Fachhochschule Bochum

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1 Fachhochschule Bochum PofDMan Senbeg PofDEckehad Mülle Skp zu Volesung Physk Tel fü Mechaonke, Elekoechnke, Infomake und Maschnenbaue Sand: Physkalsche Gößen und Enheen Begffe SI-Enheen 3 Schebwese physkalsche Gößen 3 Knemak 5 O und Bemekungen zu Vekoechnung 5 Geschwndgke und Beschleungung, Bemekungen zum Dffeenzeen 7 3 Beechnung des Os, Bemekungen zum Inegeen 4 Beechnung de Geschwndgke be gegebene Beschleungung 6 5 Kesbewegung, Wnkelgeschwndgke und Wnkelbeschleungung 8 6 Zusammenhänge zwschen Wnkelgeschwndgke, Wnkelbeschleungung, Radus, Geschwndgke und Beschleungung 3 Dynamk 4 3 Newonsche Aome und Impuls 4 3 Käfe 6 33 Impulsehalung 3 34 Dehmomen Glechgewchsbedngungen Dehmpuls und Dehmpulsehalung 36 4 Abe und Enege 38 4 Kaf und Weg als Usache de Abe, Skalapoduk 38 4 Abe be veändelche Kaf und ungeadlnge Veschebung 4 43 Lesung 4 44 Enege 4 45 Konsevave Käfe und poenelle Enege Enegeehalung be konsevaven und nchkonsevaven Käfen 46 5 Telchensyseme 49 5 Massenmelpunk 49 5 Egenschafen des Schwepunks 5 53 Enege von Telchensysemen 53 6 Sae Köpe 55 6 Tanslaons- und Roaonsbewegung 55 6 Dehmpuls des saen Köpes und Täghesmomen Enege de Roaonsbewegung sae Köpe Kesel und Päzesson 6 7 Aom- und Kenphysk 64 7 Dualsmus Welle-Telchen 64 7 Aufbau des Aoms Aufbau des Aomkens Kenspalung und Fuson Radoakvä Zefallsgesez Dossgößen und bologsche Wkung von Sahlung 79 Physk, FH Bochum, Sand

2 Physkalsche Gößen und Enheen Begffe Physkalsche Gesezmäßgkeen: mahemasche Zusammenhänge zwschen physkalschen Gößen De Mahemak s de Spache de Physk Flm: Zehn hoch Powes of Ten Apple: - Powes of Ten hp://mcomagnefsuedu/pme/java/scenceopcsu/powesof/ndehml Physkalsche Gößen: m Pnzp messbae Egenschafen von Objeken ode Sysemen Messen physkalsche Gößen: Veglech m bekanne Göße gleche Qualä zb Länge, Masse, eleksche Ladung Bespele: Meemaß Zollsock, Waage, Ampeemee, Themomee, Uh, Tachomee, Kalomee, Gege-Mülle-Zähloh Apple: - Zemessung m Pendel hp://wwwphynnueduw/java/pendulum/pendulumhml We ene physkalschen Göße: Poduk aus Zahlenwe und Enhe Enhe s de Göße, m de bem Messen veglchen wd, de Zahlenwe s das Egebns des Veglechs Bespele: Länge: l,79 sm Seemelen Fläche: A 57,3-7 b Ban Lesung: P 5 PS Pfedesäken Volumen: V gal Gallonen Masse: m,3 k Kaa Wämemenge: Q cal Kaloen Akvä: A,9 Bq Becqueel SI-Enheen Zu Veenfachung und Sandadseung snd Enheen nenaonal m SI-Sysem Sysème Inenaonal d'unés sandadse Es düfen, bs auf wenge Ausnahmen, nu dese Enheen und davon abgeleee vewende weden 4 Folen: SI-Enheen Fü paksche Zwecke abee man mesens m Nomalen Das snd epemenelle Realseungen de Bassenheen duch de saalchen Mess- und Echlaboaoen In Deuschland: Physkalsch-Technsche Bundesansal n Baunschweg nu de daf echen Zu Veenfachung de Schebwese füh man Vosäze zu Kennzechnung dezmale Velfache de Enheen en Ea 8 E Dez - d Physk, FH Bochum, Sand

3 3 Pea 5 P Zen - c Tea T Mll -3 m Gga 9 G Mko -6 µ Mega 6 M Nano -9 n Klo 3 k Pko - p Heko h Femo -5 f Deka da Ao -8 a In de Pas kommen of andee als SI-Enheen vo Zu Umechnung gb es enspechende Tabellen Folen: Enge Enheen De Umechnung efolg so, dass man fü de beeffende Enhe das Äquvalen n SI- Enheen ensez Bespele: A o,3 Woche m s 3,3 3,55 m s km 5 h 3 m 5 6 6s 5 3,6 m s cal 4,868 J 4,9 J g 6,8 cm kg m kg m ,8 6,8 6, kg 3 m 5 PS 5 735,498W 84, 6kW 3 Schebwese physkalsche Gößen Als Ingeneun bzw Ingeneu muss man sch be de Schebwese physkalsche und echnsche Gößen an Konvenonen halen, de de Lesbake und de Klahe denen Nch meh als ene Null hne dem Komma vo de esen von null veschedenen Zahl vewenden, also nch:,37 m sonden: 3,7-4 m ode,37-3 m Physk, FH Bochum, Sand

4 4 Nch meh als ve Sellen vo dem Komma vewenden, also auch,37 - m s akzepabel nch: 3745, W sonden:,37 6 W bzw, MW Nu SI-Enheen ode gebäuchlche Enheen vewenden zb km/h, cm, l, De Anzahl de Sellen, m de en Endegebns angegeben wd, häng von den Genaugkeen de Messung ab Des wd m Kapel Fehleechnung behandel Im Allgemenen genügen de sgnfkane Sellen, also nch: v 47, m/s sonden: 47,3 m/s Weee Sellen weden auf- bzw abgeunde bs 4 abgeunde, ab 5 aufgeunde Be den sgnfkanen Sellen zählen Nullen vo de esen von null veschedenen Zahl nch m De Angabe m,34 kg enhäl also de sgnfkane Sellen Achung: Fü Zwschenegebnsse kann es efodelch sen, ene höhee Genaugke zu vewenden, zb wenn sch das Endegebns als Dffeenz zwee Gößen egb E 3,47956 kj 3,47938 kj,88-4 kj,88 J Dahe echne man am besen zunächs m symbolschen Gößen Ha man de Fomel fü das Endegebns gefunden, echne man m de vollen Auflösung des Taschenechnes ode Compues und unde dann das Endegebns enspechend de Genaugke, bzw auf de Sellen Physk, FH Bochum, Sand

5 5 Knemak O und Bemekungen zu Vekoechnung W beachen zunächs Massenpunke: dealsee Köpe, deen gesame Masse n enem mahemaschen Punk veeng s En Massenpunk befnde sch ses an enem O Dese läss sch lech bescheben, wenn man en Koodnaensysem enfüh, zb en echwnklges und nomees kaesches Koodnaensysem z z De O s also endeug besmm duch de Angabe des Koodnaenpels, y, z y y Den Pfel, de am Uspung des Koodnaensysems begnn und am O ende, bezechne man als Veko y z Zu endeugen Beschebung enes Oes s also de Angabe de Koodnaen und des vewendeen Koodnaensysems efodelch Apple: - Fame of Refeence hp://wwwphynnueduw/nnujava/vewopcphp?7&hghlghfame+efeence De Begff Veko men fü uns ene gechee, dedmensonale Göße, m Gegensaz zu Zahl, de man als Skala ode skalae Göße bezechne Vekoen veenfachen de Schebwese vele physkalsche Zusammenhänge Man komm m ene Glechung aus, wo man sons fü jede Komponene ene geenne Glechung aufscheben müsse Es folgen enge Regeln fü den Umgang m Vekoen a und b seen zwe Vekoen Dann wd de Summe de beden Vekoen geblde als: a b a + b a + b a y + by a y + by b + a a z b z a z b + z De Summe zwee Vekoen egb sch duch Summeung de jewelgen Koodnaen Zechnesch egb sch de Summe, n dem man den Uspungspunk des zween Vekos an das Ende des esen Vekos ansez Man ehäl den Summenveko als Vebndung des Uspungspunks des esen m dem Endpunk des zween Vekos Physk, FH Bochum, Sand

6 6 a a b a + b b Apple: - Vekoaddon hp://wwwphynnueduw/java/veco/vecohml Se a en Veko und n ene Zahl, dann egb sch das Poduk aus n und a zu: a na na n a y na y a z na z Be de Mulplkaon m ene Zahl weden alle Komponenen m de Zahl mulplze Zechnesch ha de Veko na de gleche Rchung we a, s abe n-mal so lang Is n klene als null, s de Rchung von na engegengesez zu a a a, 5 a Seen a und b zwe Vekoen, dann wd de Dffeenz geblde als: a b a b a + b a y by b a a z b z Enspechend kann man de Dffeenz de Vekoen auch zechnesch konsueen Man fnde de Dffeenz abe auch, wenn man übeleg, dass de Dffeenzveko c a b dejenge Veko s, denn man zu b addeen muss, um a zu ehalen: c + b a b + b a a a c a b b b Physk, FH Bochum, Sand

7 7 De Dffeenzveko begnn am Endpunk von b und ende am Endpunk von a Als Beag des Vekos bezechne man sene Länge Se egb sch duch Anwendung des Sazes von Pyhagoas zu: + + y z De Beag enes Vekos wd duch de beden senkechen Sche gekennzechne Manchmal läss man zu Kennzechnung des Beags auch nu das Vekozechen weg De s abe gefählch, wel man den Beag dann m de endmensonalen Göße vewechseln kann De Beag enes Vekos s ses ene posve skalae Göße, de endmensonale Göße kann posv ode negav sen Geschwndgke und Beschleungung, Bemekungen zum Dffeenzeen Flm: -8 Consan Velocy Wenn den O enes Massenpunkes angb und sch de Massenpunk beweg, hängen sen Osveko und dam de Koodnaen von de Ze ab: y z De Vaable me seh dabe fü de Ze W beachen jez enen Köpe, de sch m Raum beweg z y Zum Zepunk se de Köpe be, zum Zepunk be E ha also de Secke zuückgeleg Man defne nun de: Mlee Geschwndgke: v Physk, FH Bochum, Sand De Enhe s m/s

8 8 Vesuch: Wagen auf Lufkssensch Geschwndgkesmessung Zu geomeschen Deuung de mleen Geschwndgke se de Oskomponene n - Rchung beache: O - α Ze De -Komponene de mleen Geschwndgke m Inevall zwschen und egb sch defnonsgemäß zu: v,, In dem oben gezechneen Deeck m de Vebndungslne zwschen den Oskomponenen und als Hypoenuse s des abe geade das Vehälns de beden Kaheen - und - Deses Vehälns bezechne man auch als Segung Man ennee sch daan, dass ene Segung von % be ene Saße bedeue, dass be m hozonale Secke en Höhenunesched von m zuückgeleg wd, m/ m, % Dese Segung s abe auch de Tangens des Wnkels α zwschen de Vebndungslne und de Paallelen zu Zeachse Man ehäl also: De mlee Geschwndgke m Zenevall von bs egb sch als Segung de Vebndungslne zwschen den Oen zum Zepunk und, bzw als Tangens des Wnkels zwschen de Vebndungslne und de Paallelen zu Zeachse duch Dabe s zu beachen, dass de Segung negav s, wenn klene s als In desem Fall s auch de Wnkel α negav Be de Beechnung de mleen Geschwndgke geh nu de Dffeenz de Osvekoen zu den Zeen und en Es spel also ga kene Rolle, welche Secke nzwschen zuückgeleg wude Ebensoweng mach de mlee Geschwndgke daübe ene Aussage, we goß de Geschwndgke zum Zepunk ode denn nun wklch gewesen s Genau des s abe of von Ineesse De mlee Geschwndgke wd ene um so bessee Näheung fü de asächlche, momenane Geschwndgke sen, je klene das beachee Zenevall s Be Beachung mme klenee Zenevalle ehäl man als Genzwe de -Komponene de momenanen Geschwndgke: Physk, FH Bochum, Sand

9 9 + v lm De Enhe s m/s Dese Genzwe wd als Ableung von an de Selle bezechne De Schebwese s: + d v lm & d d Den Vogang, aus de Ableung zu blden, nenn man dffeenzeen ode d ableen Man beechne also de mlee Geschwndgke m Zenevall zwschen und + und beache dann den Genzwe fü gegen null d Das Symbol seh als Abküzung fü den Genzwe des Dffeenzenquoenen; d und d d allen machen kenen Snn Man daf also auch kenesfalls ewa nach d auflösen! Im Dagamm de mleen Geschwndgke ehäl man de Momenangeschwndgke zum Zepunk als Segung de Tangene am O, bzw als Tangens des Wnkels zwschen de Tangene und de Paallelen zu Zeachse duch O α Tangene am O Ze Apples: - Ableung als Genzwe, ese und zwee Ableung hp://wwwmahe-onlnea/galee/dff/dffhml#ablgenz zwe Apples Beechne ode emel man auf dese Wese de momenanen Geschwndgkeskomponenen n -, y- und z-rchung, so ehäl man de Momenangeschwndgke: lm v lm lm y z y z d d dy d dz d d & d Physk, FH Bochum, Sand

10 Dabe wude de Geschwndgke zu Ze beache ansa we wee oben De Momenangeschwndgke läss sch auch als Genzwe des vekoellen Dffeenzenquoenen enfühen: v + lm De Ableung von Funkonen läss sch ech enfach beweksellgen, wenn man enge Regeln kenn De zunächs fü uns wchgsen weden he ohne Bewes angefüh: f se ene Poenzfunkon de Fom n, dann s: df d n n df f sn, dann s: cos d df f cos, dann s: sn d f e, dann s: df d e f und g seen zwe dffeenzebae Funkonen, dann s: d f + g d df d + dg d De Ableung ene Summe s glech de Summe de Ableungen f se ene dffeenzebae Funkon, c ene Konsane, dann s: d cf df c d d Konsanen können vo de Ableung gezogen weden f und g seen zwe dffeenzebae Funkonen, dann s: d fg dg df f + g d d d Podukegel g und f seen zwe dffeenzebae Funkonen, dann s: Physk, FH Bochum, Sand

11 df g df dg g d d d Keenegel Bespel: g ω + θ und f a sn, dann s de Ableung de Funkon f g a sn ω + θ glech: df g a cos ω + θ ω d Apple: - Ableungen veschedene Funkonen: hp://wwwwale-fendde/md/ableungenhm Nun zuück zu Knemak: Beweg sch de Köpe enlang ene Geaden, spch man von ene geadlngen Bewegung In desem Fall haben v und v ses de gleche Rchung Se snd abe a vom Beag he vescheden Is de Geschwndgke auch vom Beag he konsan, spch man von ene glechfömg geadlngen Bewegung In desem Fall snd mlee Geschwndgke und Momenangeschwndgke mme glech! Abgesehen vom Sondefall de glechfömg geadlngen Bewegung ände sch de Momenangeschwndgke m de Ze, zb be de Bewegung längs ene Kuve: v v v v v v Man defne nun de: Mlee Beschleungung: s m/s a v v v De Enhe Physk, FH Bochum, Sand

12 Vesuch: Wagen auf Lufkssensch Beschleungungsmessung Auch he wede sag de mlee Beschleungung weng übe de momenane Beschleungung zu enem gegebenen Zepunk aus Be Beachung mme klenee Zenevalle ehäl man als Genzwe de v dv d Momenanbeschleungung: a lm v& & d d s m/s De Enhe Be de geadlnng glechfömgen Bewegung s de Geschwndgke konsan und dahe de Beschleungung glech null! Vesuch: Vscope m Dehsch, Anzege von Geschwndgkes- und Beschleungungsveko 3 Beechnung des Os, Bemekungen zum Inegeen Ene Aufgabe de Knemak s es, aus gegebene Beschleungung de Geschwndgke, und aus gegebene Geschwndgke den O zu beechnen Is de Geschwndgke konsan, so kann man be bekanne Saposon den O zu Ze lech beechnen, denn aus de Defnon de mleen Geschwndgke v folg ja sofo fü den O zum Zepunk : + v In desem Fall snd ja v und v zu allen Zeen glech Is de Geschwndgke abe nch konsan, so kann man zunächs so un, als wenn se wengsens abschnswese konsan wäe Man el also das Zenevall zwschen und n laue Telnevalle auf, und nmm nnehalb de Telnevalle jewels ene konsane Geschwndgke an De Enfachhe halbe se he nu de -Komponene de Geschwndgke beache: Geschwndgke v Ze Physk, FH Bochum, Sand

13 3 Physk, FH Bochum, Sand Um de Vewechslung de Inevallgenze m de Zeachse zu vemeden, wd de Zeachse m bezechne ha nchs m ene Ableung zu un! De -Komponene des Oes zum Zepunk + egb sch nun näheungswese zu: v + + De O zum Zepunk + eechne sch näheungswese zu: v v v m + Duch Fofühung dese Rechnung ehäl man schleßlch fü den O zum Zepunk : + N v N gb de Anzahl de Inevalle de Göße an, n de das Inevall von bs aufgeel wude Im obgen Bespel s N Geomesch läss sch de Summe N v deuen als Summe de Flächen de Rechecke zwschen den oen Lnen m Bld oben und de -Achse, wobe de Flächen unehalb de -Achse abgezogen weden müssen! Da w von ene sückwese konsanen Geschwndgke ausgegangen snd, was ja dr ga nch smm, s das Egebns de Osbeechnung auch nch eak Es wd abe um so besse m de Wklchke übeensmmen, je klene de Zenevalle snd, n de das Zenevall zwschen und aufgeel wd Eake Übeensmmung egb sch abe nu dann, wenn de Genzwe fü unendlch klene Zenevalle beache wd: + lm N v Apple: 3- Numesche Inegaon: hp://wwwmahemakch/anwendungenmah/numn/ Den Genzwe bezechne man auch als Inegal von v n den Genzen von bs : ' ' lm N d v v

14 4 Das Inegalzechen s en slsees S und seh fü Summe, aus deen Genzwe es ja hevogeh De Zahlen übe- und unehalb des Inegalzechens bezechne man als Inegaonsgenzen Das d seh als Enneung fü das de Summe Bem Inegal handel es sch also um ene Abküzung fü den Genzwe ene ganz besmmen Summe Das n v und d seh fü de Vaable de Funkon Es könne do auch en ganz andees Symbol sehen, zb * ode m De Name de Vaablen spel fü das Inegal ga kene Rolle Geomesch kann man das Inegal deuen als Fläche une de Kuve v zwschen den Genzen und, wobe de Flächen unehalb de -Achse wedeum abgezogen weden müssen De -Komponene des Oes beechne sch also aus de -Komponene de Geschwndgke gemäß: + v ' d' Fü de Momenangeschwndgke n -Rchung egab sch abe: d v d Sez man nun das oben ehalene en, so ehäl man: d v + v ' d' s abe ene Konsane und de Ableung null d Som egb sch: d v v ' d' d Das Inegal v ' d' s also ene Funkon von, de nach abgelee v egb Jede Funkon von, de nach abgelee v egb, nenn man Sammfunkon von v Davon gb es unendlch vele, denn man kann ja mme ene Konsane addeen, ohne dass sch ewas am We de Ableung, also von v ände Wenn Fv jez ene belebge Sammfunkon von v s, ehäl man das Inegal Physk, FH Bochum, Sand v ' d' n Abhänggke von duch de folgende Übelegung: Das Inegal als Funkon von und de Sammfunkon Fv können sch nu duch ene Konsane c unescheden Is de obee Inegaonsgenze glech, so muss das Inegal null egeben de zuückgelege Weg nnehalb de Zedffeenz s naülch null, also muss gelen: v ' d' Fv + c

15 5 Daaus folg fü de Konsane c: c Fv Als We des Inegals n Abhänggke von egb sch also: v ' d' Fv Fv In Woen bedeue des: De We enes Inegals egb sch als Dffeenz de Sammfunkon an de obeen Inegaonsgenze und de Sammfunkon an de uneen Inegaonsgenze Fü den pakschen Gebauch kann man also auf veschedene Aen negeen : Man lös das Inegal schwese, ndem man n klenen Inevallen de Funkon jewels N als konsan anseh und beechne de Summe v Des bezechne man als numesche Inegaon Man mss de Fläche une de Kuve, ndem man zb Mllmeepape daübe leg und de Quadamllmee auszähl, ode ndem man de Kuve ausschnede und m ene genauen Waage weg, ode ndem man de Fläche m ene glechmäßg dcken Schch adoakven Maeals beleg und de Akvä mss, ode Man such de Sammfunkon und blde dann de Dffeenz dese Funkon an Inegaonsobe- und unegenze Auf Anheb gelng das Fnden de Sammfunkon abe nu be ganz enfachen Funkonen Fü komplzeee Inegale lefe de Mahemak Mehoden zu Emlung de Sammfunkon De schese Weg s abe, n enem mahemaschen Handbuch nachzusehen, zb dem Taschenbuch Mahemasche Fomeln von Hans-Jochen Basch, Fachbuchvelag Lepzg, ca 5,- Euo Ohne Bewes seen he noch enge wchge Regeln fü das Inegeen genann Duch Beachung des Genzwes de Summe ode anhand de gafschen Inepeaon des Inegals kann man sch de Zusammenhänge abe lech plausbel machen: f und g seen zwe negebae Funkonen, dann gl: f ' + g ' d' f ' d' + g ' d' Das Inegal de Summe s glech de Summe de Inegale f se ene negebae Funkon und c ene Konsane, dann gl: cf ' d' c f ' d' Physk, FH Bochum, Sand

16 6 Physk, FH Bochum, Sand Konsanen können vo das Inegal gezogen weden Als Sondefall de Inegaon enes Polynoms wd häufg gebauch: d ' Das Inegal übe de s glech de Dffeenz de Inegaonsgenzen f se ene negebae Funkon, lege zwschen und, dann gl: + d f d f d f ' ' ' ' ' ' Ene Funkon kann sückwese nege weden Genauso we de -Komponene lassen sch naülch auch de y- und z-komponenen beechnen, so dass sch fü den Osveko egb: z z y y d v d v d v ' ' ' ' ' ' Des scheb man abgeküz als: + d v ' ' Be konsane Geschwndgke kann man v vo das Inegal zehen, und ehäl dam ' v d v + + Be nchkonsane Geschwndgke muss de Inegaon fü alle de Koodnaen ausgefüh weden 4 Beechnung de Geschwndgke be gegebene Beschleungung Is de Beschleungung als Funkon de Ze gegeben, kann man wedeum zunächs das gesame Zenevall zwschen und n Telnevalle aufelen, n denen man de Beschleungung als konsan anseh De Geschwndgke zum Zepunk muss gegeben sen De Enfachhe halbe wd nu de -Komponene beache Dann egb sch de - Komponene de Geschwndgke zum Zepunk + näheungswese zu:

17 7 Physk, FH Bochum, Sand a v v + + Zum Zepunk + ehäl man: a a v a v v Schleßlch egb sch fü de Geschwndgke zum Zepunk : + N a v v De Übeensmmung m de asächlchen Geschwndgke wd um so göße sen, je klene de Zenevalle gewähl weden De eake Geschwndgke ehäl man als Genzwe fü unendlch klene Zenevalle: + lm N a v v Es wd also, we be de Emlung des Oes be gegebene Geschwndgke, de Genzwe ene Summe geblde E wd wedeum abgeküz als Inegal übe a n den Genzen von bs bezechne + d a v v ' ' Dese Inegaon muss man fü alle de Komponenen duchfühen Abgeküz scheb man dafü: + d a v v ' ' Dabe s ' a de Momenanbeschleungung zu Ze Be konsane Beschleungung kann man de Beschleungung vo das Inegal zehen: ' v a v d a v + + Beechne man dam wedeum den O, so ehäl man: [ ] ' ' ' ' v a d v a d v M den Anfangsbedngungen, v und ehäl man

18 8 a und v a Wähl man das Koodnaensysem so, dass de konsane Beschleungung n -Rchung zeg, so ehäl man de bekannen abe nu be konsane Beschleungung gülgen Fomeln a und v a Bespel: Fee Fall Be nchkonsane Beschleungung muss man de Inegaon koodnaenwese duchfühen: a ' d' + v v bzw enspechend fü v y und v z 5 Kesbewegung, Wnkelgeschwndgke und Wnkelbeschleungung Vesuch: Kesbewegung am Fahadkesel Be de Kesbewegung handel es sch um enen Sondefall de Bewegung enlang ene Kuve Als snnvolle Koodnae füh man den Dehwnkel ϕ en ϕ E s m Bogenmaß gegeben als ϕ Länge des von den Wnkelschenkeln engeschlossenen Kesbogens Radus des Keses De Enhe des Wnkels s und wd als ad bezechne s ϕ ϕ s De Vollkes ha also m Bogenmaß den We π Daaus egb sch de Umechnungsfomel: ϕ Bogen π π ϕ Bogen ϕ Gad ϕ 36 8 Gad Flm: Radan dsc 5- Physk, FH Bochum, Sand

19 9 Ohne Bewes se he genann: Fü klene Wnkel ϕ Im Bogenmaß gl: sn ϕ an ϕ ϕ Was m klene Wnkel gemen s, folg aus de Genaugkesfodeung De folgende Tabelle mag enen Anhalspunk lefen: Wnkel n Gad Wnkel n sn ϕ an ϕ Bogenmaß 3 o,54,5,578 o,75,74,75 3 o,54,53,54 De Angabe enes Wnkels s nu dann endeug, wenn auch angegeben wd, um welche Achse und n welchem Dehsnn gedeh wd De Wnkel s abe kene vekoelle Göße, da de Addon von Wnkeln nch kommuav s, dh α + β β + α, wovon man sch lech übezeugen kann, wenn man zwe Dehungen um jewels 9 um zwe senkech aufenande sehende Achsen beache Wenn de Massenpunk nun ene Kesbewegung vollfüh, ände sch de Wnkel sändg Man defne nun analog zu Tanslaonsbewegung ene momenane Wnkelgeschwndgke: ω dϕ d ϕ& De Enhe s /s ad/s De Wnkelgeschwndgke odne man enen Veko zu, dessen Beag glech ω s, dessen Rchung de de Dehachse s und dessen Oeneung so s, dass de Dehung n Rchung des Vekos m ene Rechsschaube efolg α ω ϕ De Veko ω seh also senkech auf de Ebene, n de sch de Massenpunk beweg Be Roaon m konsane Wnkelgeschwndgke ände sch ω nch Efolg ene Kesbewegung m konsane Wnkelgeschwndgke, so gl fü de Peodendaue T ene vollsändgen Kesbewegung T /f f: Fequenz Som gl fü den Beag de Wnkelgeschwndgke: Physk, FH Bochum, Sand

20 dϕ π ω π d T f Analog zu Beschleungung defne man de dω momenane Wnkelbeschleungung: α d ω & De Enhe s ad/s /s De Wnkelbeschleungung ha be de Kesbewegung also auch de Rchung de Dehachse Be de Dehbewegung gelen auch de zu Tanslaon analogen Bezehungen: ϕ ϕ + ω ' d' bzw ω ω + α ' d' 6 Zusammenhänge zwschen Wnkelgeschwndgke, Wnkelbeschleungung, Radus, Geschwndgke und Beschleungung ω α v a n s ϕ De Veko de Geschwndgke s angenal zu Kesbahn, also senkech auf und ω Flm: Ccle wh Gap 5-4 und Spnnng Dsc wh Wae 5-6 Fü den Wnkel ϕ gl: s ϕ Also wd de Wnkelgeschwndgke zu: dϕ ds ω v Es s also: v ω d d Des s ene Bezehung zwschen den Beägen von Geschwndgke, Wnkelgeschwndgke und Radusveko Fü ene enspechende Bezehung zwschen den vekoellen Gößen muss ene weee Veknüpfung zwschen Vekoen engefüh weden Physk, FH Bochum, Sand

21 Vekopoduk, Keuzpoduk Das Veko- ode Keuzpoduk s ene Veknüpfung zwschen zwe Vekoen, de als Egebns wede enen Veko lefe dahe de Name Vekopoduk De Veknüpfung wd duch en Keuz gekennzechne dahe de alenave Name Keuzpoduk: a b c De Veko c ha nun folgende Egenschafen: c seh senkech auf a und c seh senkech auf b a b, und c blden en Rechssysem, dh, wenn man auf dem küzesen Weg von a nach b deh, muss man ene Rechsschaube n Rchung c schauben Man kann als Hlfe auch de Reche-Hand-Regel vewenden: - Daumen zeg n Rchung a c a b - Zegefnge zeg n Rchung b - Dann zeg de Melfnge n Rchung c 3 Fü den Beag von c gl: c a b a b snϕ Dabe s ϕ de Wnkel, den de Vekoen a und b enschleßen, und de mme klene ode glech 8 o s Täg man de Vekoen a und b n ene Ebene auf, so kann man aus hnen en Paallelogamm blden: b ϕ h a Beechne man de Fläche des duch a und b gebldeen Paallelogamms gemäß: Physk, FH Bochum, Sand

22 A a h zwemal de Fläche des Deecks ½ Gundfläche mal Höhe, und beückschg, dass sn ϕ A a b sn ϕ a b h b, so ehäl man: De Beag des Vekopoduks egb sch also als Fläche des duch de Vekoen aufgespannen Paallelogamms Zel de Übelegung wa es, ene Veknüpfung fü de vekoellen Gößen O, Geschwndgke und Wnkelgeschwndgke zu fnden Es wd nun behaupe, dass v ω de gesuche Veknüpfung s v seh senkech auf de Wnkelgeschwndgke ω wel de Geschwndgke n de Ebene de Kesbewegung leg, und ω daauf senkech seh und senkech auf denn de Geschwndgke s angenal ω, und v blden en Rechssysem, we man sch anhand de obgen Zechnung übezeugen kann 3 v v w sn π w, we es ja auch sen muss Be de glechfömgen Kesbewegung ω cons gl fü de Beschleungung: dv d a ω ω v ω ω d d Hebe wude voausgesez, dass man fü de Ableung des Keuzpoduks snngemäß de Podukegel vewenden kann Da a senkech zu ω und zu v s, muss a paallel zu sen Im Fall de glechfömgen Kesbewegung s de Beschleungung a also paallel zu auf de Dehachse zu geche Man nenn dese Beschleungung dahe Zenpealbeschleungung ode Nomalbeschleungung Fü den Beag gl: a v a ω ω v ω und sehen senkech aufenande Apple: 6- Ccula Moon hp://ddakkphyskunwuezbugde/~pkahme/nnujava/cculamoon/ccula3d_ehml Be de nch glechfömgen Kesbewegung muss be de Emlung de Beschleungung auch ω m abgelee weden: Physk, FH Bochum, Sand

23 3 dv d dω d a ω + ω α + ω v d d d d a a n a s paallel zu Geschwndgke und dam zu Tangene und wd als Tangenalbeschleungung bezechne Be de Kesbewegung een also zwe Beschleungungen auf: De Nomalbeschleungung ode Zenpealbeschleungung s auf das Zenum de Dehbewegung hn geche Se veände den Beag de Geschwndgke nch, da se senkech auf de Geschwndgke seh De Nomal- ode Zenpealbeschleungung bewk abe, dass de Köpe auf de Kesbahn bleb De Tangenalbeschleungung ha de Rchung de Geschwndgke und bewk ene Veändeung des Beags de Geschwndgke Se dann auf, wenn sch de Wnkelgeschwndgke ände, also ene Wnkelbeschleungung wk Physk, FH Bochum, Sand

24 4 3 Dynamk 3 Newonsche Aome und Impuls De Dynamk befass sch m den Usachen de Bewegung Aus Efahung weß man, dass en uhende Köpe n desem Zusand veha, sofen e nch beenfluss wd Vemede man de Rebung, zb duch Bewegung auf enem Lufkssensch, so veha auch en m konsane Geschwndgke bewege Köpe ohne weeen Enfluss n desem Zusand Flme: - Shfed A Tack Inea -5 Tablecloh Jek -6 Eggs and Pzza Pan Kaf: De Enfluss, de enen Köpe veanlass, senen Ruhezusand ode senen Zusand konsane Geschwndgke zu veänden Dam kann das Newonsche Aom fomule weden: Jede Köpe m konsane Masse m veha m Zusand de Ruhe ode de glechfömg geadlngen Bewegung, falls e nch duch äußee Käfe F gezwungen wd, desen Zusand zu änden Ode: Wenn m cons und F, folg, dass v cons De Efahung leh, dass zu Ändeung de Geschwndgke, also zu Beschleungung enes Köpes, ene um so gößee Kaf efodelch s, je göße de Masse des Köpes s Weehn muss de Kaf um so göße sen, je göße de Beschleungung s und de Beschleungung efolg n Rchung de Kaf Flm: -4 Foam Rock Vesuch: Beschleunge Wagen auf Schene be konsane Kaf Es gl also: a ~ F und a ~ m Dam gl abe auch F ~ m a Man defne nun de Enhe de Kaf so, dass de Popoonaläskonsane wd Dam kann nun das Newonsche Aom be konsane Masse fomule weden: dv F m a m Des s glechzeg de Defnonsglechung de Kaf De Enhe de d m F kg und wd als Newon N bezechne s Kaf egb sch daaus zu [ ] Physk, FH Bochum, Sand

25 5 Be konsane Masse m kann man de Kaf auch scheben als: dv d mv F m d d Das Poduk mv wd als Impuls bezechne und m dem Symbol p gekennzechne De m Enhe des Impulses s [ p ] kg De Kaf egb sch som m Fall konsane Masse als s Ableung des Impulses nach de Ze Tasächlch gl des auch fü den Fall, dass de Masse nch konsan s! Daaus egb sch de allgemene Fomuleung des Newonschen Aoms: dp F d Flm: 5-9 Egg n Shee Of komm es vo, dass an enem Köpe mehee Käfe angefen Fole: Mann m Schlen Es gl nun das Übelageungsgesez: Gefen an enem Köpe mehee Käfe Bespel: F F an, so addeen sch de Käfe we Vekoen F 3 F F ges F+ F+ F3 Apple: 3- Addon von Käfen hp://wwwwale-fendde/phd/eskafhm Bespele fü Käfe Gewchskaf Schwekaf Fedekaf Aufebskaf Rebungskaf Eleksche ode magnesche Kaf Kenkaf Dück man m de Hand auf ene fese Unelage, so spü man ene Gegenkaf De allgemene Fomuleung deses Zusammenhangs s das 3 Newonsche Aom: Physk, FH Bochum, Sand

26 6 Üb en Köpe auf enen Köpe ene Kaf F aus, so üb de Köpe auf den Köpe ene Gegenkaf F F aus m F F m Kaf und Gegenkaf gefen also an veschedenen Köpen an Fole: Pfed und Kaen Flme: -9 Reacon Gldes Momenum Consevaon -4 Fe Engushe Wagon 3 Käfe Bespele fü Käfe snd: Gewchskaf: Kaf, de de Ede ode en andee Hmmelsköpe auf enen Köpe ausüb mg g : F g Edbeschleungung 9,8 m/s Im feen Fall wk auf enen Köpe m Schweefeld de Ede also de Beschleungung: a F g mg m m g Be Abwesenhe weee Käfe zb Rebungskäfe fallen alle Köpe glech schnell Flm: -4 Gunea and Feahe Fedekaf Flm: 8- Hooke s Law F De Auslenkung de Fede wd endmensonal beache, dahe kann das Vekozechen weggelassen weden F D D: Fedekonsane De Kaf s engegengesez popoonal zu Auslenkung Hooke'sches Gesez De Popoonaläskonsane heß Fedekonsane Enhe: N/m kg/s Physk, FH Bochum, Sand

27 7 Fedekäfe snd n de Nau we vebee Das Hooke'sche Gesez läß sch fas mme be nch zu goßen Auslenkungen anwenden Fole: Elassches Fesköpemodell Nomal- und Tangenalkaf be de Kesbewegung ω v F α a n F n De Nomal- ode Zenpealbeschleungung wd duch ene Nomal- ode Zenpealkaf F m hevogeufen, de Tangenalbeschleungung duch ene Tangenalkaf F ma n a n Rebungskäfe Dese Käfe een auf, wenn Köpe gegenenande beweg weden Se wken de bewegenden Kaf engegen, "bemsen" also de Bewegung Vesuch: Holzkloz m Fedewaage, Bewegung m konsane Geschwndgke De Rebungskäfe snd abhängg von de Maealkombnaon, dh davon, welche Maealen anenande eben Snd Gase beelg, zb be de Bewegung enes Flugzeugs n de Luf, spch man von Gasebung Be Bewegungen n Flüssgkeen von Flüssgkesebung W beachen zunächs de Rebung zwschen fesen Köpen, de Fesköpeebung: F K F F : bewegende Kaf F N : Nomalkaf F : Rebungskaf F N De Köpe K dück m de Nomalkaf Kaf senkech auf de Unelage seh Be klene Kaf F wd sch de Köpe nch bewegen F N auf de Unelage Nomalkaf heß, dass de Physk, FH Bochum, Sand

28 8 Vesuch: Holzkloz m Fedewaage, Hafebung Des kann nach dem Newonschen Gesez nu dann sen, wenn de Gesamkaf null s De Gewchskaf wd duch ene Kaf kompense, de de Unelage auf den Köpe ausüb Es muss dahe de Rebungskaf genauso engegengesez so goß sen we de bewegende Kaf: F F fü klene Käfe F Dese Rebungskaf wd Hafebungskaf F H genann Se s paallel zu Unelage Falls de bewegende Kaf F nch paallel zu Unelage geche s, s de Hafebungskaf genau engegengesez so goß we de Komponene de Kaf paallel zu Unelage Ehöh man de bewegende Kaf F übe ene gewsse Genze, so sez sch de Köpe n Bewegung Dese Genze s duch de mamale Hafebungskaf gegeben Epemenell fnde man den Zusammenhang: F H µ F, ma H n µ H wd Hafebungszahl ode Hafebungskoeffzen genann De mamale Hafebungskaf häng nch von de Auflagefläche und de Geschwndgke des Köpes ab! Vesuch: Holzkloz m Fedewaage und Gewch: Haf- und Gleebung Flm: 3-4 Wegh Dependence of Fcon Neg man de Ebene m dem Köpe um enen Wnkel α und läss nu de Schwekaf wken, egb sch ene elegane Möglchke, den Hafebungskoeffzenen zu besmmen Man such genau den Wnkel α Gl, be dem de Köpe sch geade noch nch beweg Dann wk de mamale Hafebungskaf F H, ma F H,ma F g : Schwekaf F N F α Gl F g α Gl F N : Nomalkaf F : Tangenalkaf F H,ma : ma Hafebungskaf Auf den Köpe wk de Schwekaf mg, de auf den Melpunk de Ede geche s De Edanzehungskaf läss sch als Summe de Nomalkaf Unelage, und de Tangenalkaf F g F, paallel zu Unelage, scheben: F N, senkech auf de Physk, FH Bochum, Sand

29 9 F g mg F + F N De Wnkel α Gl fnde sch zwschen gl: F F N g F N und cos α Gl, also: F F cos α mg cos α N g Physk, FH Bochum, Sand F g wede In desem echwnklgen Deeck De Tangenalkaf vesuch, den Köpe de Ebene heabzubewegen Se wd auch als Hangabebskaf bezechne Fü dese Kaf gl: F F g sn α Gl, also: F F g sn α Gl mg sn α Gl Be dem Wnkel α Gl, wenn sch de Köpe geade noch nch beweg, müssen de Tangenalkaf als bewegende Kaf und de mamale Hafebungskaf geade engegengesez glech sen: F mg sn α µ F µ Gl H N H mg cos α Gl Gl Daaus folg fü den Hafebungskoeffzenen: sn α Gl µ H an α Gl cos α Gl De Hafebungskoeffzen egb sch also als Tangens des Wnkels, be dem de Köpe geade noch nch usch We man de Glechung ennmm, häng dese Wnkel wede von de Auflagefläche, noch von de Masse des Köpes ab Ende des Bespels Schefe Ebene Flm: 3-5 Suface Dependence of Fcon Übeseg de bewegende Kaf de mamale Hafebungskaf, so sez sch de Köpe n Bewegung Apple: 3- Schefe Ebene hp://wwwwale-fendde/phd/schefeebenehm Alledngs wk auch jez ene Rebungskaf, de de Bewegung des Köpes hemm, so dass gl: F+ F ma Newonsches Aom, ode, wenn F paallel zu Unelage s: F F ma Dese Rebungskaf wd Gleebungskaf F Gl genann Se s paallel zu Komponene de bewegenden Kaf n de Ebene de Unelage und dam paallel zu Geschwndgke Epemenell fnde man fü de Gleebungskaf den Gl

30 3 Zusammenhang: F Gl µ F G n µ G wd Gleebungskoeffzen ode Gleebungszahl genann De Gleebungskaf häng, ebenso we de mamale Hafebungskaf, nch von de Auflagefläche und de Geschwndgke ab Flm: 3-3 Aea Dependence of Fcon Gleebungs- und Hafebungskoeffzen snd Maealkonsanen Se hängen von de Maealpaaung und de Obeflächenbeschaffenhe ab Im allgemenen s de Hafebungskoeffzen ewas göße als de Gleebungskoeffzen Fole: Rebungszahlen Flm: 3- Sac vs Sldng Fcon Apple: 3- Rebungskaf hp://jeseyuoegonedu/vlab/knecenegy/ndehml Auch de Rebungskaf bem Abollen enes Rades auf ene Unelage Rollebungskaf s be klenen Geschwndgkeen näheungswese popoonal zu Nomalkaf Es gl: F oll µ F µ : Rollebungszahl ode Rollebungskoeffzen n De Rollebungskoeffzen häng von de Maealpaaung, de Vefomung des Rades und des Bodens, dem Radduchmesse und den Rebungsvehälnssen n de Radnabe ab Be Esenbahnäden s µ,, be Saßenfahzeugen s µ mndesens um den Fako göße De beschebenen Rebungsgeseze gelen fü de Rebung zwschen Fesköpen Snd Flüssgkeen ode Gase an de Rebung beelg, gl mes: F Gl ~ v ode Aufebskaf F Gl ~ v De Aufebskaf wk auf Köpe n Flüssgkeen und Gasen, de sch n enem Schweefeld befnden, also ewa auf Köpe n de Luf ode m Wasse an de Edobefläche Vesuch: Kaessche Tauche W beachen enen Quade m Queschnsfläche A Q und Länge l, de sch auf de Edobefläche n ene Flüssgke de Dche ρ befnde Physk, FH Bochum, Sand

31 3 Flüssgkesobefläche F oben h A Q l h In enem Gas ode ene Flüssgke auf de Edobefläche gl de Duck p: F s F unen F s F p ρgh F: Kaf auf de Fläche A A ρ: Dche des Gases bzw de Flüssgke h: Höhe de Gas- bzw de Flüssgkessäule De selchen Käfe kompenseen sch geade paawese, se spelen also fü den Aufeb kene Rolle Auf de obee Fläche wk de Kaf: ρ, auf de unee Fläche de Kaf: Foben gh A Q ρ Funen gh A Q Bede Käfe snd engegengesez geche De Beag de Gesamkaf egb sch also als Dffeenz: F F F ρ ga h h ρga l ρgv m g, A unen oben Q Q m m Fl ρv als Masse de vom Köpe vedängen Flüssgke m Fl g s abe geade glech de Gewchskaf auf de vom Köpe vedänge Flüssgke De glechen Übelegungen effen auch auf Gase zu Gase und Flüssgkeen fass man une dem Begff Flude zusammen Es gl also: De Aufebskaf s engegengesez glech de Gewchskaf auf das vom Köpe vedänge Flud Be Schffen auf de Wasseobefläche s de Aufebskaf geade so goß, dass de Summe aus Schwekaf und Aufebskaf null egb Be Heßlufballons n de Aufsegsphase s de Aufebskaf göße als de Schwekaf Schenkäfe / Tägheskäfe Bshe wuden alle Vogänge aus enem uhenden Bezugssysem heaus beache Begb man sch n en beschleunges Bezugssysem, so een zusäzlch Schen- ode Tägheskäfe auf Wenn man be konsane Geschwndgke m enem Bus fäh, wken kene Käfe n Fahchung Nun bems de Bus ab Wenn kene Kaf auf den Passage wk, wd e sch Physk, FH Bochum, Sand Fl

32 3 m konsane Geschwndgke wee bewegen Newon sches Aom Relav zum Bus wd e abe beschleung Im beschleungen Bezugssysem des Buses wd man also auf ene beschleungende Kaf schleßen, de m Momen des Bemsens auf den Passage wk En weees Bespel: a Es se en beschleungendes Auo beache Auf den Fahe wk ene Beschleungung a und dam ene Kaf F ma n Rchung de Beschleungung In senem beschleungen Bezugssysem Auo befnde sch de Fahe abe n Ruhe In desem Bezugssysem muss also auf den Fahe ene weee Kaf F ' wken, so dass de Gesamkaf null s: F + F' Fü de Göße dese Kaf fnde man: F' ma Se s also de Beschleungung engegengeche und dück den Fahe n den Sz Da dese Kaf nu m beschleungen Sysem auf, bezechne man se als Schen- ode Tägheskaf Schen- ode Tägheskäfe haben kene Gegenkäfe! En oeendes Bezugssysem sell ebenfalls en beschleunges Bezugssysem da Auch he s de Schenkaf de Beschleungung engegengeche De Nomal- ode Zenpealkaf, de auf das Zenum de Roaonsbewegung zeg, enspch also ene engegengesez gechee Kaf, de Zenfugalkaf Se dück zb den Fahe enes Auos n de Kuve nach außen ode de Mlch an den Außenand de Zenfuge Ene weee Schenkaf s de Cools-Kaf be oeenden Bezugssysemen Se beäg F mv ω c v s de Geschwndgke m oeenden Sysem Fole: Cools-Kaf Flm: 6-4 Cools Effec 6-3 Foucaul-Pendulum 33 Impulsehalung Es seen zwe Köpe beache, de gegenseg Käfe aufenande ausüben Weee Käfe, genann äußee Käfe, snd nch m Spel m F F m Physk, FH Bochum, Sand

33 33 Das de Newonsche Aom sag: F F Nach dem zween Newonschen Aom wa abe: dp d mv F, also wd: d d F d d d m v d mv F Des läss sch scheben als: d d + v Daaus folg abe, dass mv m mv + mv p + p p ges cons Impulsehalungssaz fü zwe Köpe Fü zwe Köpe, be denen nu Käfe zwschen den Köpen wken nu nnee, kene äußeen Käfe, bleb de Summe de Impulse konsan Apple: 33- Impulsehalung hp://wwwschulphyskde/java/physle/apples/sosshml Allgemen gl fü N Köpe ohne äußee Käfe: N m N v p pges cons Impulsehalungssaz In enem Sysem ohne äußee Käfe bleb de Gesammpuls als Summe alle Impulse konsan Flm: 5-5 Hgh Bounce Da de Gesammpuls de vekoelle Summe alle Impulse s, kann de Impuls enes Köpes duchaus göße als de Gesammpuls sen! 34 Dehmomen Es se en sae Köpe beache, de dehba gelage s Man lasse ene Kaf F am O wken Vesuch: Dehba gelagees Rad m Fedewaage Physk, FH Bochum, Sand

34 34 M F F Epemenell fnde man, dass de "Dehwkung", also de Wnkelbeschleungung, abhäng von dem Beag de Kaf F, dem Wnkel zwschen F und, sowe dem Absand de Kaf von de Dehachse ϕ Als Maß fü de Dehwkung Wnkelbeschleungung de Kaf füh man das Dehmomen M en Aus M ~ F, M ~ snϕ und M ~ folg: M F sn ϕ F De Enhe des Dehmomens s das Newonmee Nm Da en Dehmomen ene Dehbewegung hevouf, s es snnvoll, hm als Veko de Rchung de Dehachse zu geben M F Des s de vekoelle Fom de Defnon des Dehmomens De Oeneung des Dehmpulses s so, dass de Dehung n Rchung von M ene Rechsschaube dasell Sell de Daumen de echen Hand de Rchung des Dehmomens da, so efolg de Dehung n Rchung de Fnge Analog zum Übelageungsgesez de Käfe gl das Übelageungsgesez fü Dehmomene: Gefen mehee Käfe an enem Köpe an, so addeen sch de Dehmomene we Vekoen Andes als be de Summenbldung de Käfe komm es be de Emlung de Dehmomene seh wohl auf den O an, an dem de Kaf angef Es s also nch zulässg, es de Summe de Käfe zu beechnen und daaus dann das Dehmomen Fü jede enzelne Kaf muss das Dehmomen emel weden, und daaus dann de vekoelle Summe geblde weden Apple: 34- hp://wwwpnun-kelde/ab_physk/dehmomene/kap_hml 35 Glechgewchsbedngungen Wann s en Köpe n Ruhe? Offenschlch muss de Gesamkaf null sen, denn sons gl nach dem Newonschen Aom: F ma Andeeses ech dese Bedngung nch aus Dafü se folgende Anodnung beache: F De Summe de Käfe s null Das Gesam-Dehmomen s: Physk, FH Bochum, Sand M F + F F, also vescheden von null

35 35 F De Köpe wd sch also dehen Som wd de Glechgewchsbedngung: m n F M j j En Köpe s n Ruhe, wenn de Summe alle Käfe null s und de Summe alle Dehmomene null s Flm: 4-4 Balancng Mee Sck Vesuch: Balanceen enes Meemaßsabs Man chaakese nun enen Glechgewchszusand danach, we sch das Sysem be klenen Abwechungen vom Glechgewchszusand vehäl Sables Glechgewch: ene klene Abwechung vom Glechgewchszusand füh zu Käfen ode Dehmomenen, de das Sysem wede n Rchung des Glechgewchszusands bewegen Bem Volegen von Rebung nmm das Sysem nach enge Ze wede den Glechgewchszusand en F Sables Glechgewch Lables Glechgewch: ene klene Abwechung vom Glechgewchszusand füh zu Käfen ode Dehmomenen, de das Sysem vom Glechgewchszusand weg bewegen F Lables Glechgewch Indffeenes Glechgewch: ene klene Auslenkung bewk kene Ändeung des Glechgewchszusands Indffeenes Glechgewch Physk, FH Bochum, Sand

36 36 36 Dehmpuls und Dehmpulsehalung Das Dehmomen M wude aus de Kaf F duch Vekomulplkaon m dem Osveko geblde gemäß M F Analog defne man enen Dehmpuls fü enen Massenpunk als: L p p s de Impuls De Enhe des Dehmpulses s kgm /s De Dehmpuls seh also senkech auf und auf p, also auf v Dam ha de Dehmpuls n de unen gezegen Anodnung de Rchung de Dehachse De Dehmpuls s abe fü belebge Bezugspunke defne Rchung und Beag des Dehmpulses hängen vom gewählen Bezugspunk ab! ω α L p v Was gescheh be Ändeung des Dehmpulses? Dazu se de Ableung beache: dl d d d dv p mv m v+ m mv v+ ma + F M d d d d d De Ableung des Dehmpulses s also glech dem Dehmomen: dl dp M Dese Bezehung enspch dem Newonschens Aom F d d Flm: 6- Bke Wheel Angula Acceleaon Se wude fü Massenpunke hegelee, gl abe fü alle Köpe! Den Dehmpuls enes belebgen Köpes kann man hngegen nch unmelba aus de Glechung L p beechnen, da ja jedes Massenelemen enen andeen Osveko ha Es gl nun fü den Dehmpuls auch en Übelageungsgesez: Beseh en Sysem aus N Massenpunken, so s de Gesamdehmpuls glech de vekoellen Summe de Dehmpulse de Massenpunke Naülch müssen sch dabe alle Dehmpulse auf denselben Bezugspunk bezehen Physk, FH Bochum, Sand

37 37 Dehmpulsehalung dl Aus M folg sofo: d De Dehmpuls enes Massenpunks s konsan, wenn ken L cons fü M Dehmomen wk Beachung zwee Massenpunke: m F F m Aus dem 3 Newonschen Aom folg: F F Das Gesamdehmomen s: M M + M F + F F F F, da paallel zu F s Fü nnee Käfe s das Dehmomen null! Beache man de Ändeung des Dehmpulses, müssen also nu de äußeen Dehmomene beückschg weden Fü N Massenpunke gl: N L L ges cons fü M e Dehmpulsehalungssaz Wken kene äußeen Dehmomene, so bleb de Gesamdehmpuls enes Telchensysems konsan Flm: 7- Mables and Funnel 7- Tan on a Ccula Tack 7-9 Saelle Deoao Physk, FH Bochum, Sand

38 38 4 Abe und Enege 4 Kaf und Weg als Usache de Abe, Skalapoduk De Begff de Abe s umgangsspachlch beleg und seh gendwe n Zusammenhang m "Ansengung" Dahe efolg zunächs de Defnon de Abe m physkalschen Snn De Beag de Abe, de von ene Kaf an enem Köpe veche wd, s glech dem Poduk aus dem Beag de Veschebung des Köpes und dem Beag de Komponene de Kaf n Rchung de Veschebung De Abe s posv, wenn de Komponene de Kaf n Rchung de Veschebung n de gleche Rchung we de Veschebung zeg, sons s se negav K Im obgen Bespel s de Abe also: W F ϕ F F Dabe s W posv, da de Komponene de Kaf n Rchung de Veschebung n de Rchung de Veschebung zeg In desem Fall wd an dem Köpe Abe veche Zeg de Veschebung n de engegengeseze Rchung, veche de Köpe Abe De Abe s ken Veko, sonden ene skalae Göße Se ha de Enhe Nm, de auch als J Joule, gespochen: Juhl bezechne wd Vesuch: Holzkloz und Fedewaage Bezechne ϕ den Wnkel zwschen de Kaf und de Veschebung, kann man fü de Pojekon de Kaf auf de Rchung de Veschebung scheben: F cosϕ Daaus folg: F F cosϕ F Dam kann man de Abe scheben als: W F cosϕ Zu Veenfachung de Schebwese füh man en weees Poduk von Vekoen en, das als Egebns ene Zahl, also ene skalae Göße ha: das Skalapoduk F : bewegende Kaf F : Komponene de Kaf n Rchung de Veschebung Physk, FH Bochum, Sand

39 39 Skalapoduk Das Skalapoduk odne zwe Vekoen a und b ene Zahl zu, fü de gl: a b a b cosϕ ϕ s dabe de Wnkel zwschen a und b De Punk kennzechne dabe das Skalapoduk m Gegensaz zum Keuz des Vekopoduks und solle nch weggelassen weden Geomesch kann man sch de Bedeuung des Skalapoduks an de folgenden Zechnung veanschaulchen: a ϕ a b a ' cosϕ a, also: a' a cos ϕ De Secke a s de Länge de Pojekon von a auf b, dh, de Beag de Komponene von a n Rchung b Das Skalapoduk egb sch also aus dem Poduk des Beages von b und de Länge de Pojekon von a auf b Aus de Defnon des Skalapoduks folg: o a a a a cos a, bzw a a a De Beag enes Vekos s glech de Wuzel aus dem Skalapoduk m sch selbs Ohne Bewes seen weehn de folgenden Egenschafen des Skalapoduks genann: In enem echwnklgen, nomeen Koodnaensysem gl: a b a b a y by ab + a yby + azbz a z b z Daaus folg wedeum: a b b a Kommuavä a b a cb c Zahlen können aus dem Skalapoduk heausgezogen weden a b c a c + b c + Dsbuvä Physk, FH Bochum, Sand

40 4 Som kann man fü de Abe scheben: W F cosϕ F De Abe s glech dem Skalapoduk aus de Kaf und de Veschebung! Seh de Kaf senkech auf de Veschebung, s de Abe null Das s zb fü alle Fühungskäfe de Fall, ewa de Zenpealkaf be de Kesbewegung Daaus esule de Saz: Fühungskäfe lesen kene Abe! Dese Defnon de Abe übe Veschebung und Kaf n Rchung de Veschebung emöglch es, de Abe zu beechnen, wenn de Kaf enlang de Veschebung konsan s, und de Wnkel zwschen Kaf und Veschebung sch nch ände 4 Abe be veändelche Kaf und ungeadlnge Veschebung Im Allgemenen weden Kaf und Wnkel zwschen Veschebung und Kaf nch äumlch konsan sen, zb wenn de Veschebung längs ene gekümmen Bahn efolg, ode de Kaf sch ände Man el nun de gesame Veschebung n laue Telsecken, dh, man mach aus de gekümmen Kuve enen Polygonzug ϕ F Fü das klene Wegelemen können Kaf F und Wnkel ϕ näheungswese als konsan angenommen weden Dam läss sch de Abe, de be de Veschebung um am Köpe veche wd, scheben als: W F F cosϕ De gesame Abe be de Veschebung enlang des Polygonzugs s also: W Poly, N W N F Das Egebns smm auch fü den Polygonzug nch eak, da de Kaf ja enlang de Veschebung sch noch änden kann Je klene de Telsecke s, um so wenge wd sch alledngs de Kaf enlang de Telsecke änden Das eake Egebns fü de Abe enlang de gekümmen Kuve von nach egb sch als Genzwe, wenn man de Länge de Telsecken gegen null gehen läss Physk, FH Bochum, Sand

41 4 N W lm F Desen Genzwe ene Summe scheb man veküz: o W F d Abe s das Wegnegal de Kaf De Inegaon efolg enlang de Veschebungskuve Bespel: Veschebeabe F W F d F d F F Bespel: Hubabe F F muss de Gewchskaf kompenseen, also W F d mg d mg d mg h mgh cos8 mgh Bespel 3: Beschleungungsabe F v v De Enfachhe halbe se de Fall a cons beache W Nun s abe F d ma d ma ma a, also s W ma a ma m a mv Physk, FH Bochum, Sand

42 4 43 Lesung De mlee Lesung s defne als P W, de momenane Lesung als P W dw lm De Enhe de Lesung s J/s W Wa d Innehalb enes klenen Zenevalls veläuf de Veschebung nahezu geadlng Dann kann man scheben: W F d P lm lm F lm F F v d 44 Enege Abe und Enege sehen n enge Bezehung De Enege kennzechne de Fähgke enes Köpes ode Sysems, Abe zu vechen Abe s also ene Ausauschgöße, Enege ene Sysemegenschaf De Enhe de Enege s glech de Enhe de Abe, also Nm, J ode Ws Knesche Enege Bewegungsenege We m den Bespel gezeg, muss de Beschleungungsabe W mv aufgebach weden, um enen Köpe de Masse m von de Geschwndgke null auf de Geschwndgke v zu beschleungen Wd de Köpe m ene Kaf F auf null abgebems, kann e genau dese Abe wede lesen: F V V Also ha de m de Geschwndgke v bewege Köpe en besmmes Maß an Enege, Physk, FH Bochum, Sand

43 43 genann knesche Enege: Ek mv Wd en Köpe von de Geschwndgke v auf de Geschwndgke v beschleung, so kann man sch den Vogang aufgeel denken n zwe Pozesse: De Köpe wd von v auf null abgebems Dabe gb e Abe ab: W mv Anschleßend wd e auf de Geschwndgke v beschleung Dabe wd an hm de Beschleungungsabe W mv gelese De Gesamabe s glech de Summe de Enzelabeen: W W + W mv mv Ek v Ek v Wenn de Enege abe ene Sysemegenschaf s, kann se nch davon abhängen, auf welchem Weg man den Zusand eech ha, dahe gl allgemen: De Beschleungungsabe, de an enem Köpe gelese wd, s glech de Dffeenz de kneschen Enegen von End- und Anfangszusand 45 Konsevave Käfe und poenelle Enege Es se de Bewegung enes Köpes n enem konsanen Kaffeld beache: F Fü de gelesee Abe egb sch: W F d F d F Jede andee Kuve zwschen den Punken und lefe abe auch de gleche Abe! De Abe s also unabhängg vom Weg! Man füh nun ene besondee Klasse von Käfen en, de genau dese Bedngung efüllen: Konsevave Kaf: Kaf, fü de de Abe unabhängg vom Weg s, und nu von Anfangsund Endpunk abhäng Physk, FH Bochum, Sand

44 44 Bespele fü konsevave Käfe: Gavaonskaf, Coulombkaf Gegenbespel: Rebungskaf W, dek W, übea A Wd n enem konsevaven Kaffeld gegen de Kaf Abe an enem Köpe gelese, e zb m Schweefeld de Ede angehoben, so kann e anschleßend Abe vechen, zb Beschleungungsabe Es seck also n dem Köpe das Vemögen ode Poenal, Abe zu vechen Des s de poenelle Enege, de we folg defne s: De Dffeenz de poenellen Enegen enes Köpes an den Punken und s glech de Abe, de von de konsevaven Kaf gelese wd, um hn von nach zu bngen E W p E p Gemäß Defnon s W de Abe, de von de konsevaven Kaf am Köpe gelese wd, zb de Beschleungungsabe m Schweefeld Da dese Abe posv s, kann de Bewegung mme nu von enem Punk gößee poenelle Enege zu enem Punk klenee poenelle Enege efolgen Da de Abe be ene konsevaven Kaf nch vom Weg, sonden nu von Anfangsund Endpunk abhäng, kann man jedem Punk des Kaffelds ene poenelle Enege zuodnen Das Feld de poenellen Enege s en skalaes Feld, m Gegensaz zum Kaffeld, das dr en Vekofeld s Da nu de Dffeenz poenelle Enegen duch de Abe W besmm s, s de poenelle Enege auch nu bs auf ene Konsane besmm M E' E' p E p + C folg p E' p E p E p De poenelle Enege s nu fü konsevave Käfe defne W Da de Konsane C wllkülch gewähl weden kann, kann de poenelle Enege auch negave Wee annehmen Physk, FH Bochum, Sand

45 45 Bespel: poenelle Enege m Edfeld z F g z h z De Schwekaf s n de Nähe de Edobefläche nahezu konsan: F g m Be ene g Veschebung n Rchung de Edobefläche s de Kaf senkech zu Veschebung, so dass dabe kene Abe veche wd De poenelle Enege s also unabhängg von! Zu Beechnung de poenellen Enege wd de Abe beache, de de Kaf am Köpe lese: W F d F d m g g z z m mg z z mg z z mgh Nun s abe W E E Da de poenelle Enege nu bs auf ene Konsane p p fesgeleg s, kann man de Konsane so wählen, dass E p Dam wd E p mgz De obgen Übelegungen gelen nu solange, we de Gavaonskaf als konsan angenommen weden kann Enfen man sch we von de Edobefläche, so ände sch abe seh wohl de Gavaonskaf Es egb sch dann de folgende Abhänggke de poenellen Enege vom Absand: P o enelle E neg e m E d feld Poenelle Enege Ab san d vo n d e E d o b efläch e Edadus Physk, FH Bochum, Sand

46 46 En Köpe, de m Schweefeld de Ede ohne Anfangsgeschwndgke losgelassen wd, beweg sch mme auf de Ede zu Dahe muss de poenelle Enege m zunehmendem Absand von de Ede ansegen De Edanzehungskaf nmm m zunehmendem Absand ab, also nmm auch de Abe ab, de de Gavaonskaf enlang glechlange Secken lese De Kuve de poenellen Enege muss also m zunehmendem Absand mme flache weden De Skaleung de Enegeachse häng von de Masse des beacheen Köpes m Schweefeld ab De Nullpunk de Enegeachse kann wllkülch gewähl weden Mes wähl man hn so, dass de poenelle Enege m Unendlchen null wd Flm: 3- X-Squaed Spng Enegy Dependence 46 Enegeehalung be konsevaven und nchkonsevaven Käfen Be konsevaven Käfen gl fü de Abe, de de Kaf am Köpe lese: W W E E Andeeses gl fü de Beschleungungsabe: p p m v v Ek v Ek Dabe s v de Geschwndgke des Köpes zu v dem Zepunk, an dem e sch be befnde, v enspechend Also wd: W E E p Ek v Ek Daaus folg: E p v + Ek v E p Ek v p + M Enfühung ene Gesamenege E E p + E ehäl man daaus: k E E + E cons Enegeehalungssaz fü konsevave Käfe p k Be konsevaven Käfen bleb de Gesamenege als Summe aus knesche und poenelle Enege konsan Man beache, dass de Gesamenege als Summe von poenelle und knesche Enege auch negave Wee annehmen kann! Flm: 3-3 Galleos Pendulum 3-4 Bowlng Ball Pendulum Apple 46-: Enegeehalung bem schwngenden Sysem hp://wwwpeejunglasde/fh/publcaons/physk-apples/apples/kap_8/apple7/enegyspnghm Physk, FH Bochum, Sand

47 47 Bespel: Fee Fall z m v h De Gewchskaf s ene konsevave Kaf, de poenelle Enege s h E p mgz, de knesche Enege v mv Ek Dam läss sch de Enegeehalungssaz anwenden: E cons E h + E v E E v Weden de Enegen engesez, folg: p k h p + k mgh mv, daaus folg: v gh De Anwendung des Enegeehalungssazes bee also ene elegane und schnelle Mehode, de Geschwndgke zu beechnen Ene Beechnung übe Kaf und Beschleungung wüde auch zum Zel fühen, alledngs m eheblch meh Aufwand Flm: 3- Hgh Bounce Paado Enegeehalung be nchkonsevaven Sysemen Be nchkonsevaven Käfen häng de Abe vom Weg ab Bespel: Rebungskaf Dam gb es auch kene poenelle Enege, aus deen Dffeenz an zwe Oen sch de Abe egb Dam gl auch nch de Enegeehalungssaz fü konsevave Käfe: E + E cons p k Man veallgemene jez den Enegeehalungssaz fü konsevave Käfe, ndem man ene weee Enegea E enfüh, de de gesame Enege umfass, de wede poenelle noch knesche Enege s E kann zb Wämeenege, Sahlungsenege ode Vefomungsenege, ode auch ene Kombnaon davon sen Dam gl: E + p + Ek v + E, E p + Ek v E, ode auch: E + E + E cons Enegeehalungssaz p k, In enem abgeschlossenen Sysem bleb de Gesamenege konsan Fü desen Enegeehalungssaz gb es kenen Bewes E s zunächs ene Behaupung, de epemenell besäg weden muss In de Ta gb es ken Epemen, be dem Physk, FH Bochum, Sand