(4) NURBS. Vorlesung Computergraphik III S. Müller U N I V E R S I T Ä T KOBLENZ LANDAU

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1 URS Vorlesung Compuergraph III S. Müller U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU

2 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - - Wederholung I -Splnes ass-splnes Reursve Defnon der assfunonen ähnlch e be ézer durch Co-de oor Reursonsformel lefer ene Splne Funon der Ordnung Suppor: Inervalle Grad der olynome s - sons falls,,,,!

3 Suppor: Inervalle ± / lns/rechs = olynom Grad sücese onsan 5 7 = olynom Grad sücese lnear 5 7 = olynom Grad sücese arabeln = olynom Grad sücese ubsch 7 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

4 Wederholung II erodsche unforme Splnes Knoenveor: [ n ] n 5; ;[ 5 ] 5 n ; ;[ 5 ] n ; ;[ 5 ] Anzahl der Knoen m Knoenveor: Gülger arameerberech: Ma. Ordnung be n Konrollpunen: n n U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - - n

5 Wederholung III Offene unforme Knoenveoren Knoenveor: [ ] n 5; ;[ 5 ] 5 n ; ;[ ] n ; ;[ ] Anzahl der Knoen m Knoenveor: Gülger arameerberech: Ma. Ordnung be n Konrollpunen n n n U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 5 -

6 Wederholung IV erodsche unforme - Splnes snd gu für geschlossene Kurven Wederhole une Offene unforme -Splnes gehen durch Sar- und Endpun Sonderfall ézer-kurve Wenn der Knoenveor nur aus ullen und Ensen beseh [ ] also n = s, dann ha man ene ézer-kurve, z..: Knoenveor: [ ] n U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

7 Wederholung V Konrolle ener -Splne Kurve Veränderung des Typs des Knoenveors perodsch unform, offen unform oder nch-unform Veränderung der Ordnung der assfunonen Veränderung der Anzahl oder der oson der Konrollpune Mehrfachbenuzung von Konrollpunen erhäl Segeen Mehrfachbenuzung von Knoen erzeug Unsegeen Egenschafen der -Splnes n ch-negav Ordnung, olynomgrad -, Sege der Kurve überall - Mamale Ordnung der - Splnes be n Konrollpunen s = n Affne Invaranz Kurve leg nnerhalb der onveen Hülle des Konrollpolygons Varaon dmnshng propery : de Kurve oszller um ene Gerade nch öfers als das Konrollpolygon. U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 7 -,

8 Vorgehen/Implemenerung Generelles Vorgehen Der enuzer defner de Konrollpune, dam s n defner Er defner den Grad des Splnes oder nern z.. m = fesgeleg Er defner ob geschlossene oder offene Kurve. Daraus rd auomasch en perodscher oder offener unformer Knoenveor und der gülge arameerberech berechne. Dann ann de Kurve n ener Schlefe über m gülgen arameerberech gezechne erden, obe de Were der assfunonen für jedes besmm erden. Der un auf der Kurve ergb sch dann m Hlfe der n Konrollpune, U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 8 -

9 Impl. seudocode perodsch for = - ; <= n; += seps { bsplne_bass,, n, no, nbass; = y = ; for = ; <= n; ++ { += nbass[] cpons[]. y += nbass[] cpons[].y; } dra_pon, y; } offen for = ; <= no[n + ]; += seps { bsplne_bass,, n, no, nbass; = y = ; for = ; <= n; ++ { += nbass[] cpons[].; y += nbass[] cpons[].y; } dra_pon, y; } U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 9 -

10 Impl. seudocode bsplne_bass n ord_, double, n n, n [], double [] { for = ; <= n+ord_-; ++ //alle Inervalle f >= [] && < [+] [] = ; else [] = ; for = ; <= ord_; ++ { for = ; <= n+ord_-; ++ { f []!=. d = - [][]/[+-] - []; else d = ; f [+]!=. e = [+] - [+]/[+] - [+]; else e = ; [] = d + e; } } f == [n+ord_] //das roblem des allerlezen els n[nps] = ; } U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

11 erodsche -Splnes und ézer erodsche -Splnes lassen sch relav enfach n ézer-kurven umformen Herzu rd jedes Splne-Segmen < + berache und de assfunonen reparamerser so dass <. espel: =, n =, [ 5],75,5,,, 5 5 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

12 espel =, n= s., Fole 8,75,5,,, 5 5,,,,,, U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

13 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - - Mardarsellung =,,,, n

14 Analog: =, n =,,,, 5 5 5,,,, U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

15 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller Mardarsellung =, n = Für den reparamerseren Fall

16 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - - Umformung: -Splnes n ézer ézer-kurve m Konrollpunen,, und Reparamersere -Splne-Kurve

17 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller Umformung: -Splnes n ézer

18 URS ch-unforme Raonale -Splnes U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU

19 -Splnes Enge chge Kurven e Krese, Ellpsen ec. önnen nch durch olynome dargesell erden. Lösung: Homogene Koordnaen Defnon der -Splne-Kurven m R und rojeon n den R vom Ursprung auf de Hyperebene = y z hom y z U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 9 -

20 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - - espel n = = n n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, z y z y z y,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, z z z y y y Homogenserung: Homogene Koordnae: zusäzlche Gechung des Konrollpunes Allgemen:

21 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - - Raonale -Splnes URS rojeon der D-une lefer Homogenserung : Und dam de raonalen -Splne assfunonen n n n R,,, n R,,,

22 espel ha gar enen Enfluss ormaler -Splne-une Kurve rd zu gezogen 5 5 n 5; ;[ ] 5 U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

23 Wdh. Homogene Koordnaen D un, y n homogenen Koordnaen ensprch: y also rojeon auf = Ebene Alle une auf der Geraden y erden auf desen un abgeblde U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - - y y y

24 Vsualserung Dan an Marus Erd Anmeres GIF U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

25 y y Dan an Marus Erd U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 5 -

26 Dan an Marus Erd U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

27 Vsualserung Dan an Marus Erd U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 7 -

28 Egenschafen der URS Alles as de -Splnes önnen ch-negav n R, Ordnung, olynomgrad -, Sege - Ma. Ordnung = n Varaon Dmnshng Für > legen der raonale -Splne n der Verengung der onveen Hüllen von jeels aufenanderfolgenden Konrollpunen Zusäzlch: rojeve Invaranz benhale auch affne Invaranz Jede projeve Transformaon auf ene raonale -Splne Kurve ann durch de rojeon der Konrollpune realser erden. Ansonsen s alles glech, e be den -Splnes perodsch, offen, Mehrfachpune U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 8 -

29 Kegelschne Se snd der Haupgrund für de URS Se ann man m URS modelleren und dann n belebge andere Kurven überführen Kegelschne erden durch quadrasche Glechungen beschreben, also: =, n =, [ ] hp://mahorld.olfram.com/concsecon.hml,,,,,, U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - 9 -

30 Kegelschne m URS Gerade Lne Ellpse arabel Hyperbel M,,,,,, U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -

31 espel: voller Kres m URS 5 5 7, 7, 9 8 Knoenveor [ Geche [ ] ] Knoenveor [ Geche [ ] ] U I V E R S I T Ä T eache: ch-unformer Knoenveor KOLEZ LADAU S. Müller - -

32 Zusammenfassung URS Raonale -Splnes URS lefern ene präzse mahemasche Form zur Repräsenaon aller gängger Kurven Lnen, Kegelschne, olynome ec. m D Ebenen, Freformflächen, Quadrcs m D Jede Kurve s en enzelnes Sonderobje, sondern se lassen sch nenander überführen. Für de Modellerung been URS mehr Freheen als ézer-kurven U I V E R S I T Ä T KOLEZ LADAU S. Müller - -