Physik I Ausarbeitung mündliche Prüfung

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1 Physk I usarbeung ündlche Prüfung Ene usarbeung für de ündlche Prüfung Physk I ersell den VO-olen o W 4, de Buch Physk für Bachelors (3. uflage, 3) und Wkpeda. as Kapel Mechank on lüssgkeen/hydrodynak fehl und de lezen Kapel snd nch ehr so dealler ausgeführ, solle aber rozde hlfrech für de Prüfungsorbereung sen ;) Enführung Physkalsche Grundgrößen Länge, Ze, Masse, rosärke, Teperaur, offenge, Lchsärke alle anderen daon abgelee. In der Mechank: Länge, Ze, Masse Ze:, ekunde s, efnon durch chwngungen ener Cäsu-ouhr Länge: l, Meer, efnon durch Lchgeschwndgke Vakuu Masse:, Klogra kg, efnon durch Masse des P-Ir Verglechszylnders Vekoren kalare Größe = Maßzahl Maßenhe wenn des nch endeug s Vekorelle Größe = Maßzahl Maßenhe Rchung Berag enes Vekors = Länge (er pos) Vekoren können durch Zahlenrpel angegeben werden: a = (a,ay,az) Engegengesezer Vekor: a ha glechen Berag we a, nur engegenges. Rchung Bahnkure (Weg, Trajekore) de Gesahe aller Orspunke, an denen sch en punkförges Objek be sener Bewegung befnde. En Orspunk wrd durch enen Orsekor r angegeben. Ene Bahnkure wrd durch ene unkon r ( bes: r ( = r(e + ry(ey + rz(ez (Orsekor als unkon der Ze angegeben) bleung enes Vekors e bleung da / des Vekors a s angenal an de Bahnkure a ( gerche. Koordnaensysee Ebene Polarkoordnaen Koordnaen r (Radus) und φ (Wnkel Ph) Urechnung n karessche Koordnaen (r,φ) (,y): = r cos φ y = r sn φ Enhesekoren er und eᵩ n Polarkoordnaen snd orsabhängg Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! on! 9

2 Zylnderkoordnaen Koordnaen r (Radus), φ (Wnkel) und z (Höhe des Zylnders) Urechnung n karessche Koordnaen (r,φ,z) (,y,z): = r cos φ y = r sn φ z = z Enhesekoren er und eᵩ snd orsabhängg, ez s orsunabhängg Kugelkoordnaen Koordnaen r (Radus), ϴ (Polarwnkel Thea) und φ (zuhwnkel Ph) Urechnung n karessche Koordnaen (r,θ,φ) (,y,z): = r sn ϴ cos φ y = r sn ϴ sn φ z = r cos ϴ Enhesekoren er,eθ und eᵩ snd alle orsabhängg Kneak In der Kneak gb es 3 erschedene Berachungsneaus:. Mechank des Massenpunkes: Körper unendlch klen endlcher Masse, z.b. für Bewegungen n Planeensyseen. Mechank des sarren Körpers: kene eforaonen berückschg Geschwndgke. Mechank des deforerbaren Körpers Kneak des Massenpunkes Massenpunk efnon Punkförges Objek ( klen, räulche usdehnung ) endlcher Masse. ür Körper endlcher Größe gl: Bewegung = Translaonsbewegung + Roaonsbewegung. Be ene Massenpunk bleb de Roaonsbewegung außer Geschwndgke Berach, de Translaonsbewegung wrd der Bewegung des chwerpunkes beschreben. enson und Maßenhe Geschwndgke Geschwndgke s Weg pro Ze (be glechförger Bewegung), bzw. de bleung des Orsekors nach der Ze. ~ = ~s ~ = d~r = ~r = leg angenal an der Bahnkure. Enhe /s. ~r = ~r( V = L T Zurückgeleger Weg ~s = ~r( ~r( Beschleungung a ) Beschleungung gb de Geschwndgke der Geschwndgkesänderung an, bzw. de [~] = [~r] zelche Änderung der Geschwndgke. Enhe /s. [] = s Bewegungsglechungen & Herleung Wenn de Bahnkure r ( bekann s, können und a problelos durch fferenaon erel werden. U de Bahnkure r ( be bekanner a zu berechnen, wrd a zwe Mal über negrer (a r). I ersen chr ergb sch de nfangsgeschwndgke als Inegraonskonsane, an erhäl ( = + a. Be der zween Inegraon ergb sch der Orsekor r des nfangspunks als Konsane, an erhäl r( = r + + (/)a. Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! on! 9

3 ür de Berechnung der Bahnkure aus a snd so de nfangsbedngungen und r nowendg (nfangswerproble). onderfall: Geradlng glechförge Bewegung = cons., daher s a =. er Beschleungungser fäll weg und es bleb r( = + r. Wenn an den Weg als s = r( - r angb erhäl an s = (ene Gerade). Kresbewegung onderfall: Glechförg In Polarkoornaensyse beschleunge Bewegung Her können a, und r unerschedlche Rchungen haben, daher uss an se ekorell adderen bzw. n hre Koponenen (,y,z) zerlegen. Bespele: enkrecher all: rz( = h - (/)g z( = -g Waagerecher Wurf: r = rz = (/)a chefer Wurf: aale Rechwee be θ = 45 Kresbewegung e Länge des Orsekors r s konsan. er Wnkel φ s abhängg on der Ze. Orsekor ~r : ~r = r = cons ~r = r ~e r ' = '( Wnkelgeschwndgke. arsellung als V ef. Wnkelgeschwndgke: Zusaenfassung Glechförge Kresbewegung (r,! = (r cons = c Wnkelgeschwndgke ω '! l e Wnkelgeschwndgke! s de bleung = Wnkelgeschwndgke d' des Wnkels Zusaenfassung Kresbewegung φ nach der Ze. ls Vekor dargesell leg ω an der! = d' (r = cons Wnkelgeschwndgke rehachse und gb den rehsnn an. Glechförge Kresbewegung (r,! = cons Glechförge Kresbewegung er Orsekor r und de Wnkelgeschwndgke ω snd! konsan. = º! = d' ~! leg an der rehachse, zeg den rehsnn Glechförge Lneare Kresbewegung Geschwndgke (T ω ergb (r, auer sch! = cons ener Udrehung) T aus der Perodendauer T. Lneare (Bahn-)Geschwndgke! = º ~ =! r ~e (T auer ener Udrehung) ' ~ = ~! ~r M der zelchen bleung des Orsekors erhäl an Zenrpealbeschleungung de T lneare Bahngeschwndgke. Ihr Vekor Lneare blde (Bahn-)Geschwndgke ene Tangene an den Kresradus und seh Zenrpealbeschleungung so senkrech auf r.~ =!r ~e ' =!r ~ = ~a!r =! ~e ' r ~e r ~a = ~!!r ~ = ~! (~! Zenrpealbeschleungung a (bzw. az) Zenrpealbeschleungung e zelche bleung der Geschwndgke ergb de ~a =! r ~e r a! r = ~a =! r ~e r a =! r = r Zenrpealbeschleungung a (az ). e s zu Melpunk gerche und sell ene Korrekur dar, da der bewege Massenpunk er r auf der Kresbahn bleb. ons würde er sch auf der Tangene bewegen. Zelcher Verlauf der Vekorkoponenen M der arposon = und r = (r,) s de Phasenerschebung zwschen den Vekoren r, und a jewels π/. Wnkelbeschleungung α e Wnkelbeschleungung α s de bleung der Wnkelgeschwndgke ω nach der Ze bzw. de zwee bleung des Wnkels φ nach der Ze. Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 3 on! 9

4 ynak In der ynak fragen wr uns, waru en Körper ene Bewegung ausführ. Physkalsch s de rage so egenlch nch korrek, rchg laue se: Waru änder en Körper senen Bewegungszusand? e Ursache s ene Wechselwrkung des Körpers sener Ugebung. ese Wechselwrkung beschreb an durch das Konzep der Kraf, ener ekorellen Größe. Newonsche oe e Newonschen oe blden den Übergang on der Kneak zur ynak. oe snd grundlegende Geseze, de elfach eprsch besäg worden snd, foraler Logk aber. nch bewesbar snd. e olgen aus ene osyse snd nch wdersprüchlch und ebenfalls eprsch besäg. o - Träghesprnzp ~ = ) ~ = cons o Träghesgesez a = lle Körper erharren Zusand der Ruhe oder der glechförgen, geradlngen Bewegung, wenn kene äußeren lle Körper Kräfe orhanden erharren snd. Zusand as heß, der wenn Ruhede Kraf = s, s konsan und a =. oder Newon der glechförgen, ha des on Galle geradlngen übernoen. Bewegung, Bezugsysee, n denen das Träghesgesez gl, heßen Ineralsysee n hnen erlaufen Bewegungen ununerschedbar glech. bsoluer llsand s nch fessellbar, wenn kene äußere Kräfe orhanden snd aber auch nch relean. Beschränkung der Wrkung des Grundgesezes Lufkssenbahn o ynasches - Grundgesez Kräfeglechgewch: der ynak e Rebung wrd her überwunden und de Geschwndgke bleb nach de nsoßen wrklch konsan (Lufwdersand s ernachlässgbar gerng). as.o n an, dass de Masse konsan s. o konsgesez ~ = ~a Wrk auf enen fre beweglchen Körper ene Kraf, so beweg sch der Körper ener Be sehr hohen Geschwndgkeen: Beschleungung Wrk auf a, enen de proporonal fre beweglchen zu der wrkenden s. M zunehender Körper ene Geschwndgke Kraf ~, n de Masse zu: Enschränkung: so beweg sch as der. o Körper n ener de Masse Beschlengung als Konsane ~a, an. Be sehr hohen Geschwndgke de proporonal n aber zu der de wrkenden Masse zu: Kraf s Ruheasse be = () = u, c Lchgeschwndgke (3 8 /s) c Je größer de Masse s, deso ehr Kraf s nög, u den Bewegungszusand (de Geschwndgke des Körpers zu ändern. -Ruheassebe a s de =, Masse das Maß der Träghe (räge Masse). e Träghe wrk besonders sark, wenn de Geschwndgke hoch s. c - Lchgeschwndgke undaenalkräfe Graaon (WW zwschen Massen) Elekroagnesche Wechselwrkung (zwschen elekrschen Ladungen) arke Wechselwrkung (zwschen Nukleonen (Kernelchen, p + und n )) chwache Wechselwrkung (Veranworlch für β-zerfall radoaker Kerne) Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 4 on! 9

5 Träge Masse und schwere Masse I allersuch r de Masse n hren beden Egenschafen auf Graaonsgesez e Masse s de Ursache der Graaonswechselwrkung (schwere Masse). I allersuch Träge Masse: r de = Masse a (. n o) hren. o: beden Egenschafen ~ = ~a auf -räge Masse Äqualenzprnzp: Her schwere s ~ de Masse Graaonskraf = räge Masse allersuch:. o: I allersuch ~ = ~a r de -räge Masse Masse Graaonsgesez: ~ n hren beden M o - Träghesprnzp Erd = Egenschafen auf. a Her s ~ de kann Graaonskraf an das Graaonsgesez de. o Rglechsezen ~e r,m Erd -schwere Massen und de Masse kürzen. Man erhäl so de Erdbeschleungung g, de on der Körperasse unabhängg Graaonsgesez: ~ M = s (wenn an den Lufwdersand R ~e M r,m Erd -schwere Massen R ~e r = ~a arf an kürzen? ernachlässg oder Vakuu arbee. M Erd R ~e r = ~a J! arf an M Ensens Gedankeneperen Erd ~ = ) ~ = cons kürzen? R ~e r = ~a Erdbeschleungung ( ~g) Was läss de eder ausdehnen? Ensens Gedankeneperen J! M Erd In ene geschlossenen R ~e Graaonskraf? oder de Träghe des K r = ~a Erdbeschleungung ( ~g) ahrsuhl häng ene Masse an ener lle Körper erharren n Zusand der Ruhe eder. En Eperenaor n dese geschlossene yse oder kann nch derzwschen glechförgen, zwe ällen unerscheden: geradlngen Bewegung, g s on der Körperasse unabhängg Graaonskraf: wenn kene en äußere asser Kräfe Körper orhanden wurde uner de snd ahrsuhl Kraf hnzugefüg - Maßenhe (ahrsuhl Newonruh Träghe g s des on Körpers: der Körperasse der ahrsuhl unabhängg wrd schnell nach oben gezogen (beschleung Enhe der Kraf Ruhender ahrsuhl e Kraf ha de abgeleee ~ = ~a Maßenhe Newon N, des ensprch (kg )/s. [ ]=[] [a] =kg s = kg s bgeleee Kräfe ederkraf (elassche Kraf Rebungskraf Gewchskraf/ufreb usw. N Beschleunger arhsuhl En Eperenaor n ene geschlossene ahrsuhl kann nch chen den zwe ällen unerscheden ederkraf (elassche Kraf Ene klene eforaon enes Körpers erzeug ene elassche Kraf, de der eforaon engegenwrk. as Maß der eforaon s de usdehnung. e ederkraf s der uslenkung proporonal und engegengerche. ederkraf (elas Hookesches ~ = k Hookesches Gesez k elassche Konsane (o ab abhängg Maeral, k...elassche Querschn und Konsane, Länge L)...efora eforaon (k häng o ab ab, d.h. on de Maeral, de e eforaonsrchung e ederkraf s der uslenkung pr Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 5 on (Gl! 9 nur für klene

6 chwerkraf e chwerkraf auf der Erdoberfläche berechne an: Gra = g e Erdbeschleungung g = 9,8 /s wrd berechne de Graaonsgesez und u de Zenrfugalkraf Z korrger. e s aber kene fundaenale Konsane se s an den Polen ewas höher und a Äquaor ewas nedrger (Δ on ca.,3). Masse und Gewch Masse und Gewch snd nch äqualen! Masse: s ene nrnssche Objekegenschaf (fundaenale Egenschaf, bleb er konsan außer be ere hoher Geschwndgke Gewch: s de Kraf, der en Körper auf de Unerlage oder ufhängung wrk es häng on de Usänden ab (z.b. ufreb) und kann auch sen (Gewchslosgke Rebungskraf R e Rebungskraf wrk be fesen Konakoberflächen, da dese ne deal gla snd. e läss sch auf elekrosasche Kräfe zwschen e und okernen zurückführen. e s on der uflagefläche und der Geschwndgke unabhängg! μ Rebungskoeffzen, N norale ( ) ruckkraf be waagerecher Oberfläche g Hafrebung/Glerebung: Be llsand snd de Oberflächen erzahn, daher wrk a nfang de höhere Hafrebung. In Bewegung werden nur ehr de pzen der Zähne abgeragen und es wrk de schwächere Glerebung. H und G μ durch μh oder μg ersez (μh > μg) okessche Rebung: es s de Wdersandskraf be Bewegungen on eskörpern n lüssgkeen oder Gasen. e s der Geschwndgke proporonal. cs körperabhängger Koeffzen, η (Ea) Vskosä des Medus, Geschwndgke Je größer de Geschwndgke und de Vskosä, deso größer de Rebungskraf. Kraf als Vekorgröße o 3 - Wechselwrkungsgesez - aco-reaco Überlagerung: Gesakraf = Vekorsue der enzelnen Kräfe Zerlegung: Man kann jede Kraf Koponenen zerlegen und de Wrkung der Koponenen enzeln berachen (z.b. und y). Kopenserbarke: asches Kräfeglechgewch wenn = Körper s kraffre z.b. Körper unbeweg ( = ) auf ener Unerlage: + g =. Be horzonaler Bewegung ( ) wrk de Rebungskraf o Kräfeglechgewch 3 - Wechselwrkungsgesez s gebrochen. - aco-reaco ynasches Kräfeglechgewch Lufkssenbahn:, aber g + Lufdruckkraf = o 3 Reakonsgesez e Kräfe und snd glech groß anparallel zuenander ausgerche! =! e Kräfe ~ und ~ snd längs der Verbndungslne der beden Körper wrksa. glech gross, as Reakonsgesez gl für ene WW belebger Naur. Es beschreb! de yere n der WW anparallel zweer Körper. zuenander gerche und =! Bespel: längs Zwe kaeboarder erbndungslne halen en der el, beden ener Körper zeh, ener wrksa nch. Ergebns: e beden rollen (be glecher Masse) glecher Geschwndgke aufenander e Kräfe zu. ~ und ~ snd yere n der Wechselwrkung zweer Körper glech gross, Mahas Elsner Physk I usarbeung anparallel ündlche zuenander Prüfung gerche undee! 6 on! 9 längs der erbndungslne der beden Körper wrksa yere n der Wechselwrkung zweer Körper

7 Realkräfe und chenkräfe Ene Realkraf wrd on ener WW zwschen Körpern herorgerufen. Ene chenkraf ko nur n beschleungen Bezugssyseen or. ese Kräfe eseren rozde wrklch und wr können se auch spüren. Bespele für chenkräfe: ahrsuhl: Körper daruner = Realkraf Graaon nach oben gezogen = chenkraf durch de Beschleungung n ene sarenden uo oder lugzeug be ener Kurenfahr be der Kresbewegung: Zenrfugalkraf, Corolskraf chenkraf = Trägheswdersand En (äußerer) Beobacher (ruhenden) Ineralsyse seh be der beschleungen Bewegung des Tsches kene Bewegung der Kugel (Träghesprnzp). En Beobacher beschleungen Bezugssyse des Tsches seh de beschleunge Bewegung der Kugel auf de Tsch. Er schleß, es wrk ene Kraf auf de Kugel. chenkräfe. Zenrfugalkraf chenkraf: Zenrfugalkraf/lehkraf l chenkräfe. Zenrfugalkraf Vo andpunk des äußeren Beobachers: andpunk des äußeren Beobachers Er seh ene Kresbewegung Kresbewegung dese wrd durch ) es uss de de zenral Zenrpealbeschleungung ~a Z sen, zenral gerche ederkraf (auch zenral gerche s de Zenrpealkraf, de ~a Z bewrk gerchee Zenrpealbeschleungung az erursach. e ebenfalls Vo andpunk des~ äußeren Beobachers: ed. = ~a Z.o zenral gerchee ederkraf ed. s de Zenrpealkraf, de az Kresbewegung ) es uss de Zenrpealbeschleungung ~a Z sen, zenral gerche ederkraf (auch zenral gerche s de Zenrpealkraf, de ~a Z bewrk bewrk. ed. = az (. o) andpunk des nneren Beobachers er Beobacher roer auch und seh so den Körper ruhen ~ ed. = ~a Z.o Vo andpunk des nneren Beobachers: a = alle Kräfe heben sch auf. der Körper l = ed. ruh ) = az ~a =) (bzw. alle Kräfe l + heben ed. sch = ) auf l = az Zenrfugalkraf/lehkraf ene ~ Vo andpunk l chenkraf, + ~ ed. = deren oder ~ Wo fleg der Körper nach brss des nnerendes Beobachers: adens Esenz l = hn? ~ ed. o = ~a Z Bezugssyse abhängg s (eser nur wenn das Bezugssyse beschleung s. ~ l der = ~a Körper Z ruh Zenrfugalkraf ) ~a =) (lehkraf, alle Kräfe deren heben Esenz sch auf o Bezugsyse abhängg Be brss des adens fleg der Körper angenal weg, er beweg sch geradeaus weer. chenkräfe. Corolskraf ~ l + ~ ed. = oder ~ l = ~ ed. = ~a Z ür enen äußeren Beobacher ür enen Beobacher bewegen Bezugssyse ~ l = ~a Z Zenrfugalkraf (lehkraf, deren Esenz o Bezugsyse abhängg s ~ Cor? ~ r chenkraf: Corolskraf cor e enseh n roerenden Bezugssyseen, wenn Massen sch ener Geschwndgke r radal bewegen, also senkrech zur rehachse, z.b. o Melpunk zu Rand. er Beobacher roerenden yse sell Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 7 on! 9

8 fes, dass ene gekrüe Bahnkure enseh, also ene zusäzlche Beschleungung ac senkrech zu r wrk. e ensprechende Kraf heß Corolskraf. ~ cor =(~ r ~! ) chenkräfe. Corolskraf ür den äußeren Beobacher ruhenden Bezugssyse s se nur ene chenkraf das Bezugssyse dreh sch enfach Ineralsysee und Galle-T uner der Masse während hrer Bewegung nach außen hnweg. En Bespel für de Corolskraf s de Bewegung on Ineralsysee Lufassen n und Tefdruckgebeen. Galle-Transforaon ~ cor =(~ r ~! ) Ineralsysee und Galle-Transforaon Ineralsyse efnon: En Ineralsyse s en Bezugssyse, n de das Träghesgesez gl und das selbs kener Beschleungung unerleg. beweg sch glechäßg n -Rchung rela zu Bespel: Bezugssysee, de sch rela zuenander naen konsaner und der Ze: Geschwndgke Ineralsysee bewegen enes und s Galle-Transforaon a Ufer eranker (), beweg sch glechäßg n -Rchung rela zu. Zusaenhang der K das andere fleß = de Wassersro - de( ). Ze läuf glech n bede naen~u und = der ~u Ze: + ~ = = + - de Ze läuf glech ( n beden yseen = cons ) Wenn sch P glechäßg geradlng (wel kraffre) = n + beweg y (d.h. = y~u ( cons = cons, uss ~u = cons n sen - das Träghesprnzp gl n y = y beden Bezugssyseenz = z z = z Geschwndgke des Punkes P : Beschleungung: Geschwndgke des Punkes P : u = d u = d ch glechäßg e Geschwndgke n -Rchung rela des Punkes zu. Zusaenhang = d P s gegeben durch: der Koorder Ze: Wenn sch P + = u = d + = u + ~u = ~u + oder ~ n e ) Wenn sch P glechäßg geradlng (wel kraffre) n + oder n ekoreller or: ~u = bewe ~a = d~u ~u = d~u +=~a ( ) ene Inarane n sen ~u = ~u - das Träghesprnzp gl n beden B + ~ as nun Grundgesez glechäßg (wel kraffre) n beweg (also u = cons, uss auch u = ) Wenn nsch neralen P glechäßg Bezugssyeen: geradlng (wel kraffre) Beschleungung: n beweg (d.h. ~u = cons, uss ~u = co cons - de sen Ze läuf das glech Träghesprnzp n beden yseen gl n beden Bezugssyseen. n sen - das Träghesprnzp gl n beden ~a = Bezugssyseen d~u + Beschleungung s ene Inarane (n allen Bezugssyseen glech): ( = cons = d~u +=~a ( ) ( ) ulplzeren ür das Grundgesez n neralen Bezugssyseen ulplzeren wr de Inarane a Beschleungung: as Grundgesez n neralen Bezugssyee der Masse (ebenfalls ene Inarane de Masse s = auch ). araus erkennen wr: ene Kraf wrk n beden Bezugssyseen densch. gke des Punkes P : ~a d~u ene Inarane d~u = ~ = ~a = ~a +=~a = ~ ( ) ulplzeren ( ) ene Inarane llgeen das Galle-Inaranzprnzp: e grundlegenden Geseze der Physk snd n = d + = u allen Bezugssyseen, + oder n ekoreller as Grundgesez or: ~u n= neralen ~u de Masse s auch ene Inarane -enekrafwrkdenschnbedenbezugssyseen + ~ de sch zuenander glechförger Bezugssyeen: ~ = ~a = ~a Geschwndgke bewegen, = ~ -enekrafwrkdensch den. ~u = ~u + ~ ( ) + ~a ulplzeren Verlezung des Träghesprnzps Nchneralsyse Wenn sch P n In ene Nchneralsyse kraffre konsaner Geschwndgke s nch ehr konsan, de Masse~u s beweg, denn auches ene s sene unerleg Inarane Geschwndgke ener = Beschleungung a. ür den all, dass a = cons, gl für de ~ = ~u = ~a ~u = + ~a ~ = ~ ~u n nch konsan! Geschwndgke enes Punkes P: + ~a Verlezung de Beschleungung: es sell ene Verlezung des Träghesprnzps dar. Wenn Wenn sch Psch n P kraffre n u konsaner = cons Geschwndgke ~u kraffre beweg, ~a = d~u s sene Geschwndgke u n nch konsan! e Beschleungung s = d~u ++~a = ~a + ~a ( ) Beschleungung s kene Inarane her kene Inarane ehr: a = a + a. es ergb für das Grundgesez: ( ) : -enekrafwrkdenschnbedenbezugssyse Beschleungung: ~a = d~u = d~u ++~a = ~a + ~a ( ) ~ = ~a = ~a + ~a e de Masse n kräfefre -kenewechselwrkunganderen Körpern, d.h. ~ = ~a =) Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 8 on! 9 ( ) : =~a +~a ) ~a = ~a (~a 6=) ~ = ~a = ~a +

9 rbe Wenn nun ene Masse kräfefre n s, also = a =, folg daraus (n ene Nchneralsyse, a ): = a + a a = a Obglech es n kene Wechselwrkung der Masse gb, wrk ene Kraf = a ene chenkraf. rbe und Energe rbe s defner als Kraf Weg. er Weg s s das egen der Bahnkure zwschen Or und, also de fferenz der Vekoren r ( r (. α s der Wnkel zwschen den beden Vekoren und s. Weg (egen der Bahnkure zwschen Or und Or ); ~s( =~r( ~r W ~ ~s = ~ ~s cos Æ rbe s ene kalargröße (kalarproduk W >, wenn n glecher Rchung we s (cos α > ) W <, wenn n Gegenrchung zu s (cos α < ) ese efnon s aber schwerg anzuwenden! e orel s nur für geradlnge Wege und konsane W<, Kräfe wenn anwendbar. ~ n Gegenrchung Wenn und s zu nch ~s (cos Æ < ) konsan snd, approer an de Kure s durch klene geradlnge egene Δs, n denen jewels konsan s und suer dese an blde das Inegral (berechnen der afunkon, blden der fferenz der Grenzwere)! e Maßenhe der rbe s das Joule J. rbe s ene kalargröße (kalarproduk. W>, wenn ~ n glecher Rchung we ~s (cos Æ > ) olgerungen aus den Egenschafen des Inegrals be Ukehrung des Weges: W B = WB rbe enlang enes geschlossenen Weges s (Rngnegral, nur -all, nch 3!) be Berechnung s rbe durch enen Zwschenpunk elbar (ufelen on Inegralen) rbe häng o gewählen Weg zwschen Zusänden und ab d.h. rbe s ene Prozessgröße (kene Zusandsgröße) rbe chwerkraffeld rbe der chwerkraf (G s): WB = gh Hubarbe rbe ener Kraf gegen de chwerkraf (H = G): rbe der ederkraf Knesche Energe Wkn e rbe auf de Weg on Punk zu Punk s glech der Änderung der kneschen Energe n desen Punken (= Beschleungungsarbe. Oder anders: e Beschleungungsarbe s de fferenz der kneschen Energe End- und arzusand. e knesche Energe s ene kalargröße und ha de Enhe Joule J. W B = gh Enspannung ener gedehnen eder se lese dabe rbe: Knesche Energe pannarbe (pannkraf = ): dw = d~s ~ ~ = ~a = d~ ; d~s = ~ ) dw = d~ ~ = ~d~ Z In Inegralfor: W = ~d~ = W kn rbe auf de Weg on Punk zu Punk s glech der Änderung Mahas Elsner Physk I usarbeung der kneschen ündlche Energe Prüfung n desen Punken ( Beschleungungsarbe ). ee! 9 on! 9 Knesche Energe s ene kalargröße.

10 elder elder snd unkonen, de o Or 3-Rau abhängg snd und überall defner snd. Gelesee rbe enlang enes geschlossenen W kalarfeld: z.b. Teperaurfeld T (, y, z) (3-Teperaurerelung) Vekorfeld: z.b. Kraffeld V (, y, z) Enen belebgen Punk auf de Weg! wählen: Kraffeld En Kraffeld leg or, wenn en Körper n jede Raupunk r ene wohldefnere Kraf (r ) erfähr. Bespele für Kraffelder snd de chwerkraf oder elekrsche pole. Konserae Kraffelder: Is das Kraffeld so beschaffen, dass de rbe o gewählen Weg zwschen den Zusänden und unabhängg s, W! dann = nenn W! an + es W! konsera. = W! W! U de gelesee rbe auf ene geschlossen Weg zu berechnen wähl an wel W enen belebgen Punk auf de Weg und erwende! = W! für en konseraes eld. W = W (für konserae elder): W = W + W = W W = I Be ene konseraen Kraffeld erschwnde de rbe be der ~ d~s = Verschebung enes Körpers längs enes geschlossenen Weges. Zenralkraffelder (z.b. Graaonskraf, Coloubsche Kraf haben Kugelsyere und snd en Bespel für konserae Kraffelder. Be ene Her konseraen s der Berag Kraffeld der erschwnde nur o de rb bsand zu Zenru des Kraffeldes abhängg. schebung enes Körpers längs enes geschlossenen Weges Poenelle Energe Wpo urch Enführung des Bezugspunks defner an asächl nur ene relae Änderung der poenellen Energe. er absolue Wer on W po s unbekann (das Proble der Inegraonskonsane!) e poenelle Energe Wpo a Punk P s de rbe, de zu errchen ZP s, u enen Z P Körper o Bezugspunk P n den Punk P zu überragen. ef.: W po (P oder )= ~ d~s oder ~ d~s Geäß der efnon Z P Wpo a Punk P s de rbe, de das Kraffeld be Überragung P enes ef.: Körpers W o P po (P )= ~ d~s W Punk P n den Bezugspunk P errche. po a Punk P s de rbe, de zubespel errchen s, : uenenkörperobezugspunkp der Bezugspunk enes Zenralkraffeld n Punk P zu überragen, P Bezugspunk s en beser, belebg oder gewähler s de poenelle Or n dese Energe eld. Bezugspunk : W po a Punk P s de rbe, de das Kraffeld errche be Überragung enes Körpers on Punk bsoluwerproble: urch de Enführung P den Bezugspunk des Bezugspunks P Z P defner an nur ene relae Änderung Bezugspunk der poenellen - en beser, belebggewählerorndeseeld Energe. W po (P )= ~ d~s = er absolue Wer on Wpo s unbekann! P e poenelle Energe Bezugspunk s aufgrund der efnon on Wpo. Bespel : er Bezugspunk des chwerkraffeldes s h ~ = (r). = r ~e r r! ) (r)! Wpo(h = ) = Wpo(h) = gh Bespel : er Bezugspunk enes Zenralkraffeldes leg n. Wpo( ) = Orsabhänggke: e poenelle Energe (Lageenerge) s o Weg unabhängg. Energeerhalungssaz e Gesaenerge s ene Erhalungsgröße: Wges = cons Poenelle Energe Poenelle Energe. bsoluwerproble Zr W po (r) = e echansche Gesaenerge s: Wges = Wpo + Wkn In der Mechank s der Energeerhalungssaz aber ken o! Er s ene hergeleee ussage aus de. Newonschen o. (r )dr W po ( Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! on! 9

11 @W = = Kraf als Graden der poenellen Energe ~ ~e ~e z as Inegral der Kraf (Vekorgröße) wandel se n de rbe W Inerpreaon (kalargröße) des u. Gradenen U 3-Rau de poenelle Energe Wpo (kalargröße) n en Kraffeld (Vekorgröße) uzuwandeln, wrd der Operaor ~e grad ef.: ~e @z ~e ~e angewende. Er lee de, y, und z-koordnaen parell ab. df () -naloge: ~ grad = grad f() = W po er Graden gb 3-Rau de Rchung der schnellsen Zunahe d ~e des kalarfeldes und de Änderungsrae an. Nchkonserae Kräfe er Energeerhalungssaz wrd auf andere Energeforen erweer de Energe wrd n Lesung andere Energeforen ugewandel (her de Wäre Q). En Bespel für ene nchkonserae Kraf s de Rebung. e Uwandlung echanscher P dw rbe n Wäre s Gegensand der Therodynak. Wpo() + Wkn() = Wpo() + Wkn() + Q d > df () df () d enson: < Lesung P grad gb de Rchung der Zunae und de Änderungsrae de on an e Lesung s de bleung der rbe nach [P der ]= Ze. [W ] = e J Enhe s das Wa W (J/s). e s auch als kalarproduk aus Kraf und Geschwndgke [] s = W a = W darsellbar. bgeschlossenes yse ysee on ehreren Massenpunken chwerpunk s yse wrd ür en de yse Berechnung ohne Wechselwrkung des chwerpunks enes yses on ehreren ezechne. Massenpunken ulplzer an de Vekoren den jewelgen ~ + ~ = cons Massen, suer dese Produke und dder dann efnon durch de Ipuls: ~p = ~ Gesaasse des yses. ehreren Massenpunken: Berachen M Gesaasse wr en yse des yses aus Massenpunken: ~p + ~p = cons e Kräfe auf, bgeschlossenes d.h. yse X Verallgeenerung auf N Massenpunke: se aus Massenpunken: ~ = ls abgeschlossenes yse wrd en (anselle yse der eder ohne kann Wechselwrkung jede andere Wechselwrkung sener Ugebung bezechne. ür en yse aus ehreren Massenpunken sen) NX gl, unken snd durch ene eder erbunden ~p dass nur nnere Kräfe aufreen das heß de ue aller Kräfe n ene = cons der eder kann jede andere Wechselwrkung sen) = abgeschlossenen yse s. ngsgesezes (3.N): ~ = ~a (.N): Ipuls p P = dw = ~ d~s er Ipuls p s das Produk nwendung aus der Masse des Wechselwrkungsgesezes und der Geschwndgke (3.N):. Ipulserhalungssaz: er Gesapuls pges (also de ue aller Ipulse) n ene ~ = ~ abgeschlossenen yse s konsan. nwedung des Grundgesezes Herleung: Nach de 3. N s =. as. N laue ~ = ~a (.N): = a, daher kann an ~ schreben = ~ a = a bzw. a + a =. Wenn an nun ~a ufor = () ~a erhäl an, dass de zelche bleung der Ipulse s () so uss de ue konsan sen. Man erhäl + = cons, also p + p = cons den Ipulserhalungssaz. ~a = ~a ~a + ~a = [~a = d~ = d (~)] d ( ~ + ~ )= () () = ~ ~ ~ = ~e + y ~e y + z ~e z Massenpunken snd durch ene eder erbunden ~p ges = cons Ipulserhalungssaz für den Ge ~a + ~a = d ( ~ + ~ )= Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! on! 9 [~a = d~ = d (

12 a kann an das Grundgesez der ynak auch n der allgeeneren Ipuls-or darsellen. e zelche bleung des Ipulses s glech der wrksaen Kraf. P N Orsekor des chwerpunkes ~r = ~r M chwerpunksaz: us de Ipulserhalungssaz chwerpunksgeschwndgke: läss sch der chwerpunksaz folgern: e Geschwndgke des chwerpunkes enes abgeschlossenen yses s konsan. ~ = d~r s = X d~r = X ~p M M = cons chwer Er beweg sch also unbeenfluss on den nneren Kräfen zwschen den enzelnen Körpern des yses. s = cons olg aus de Ipulserhalungssaz e Geschwndgke des chwerpunkes enes abgeschlossen öße Massenpunksyses s konsan En oß s ene sehr kurze Wechselwrkung zwschen zwe Körpern. urch den oß änder sch de Geschwndgke (der Ipuls) und de Energe der oßparner. Man unerschede elassche und nelassche öße: Ekn + Ekn = E kn + E kn + ΔQ - ΔQ = elasscher oß (Erhalung der kneschen Energe) - ΔQ nelasscher oß: ΔQ > endoher, ΔQ < eoher (es n Physk) Weers wrd n zenrale und nchzenrale öße unerscheden. Wenn alle Ipulsekoren kollnear snd (auf ener Gerade legen) s es en zenraler oß, sons en nchzenraler. Zenrale öße lassen sch auf den -all reduzeren (skalare Größen). Elasscher oß Massenpunke und den Geschwndgkeen und erfahren den elasschen oß. Gesuch werden de Geschwndgkeen und nach de oß. Man sez der Ipulserhalung und der Erhalung der kneschen Energe (wel elassch) an: - + = + - (/) + (/) = (/) + (/) us desen Glechungen lassen sch dann und ausdrücken. onderfall : En elasscher oß zweer Kugeln glecher Masse (=), de zwee Kugel ruh or de oß (=). Es fnde en oller Ipulsüberrag auf de zwee Kugel sa se beweg sch nach de oß der Geschwndgke der ersen Kugel, welche dann ruh. = und = = und Δp = onderfall : En senkrecher elasscher oß gegen ene Wand (deren Masse angenoen wrd). er Ipulsüberrag Δp auf de Wand beräg, der Ipuls der Kugel kehr sch be oß u (se prall derselben Geschwndgke zurück). = und p = p. Be ene oß uner ene Wnkel wrd der Ipuls n sene Koponenen zerleg, es wrd nur der Ipulsüberrag der senkrechen Koponene berückschg. Δp= Mkroskopsche euung des Gasdrucks: ruck s defner als Noralkraf pro lächenenhe (P = /). er Ipulsüberrag auf de Wand (Enzelsoß) Δp=. e deale Gasglechung pv = RT folg aus der Berachung des Ipulsüberrags aller Gaselchen. Kugelsoßpendel (Newon-Pendel): Nach der Ipulserhalung können heoresch auch Kugeln halber Geschwndgke ausgelenk werden, de Erhalung der kneschen Energe erhnder des aber (wel elasscher oß, Kugeln üssen sehr har sen). Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! on! 9

13 Vollkoen nelasscher oß Be ene nchelasschen oß gl nur der Ipulserhalungssaz, de Erhalung der kneschen Energe nch! Nach ene ollkoen nelasschen oß (z.b. zwe pelzeugauos prallen Plasln dazwschen zusaen und kleben anenander fes bewegen sch bede Körper zusaen der glechen Geschwndgke u. + = ( + ) u Roaon des Massenpunkes rehoen bzw. M rehoen as rehoen s das Maß der rehwrkung ener Kraf. Es s defner als das Bewegung enes enes sarren sarren Körpers = = Kreuzproduk/Vekorproduk aus Orsekor und Kraf. er Orsekor Translaonsbewegung des des chwerpunkes + Roaon + u u den den chwerpunk s o Bezugspunk abhängg, er änder sch be Wechsel des Koordnaensyses. Be Be der der Berag Beschrebung des rehoens der der Roaonsbewegung ko der snφ wähl wähl an an of of den den hnzu wenn der Wnkel zwschen Koordnaenursprung Orsekor und Krafekor chwerpunk s, gb es so ken rehoen. ~ = ~ ~r = ~r ~ ~ ~ ~ = r = r sn sn ' ' Bewegung enes sarren rehoen Körpers = stranslaonsbewegung das das Maß Maß der der rehwrkung des chwerpunkes ener ener Kraf. Kraf. + Roaon u den chwerpunk. aher wähl an be der Beschrebung der Roaonsbewegung of den Koordnaenursprung chwerpunk. e Enhe des rehoens s kg s - = N (Newoneer, nur foral Joule). rehpuls Telchensyse: n ene abgeschlossene yse s das rehoen = Zenralkraf: Ene Zenralkraf wrk enlang des Radus enes Kreses. as heß der ef.: L ~ = ~r ~p Wnkel s, der sn() = und das rehoen =. enson rehpuls L er rehpuls ergb sch aus de [ Kreuzproduk L]=[~r][~p] ~ =kg aus Orsekor s und Ipuls. Wenn an den rehpuls nach der Ze rehpuls ablee erhäl an des rehoen. e Enhe der rehpulses s kg s -. ef.: L ~ = ~r ~p ~ = d~ L enson rehpuls be glechförger Kresbewegung: Wenn der Orsekor r und de [ ~ d L Bewes: L]=[~r][~p] ~ =kg s Wnkelgeschwndgke konsan = d~r d~p ~p + ~r snd, s auch der = ~ rehpuls ~ + ~r L ~ = ~r ~ = ~ = cons. rehpulserhalung: ür en abgeschlossenes yse s das rehoen. a de bleung des rehpulses nach der Ze das rehoen s, uss der rehpuls n ~ = d~ L (u) = u + u dese all konsan sen. asselbe gl n ene Zenralkraffeld, da auch her =. Bewes: d L ~ Zusaenfassung = d~r d~p ~p + ~r = ~ Erhalungsgrößen ~ + ~r ~ = ~r ~ = ~ der Mechank Wges = cons: Energeerhalungssaz für de echansche Gesaenerge (für konserae (u) = u + u Kraffelder) pges = cons: Ipulserhalungssaz (für abgeschlossene ysee) s = cons: chwerpunksaz (für abgeschlossene ysee) L = cons: rehpulserhalungssaz (für abgeschlossene ysee) Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 3 on! 9 Roaon des reh (auch Kr ef.: ~c = ~a *o Bezugspunk abhängg! (änder s

14 Mechank sarrer Körper Enführung/Wederholung efnon sarr : er bsand zwschen jewels O d Vekoren r r k s/bleb konsan. Gesaasse: e Masse über das Voluen zu negreren sell en Proble dar. Be ene hoogenen Körper lös an des über de Kresbewegung: Verglech Translaonsbewegung che, denn dann gl ρ = cons. =, k =,,... Translaon Roaon In der Mechank sarrer Körper snd alle Glechungen der Kresbewegung erwendbar. er Wnkel φ, de s ds = d d s a = = Wnkelgeschwndgke ω und de Wnkelbeschleungung α snd nälch für alle Punke glech groß, egal we we se o Melpunk enfern snd. as Bogenaß gb de Größe des ds o r dϕradusekor = = = r ω übersrchenen Wnkels φ an. En oller Ulauf ergb d dω a = = r = rα dann dφ = π = 36. e Enhe s das Radan rad, physkalsch s das Bogenaß aber densonslos. ϕ dϕ ω = dω d ϕ α = = e Kresfrequenz ω ergb sch aus der requenz f oder der Perode T. e s on der ( rω) Wnkelgeschwndgke (ebenfalls ω) zu unerscheden (ha aber a zglechen = = Zahlenwer. = r ω r r f requenz, Ulauffrequenz; T Perode, Ulaufze π Kresfrequenz: ω = π f = Zusaenhang zwschen Translaonsgrößen und Grundglechung der Kneak: T Roaonsgrößen:. Newonsches s = ao: + + s = a + = rω f (Ulauf)frequenz ϕ = = α a = + ω + r α r ϕ ω = α + ω rehoen a = rα rehoen: Wrd als M oder bezechne. Wenn zwe T r Kräfe Ulaufze, = r α radal Perode angrefen, herrsch Kräfeglechgewch und es enseh ken rehoen. M = Radalkoponenen ener Kraf haben kenen Enfluss M = auf das r α rehoen. Wenn se aber enander gegenüber angenal angrefen, enseh en aales rehoen. = arrer Körper: α für alle glech M = α r = α J Träghesoen J as Träghesoen J häng on der Masse und ef.: Geoere Träghesoen: des Körpers J = r ab. Es ergb sch aus der ue der Produke der Massen den Quadraen der Orsekoren r (Noralabsand zwschen r s der Noralabsand Masse und zwschen und der rehachse rehachse). llgeen foruler s es das Inegral des Quadras llgeen: der J = r d Orsekoren al d. as Träghesoen s abhängg on der rehachse. Be Verschebung M = J α der = a rehachse ko der enersche az zur nwendung: J = Js + b as Träghesoen s abhängg on der J Träghesoen be erschobener rehachse, Js Träghesoen Lage der rehachse bezogen auf den chwerpunk, b Noralabsand der chsen Be Verschebung der rehachse ko der as rehoen M läss sch de Träghesoen enersche foruleren: az zur M nwendung: = J α. oreln für J on erschedenen Körper orhanden (Zylnder, Kugel, Rng, ) Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 4 on! 9 3r 3r -3r k 3r k efnon "sarr" ( ) N Zenrpealbeschleungung: zu Zenru gerche J = J + b s Es enseh en bezogen auf chwerpunk Noralabsand der chs

15 . Newonsches o: Herleung M = α des Träghesoens: r = α J ef.: Träghesoen: llgeen: efnon (allgeen) ef.: Träghesoen: J = as r Träghesoen s abhängg on der chwerpunk s Lage der rehachse r Wenn s der Noralabsand zwschen zwe oder ehr parallele und der rehachse Wenn Kräfe zwe auf oder enen ehr parallele Körper Kräfe wrken, auf enen können Körper wrken, se durch dann können ene chwerpunk se durch Be ene Verschebung enzelne äqualene der Kraf rehachse ersez werden. ko ese der Ersazkraf s enzelne äqualene Kraf ersez werden. ese Ersazkraf s glech der ue der glech der enersche ue der Kräfe az und zur gref nwendung: an ene solchen Punk an, dass das Kräfe und gref an ene Punk on an, hnen an bewrke de rehoen das on hr glech bewrke de resulerenden rehoen glech der ursprünglchen Kräfe s. de resulerenden rehoen der ursprünglchen Kräfe J = s J s + de bchwerpunk. Unersüz an den Körper chwerpunk, s = kopenseren r s = sch r alle Kräfe (spezell de Graaonskräfe) es ko zu ene Glechgewch. s = r s = r ef.: dw r d chwerpunk: s ds r d M d = allg.: d Glechgewch dw M d dw s ds ür en Glechgewch üssen de ue der Kräfe und de ue der rehoene jewels ef.: r d chwerpunk: sen: = und s Unersüz an den Körper chwerpunk kopenseren sch alle Kräfe = (spezell de chwerkräfe) M =. dw d Lesung: Glechgewch P W M M M M P s s d araus folg das Hebelgesez: M = M und r = r Es gb dre erschedene ren on Knesche Glechgewchen Energe: (Bespele): Ekn r r I I sabl: Kugel leg n ener Wanne J nsabl: Kugel leg auf ener anderen Kugel ndfferen: zwe Kugeln legen nebenenander E ro J kn E rans kn ür rehungen gl: Roaon u ene chse klenere Träghesoen s sabler. Überlagerung Translaon und Roaon: Roaonsenerge rans ro Be der (knesche) Roaonsenerge überlagern Ekn Ekn Ekn J sch Roaon und Translaon. Verglech der Rollgeschwndgke enes Hohl- und enes Vollzylnders glecher Masse: uf ener schefen Ebene roll en Vollzylnder roz glecher Masse el schneller, wel der Hohlzylnder en el höheres Träghesoen ha. e rehachse s der Zylnderelpunk. Epo a nfang s glech groß we Ekn a Ende. e Roaonsgeschwndgke s kau on der Masse abhängg, nur zu klene Tel wegen der Rebung. rehpuls L Träghesoen er rehpuls läss sch auch hlfe des rehoens foruleren: L = r p = r = = r ω L = Jω. es gl nur für Kresbewegung rehachse auf de Kresebene. er rehpuls läss sch auch berechnen, wenn sch nch auf ener Kresbahn beweg: L = r = a = r α r α = r M M = r α r arrer Körper: α für alle glech M = α r = α J M = Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 5 on! 9 r arrer Körper: α für alle glech α J = r r s der Noralabsand zwschen und der rehachse M = J α Wenn zwe oder ehr parallele Kräfe auf enen Körper wrken, dann können se durch ene enzelne äqualene Kraf ersez werden. ese Ersazkraf s glech der ue der Kräfe und gref an ene solchen Punk an, dass das on hnen bewrke rehoen glech de resulerenden rehoen der bezogen auf chwerpunk ursprünglchen Kräfe s. Unersüz an den Körper chwerpunk kopenseren sch alle Kräfe (spezell de chwerkräfe) Glechgewch J = = chwerpunk r d a Roaonsenerge Noralabsand der chsen

16 nwendung rehpulserhalung, Träghesoen, enerscher az rehsessel: Wenn an en Rad Grffen zu rehen brng und es waagerech ener Person auf ene rehsessel gb, dreh sch der essel nch. Wenn de Person das Rad senkrech häl, dreh sch der essel langsa. Nach rehung des Rades u 8 dreh sch der essel doppeler Geschwndgke. Be Zurückdrehen u 8 dreh sch das Rad weder schneller und de rehung des essels hör auf. Prouee: e rehung s be nlegen der Hände schnell, be ausgesrecken Händen el langsaer. Präzesson, Erde als syerscher Kresel Präzesson s de Rchungsänderung, de de rehachse enes roerenden Körpers ausführ, wenn ene äußere Kraf en rehoen senkrech zu deser chse ausführ. e Roaonsachse beschreb enen Ulauf auf de Manel enes gedachen Kegels feser Kegelachse. e Erde s aufgrund der Zenrfugalkräfe en Roaonsellpsod (abgeflache Kugel), der obere und unere Wuls haben unerschedlche chwerpunke. Es dauer 6. Jahre bs de chse der Erde weder kople glech seh. urch das rehoen der onne und den Mond wrd de Präzesson der Erde lech gesör, de rehachse beschreb ene r gewellen Kegel des nenn an Nuaon. chwngungen Ene chwngung s ene perodsch hn und zurück erlaufende Bewegung nach uslenkung aus der Ruhelage. En Körper wederhol ene Bewegung ener gewssen requenz. chwngungsfähge ysee snd zu Bespel Pendel, edern oder oe. Man unerschede zwschen freen und erzwungenen, sowe zwschen ugedäpfen (rebungsfreen) und gedäpfen (auch abschlch geheen) chwngungen. Ene chwngung heß haronsch, wenn se den glechen aheaschen Meln we de Kresbewegung behandel werden kann. Ruhelage: ree chwngungen chwngungsglechung e y C k "Haronscher Haronscher Oszllaor" Oszllaor free ungedäpfe haronsche chwngung as Modellsyse s her ene waagereche eder ener e d ( e k ( e daran befesgen Masse, de aus hrer Ruhelage ausgelenk. Newon'sches ederkraf wrd, wobe Rebung und chwerkraf ernachlässg = wer- o (Hooke'sches den. e rückwrkende Kraf s de ederkraf, de de Gesez) asche uslenkung: d ( k ( chwngungsglechung der Bewegung enlang der -chse Hookeschen Gesez foruler wrd = k ( e ). ese ederkraf wrd der Massenräghe nach de. N = a glechgesez, und nach Uforung erhal an de chwngungsglechung. Modellsyse: waagreche ede = - C e Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 6 on! 9 k C = ( -k ey e Rück k Hook

17 Lösung der chwng Lösungsansaz: ür de Lösung der chwngungsglechung ach an enen nsaz. Man ersez ( = cons e α und de Beschleungung d (/ = α cons e α k. a er-häl an den nsaz α + k/ =. "Kresfre e Wurzel aus k/ s de Kresfrequenz k Lösungsforen haronscher Oszllaor kalschen Koplee chrebwese ω. e benhale de ederkonsane und und Mas ( ) cons e cons e de Masse und s so er pos. Nach U- foren des nsazes erhäl an α = ω Überlagerung on Wnkelfunkonen. a ω pos s, s das Ergebns für α kople. ( ) sn( ) B cos( ) Lösungen: urch Uforen der Eulerschen Wnkelfunkonen Phasenwnkel orel und den Zusaenhängen zwschen ( ) C sn( ( ) cons e ) efnonen II Wnkelfunkonen und kopleen requenz f: Eponenalfunkonen erhäl an de dre nzahl kople der ollsändgen Was glechwergen chwngungen/ekunde bedeue das? ( ) C cos( ' ) enson [f]: s - ; Enhe: s - = H Hz (Herz) Lösungsforen für den haronschen Oszllaor. Kresfrequenz : nfangsbedngungen: lle n den Lösungsforen orkoenden Es gl: Konsanen snd f durch de nfangsbedngungen bes. Gleche nfangsbedngungen enson [ ] ]: führen s - ; Enhe: für alle rad s - Lösungsforen zu derselben Lösung. e nfangsbedngungen Perode besen T: daher das e für ene olle chwngung benöge Ze. yse ollsändg, für alle Zeen. efnonen Zusaenhang f,, T: - Haronsche chwngung: Zur ollsändgen Beschrebung wrd nur ene enzge Kresfrequenz ω benög. f f T T - plude : Maale uslenkung des Physkalsche yses aus Zusaenhänge sener Ruhelage ensprch her der nfangsauslenkung. - requenz: nzahl ollsändger chwngungen e gesae pro Physk ekunde, der haronschen Enhe s - chwngung = Herz Hz eck n den Bezehungen - Kresfrequenz Physkalsche ω: Zusaenhänge Enhe rad/s. requenz s unabhängg on der uslenkung! - Perode T: e für ene olle chwngung benöge Ze. k k bzw. f Physkalsche e gesae Zusaenhänge Physk der haronschen chwngung eck n den Bezehungen e gesae Physk der haronschen chwngung seck n desen Bezehungen: k bzw. f k ederkonsane Masse k : f, T : f, T Bewegungsabläufe uslenkung, Geschwndgke Bewegungsabläufe: und Beschleungung - uslenkung/or: ederkonsane ( = cos(ω k : f, T ( Or: T - Geschwndgke: Masse ( = d/ : = f ω sn(ω, T ( ) cos( ) - Beschleungung: a( = d/ = ω cos(ω plude = nfangsauslenkung Phasenerschebung u jewels π/ Geschwndgke: d ( sn( Energeberachung - Knesche Energe - Poenelle Energe - Gesaenerge Beschleungung: d a ( ) cos( ) Lnearäserlezung: Überdehnung der eder Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 7 on! 9 ( a(

18 Maheasches Pendel Pendel gehören zu den Prooypen nahezu dealer haronscher Oszllaoren. nnahen: e ganze Masse befnde sch n der Kugel, der aden s en unendlch sefer ab. φ Wnkel, u den das Pendel zu Zepunk ausgelenk s Masse und uslenkung spelen kene Rolle, nur de Länge l des Pendels. aher lassen sch sehr genaue Pendeluhren bauen, wobe de chnur aus erschedenen Maeralen hergesell werden kann, u de Effeke der Wäreausdehnung zu kopenseren. e rückwrkende Kraf s her de chwerkraf. Herleung chwngungsglechung Es wrd weder das. N der rückwrkenden Kraf glechgesez, her also der chwerkraf: a = g sn φ. ür klene Wnkel (bs ca. 5 /,9 rad) kann an sn φ φ sezen, außerde kann an de Tangenalbeschleungung a durch de Wnkelbeschleungung Bogenaß ausrücken. urch Kürzen der Masse und Uforen erhäl an de chwngungsglechung und de Kresfrequenz ω. Lnearäserlezung: zu große uslenkung, Näherung sn φ φ wrd ungülg Physkalsches Pendel Be physkalschen Pendel werden Gegensaz zu aheaschen Pendel or und Größe des Körpers berückschg und da de Verelung der Masse. aher ensprch das physkalsche Verhalen schon eher ene realen Pendel. es gescheh durch den nsaz de rehoen M = r, welches dann durch das Träghesoen J ausgedrück wrd M = J α. We be aheaschen Pendel gl sn φ φ. Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 8 on! 9

19 Torsonspendel e enzge öglche Verenfachung des Modells s das Torsonspendel. Be dese befnden sch zwe gleche Massen auf ene Torsonsdrah. Es wrd weder das rehoen M hlfe des Träghesoens J ausgedrück, aber desal de sogennanen rekonsoen (Proporonaläskonsane be der Torson) glechgesez. Torsonspendel M d J d J ree gedäpfe chwngung Be der gedäpfen chwngung wrd zusäzlch zur Massenräghe (. N) und der ederkraf (Hookesches Gesez) de wrkende Rebungskraf n or der okesschen Rebung berückschg, welche der Geschwndgke proporonal s: R = cs η. a ko an auf de chwngungsglechung Gedäpfe für de chwngung: gedäpfen efnonen Oszllaor. uch her s de chwngfrequenz Oszllaor: nch on der uslenkung abhängg. d ( ) c d ( ) k Gedäpfer ( Neue Oszllaor-Glechung: urch de efnon der äpfungskonsane δ und der Egenfrequenz der ungedäpfen chwngung ω wrd de Glechung ewas erenfach. d c d( Gedäpfe d ( chwngung: d( Lösungsansaz ( Gedäpfe chwngung: Lösungsansaz d ( d( ( c d ( d( k ) ( nsaz: Lösungsansaz: ( ) cons e er Lösungsansaz s derselbe we be haronschen Oszllaor. Man äpfungskonsane d( ) däpfen, de chwngung erse bleung = α cons e α und de zwee = α cons e α cons e ( ) e. Gedäpfe chwngung: allgeene Lösung nsaz: Egenfrequenz sez ( = cons e α der unge- d ( es ) führ d( auf ) ene quadrasche Glechung n α. Je nachde, welches Vorzechen de cons e cons e usgangspunk: skrnane ha (also we das Verhälns der äpfungskonsane zur Egenfrequenz d ( ) ühr auf quadrasche Glechung consn e : ( ) cons e perodscher all s, unerschede an dre erschedene älle. Nur all ener kopleen Lösung ko es zur gedäpfen ühr auf quadrasche chwngung. Glechung : ( ) e e B e ( ) cons e e efnonen: δ ω > perodscher all (Krechfall) allunerschedung: e Masse wrd ausgelenk, on der eder zurückgezogen, näher sch perodscher all /B > der uslenkung = an aber errech den Nullpunk ne. Es ko zu Reelle Lösung; Reelle Lösung; Koplee Lösung; kener chwngung. e Konsanen und B werden perodscher durch de all, n- perodscher perodscher Grenzfall /B < chwngung III g Krechfall Grenzfall fangsbedngungen fesgeleg. C( ) δ ω = perodscher Grenzfall ( e e B e ( ) C ( ) e ( e Lösung erhäl an durch Varaon der ( ) e e Masse wrd ausgelenk, Konsanen. Konsanen und ergeben sch weder aus den nfangsbedngungen. = an, errech e den Null- on der eder zurückgezogen, ( näher sch der uslenkung /B > punk aber ne. nnäherung an den Nullpunk s her a schnellsen, er wrd e Konsanen allerd- und B werden durch de nfangsbedngungen fesgeleg. ngs auch nch errech! uch her ko /B es < zu kener chwngung, deser all ha aber echnsche Bedeuung zur äpfung unerwünscher chwngungen (z.b. oßdäpfer). ( = ( + ) e δ J Gedäpfe chwngung Zusäzlche Rebungskraf R : k C ( = = - -k C e ( ( R = R e C y e ( R ( k e e Masse w on der ede näher sch d = an, errec punk aber n e Konsane werden durch bedngungen e Konsanen ergeben sch wederu aus d nfangsbedngu e nnäherung Nullpunk s he schnellsen, erre wrd er allerdng nch! Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! 9 on! 9

20 δ ω < Gedäpfe chwngung Nur n dese all ergb sch de gedäpfe chwngung. e Lösung laue: ( = e δ sn(ω + ψ) (ω + ψ) Phasenwnkel (Phase), ψ Nullphasenwnkel (Phase be = ), plude efnonen - Kresfrequenz der gedäpfen chwngung - requenz der g.. - Perodendauer der g.. e requenz f der gedäpfen chwngung s zelch konsan und gernger als de der ugedäpfen chwngung, de Perodendauer T s daher größer. e Enhüllende der chwngung s ene abklngende Eponenalfunkon. Logarhsches ekreen Λ e plude der gedäpfen chwngung s zeabhängg und n eponenell ab. as Verhälns zweer aufenanderfolgender pluden s dabe konsan. aher führ an das logarhsche ekreen Λ (groß Labda) en. Es erlaub de Berechnung der äpfungskonsane δ drek aus de bklngerhalen der plude, falls de Egenfrequenz des ungedäpfen Oszllaors ω bekann s (lernae zu ω = ω δ ). Bespele n der Pras Erzwungene chwngungen Wenn an en Rowenglas schwenk, ersez an es n chwngung. Be Quadfahren n der Wüse kann an ausgehoben werden, wenn de ünen und klenen Hügel das Quad n sener Egenfrequenz anregen. Mehrere Brücken snd durch den Marsch on oldaen Glechschr engesürz. e Tacoa- Brücke s 94 durch hre sarke chwngung engesürz. e ak der Brücke wurde orher berechne, de ynak aber nch. er Wnd ha gegen de een geblasen und de Brücke genau n hrer Egenschwngung e erzwungene angereg. chwngung II e erzwungene chwngung Modellsyse: I Modellsyse wrd der Oszllaor ener ey Ck konsanen Erregerfrequenz Ω angereg. uch e her ergb sch ene chwngungsglechung, ( de noch durch de Masse dder wrd. chwngungsglechung: d ( d( Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche + cprüfung η + k ( ee =! cos( on Ω! 9 son durch de Masse lefer wederu: ( = cos( Ω e Ω

21 e chwngungsglechung: ( k C ( = cos( Ω e d ( d( + c η + k ( = cos( Ω son durch de Masse lefer wederu: Ω nsaz: rechnersch usgangspunk: d ( d( + δ + ω ( = cos( Ω Übergang auf koplee orulerung: Lösungsansaz: Man geh be nsaz on dre Überlegungen aus. d ( d( - Nach + hnrechend δ + ω langer ( = Ze cos( wrd Ωde Masse der Erregerfrequenz [ Ω schwngen. ] - e Ω cos( Ω ) cos( Ω ) + sn( Ω ) u e plude der erzwungenen chwngung s zelch konsan, se häng aber on Ω ab: = (Ω). d ˆ( d - e Phase ψ der erzwungenen chwngung n Relaon zur Erregerschwngung s e Ω + Lösungsweg ˆ( ) δ + ω ˆ( = u d ˆ( ) dˆ( zelch konsan, häng aber ebenfalls on Ω ab: ψ = ψ(ω). + δ + ω ˆ( = u e Man geh dann be der chwngungsglechung auf ene koplee Ω nsaz: ˆ ( ) = Â( Ω ) e orulerung über und ach enen nsaz (be der ersen/zween bleung zusäzlch noch Ω bzw. ( Ω )). Lösung: Zunächs bes an de koplee pludenfunkon Â(Ω). ann spale an Â(Ω) n Real- und Iagnärel auf. Nur der Realel wrd als physkalsch relean berache. us dese ergeben sch dann de plude (Ω) berache. sowe de Phase ψ(ω) der Inerpreaon der Lösung erzwungenen chwngung. ( ) = ( Ω ) cos( Ω ψ ) plude (Ω) (Ω) βδ 3 βδ ω βδ δβ β β < δ < δ 3 3 Ω chwngung, Kresfrequenz Erregerfrequenz Ω ( Ω) = δ Ω anψ = ω Ω ( ω Ω ) + ( δ Ω) Inerpreaon ( Ω) = - Nach längerer ( ω ) Ze ( sell ) Ω + δ Ω sch be nregung ener Kresfrequenz Ω en saonärere Zusand zelch konsaner plude (Ω) und Phase ψ(ω) en. - Ensprch Ω n ewa der Egenfrequenz des freen haronschen Oszllaors ω, wrd de plude (Ω) be gernger äpfung δ ere groß (Resonanzkaasrophe). Man wrd daher ersuchen, der Egenfrequenz ω we weg on der Erregerfrequenz Ω zu koen (nach lnks), u ene Resonanzkaasrophe zu ereden. - Be gernger Erregerfrequenz Ω bleb de plude (Ω) endlch. - Be hoher Erregerfrequenz Ω geh de plude (Ω) gegen. Enschwngorgang: Wenn sch Ω sark on ω unerschede s de resulerende chwngung zuers unregeläßg, ergb aber nach de Enschwngen ene glechäßge Enschwngorgang chwngung. Wenn I Ω nahe be ω s, ko es zu ener chwebung. Generell sell sch Was der passer saonäre a nfang Zusand der nregung? nach bklngen der freen chwngung en. a) Ω unerschede sch sark on ω fre ( engeschwungen plude, abhängg on Erregerfrequenz Ω Phase, abhängg on Erregerfrequenz Ω Enschwngorgang II b) Ω nahe ω : chwebung (= fre + err Ω Zunächs Besung der kopleen pl funkon Â(Ω) anach ufspalen on Â(Ω) n Real- und I el. Nur der Realel wrd als physkalsch re us de Realel werden sch de plude (Ω) sowe de Phase ψ(ω) der erzwungenen chwngung ergeben. err free chwngung + Erregerschwngung (= + fre err Generell sell sch der saonäre Zusand nach bklngen der freen chwngung en. Mahas Elsner Physk I usarbeung ündlche Prüfung ee! on! 9