5. Torsion LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN

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1 5. orson # En orsonsoent verursacht Schubspannungen τ Querschntt. # Falls de Querschntte sch aus hrer Ebene n x-rchtung bewegen können, dann nennt an dese orson Sant-Venantsche orson. # De Bewegung der Querschntte n x-rchtung nennt an Verwölbung. # an nennt verwölbungsbehnderte orson Wölbkrafttorson. # st postv, wenn a postven Schnttufer als Rechtsschraube u de Stabachse (x-achse) dreht. LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

2 5. orson 5.1 orson von Kresquerschntten γ ϕ Annahen: 1.) Querschntte bleben eben, d.h. kene Verschebungen n x-rchtung (kene Verwölbung). 2.) Querschntte snd fortreu, d.h. se verforen sch ncht be der orson und verdrehen sch nur u enen Wnkel ϕ(x). 3.) De Gletung γ st auf der gesaten Zylnderoberfläche glech. LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

3 5. orson 1.) Glechgewcht d + dx = 0 + d dx 2.) Kneatk γ dx 3.) Elastztätsgesetz dϕ τ = G γ = G rϕ r d dx = r dϕ = γ dx dϕ γ = r = θ r dx dϕ θ = = ϕ Drllung, Verwndung dx LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

4 5. orson 4.) Äquvalenz der Schubspannung und des orsonsoentes r τ da = τ A rda 5.) Dfferentalglechungen τ ϕ ϕ = = = 2 rda G r da GI A A ( ) = GI ϕ = ( GI ) ϕ = = GI ϕ I GI = I p : orsonsträghetsoent : orsonsstefgket LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

5 Dfferentalglechung für Drllung: 5. orson Sonderfall: GI =const. ( GI ) θ = GI GI ϕ = θ = Falls =const, dann erhält an für de Endverdrehung ϕ l : ϕ = l GI l LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

6 5. orson 6.) Schubspannung τ = G γ = G rϕ = GI ϕ τ = I r τ ax τ ax τ ax trtt a Rand r = R auf: τ ax = R = = τ ax = I I / R W W W = I R : orsonswderstandsoent LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

7 5. orson 5.2 orson dünnwandger geschlossener Profle Schubspannungen LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

8 5. orson Schubspannung Schubfluss τ () s τ t = Schubfluss: orsonsoent: = τ () s t() s = const. τ ( s) t( s) r ds = r ds = 2 = A τ = = t 2A t 1 1 da = r ds A = r ds 2 2 Schubspannung: Erste Bredtsche Forel (Rudolf Bredt, ) = 2A LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

9 5. orson axale Schubspannung: axale Schubspannung t ax trtt an der Stelle der klensten Wanddcke t n auf: τ ax = = 2A t n W orsonswderstandsoent: W = 2A t n LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

10 5. orson Drllung v γ = + x u s τ v u γ = = + G x s LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

11 5. orson Kene Klaffung: dv = r dϕ cosα = r cosα dϕ = r dϕ dv dϕ = r = r ϕ dx dx τ u = r ϕ + G s τ u ds = ϕ r ds + ds G s u s! E u ds = ds = u s E ua = 0 s A s τ ds = ϕ r ds = ϕ 2A G τ ds ds ds G G t G t 2 A ϕ = = = = 2 2 A 2 A 2 A G ( 2 A ) (1/ tds ) LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

12 t: I = ( 2A ) 2 1 ds t θ 5. orson = ϕ = Zwete Bredtsche Forel GI Sonderfall: t(s)=const. I ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) A A t A t = = = 1 ds ds U t I = ( A ) 2 2 U t U = ds Proflufang LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

13 5. orson Verwölbung Verforungen unter orson: # Kene Verforungen n der y-z-ebene (fortreu). # Verschebungen u n x-rchtung öglch, de ncht über den Querschntt konstant snd. Deser Effekt wrd als Verwölbung des Querschnttes bezechnet. Bestung der Verwölbung u(s): τ = Gγ = G r ϕ + τ = = t 2A t u s u = r ϕ + 2At G s u = r ϕ s 2At G u 1 u() s = ds = ds ϕ r ds + C s 2 AG ts ( ) C = Integratonskonstante LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

14 5. orson Wölbfree Querschntte: t b t h h Ncht wölbfree Querschntte: b h t = b h t b a a Vollquerschntt LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

15 5. orson 5.3 orson dünnwandger offener Profle t y z x h y dy y τ ax τ ( y) = y; A 2 t /2 d = τ ( y) dy; d τ = = dy y h d 2A dy τ ax z LEHRSUHL FÜR BAUSAIK τ ax ax 2 d = 2Ad = 8 h y dy τ t UNIVERSIÄ SIEGEN

16 5. orson t /2 1 = d = τ axht 3 0 τ = ax 1 = 1 2 W W 2 ht = ht orsonsträghetsoent: ( 2A ) ( 2A ) ( 2 2yh) = = = = 1 ds 2h ds dy 2 di dy dy 8hy dy t/2 t/2 1 I = di = 8hy dy = ht LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN

17 5. orson Zusaengesetzte Profle: () θ = ϕ = θ = = GI GI = () () Drllung für alle Querschnttstele glech, da Querschntte fortreu, also n der y-z-ebene hre For bebehalten! 1 I I = h t 3 3 () I 1 h t W = = t 3 t ax ax 3 axale Schubspannung: τ = ax( ) W () () ; () GI() = GI τ ax( ) I() t I W() I = = De axale Schubspannung Gesatquerschntt trtt also an der Stelle t de axalen t (dckste Stelle) auf! W I = t ax LEHRSUHL FÜR BAUSAIK UNIVERSIÄ SIEGEN