Kap. 7 Strömungsmechanik

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1 Kap. 7 Stömungsmechanik. Gundbegiffe. Die Kontinuitätsgleichung 3. Die Gleichung von Benoulli 4. Laminae Stömungen 5. Auftieb und Wibelbildung M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite

2 Gundbegiffe Stomöhe: 7.. Stömungen in Flüssigkeiten (gilt auch fü Gase) v (, t) Stomlinie (Stomfaden) Stomöhe: Gesamtheit de Stomlinien duch einen Queschnitt Stömungsfeld: (, t) v ( ) ( ) v Stationäes Stömungsfeld: (zeitlich konstant) Stomlinien v entlang M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite

3 7.. Stömungen in Flüssigkeiten Stomlinie (Stomfaden) v v (, t) Laminae Stömung: ist wibelfei. Stomfäden liegen nebeneinande. Reibungskäfte beschleunigende Käfte. Tubulente Stömung: ist nicht wibelfei. Goße Reibung an Beandungen. Kleine innee Reibung. v M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 3

4 7.. Kontinuitätsgleichung Wasseohe mit veändelichem Queschnitt: Stömung ideale Flüssigkeit v v A A Inkompessible Flüssigkeit: ρ const. div v 0 Äquivalent: Wähend dt gilt dv ein dv aus Andes ausgedückt: ( v dt) A ( vdt) A const. ρva Die Massenstomstäke I M ist konstant. v A M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 4 ρ dl d t A ρ d V d t v d M d t I A M

5 7.. Kontinuitätsgleichung Annahme: Flüssigkeitsmasse wid wede ezeugt noch venichtet Massenbilanz wähend dt (nu x-richtung): dm in ( ρv ) xdt da x dm ( ) aus ρvxdt da x+ dx dm da x dv ρ, t v ( x, y,z, t) ( ) x v x x + dx, y,z, t x ( ) x + dx dm dm in aus x x 3 dv ( ρ v ) dx da dt M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 5

6 dm x 7.. Kontinuitätsgleichung dm dm in aus x x 3 dv Gesamtmassenbilanz fü dv wähend dt: dm dm + dm + dm x y z Folge: dρ d m ρ t + d t ρ t + d t ρ t + d t d V ( ρ v ) dx da dt ( ρ v ) dv dt ( ) ( ) ( ) ρ( t) ( ρ v) d t Kontinuitätsgleichung: dρ dt + ( ρv) 0 ( ρv) div( ρv) M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 6

7 7.. Kontinuitätsgleichung Kontinuitätsgleichung: dρ dt Def: Stomdichte j ρ(, t) v(, t) Folgeung: + Massenfluss duch Fläche v Kontinuitätsgleichung: dρ dt ( ρv) 0 + j 0 Wenn die Masse in dv abnimmt,... fließt Masse aus dv hinaus M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 7

8 7.3. Die Benoulligleichung Lokale Duck p (hydodynamische Duck) v ρ Annahmen:. ideale Flüssigkeit η 0 v const. entlang Rohqueschnitt. inkompessible Flüssigkeit ρ const. 3. keine Schwekaft ( kein Rohgefälle ) M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 8

9 Enegiedichten: dε p dv 7.3. Benoulligleichung ε de dv [ F( x + dx) F( x) ] [ p( x + dx) p( x) ] dp dx dv dx dx da dx F(x) da dv dadx v dx Potentielle Enegiedichte: ε p p ( Nullpunkt willkülich bei p 0 ) F(x+dx) ε kin ε dv p ρ dv v 3 dm + ε const. kin ε Kinetische Enegiedichte: Benoulli-Gleichung: p + ρv p0 kin const. ρv M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 9

10 z g 7.3. Roh mit Gefälle im Schweefeld v z(x) Potentielle Enegiedichte im Schweefeld p + ( x) ρv + ρg z const. Potentielle Enegiedichte des hydodynamischen Ducks Kinetische Enegiedichte de Stömung x M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 0

11 7.3. Anwendung: Duckveteilung im Roh h v h h h ρ p ρg h ( ) ρ v Reibung zusätzliches kontinuieliches Duckgefälle M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite

12 Luft 7.3. Anwendung: Zestäube Unteduck M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite

13 p Anwendung: Wassestahlpumpe Wasse, seh langsam bewegt Roh p < < p 0 Luft p < < p 0 Wasse, seh schnell bewegt Vakuumgefäß Ansaugstutzen Außenluftduck ( >> p) M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 3

14 7.3. Pandtlsches Stauoh Luftstömung (Fahtwind) ρ p v p 0 Flüssigkeit p 0 p ρv M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 4

15 7.3. Beispiel: Pitot-Roh p h p ρgh Statische Duck v ρ p 0 Gesamtduck ( Stauduck ) p p + 0 ρv M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 5

16 7.3. Hydodynamisches Paadoxon Luft, v Chladnische Pfeife d 0 v Unteduck übewiegt Schwekaft p ρv d v M. zu Nedden / S. Kowaik Volesung Mechanik und Themodynamik (Physik I) Seite 6