anzahl angibt Phase 5 abkürzendes Zählen Kinder können mit den Objekten der Mengen Strukturen bilden (z.b. Würfelbilder), sie können auch in Schritten (z.b. Zweierschritten) zählen und einfache Rechnungen zählend lösen

11 Zählprinzipien (1) Eins-zu-Eins-Zuordnung: jedem zu zählenden Element darf nur genau ein Zahlwort zugeordnet werden Prinzip der stabilen Ordnung: Liste der Zahlwörter hat eine feste Ordnung Kardinalprinzip: die zuletzt benutzte Zahl im Abzählprozess gibt die Anzahl an

12 Zählprinzipien (2) Abstraktionsprinzip: beliebige Elemente können zu einer Menge zusammengefasst und gezählt werden (3 rote Äpfel und 4 grüne Äpfel können gezählt werden als 7 Äpfel) egal, ob ich 4 Äpfel in der Reihe oder auf einen Haufen auf den Tisch lege es sind immer 4, also gleich viele Prinzip der beliebigen Reihenfolge: wie die Elemente gezählt werden, ist für das Zählergebnis unerheblich

13 Übung zum Zahlenbuch 1, S. 13 Bestimmen Sie, ob es sich bei der Aufgabenstellung um eine Übung zur Zahlauffassung oder Zahldarstellung handelt. Wie viele Äpfel siehst du? Lege so viele Stäbchen wie du Birnen siehst. Zeige die Bilder, auf denen du mehr als 7 Dinge siehst. Wie viele Ziffernkarten siehst du auf der Seite? Lege so viele Plättchen, wie du Tomaten siehst.

14 Diagnostische Verfahren zur Bestimmung des Lernstandes von Kindern schriftlichen Aufgaben/ Tests normierte Tests (z.b. DRT, OTZ) lernzielorientierte Aufgabensammlungen Beobachtungen offene Aufgaben Interviews/ Methode des lauten Denkens

15 Ergebnisse des Testes (nach Grassmann u.a.) Aufgabe: A1 A2 A3 A4 A5 A6 Schülerleistung 99% 96% 68% 84% 54% 34% Lehrererwartung 97% 74% 55% 81% 46% 36% Streuwerte: min: 71 % min: 10 % min: 60 % max: 100 % max: 100 % max: 95 % Rückwärtszählen und Ziffernkenntnis wurden von Lehrern unterschätzt

16 Ergebnisse des Testes reale Leistungen der Kinder und Erwartungen der Lehrer differierten - tendenziell werden die Kenntnisse, die die Kinder in die Schule mitbringen, eher unterschätzt Folge für die Unterrichtsgestaltung??? mehr als 20 % der Kinder haben alle Aufgaben richtig gelöst, d.h. sie bewältigen am Schulanfang schon Anforderungen, die erst nach einem halben Jahr Unterrichtsinhalt sind es wurden keine Unterschiede zwischen Jungen und Mädchen festgestellt

17 Ergebnisse des Testes es wurde eine enorme Heterogenität auf verschiedenen Ebenen festgestellt: Unterschiede zwischen einzelnen Kindern in einer Klasse Unterschiede zwischen den Klassen an einer Schule Unterschiede zwischen Schulen in jeder Klasse müssen die Vorkenntnisse jedes Kindes detailliert ermittelt werden