8 Strömende Flüssigkeiten und Gase

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Leander Fischer
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1 8 Stömende Flüssigkeiten und Gase Gleiche Physik fü beide Phasen abe ρ fl >> ρ g, κ fl << κ g Newtonsche Bewegungsgleichung fü ein Massenelement m ρ V F ( ) F p + F g + F Δm d /dt ρ( ) ΔV du ( )/dt -gad p V ρg V Analytische Lösungen nu fü besondee Fälle, numeische Lösungen oft aufwändig u (,t) spannt ein zeitabhängiges Vektofeld (Stömungsfeld) auf Hängt u ( ) nicht von t ab, nennt man die Stömung stationä und die Otskuve (t) eines Volumenelements folgt de Stömungslinie u ( ) WS 014/15 1

2 Bei laminae Stömung bleibt die Nachbaschaft von Stomfäden ehalten! Bei idealen Flüssigkeiten ist die eibung venachlässigba, bei zähen dominiet sie

3 Eule Gleichung fü ideale Flüssigkeiten Im Stömungsfeld u (,t) d u dt zuückgelegt und ist an den Ot + u dt gelangt. Dot hat es die Geschwindigkeit u + du u ( + u dt,t + dt) hat ein Volumenelement nach dt den Weg > Auch in stationäen Stömungen kann sich die Geschwindigkeit z.b. duch Queschnittseduktion änden! Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beitäge: Zeitliche Ändeung de Geschwindigkeit u / t Andee Geschwindigkeit am neuen Ot u / / t am selben Ot > In Komponentenscheibweise: du x dt u x t + u x x dt + u x y dy dt + u x z dz dt dito fü y und z du i dt u i k u x u y u z u i t + u k Gaub 3 k

4 Eule Gleichung fü ideale Flüssigkeiten fü stationäe Stömungen 0 du dt u t + ( u ) u Konvektionsbeschleunigung mit u u x x u y x u z x u x y u y y u z y u x z u y z u z z Bei idealen Flüssigkeiten eibung Venachlässigba > Eulegleichung du dt u t + ( u ) u g 1 ρ gad p + η u Navie-Stokes Gleichung Gaub WS 014/15 4

t Kontinuitätsgleichung Duch ein oh mit sich ändendem Queschnitt fliest die Masse dm / dt ρ A 1 u x1 ρ A u x const > u x1 / u x A / A 1 Def: Massenflussdichte In V sei die Masse j ρ u M M ρ u ds

5 t Kontinuitätsgleichung Duch ein oh mit sich ändendem Queschnitt fliest die Masse dm / dt ρ A 1 u x1 ρ A u x const > u x1 / u x A / A 1 Def: Massenflussdichte In V sei die Masse j ρ u M M ρ u ds t S S ρ u ds div(ρ u ) dv V j ds ρ dv Sie ändet sich duch den Fluss duch die Obefläche S S V div( b ) b db x + db y dy + db z dz Gauss (Bonstein) ρ dv ρ V t dv div(ρ u )dv V V > ρ + div(ρ u ) 0 t

6 Benoulli-Gleichung Unte Duck wid Gas ode Flüssigkeit duch ein oh getieben. Vejüngt sich de Queschnitt muss das Medium beschleunigt weden Um V 1 A 1 x 1 gegen p 1 zu bewegen benötigte Abeit: W 1 F 1 x 1 p 1 A 1 x 1 p 1 V 1 dito fü den dünnen Teil: W p A x p V Die geleistete Abeit ehöht die potentielle Enegie des Systems! Bei idealen Flüssigkeiten (eibungsfei!) bleibt die Gesamtenegie konstant! p 1 V 1 + ½ ρ u 1 V 1 p V + ½ ρ u V da V 1 V V > p 1 + ½ ρ u 1 p + ½ ρ u > p + ½ ρ u p 0 const Benoulli- Gleichung Statische Duck Stauduck Gesamtduck (bei u 0) Gaub 6

7 Benoulli-Gleichung Gaub

8 Benoulli-Gleichung Gaub 8

9 Laminae Stömung Stömung, welche duch innee eibung bestimmt wid Bsp.: Blut in den Aden Wasseleitungen Expeiment: z F,v σ F A η du z Viskose Schubspannung > F η A du z Viskose eibung d x η Viskosität dynamische Zähigkeit η ~ e E 0 /k B T themisch aktiviete Hüpfpozesse Gaub WS 014/15 9

10 Abschätzung de andschichtdicke im unendlich ausgedehnten Medium > E kin 1 + L u dm ρ Die Abeit W wid teilweise dissipiet E kin < W D < z F,u 0 D D 0 u(x) Dabei mitgefühte Flüssigkeit: dm Platte de Fläche A wid um ihe Länge L in viskose Flüssigkeit veschoben Dazu benötigte Abeit: ρ A u 0 u 0 x D 3ηL ρ u 0 x W F A 1 3 du L η A L u0 η A L D A ρ D u Gaub 10 0

11 u Beliebige Stömung in z-ichtung mit z uz 0 y z u u z z (x 0 +) uz ( x 0 ) z u z (x 0 +) x Taylo-Entwicklung lineaisiet Allgemein: df u z (x 0 ) x 0 ( ) z η dv Laplace- Opeato: u z (x 0 -) > ΔF df (x 0 + ) df (x 0 ) η dv Δ x dv dy dz u z x Δ u z + y x + u z y + z + u z z > uz uz η dy dz x x x ΔF η dy dz u z + u z x x0 x η dy dz u z x η dv F η uz x Δ u dv 0 + d x x0 u z x x0 11

12 Bsp.: Laminae Stömung zwischen zwei Platten z p(z+dz) z 1 +dz Duckdiffeenz teibt Fluss: dz p p(z) -d +d x z 1 dy p(z) dp dp d y 0 Duckkäfte: df( z 1) d y p ( z ) dp df( z1) dy dz dz 1 ( z dz) df( z1 + dz) dy p 1 + dp dy p z1 + dz dz dp dv d z ( ) Gaub WS 014/15 1

13 Gleichgewicht: eibungskaft Duckkaft dp η Δ u dv dv dz d u 1 dp η dz du x dp η dz + C 1 x dp u + C1 x + C η dz andbedingungen des Expeiments: du Symmetie 0 x 0 keine Stömung an den Plattenänden u( d) u( d) 0 C d dp η dz u(x) 1 dp ( η dz d x ) Gaub WS 014/15 13

14 Bsp.: Laminae Stöhmung duch ein oh analog zu voheigem Beispiel: L dv dt dz da dt da da u( ) + d Kaft auf Zylinde Viskose eibung π Δp η π L du d mit u() 0 Δp u( ) ' d' + C ηl u() Δp ( 4ηL ) duch Hohlzylinde mit dem Innenadius und de Dicke d fließt po Zeiteinheit: Fluß duch gesamten Zylinde: dv dt π d u( ) 0 Gaub WS 014/15 14 V t π u( ) d

15 ( ) Δ L p t V 0 d 4 η π Δ L p d d η π η Δ π L p z p η π p 8 4 L I t V Δ η π 8 4 Hagen-Poiseuille-Gesetz Viskose eibung eine Kugel : (Heleitung Oseen) F 6πη K u ρ K u 0 8η Stokessches Gesetz Expeiment Kugellfall > η 9 g K u 0 ρ K ρ Fl ( ) Gaub 15 WS 014/15

16 Dimensionslose Zahl bestimmt Einsetzen de Tubulenz Mittlee Geschwindigkeit e ρ U L η e 1000 < E kin > < W eibung > typisch in Wasse: L < 1 10 mm Chaakteistische Länge Tubulenz Life Sciences: Innehalb von Zellen imme lamina Wichtig fü Ähnlichkeitstansfomation. Modell halbe Gösse vehält sich in Medium halbe Viskosität gleich laminae Stömung Poblem Mico Fluidics: Duchmischung nu duch Diffusion möglich Gaub WS 014/15 x 0 < x >< x 0 > N > τ x D ~ 1 µm/sec

17 Life at Low eynolds Numbes: Swimming in molasses, walking in a huicane Dean Astumian eynolds numbe: d v ρ e.g. bacteium η 10-6 m * 10-5 m/s * 10 3 kg/m kg/ms Themal noise powe: k P th B T themal elaxation time 4*10-1 J s W 10-5 > No tubulences! Compae to powe of motos: P mech W! See Astumian & Hänggi, Physics Today Nov. 00,

18 Intacellula Taffic ove Long Distances Axon See Joe Howad et al. MPI Desden Manfed Schliwa et al. LMU Melanocyte Gaub WS 014/15 18

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