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1 Inhaltsverzeichnis Einleitung... XIII I Die Bruchrechnung ein Auslaufmodell? Einige Argumente gegen die Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen Irrelevanz für das tägliche Leben Relikt aus längst vergangenenzeiten Bequeme Spielwiese fürlehrer Mehr Zeit für Dezimalbrüche Zwei Schreibweisen fürbruchzahlen? Brüche nureinselektionsinstrument? Einige Argumente zur Notwendigkeit der Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen Brüche und die anschauliche Fundierung der Dezimalbruchrechnung WahrscheinlichkeitsrechnungohneBruchrechnung? BruchrechnungundGleichungslehre Zahlbereichserweiterung von N nach Q BruchrechnungundAlgebra Resümee II Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung Das Größenkonzept DasOperatorkonzept DasGleichungskonzept Das Äquivalenzklassenkonzept Resümee III Bruchrechnung NeueTrendsinderBruchrechnung PALMA ein überraschendesergebnis GrundvorstellungsumbrücheinderBruchrechnung Zur EinführungderBruchzahlen AnschaulicheVorkenntnisse Komplexität derbruchzahlen Bruchzahlaspekte Schreibweisen Repräsentationsarten Teil vom Ganzen zwei Grundvorstellungen Teil eines Ganzen Teil mehrerer Ganzer Gleichwertigkeit beider Grundvorstellungen Kenntnis beider Grundvorstellungen... 39

2 VI 4.4 RepräsentantundBruch Eine Größe verschiedene konkrete Brüche EinführungderBruchzahlen Einbettung der natürlichenzahlen Grundvorstellungsumbrüche gegenüber den natürlichen Zahlen Erweitern/Kürzen AnschaulicheVorkenntnisse Gleichwertige Brüche anschaulichezugangswege Erweitern systematischebehandlung Kürzen systematischebehandlung MöglicheProblembereiche Größenvergleich AnschaulicheVorkenntnisse Anschauliche Wege zum Größenvergleich SystematischeBehandlung Grundvorstellungsumbrüche beim Größenvergleich MöglicheProblembereiche Vertiefung Addition AnschaulicheVorkenntnisse AnschaulicheWegezurAddition SystematischeBehandlung GemischteZahlen Schwierigkeitsfaktoren MöglicheProblembereiche Vorbemerkungen Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick Rechengraphen eineffizienteswerkzeug BruchplusBruch Kombinierter Fall (Bruch und natürlichezahl) Ein Rechengraph zur Aufgabe AnschaulicheVorstellungen oft Fehlanzeige Additionskalkül und Grundvorstellungen Vorbeugung/Förderarbeit Vertiefung Subtraktion AnschaulicheVorkenntnisse Anschauliche Wege zur Subtraktion SystematischeBehandlung GemischteZahlen Schwierigkeitsfaktoren MöglicheProblembereiche Abfolge im Schwierigkeitsgrad ein Überblick... 95

3 8.6.2 BruchminusBruch Kombinierter Fall (NatürlicheZahl minusbruch) Vorbeugung/Förderarbeit Vertiefung Multiplikation AnschaulicheVorkenntnisse AnschaulicheWegezurMultiplikation NatürlicheZahl malbruch systematischebehandlung Bruch mal natürliche Zahl systematische Behandlung BruchmalBruch systematische Behandlung Von-Ansatz Gleichungsketten Flächeninhalt Bewertung GrundvorstellungsumbrüchebeimMultiplizieren MöglicheProblembereiche Abfolge im Schwierigkeitsgrad ein Überblick Multiplikation gleichnamiger Brüche Multiplikation ungleichnamiger Brüche Natürliche Zahl mal Bruch/Bruch mal natürlichezahl MultiplikationgemischterZahlen Regelformulierung und Begründung Über Probleme der rechnerischen Umsetzung bei Von- Situationen Vorbeugung/Förderarbeit Vertiefung Division AnschaulicheVorkenntnisse AnschaulicheWegezurDivision Bruch durch natürlichezahl systematischebehandlung Bruch durch Bruch/Natürliche Zahl durch Bruch systematischebehandlung Messen Umkehroperation Gleichungsketten Doppelbrüche Bewertung Natürliche Zahl durch natürlichezahl GrundvorstellungsumbrüchebeiderDivision MöglicheProblembereiche Abfolge im Schwierigkeitsgrad ein Überblick BruchdurchBruch Bruch durch natürliche Zahl/ Natürliche Zahl durch Bruch VII

4 VIII Natürliche Zahl durch natürliche Zahl Regelformulierung und Begründung Division von Brüchen und praktische Anwendungen Vorbeugung/Förderarbeit Vertiefung Brüche und natürliche Zahlen viele Gemeinsamkeiten, aber auch starke Umbrüche in den Grundvorstellungen Resümee/Konsequenzen Grundvorstellungsumbrüche beim Übergang von N zu Q + oft vernachlässigt Überschätzungvon Vorkenntnissen Ungenügende Erarbeitung anschaulicher Grundvorstellungen Gründliche Thematisierung der Einbettung von N in Q + erforderlich Rechenregeln gründlicher und anschaulicher begründen MathematikdidaktischeKompetenzsteigern DominanzdersyntaktischenEbenegezieltreduzieren Konsequenzen IV Dezimalbruchrechnung NeueTrendsinderDezimalbruchrechnung Dezimalbrüche überzeugendevorteile Unterrichtserfolge in der Dezimalbruchrechnung krasse Unterschiede GrundvorstellungsumbrücheinderDezimalbruchrechnung Einführung endlicher Dezimalbrüche Sprechweise WeitereVorkenntnisse ErweiterungdesStellenwertsystems GenügendZeitinvestieren Vorsichtmit Analogien Zehnerblöcke Lineare Arithmetikblöcke Zahlenstrahl/Stellenwerttafel Stellenwerttafeln sehrhilfreich CharakteristikaderErweiterung VielseitigeundvariationsreicheAufgaben Lokale und globale Sichtweise von Dezimalbrüchen MöglicheProblembereiche Kommazahlen in der Grundschule AnschaulicheVorstellungen Zwei Sichtweisen bei Dezimalbrüchen Stellenwertverständnis Resümee

5 6 Erweitern, KürzenundEinbetten Wege zum Erweitern und Kürzen MöglicheProblembereiche Größenvergleich Wege zum Größenvergleich MöglicheProblembereiche AufgabentypenzurAnalysevonFehlerstrategien Fehlerstrategien EinigeKonsequenzen Zusammenhang von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen Endliche Dezimalbrüche Umformung durch Erweitern/Kürzen UmformungdurchDivision Periodische Dezimalbrüche MöglicheProblembereiche Gemeine Brüche und Dezimalbrüche zwei verschiedene Welten?194 9 Runden und Überschlagen Addition Wege zuraddition Größen Stellenwerttafeln Kommaverschiebungsregeln Zehnerbrüche Schwierigkeitsgrad/Vergleich mit den Brüchen MöglicheProblembereiche Addition von Dezimalbrüchen Kombinierter Fall (Dezimalbrüche und natürliche Zahlen) KT-Strategie Regelkenntnis Größen alshilfe? Abfolge Brüche/Dezimalbrüche Subtraktion Wege zur Subtraktion Schwierigkeitsgrad/Vergleich mit den Brüchen MöglicheProblembereiche Subtraktion von Dezimalbrüchen Kombinierter Fall (Dezimalbrüche und natürliche Zahlen) KT-Strategie bei der Subtraktion Regelkenntnis Größen alshilfe? Abfolge Brüche/Dezimalbrüche Multiplikation Wege zurmultiplikationmit Zehnerpotenzen IX

6 X 12.2 Wege zur Multiplikation mit natürlichenzahlen Stellenwerttafeln/quasikardinalerAspekt Größen WiederholteAddition Wege zur Multiplikation mit Dezimalbrüchen Zehnerbrüche Kommaverschiebungsregel Größen GrundvorstellungsumbrüchebeimMultiplizieren Schwierigkeitsgrad/Vergleich mit den Brüchen MöglicheProblembereiche Multiplikation von Dezimalbrüchen mit natürlichen Zahlen Multiplikation von Dezimalbrüchen mit Dezimalbrüchen KT-FehlerbeiderMultiplikation Regelkenntnis Überschlagsrechnungen Abfolge Brüche/Dezimalbrüche Division Wege zurdivisiondurchzehnerpotenzen Wege zur Division durch natürlichezahlen Zehnerbrüche Erweiterung des Divisionskalküls mithilfe von Stellenwerttafeln Wege zur Division durch Dezimalbrüche Zehnerbrüche Kommaverschiebungsregel GrundvorstellungsumbrüchebeimDividieren Schwierigkeitsgrad/Vergleich mit den Brüchen MöglicheProblembereiche Division von natürlichen ZahlendurchZehnerpotenzen Division von Dezimalbrüchen durch natürlichezahlen Division von natürlichen Zahlen durch Dezimalbrüche Division von Dezimalbrüchen durch Dezimalbrüche KT-FehlerbeiderDivision Regelkenntnis und -begründung Kontexte/Größen als Lösungshilfe? Überschlagsrechnungen Abfolge Brüche/Dezimalbrüche Konzepte zur Behandlung der Dezimalbruchrechnung ein Rückblick Größenkonzept Zehnerbrüchekonzept Stellenwertkonzept Kommaverschiebungskonzept DezimalbruchlehrgängealsMischkonzepte

7 15 Resümee undkonsequenzen Grundvorstellungsumbrüche sorgfältigthematisieren Vorkenntnisse realistisch einschätzen Vorarbeiten mit Größen inklasse 5deutlichintensivieren Anschauliche Grundvorstellungen des Dezimalbruchbegriffs gründlicherarbeiten Dominanz der KT-Strategie erfolgreich bekämpfen Rechenregeln sorgfältig anschaulich begründen Überschlagsrechnungen stärker betonen und gezielt erarbeiten MathematischdidaktischeKompetenzweitersteigern V Ausblick NeueTrends CurriculareKonsequenzen Anschauliche Grundvorstellungen zu Brüchen und DezimalbrücheninKlasse 5legen Anschauliche Grundvorstellungen für einfache Rechenoperationen inklasse 5erarbeiten Dersystematische Bruchrechenlehrgang MathematikdidaktischeKompetenzdeutlichsteigern Diagnostische Tests Literaturverzeichnis XI

8

Inhaltsverzeichnis.

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