12 Technische Biegelehre

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1 71 1 Technsche Begelehre De Begung st en wchtger und für querbelastete schlanke Bautele we Wellen, chsen und Balken häufg krtscher Belastungsfall. De dadurch entstehenden Spannungen überwegen. llg. de durch andere Beanspruchungen entstehenden Belastungen. aßgeblch für de Begung snd omente um de Querachse, de berets aus der Stereostatk bekannt snd. Dese krümmen den Balken und dehnen dabe de äußeren Fasern, de nneren Fasern werden gestaucht. De daraus entstehenden Zug- und Druckspannungen halten dem Begemoment das Glechgewcht. Der Spannungsverlauf st lnear über dem Querschntt, de mamalen Spannungen entstehen n den andfasern. Ene entschedende Größe für den Wderstand enes Balkens gegen Begung st das Flächenträghetsmoment senes Querschntts. Des st ene ntegrale Größe, welche de Flächentele quadratsch mt dem bstand von der neutralen Faser gewchtet. Für enfache Geometren st se aus Tabellen ablesbar, für usammengesette Flächen kann se durch Summaton berechnet werden. an unterschedet de rene Begung, de durch andmomente ereugt wrd, und de gerade Begung, de durch Querkräfte entsteht. De be letterer usätlch auftretenden Schubspannungen können für schlanke Balken gegenüber den Begespannungen vernachlässgt werden. Innere Balkenbelastung p() F Streckenlast p() Querkraftverlauf Q() p()d F 0 0 Begemomentenverlauf () Q()d 0 0 nnere Spannungen und Verformungen n bhänggket von (), den ateralegenschaften und den Flächenträghetsmomenten

2 7 1 Technsche Begelehre 1.1 Flächenträghetsmomente Integrale Flächenegenschaften Fläche d C C C Flächenmttelpunkt C 1 d d C 1 d Flächenträghetsmomente I d I d I d I p r d I I aales Flächenträghetsmoment Devatonsmoment polares Flächenträghetsmoment Flächenträghetsmomente für enfache Geometren echteck glechschenklges Dreeck regelmäßges Sechseck a I ab3 b 1 I bh3 I 5 a 3 a4 b I ba3 h 1 I hb3 I I 48 Kres Ellpse Kresrng r I r4 b 4 I a3 b a 4 I I I ab3 4 r I 4 4 r 4 I I alle ngaben beehen sch auf Hauptträghetsachsen (I 0) durch den Flächenmttelpunkt

3 1 Technsche Begelehre 73 Transformatonsgesete für Flächenträghetsmomente 1) chsenverschebung relatv um Flächenmttelpunkt C.B. I * d 0 d d 0 d 0 d * d 0 * C 0 I 0 I * I 0 I * I 0 I * I 0 0 I * p I p 0 0 * Hugens Stener Beehungen ) chsenverdrehung cos sn cos sn sn (1 cos ) cos (1 cos ) sn cos (sn ).B. I * d cos sn cos sn d I I I * I * I * cos sn d I I cos I sn I I I I I I cos I sn I I cos I sn I I sn I cos I * p I * I * I I I p (nvarant) * d * *

4 74 1 Technsche Begelehre Hauptachsen Bedngung: I * 0 tan I I I speell: I 1, I *, I I I I 4 I Hauptträghetsmomente (mn./ma.) Smmetreachsen und dau senkrechte chsen snd Haupt(träghets)achsen Zusammengesette Flächen Zerlegung ener Fläche n dsjunkte Bereche:, j für j 1 ufspalten der Integraton.B. I d d I I I I I I I Beachte gemensamen Beugspunkt für alle Summanden! (ggf. Hugens-Stener Beehungen anwenden)

5 1 Technsche Begelehre Begespannung und -dehnung llgemene nnahmen Balken st smmetrsch ur -Ebene ( -chse st Hauptachse des Querschntts) -chse verläuft durch Flächenmttelpunkt des Querschntts lle Belastungen legen n der - Ebene p() F Durchbegungen legen n der -Ebene (Begeebene) ene Begung: () const. () Dehnungen: dl() ( )d d d d d d () dl() d d d Spannungen: Hooke sches Geset () E() E dl() ()

6 76 1 Technsche Begelehre Glechgewchtsbedngungen: F d E d E C! 0 C 0 neutrale Faser verläuft durch Flächenmttelpunkt d E d 0 E I Zusammenfassend ergbt sch für de Normalspannungen und -dehnungen: () I ma ma I W () EI Das Verhältns W I ma beechnet man als Wderstandsmoment des Querschntts. Gerade Begung: () const. Idealserung:Be schlanken Balken hat de Querkraft Q dd nur gerngen Enfluss auf de Verwölbung der Querschntte. Daher st de nnahme gerechtfertgt, dass ebene Querschntte senkrecht ur ttellne eben und senkrecht ur neutralen Faser bleben (Bernoull Hpothese). De Ergebnsse der renen Begung lassen sch übertragen: (, ) () I krtscher Querschntt enes prsmatschen Balkens: () mamal für mamales ()

7 1 Technsche Begelehre Schubspannungen be gerader Begung b nnahmen prsmatscher Balken mt rechteckgem Querschntt (Brete b, Höhe h) I bh3 1, bh konstante Schubspannungen über der Brete C h Berechnung der Schubspannungen F d Balkenelement Q d Q dq unterer Tel () () d () 0 (unbelastete ußenfläche) Für das Balkenelement glt für de Querkraft Q d d Spannungsvertelung () I, d () d I us der Glechgewchtsbedngung F 0 folgt für den unteren Tel h ()bd ()bd h d ()bd 0 t der Chauch Smmetre erhält man daraus enen parabelförmgen Schubspannungsverlauf: () () h h Q I h d d d d d d I d Q I h 4

8 78 1 Technsche Begelehre bschätung der Schubspannungen F mamale Begespannung: E,, L ma ( 0, h) (0) h 1FL I bh 3 h 6 F L h mamale Schubspannung: ma (0) Qh 8I 3 Q 3 F ma () En Verglech der beden amalspannungen, ma ma 1 4 h L egt, dass de Schubspannung n Begeproblemen vernachlässgt werden kann: ma ma für h L (schlanker Balken) für de obere und untere Faser (krtsche Fasern auf Grund der Begespannungen) glt ohnehn 0 Schubverformung Begung + Schubverformung rene Begung 0 ma 0 Nach dem Hooke schen Geset () 1 G () fndet man folgende Gletungen: Elemente der oberen und unteren Faser bleben wegen 0 unverformt Elemente der neutralen Faser werden wegen ma mamal geschert Daraus resultert ene Verwerfung der Balkenquerschntte und ene usätlche Durchbegung gegenüber der renen Begung, bede Effekte snd für schlanke Balken (h L) jedoch ebenfalls vernachlässgbar.