Arithmetik in der Grundschule Di Uhr Audimax. Arithmetik in der Grundschule Anfänge und Ziele Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind

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1 Sommersemester 2015 Arithmetik in der Grundschule Di Uhr Audimax V V Arithmetik in der Grundschule Anfänge und Ziele Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind V Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) V Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 20 (Kl. 1) V Ausbau des Zahlenraumes bis 100 (Kl. 2) V Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 2) V Multiplizieren und Dividieren (Kl. 2, 3) V Kleines Einmaleins (Kl. 2) V Ausbau des Zahlenraumes bis 1000; bis 1 Million (Kl. 3, 4) V Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 3) V Schriftliches Addieren und Subtrahieren (Kl. 3) V Schriftliches Multiplizieren und Dividieren (Kl. 4) V Zusammenfassung Klausur (18-20 Uhr, Audimax und HS 2) 1

2 Quellen Arithmetik Padberg, F./Benz, Ch. (2011): Didaktik der Arithmetik. Heidelberg: Spektrum. und Quellen, die in den einzelnen Vorlesungen ausgewiesen sind 2

3 Die Folien zu den Vorlesungen finden Sie: Intranet:Verzeichnis G/Mathematik/Rasch Internet: 3

4 V 1 Arithmetik Ziele und Anfänge 1 Begriff Arithmetik 2 Arithmetik in der Grundschule 3 Arithmetisches Vorwissen 4 Einordnen von Vorwissen 4

5 1 Arithmetik Quelle: Leuders, Erlebnis Arithmetik

6 Arithmetik lässt sich von der griechischen Bezeichnung arithmitiki tèchni Kunst der Zahlen ableiten. Man könnte die Arithmetik auch als Theorie der Zahlen bezeichnen: Ich bestehe aus Zahlen, deren Unterschiede ich aufzeige. Im Mittelalter gehörte die Arithmetik zu den Sieben freien Künsten ebenso wie die Grammatik, die Dialektik oder Logik, die Rhetorik, die Geometrie, die Astronomie und die Musik. 6

7 Die Geometrie beschäftigt sich mit den Strukturen der Formen und Maße. Die Arithmetik erforscht die Strukturen der natürlichen Zahlen. Man kann auch sagen, sie ist die Wissenschaft von den Mustern und Strukturen. Die Arithmetik enthält Errungenschaften aus 3000 Jahren Mathematik als Teil unserer kulturellen Entwicklung. 7

8 In der Arithmetik versteckte Muster und Strukturen werden schon von Vor- und Grundschulkindern entdeckt und genutzt. 8

9 2 Arithmetik in der Grundschule 9

10 2.1 Ziele 10

11 Solide Zahlvorstellungen Vorstellungen von Zahlen, ihren Größenordnungen, ihren Eigenschaften, ihren Beziehungen zu anderen Zahlen, ihrem Auftreten im Alltag usw. Quelle: Selter, Zeitschrift Grundschulverband 11

12 Sicheres Rechnen gedächtnismäßige Verfügbarkeit von Wissenselementen (Einspluseins, Einmaleins) Sicherheit im Zahlenrechnen (Kopfrechnen u. halbschriftliches Rechnen) schriftliche Normalverfahren (Ziffernrechnen) 12

13 Verständiges, flexibles Rechnen Verständnis der verschiedenen Strategien und Verfahren des Rechnens aufgabenbezogene Flexibilität bei der Wahl des Rechenweges überschlagendes Rechnen (Alltagsbezug) 13

14 Schreibe Rechenaufgaben mit der 24. Welche Muster und Strukturen nutzt der Viertklässler? Dominic 4/11 14

15 2.2 Bildungsstandards und Rahmenpläne 15

16 Zuordnung zu den Bildungsstandards Inhaltsbezogene Kompetenzen Zahlen und Operationen Muster und Strukturen Raum und Form Größen und Messen Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Allgemeine Kompetenzen Argumentieren Problemlösen Modellieren Darstellen Kommunizieren 16

17 Zahlen und Operationen Zahlen und Zahldarstellungen verstehen sich im Zahlenraum bis orientieren Rechenoperationen verstehen und beherrschen in Kontexten rechnen Muster und Strukturen Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen Funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen 17

18 Ausschnitte aus dem Kernlehrplan Saarland Kl.1/2 (2009) 18

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20 Rahmenplan Rheinland Pfalz- neu ab

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23 3 Arithmetisches Vorwissen 23

24 3.1 Vorwissen mit offenen Aufgaben erfassen 24

25 Till (6) 1) Zählen vorwärts: mit Ermutigung bis 100, dann einhundert, 200,... bis 800 rückwärts: zunächst ab 10, mit Ermutigung ab 20, 30, 100 ( Mein Papa hat mir das mal gezeigt. ) 25

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28 Maik (6,2) 1) Zählen Name muss vorgeschrieben werden vorwärts: bis 14; mit Material (Stäbchen) bis 17 (zählt die Stäbchen zunächst teilweise in Zweierschritten); dann 20, 30, 14, 15, 16, dann 22, 23, 24, 26 rückwärts: Lass mich mal vorzählen : Zählt an den Fingern still für sich bis 10, dann an den Fingern laut zurück von 10 bis 0. 28

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30 3.2 Vorwissen mit Tests erfassen 30

31 3.2.1 Die Anfänge Schmidt/Weiser 1982 fanden beträchtliche arithmetische Kompetenzen von Schulanfängern verbales Zählen Aus- und Abzählen Anzahlvergleich einfaches Addieren u. Subtrahieren Quelle: ZDM 1983/2, S. 103; s. auch Padberg 31

32 Grassmann 1995; 2002; Hasemann 1998 Bedeutung der Zählkompetenz für das Mathematiklernen teilweise hohe arithmetische Kompetenzen aber große Leistungsunterschiede zwischen einzelnen Kindern u. Klassen Quellen: Grassmann (2002) Mathematische Kompetenzen von Schulanfängern; Hasemann (2003): Anfangsunterricht Mathematik; Caluori (2005): Kompetenzen von Schulanfängern. 32

33 Test Grassmann et al Kreuze das höchste Haus an. Kreuze das Pferd mit der Nummer 5 an. Kreuze die nächste Zahl an. 33

34 Ausschnitt aus Grassmann 1995 Male neun Kreise aus. Wie viele Punkte sind es zusammen? Wie viel Geld bleibt übrig? 34

35 Addieren Subtrahieren 35

36 OTZ (2001) Testentwicklung 1997/98 Testzeitraum: März, Juni (Kindergarten) bis zur Einschulung (September) 1 Qualitatives Vergleichen 2 Klassifizieren 3 Eins-zu-eins-Zuordnungen herstellen 4 Reihenfolgen erkennen 5 Zahlwörter gebrauchen 6 Zählen mit Zeigen 7 Zählen ohne Zeigen 8 Einfaches Rechnen 36

37 3.2.2 Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ) erschienen bei Hogrefe Verlag Göttingen 2001 van Luit, van de Rijt, Hasemann 37

38 1 Qualitatives Vergleichen Hier siehst du Männer. Zeige auf den Mann, der dicker ist als der Mann im Viereck. 38

39 Hier siehst du Indianer. Zeige auf den Indianer, der weniger Federn hat als der im Viereck. 39

40 2 Klassifizieren Sieh dir diese Bilder an. Zeige auf alle grauen Kreise. 40

41 Hier siehst du Menschen. Zeige auf die Menschen, die eine Tasche, aber keine Brille tragen. 41

42 3 Eins-zu-eins-Zuordnung Linien von den Kerzen zu den Kerzenhaltern zeichnen. 42

43 4 Nach Reihenfolge ordnen 43

44 5 Zahlwörter benutzen Zeige auf den Kasten mit sieben Punkten. 44

45 6 Zählen mit Zeigen Zeige auf die 18. Blume. 45

46 7 Zählen ohne Zeigen Wie viele Würfel liegen hier? (15 Würfel, das Kind darf nicht auf die Würfel zeigen) Hier sind Würfel (5). Ich schiebe sie unter meine Hand.Ich füge sieben Würfel hinzu. Wie viele Würfel habe ich jetzt unter der Hand? 46

47 8 Einfaches Rechnen Es sind 9 Bonbons in der schwarzen Kiste. In der weißen Kiste sind 13 Bonbons. In welcher Kiste sind die meisten? 47

48 Welche Zahl wurde mit den beiden Würfeln gewürfelt und wohin darf die Figur gehen? 48

49 Ausgewählte Ergebnisse (Hasemann Anfangsunterricht Mathematik) mehr/weniger bis zu 5 Objekte simultan erfassen 83% Zählen bis 20 77% Weiterzählen von % Ohne sie zu sehen, wissen, dass 13 Bonbons mehr sind als 9 69% 49

50 Objekte der Größe nach ordnen 75% Objekte nach zwei Merkmalen gleichzeitig klassifizieren 67% zwei Reihen der Größe nach vergleichen 67% Objekte eins-zu-eins zuordnen, Zählen ist möglich 75% Objekte eins-zu-eins zuordnen, Zählen ist nicht möglich 61% 50

51 20 geordnete Klötze abzählen 58% 20 ungeordnete Klötze abzählen 49% die Augensumme von zwei Würfeln zusammenzählen 51% in Zweierschritten von 2-14 zählen 50% 17 Klötze rückwärts zählen 32% 51

52 3.2.3 Kristin Krajewski ( 2003): Erfassen von Vorläuferfertigkeiten des mathematischen Verständnisses (Untersuchung im letzten Kindergartenjahr) Spezifische Merkmale (für den Erwerb des Rechnens) Aufgaben zum Mengenvorwissen Aufgaben zum Zahlenvorwissen Aufgaben zur Zahleninformations-Verarbeitungsgeschwindigkeit (Zahlenspeed) Unspezifische Merkmale Aufgaben zur Gedächtniskapazität Aufgaben zum räumlichen Vorstellungsvermögen Aufgaben zum Sprachverständnis Konzentrationsfähigkeit Intelligenz 35-minütige Einzelsitzungen 52

53 Beispiel zum Mengenvorwissen Nun habe ich einige Käfer mitgebracht. Schau mal, die haben sich in einer Reihe angeordnet. Hier fehlt ein Käfer. Welcher Käfer gehört dort hin? Die Punkte auf den Käfern verraten dir, wie alt der Käfer ist. Wie alt bist du? Welcher Käfer ist so alt wie du? Welche Käfer sind jünger als du? Welche Käfer sind älter als du? 53

54 Zahlenvorwissen Zählen (vorwärts/rückwärts) Vorgänger/Nachfolger benennen Zahlenvergleich Zahlen Ziffernkärtchen zuordnen Geldwissen (Münzen benennen, Werte vergleichen) Rechenfertigkeiten 54

55 Rechenfertigkeiten a) Hier hast du 5 Murmeln. Ich habe 4 Murmeln. Wie viele Murmeln haben wir zusammen? b) Du hast 6 (rote) Murmeln. Ich habe 2 (gelbe) Murmeln. Jetzt möchte ich mit dir spielen und genauso viele Murmeln haben wie du. Wie viele von diesen (gelben) Murmeln muss ich zu meinen 2 Murmeln dazulegen, damit ich genauso viele Murmeln habe wie du? c) Hier hast du 9 Murmeln. Wie viele hast du noch, wenn du mir 3 abgibst? d) Im Kindergarten möchten die Kinder mit Scheren basteln. Es gibt 5 Kinder und es gibt 3 Scheren. Wie viele Scheren fehlen noch? e) Im Kindergarten wollen die Kinder miteinander spielen. 3 Kinder holen sich jeder einen Freund. Wie viele Kinder spielen dann insgesamt zusammen? 55

56 Zahlenspeed Zahlen verbinden 56

57 Gedächtniskapazität Zahlenspanne 3-1; 2-1-4; ; ; ; ; Nachklopfen 2x; 5x; 3x; 6x; 4x; 7x Anzahlerfassung... nur durch Hingucken Rate, wie viele Punkte du gesehen hast (Kärtchen 1s zeigen) 57

58 Räumliches Vorstellungsvermögen Ich möchte, dass du diese Kärtchen hier (lose Kärtchen zeigen) genau verkehrt herum hinlegst, wie diese hier (aufgeklebte zeigen). Ich zeige dir das mal mit dem Käfer. Siehst du, so liegt der genau verkehrt herum wie der andere Käfer. So als ob der Käfer in den Spiegel schaut die beiden Käfer schauen sich an. 58

59 Kannst du mir die Steine geben (farbige Bausteine liegen auf dem Tisch), die ich für die Figur auf dem Bild gebraucht habe? Kannst du mir die Figur auf dem Bild jetzt noch nachbauen. (mit allen 3 Fotos) 59

60 3.2.4 Neue Testinstrumente MARKO-D: Zeitraum letztes Kindergartenjahr MBK-0: mathematische Basiskompetenzen im Kindergartenalter (im Druck) MBK-1: erfasst mathematische Basiskompetenzen im Verlauf der 1. Klasse (in Vorbereitung) 60

61 4 Einordnen von Vorwissen 61

62 4.1 Analyse von Videos 62

63 Anne, 3. Schulwoche Machen Sie Aussagen zu den Zählkompetenzen des Kindes. 63

64 Joyce, 3. Schulwoche Patrick, 3. Schulwoche Mit dem OTZ werden Niveaus der Zahlbegriffsentwicklung bestimmt, z.b.: A (gehört zu den 25% der Besten); B (gehört zu den 25%, die noch über dem Durchschnitt liegen); C (gehört zu den 25% unterhalb des Durchschnitts); D (gehört zu den 25% der schwächsten Schüler) Versuchen Sie die beiden Schüler/innen anhand ihrer Leistung einzuordnen. 64

65 4.2 Analyse von Testinstrumenten 65

66 Ausschnitte aus dem Projekt: Was können zukünftige Schulanfänger (4/04) 66

67 Testbestandteile Schreibe deinen Namen und schreibe auf, wie alt du bist. 1 Wie weit kannst du zählen? 2 Kannst du auch rückwärts zählen? 3 Schreibe Zahlen auf, die du schon schreiben kannst. 4 Kannst du schon rechnen? Schreibe auf. Test Grassmann u. a. Simultanes Erfassen kleiner Mengen Fallbeispiele: Franzi, Jasmin, Alex, Franziska, Lisa, Paul 67

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70 Test Grassmann (s. V 1.1) Aufgaben 1-4 ok. Aufgabe 5: 10, mit den Fingern von 3 vier weitergezählt Aufgabe 6: 2 Euro, Antwort kommt schnell ohne Hilfen 70

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72 Test Grassmann: alle Aufgaben richtig gelöst 72

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75 Test Grassmann Aufgaben 1-4 o.k. Aufgabe 5: 7. (Zählt bis 4, dann 5, 6, 7.) Ich denke mir das immer im Kopf aus. Aufgabe 6: 2. (mit Hilfe der Finger) 75

76 Franziska (5,4) 1) Zählen vorwärts: bis 100 (danach einhundert, zweihundert,...) rückwärts: ab 12 76

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79 Test Grassmann Aufgaben 1-4: o.k. Aufgabe 5: (zu schwer, Nutzen der Finger, mit meiner Hilfe gelöst) Aufgabe 6: (spontan) 1 Euro. (Nach Hinweis zum Nutzen der Finger löst sie richtig.) 79

80 80

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82 Paul (6, zählt sein Alter an den Fingern ab) Zählen vorwärts: zählt an den Fingern bis 8, beim Abzählen von Stäbchen Zählen bis 9, wechselt dann wieder zu den Fingern rückwärts: kann nicht rückwärts zählen Zahlen schreiben kann noch keine Zahlen schreiben Simultanes Erfassen ungeordnet 6: Würfelbild 5: geordnet (Fünferstruktur) 8: gelingt nicht Rechenkompetenzen wurden nicht diagnostiziert, da nicht vermutet. 82

83 Test Grassmann Nur bei Aufgabe 1 erfolgreich Bemerkung zur Aufgabe 4: Kann nicht sicher 9 Kreise abzählen. 83

84 Zusammenfassend 84