Physik im Studiengang Elektrotechnik

Transkript

1 Physk m Suengang Elekroechnk - Dynamk von Drehbewegungen - Prof. Dr. Ulrch Hahn WS 015/016

2 Bewegung ausgeehner Objeke Sysem aus (velen) Massenpunken sarrer Körper: Fese Posonen er Massenpunke unerenaner Bewegungen enes sarren Körpers: Translaon Roaon Frehesgrae er Roaon: Bahnen er Massenpunke sn kongruen Bahnen er Massenpunke: konzenrsche Krese 3 Punke fes Kene Bewegung Punke fes Bewegung um fese Achse 1 Punk fes Bewegung beweglche Achse (1 Pk. fxer) 0 Punke fes Bewegung um free Achsen Dynamk Drehbewegungen

3 Roaonsenerge (1) Sarrer Körper roer um fese Achse: knesche Energe enes Massenpunkes: (1) m1 m1 E kn v1 r1 knesche Energe es sarren Körpers: E ro m N 1 r ² N 1 m r Träghesmomen (Drehmasse) es sarren Körpers J N : m r [ J] kg m² 1 E ro J Dynamk Drehbewegungen 3

4 J häng ab von: Träghesmomen Massenverelung es sarren Körpers Drehachse sarrer Körper: belebg vele Träghesmomene Spezalfälle: Drehachsen urch en Schwerpunk 3 ausgezechnee Achsen: 1. J: maxmal. J: mnmal 3. auf 1) un ) senkrech aufenaner J 1, J, J 3 : Haupräghesmomene es sarren Körpers Homogene Massenverelung: Haupräghesachsen: Symmereachsen Haupräghesachsen Dynamk Drehbewegungen 4

5 Berechnung von Träghesmomenen (sarre) Körper konnuerlche Massenverelung Beschreben urch e Dcheverelung r(s ) bzw. r(r) m r( r ) V J N lm r( r ) r V r( r) r² V V 0 N 1 Volumen sarrer K. Volumennegral n karhesschen Koornaen: J r ( ( ( x, y, z) r² x) y) z Begrenzung Begrenzung Begrenzung n zrchung n yrchung n xrchung Sukzessves Inegreren über x, y, z Varable, über e nch negrer wr, als Konsanen behaneln Dynamk Drehbewegungen 5

6 Bespel: Haupräghesmomen enes Quaers V z Koornaenursprung m Schwerpunk Roaon um x-achse homogene Dche r cons c z' y' r x y J r x rx ² V J x Quaer m ( b² c²) 1 x b a Dynamk Drehbewegungen 6

7 Haupräghesmomene enfacher Körper Dynamk Drehbewegungen 7

8 Senerscher Saz Knesche Energe enes Sysems von Massenpunken: E kn m v ² 1 m M v ² * S v ² Berechnung von J für Achsen, e nch urch en Schwerpunk verlaufen: 1 E ro J A ² M ( )² 1 ( M ² J A J S M ² J S ) ² m ( r,s )² Dynamk Drehbewegungen 8

9 Träghesmomen komplexer Objeke Objek zerlegen n enfache Telobjeke J Objek J Spezell: Aussparungen J Objek J ohne Aussparung J Aussparung Dynamk Drehbewegungen 9

10 Kresbewegung: vekorelle Beschrebung Massenpunk: Bewegung um z-achse m posve Drehrchung 0 r : 0 v x Regel Zusammenhang zwschen v,,r : v r Egenschafen es Vekorproukes a b : c a b b a,b Ebene a b sn( a, b) c a,c b b a a b a Dynamk Drehbewegungen 10 z Vekorprouk Reche Han Regel y

11 Zusammenhang Bahn- un Wnkelgrößen Geschwngke Beschleungung angenal Beschleungung raal fferenelles Wegsück Wnkelgröße Bahngröße v r a r a r v s r Korresponerene Größen Translaon-Roaon Translaon Roaon m J F J. Dynamk Drehbewegungen 11

12 Dynamk Drehbewegungen 1 raal angenal äußere Kraf auf roerenen Massenpunk äußere Kraf beschleunge Kresbewegung r v a ) ( e e r e e r e e r e e r a r r r r beweglche Achse varabler Raus Krafrchung angenale Kraf Beschleungungsarbe E ro cons F glechmäßg beschleunge Kresbewegung E A s s B s a m W, J ) ( ² 1 A E r m e r r ²

13 J r : F Drehmomen Vekor // Drehachse J Defnon Drehmomen: J e : M r F // Drehachse [ M ] Nm Newon II für Roaon Kraf Drehmomen n Rchung ener Drehachse: Angrffspunk außerhalb er Drehachse n ene Ebene zur Drehachse gerche s nch // zum Absansvekor Drehachse-Angrffspunk gerche s Sarrer Körper: äußere Tangenalkraf Beschleungung aller Massenpunke M m r e J e M r F Dynamk Drehbewegungen 13

14 Krafwrkung auf sarre Körper äußere Kraf Sysem von Massenpunken: F M a S F Beschleungung es Schwerpunkes n Rchung er Kraf unabhängg vom Angrffspunk F F Drehbewegung Drehmomen M M ( F) M ( F) r F r F ( r r) F r r unabhängg vom Ursprung von r, r nur abhängg vom Absan er Angrffspunke er Kräfe F, F äußere Kräfe : M a S F Kräfepaar: F 1 F a 0 S Schwerpunk ruh Roaon um Schwerpunk Dynamk Drehbewegungen 14

15 Krafwrkung auf sarre Körper Lage es Angrffspunkes ener Kraf: Translaon: Roaon: ohne Beeuung r F ( r r ) F r F M // Wrkungslne: Gerae urch en Angrffspunk ener Kraf n Rchung er Kraf Verschebung es Angrffspunkes auf er Wrkungslne: gleche Änerung es Bewegungszusanes Kräfe an sarre Körper sn lnenflüchg Dynamk Drehbewegungen 15

16 Mehrere Kräfe wrken auf sarren Körper Angrffspunk er Resulerenen Schnpunk er Wrkungslnen Vekorelle Aon er Kräfe Gleche un engegengesez gleche Resulerene grefen m Schwerpunk an Translaon Resulerene m S Roaon Kräfepaar F 0 bzgl. Roaon: M 0 Hebelgesez Sonerfall: Glechgewch bzgl. Translaon: Dynamk Drehbewegungen 16

17 Sarrer Körper m Schwerefel Bengungen für Glechgewch? F a Translaon: Kraf zum Verhnern es freen Falls m g 0 F g M F a a m r Roaon: r m g ra Fa 0 r a 1. ra ( m r ) / M F a gref m Schwerpunk an. m r M ra // g g sables Glechgewch lables Glechgewch Dynamk Drehbewegungen 17

18 Drehmpuls p Newon II (Translaon): F L Analog für Roaon: M r F m Defnon Drehmpuls: L r p [ L] mkg s M un L: abhängg vom Ursprung r Bewegungszusan enes sarren Körpers: Translaon: p mv Roaon L r p J Kapazä gl allgemen, nch nur für fese Achsen Nms Sröme Ene Ene kurzzege Wechselwrkung: p F L M Dynamk Drehbewegungen 19 Sar Sar F M

19 Drehmpulse verscheener Bewegungen Massenpunk: glechmäßge Kresbewegung Massenpunk: glechförmge Bewegung r r r L p L cons. cons. Ursprung m Kresmelpunk Dynamk Drehbewegungen 0 Ursprung auf er Achse L roer um e Achse L cons.

20 Sysem von Massenpunken: Drehmpuls Drehmpuls: mengenhafe Größe L Sysem L * m r v Drehmpuls m Schwerpunksysem * L S Drehmpuls es Schwerpunks Sarrer Körper aus Massenpunken (gleche Massen): r r 1 Drehmpuls roer um e Achse L M m Schwerpunk L L L L // = cons Dynamk Drehbewegungen 1

21 Ausgewucheer sarrer Körper L L L 1 r r 1 Zur Drehachse symmersche Massenverelung L L1 L cons. L // M 0 gl für belebge Wahl es Ursprungs von r 1 un r Kene Drehmomene, kene Kräfe n Lagern Achse Haupräghesachse Free Achsen: Haupräghesachsen, um e sch en sarrer Körper nach Enwrkung enes Drehmomenes reh Sable Roaon: Achse m J max oer J mn Dynamk Drehbewegungen

22 Drehmpulserhalung Sysem von Massenpunken: abgeschlossenes Sysem Massenpunke wechselwrken 1 F 1 3 F 3 r Gesamrehmomen er nneren Kräfe M r ( F F 3) r ( F F 3) Newon III: F j F 1 j ( F F ) Dynamk Drehbewegungen 3 r Wechselwrkungskräfe wrken parallel zur Verbnungslne M nnere Kräfe 0 L abgeschlossenes Sysem cons. L Sysem M exern

23 Kreselbewegung En Punk es sarren Körpers fxer: Roaon um beweglche Achse Fxerung m Schwerpunk Enfach: Roaon um Haupräghesachse L // sable Roaon Präzesson es Kresels: Fxerung außerhalb es Schwerpunkes P M L L L L M L L M L M L L M : P L allgemen: M L L roer um P P Dynamk Drehbewegungen 4