4. Mechanik des starren Körpers 4.1. Model starrer Körper

Transkript

1 4. echank des staen Köpes 4.. odel stae Köpe z k j k j odell: - aufgebaut aus asseneleenten t Voluen V und t festen Abständen unteenande const - asseneleente können we Punktassen behandelt weden j y - Gesatasse: N x - Gesatvoluen: V N V / V - Dchte: N 0, N d N V N 0, V dv V t d dv

2 (sehe 3..) chwepunkt: 4.. chwepunkt des staen Köpes z N N N k j k j ( - Otsvekto des chwepunktes) y - chwepunkt x hoogene Köpe: N, 0 d dv V da d dv wenn const V (hoogene Köpe) V V dv

3 3 Bespel chwepunt H O olekül (Atoe als Punktassen): olekül n xy-ebene (alle Koodnaten z = 0) H =, O = 6 H z y x z y x ; ; ; ; 0 O H O O H H H H z z z z p x x x x O H O O H H H H 6 6, x y H H x O = 0; x H, = OH cos 5, = 96 p OH = 96 p 0 O H O O H H H H x y y y y O = 0; y H = OH sn 5, ; y H = - OH sn 5, p 0 6,6;0; chwepunkt legt nnehalb des auestoffatos

4 Bewegung des chwepunkts: (vgl. t chwepunktsatz n.3...) N N N (De Gesatpuls enes soleten ystes ( F G 0 ) entspcht de puls des chwepunktes p und st konstant) d N d v p d dp F G Geschwndgket des chwepunktes - chwepunkt des staen Köpes bewegt sch we P t asse unte Enfluss ene äußeen Gesatkaft. F G - chwepunkt des staen Köpes bewegt sch als ob n h de gesate asse des Köpes veengt wäe und de esulteende F G alle Käfte wkt. - Falls F 0 G p const v const Exp.: Dehoentköpe, Doppelkegel 4

5 z 4.3. Rotatonsbewegung des staen Köpes - P t füht Kesbewegung u A und aus t Wnkel- Geschwndgket x y P v A Dehachse duch entlang yeteachse des Köpes v Bahngeschwndgket von v d v v - elatve Geschwndgket von bzgl. v - stae Köpe (feste Abstände): d v 0 v v const, v v const vgl. t glechföge Dehbewegung 5

6 - Gesatgeschwndgket von : v v v v v v glt fü belebges des staen Köpes Allg. Bewegung des staen Köpes setzt sch zusaen aus anslatonsbewegung des chwepunkts und Rotatonsbewegung u ene Achse duch den chwepunkt - Fehetsgade f des staen Köpes: Exp.: Dehoentköpe auf sch anslaton: Rotaton: v x, y, z,, x y z f = 3 f = 3 De stae Köpe bestzt f = 3 Fehetsgade de Bewegung 6

7 4.4. Dehoent des staen Köpes a) Dehoent - F st Usache - Dehoent fü Dehbewegung (sehe 3.3) als aß fü de Effektvtät de angefenden Kaft bzgl. de Dehbewegung Exp.: Dehoent und Dehtsch F,, sn F Dehoent F F sn [] = N gbt Dehachse und Dehsnn an echte Hand-Regel Exp.: Dehoent 7

8 F F F Exp.: folgsae Rolle 8

9 Dehoent und chaubenschlüssel chaubenschlüssel Dehoentschlüssel Dehoent st bedngt duch Länge des chaubenschlüssels und angewane Kaft Dehoent wd engestellt ode geessen duch ntenen echansus (echansch ode elektonsch) = F = = 90 Exp.: Vdeo Refenwechsel F sn 9

10 b) Glechgewchtsbedngung des staen Köpes A Dehachse fest, duch, d F g, d d g Dehoente auf d :, Dehoente auf gesaten Köpe: Fg d g,, V d gd g d g V t V V d He st abe 0 0 Glechgewchtsbedngung 0 0

11 Zweage Hebel: F = g F = g 0 0 F F F F 0 F F Exp.: zweage Hebel, chwepunkt Besenstel

12 c) Käftepaa stae Köpe ohne feste Dehachse Kaft F geft Punkt P an: Addee F zu geft Punkt zwe antpaallel Käfte F und F 3 t F F F3 chwepunkt Da F F3 0 änden F und F 3 den Bewegungszustand des Köpes ncht! F F P F 3, Kobnee Käfte n zwe Guppen: F Füht zu geadlng beschleungte Bewegung des chwepunktes F F 3 Blden Käftepaa, dass kene Beschleungung veusacht, da F F abe zu Dehoent bzgl. chwepunkt füht:, F 3 0 Wenn ene Kaft auf enen staen Köpe ncht n sene chwepunkt angeft, esultet dese n ene Dehoent bzgl. senes chwepunktes und ene Beschleungung des chwepunktes.

13 4.5. Rotatonsenege und äghetsoent Feste Dehachse A duch chepunkt entlang yeteachse des Köpes Rotatonsenege von : Ekn, Eot, v t E ot, v v v sn s A v 0 Gesate Rotatonsenege des Köpes: E ot N N, E ot d - Abstand d von Dehachse A äghetsoent : Rotatonsenege E ot : d Eot [] = kg [ t E ot ] = N 3

14 a) Bespel fü Beechnung von äghetsoenten: hoogene Vollzylnde = const., R Radus, h Höhe, - asse R z Dehachse A st Zylndeachse d dv t d dv V Volueneleent dv st Kesng t Radus, Dcke d, Höhe h: (dv entspcht Zylndesyete des Köpes) dv h dv hd V R 4 3 R dv h 0 d h 4 A t V h folgt R 4

15 äghetsoente 5

16 v b) Rollbewegung: Zylndeantel und hoogene Vollzylnde auf schefe Ebene R Vollzylnde: VZ Zylndeantel: Z R zusaengesetzte Bewegung: Rotaton t u chwepunkt + anslaton von t v z h v z 0 v 0 v s s s Enegeehaltungssatz: E E z h) E z 0 E z 0 E z 0 ( z 0) v (z) s R ges z z = h pot ( kn, ges kn, v ot E pot z 0 E z 0 ( z h) E, gh E kn des chwepunkts kn v v s z = 0 v gh v R Bedngung fü Rollen v ohne Rutschen: v v R gh v R (aus s R ) v gh R Vollzylnde ot E ot des staen Köpes 4, gh > v, gh v V 3 v - Bahngeschwndgket auf antelobefläche Exp.: Zylnde, Zylndeantel auf schefe Ebene 6

17 c) tenesche atz Poble: Feste Dehachse A geht ncht duch chwepunkt, abe A A äghetsoent A bzgl. Dehachse A: A R d a d d R A a A A d a d a d bzgl. a 0, da d t = 0 bzw. A A a tenesche atz 7

18 Bespel tenesche atz: Dünne tab t Dehachse A a tabende äghetsoent bzgl. : l l/ l/ tenesche atz: t a = l/ A a l l A 4 A l l A 3 8

19 4.6. Dehpuls und Bewegungsglechung des staen Köpes Feste Dehachse A duch chwepunkt entlang yeteachse des Köpes Beechne Koponente von Dehpuls des asseneleentes entlang bzw. Dehachse A : L p v L p L L p cos 90, z, z L p,,, z, v L L v sn, v, z, L L p L,z A v 0 0 : v, p F L N L N, z N, L d L 9

20 n Analoge egbt sch Dehoent auf staen Köpe (Kap. 3.3.): dl z dv,,, F N N dl, z d N, dl d d t Dehwnkel, Bewegungsglechung des staen Köpes d Wnkelgeschwndgket, d Wnkelbeschleungung wetehn glt: L E ot und Dehpulsehaltung be: 0 L const. 0

21

22 0 L const tuhl 0 tuhl Kesel tuhl 0 f f f f d Exp.: Dehpulsehaltung

23 Bewegungsglechung des staen Köpes - Anwendungen a) Dehschwngungen u feste Achse: osonspendel: Vedllung des Dahtes u Wnkel füht zu ücktebenden Dehoent D D Rchtoent des Dahtes [D ] = kg s - Bewegungsglechung: dl d d D d D entspcht Bewegungsglechung des 0 haonschen Oszllatos Lösung: sn t chwngungsdaue: Exp.: Dehschwngung, osonspendel 0 t D D 3

24 Dehtsch: a K Bestung von unbekannten äghetsoent von Köpe K t asse 0 - äghetsoent von leeen Dehtsch D Dektonsoent von Rückstellfede an Dehtsch A = + a - äghetsoent von Köpe K Abstand a von Dehachse (tenesche atz) A Gesattäghetsoent von Dehtsch und Köpe K: ges a 0 chwngungsdaue: D ges 0 a D 4 a 0 D D 4 f a 4 D 0 Ansteg: 4 D Exp.: Dehtsch a 4

25 b) Physkalsches Pendel: Fee Oszllaton enes hozontal aufgehängten Köpes unte Enfluss sene Gewchtskaft A Rücktebendes Dehoent: F g sn g g F g Bewegungsglechung: dl A d A d g sn d g sn 0 A sn d g 0 A entspcht Bewegungsglechung des haonschen Oszllatos Lösung: sn t 0 chwngungsdaue: t A g A g g Exp.: Veglech tabpendel und atheatsches Pendel t eduzete Pendellänge 5

26 Physkalsches Pendel und atheatsches Pendel t eduzete Pendellänge: atheatsches Pendel t eduzete Pendellänge l ed hat selbe chwngungsdaue we physkalsches Pendel ath phys l g ed A g g l ed A A Bespel: tab als physkalsches Pendel l l ed 3 l A l 3 Exp.: Veglech tabpendel und atheatsches Pendel t eduzete Pendellänge 6

27 c) Rollbewegung und Rebung: Rebungskaft F R nfolge de Haftebung F H st notwendg fü Rollbewegung Bedngung fü F R : FR FH H FN H g cos Rebungskaft F R füht zu Dehoent R FR und sot zu Ändeung des Dehpulses dl d nach Bewegungsglechung: d und Zunahe de Wnkelgeschwndgket 0 x F x R F N F R F x g sn Es egeben sch de Glechungen zu Bestung de zu Rollen ohne Rutschen notwendgen Rebungskaft F R und de Beschleungung des chwepunktes des staen Köpes d x d RF R Bewegungsglechung des staen Köpes d x Fx FR g sn F R Bewegungsglechung des chwepunktes des staen Köpes d x d R Bedngung fü Rollen ohne Rutschen 7

28 d) Rotatonsspektu zweatoge oleküle stae Rotato Bsp.: CO, NO, H, O, odell stae Rotato: konstante Bndungslänge 0 Rotatonsachse duch chwepunkt Exp.: Rotaton u fee Achsen (Quade, Zylnde) ) äghetsoent Atoe als P C äghetsoent: 0 = 0 = 0 O = chwepunkt: N N 0 eduzete asse: Bsp.: C 6 O 0 = 0.5 n 3 C 6 O = 0.5 n = kg = kg 8

29 9 ) Rotatonsenege L E ot Quantenechank: (Quantseung des Dehpulses) L t Dehpulsquantenzahl = 0,,,, E ot ot E, E E E 3 0, 0 0 E E, E 3, E 3 6 3, E E E 3) Rotatonsspektu: Bestung von und 0 aus Lnenabstand äqudstante Lnen Fequenzbeech: = GHz Hz 0 0 t = E = h

30 4.7. De Kesel Kesel stae Köpe, de u fee, ncht feste Achse otet L F g Käftefee Kesel Bedngung: Dehachse entlang yeteachse des Köpes chebe (Kesel) st chwepunkt untestützt und Koodnatenuspung n : 0 F 0 g dl 0 L const L L const Dehachse st aufest und Wnkelgeschwndgket konstant Exp.: käftefee Kesel 30

31 4.7.. Kesel t Dehoent - Päzesson Exp.: Kesel Rad t Achse dl Ncht oteendes Rad kppt u. Roteendes Rad päzedet, da 0 L F g p dl L Lsn L p L dl L z L cos Dehoent auf oteenden Köpe duch Gewchtskaft F g füht zu Ändeung dl senes Dehpulses entspechend Bewegungsglechung t dl L, und oteen u z Achse L dl 3

32 L z L cos const L Lsn dl dl L d Lsn d dl dl d Lsn Lsn p t Päzessonsgeschwndgket d p F sn g sn und L g g sn sn p g p Exp.: Päzesson Kesel, aufgehangenes Rad da Lsn p und L p p, L p L 3