6. Übungsblatt Schnittgrößen am biegesteifen Träger WS 2009/2010

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1 Unv. Prof. Dr. rer nat. Wofgang H. üer Technsche Unverstät Bern autät V Lehrstuh für Kontnuumsmechan und ateratheore - LK, Ser. S Enstenufer, 187 Bern 6. Übungsbatt Schnttgrößen am begestefen Träger WS 9/1 1. ür den n bb. 1 dargesteten, mt ener Enzeraft und ener Gechstrecenast beasteten Begeträger snd ae Schnttgrößen zu bestmmen und über dem Träger zu zechnen. arante Punte snd zahenmäßg anzugeben, rtsche Steen snd hervorzuheben. q /m 1, 1, m, m B 1,6 m Lösung bb. 1: Engespannter, abgencter Träger unter Gechstrecen- und Puntast. Um de gesuchten Schnttfächen zechnen zu önnen, berechnen wr as Erstes de ufagerräfte mthfe des n bb. dargesteten reschntts. Um de Gechgewchtsbedngungen für de Kräfte mt dem engezechneten Koordnatensystem enfach auswerten zu önnen, haben wr de Lagerraft n - und z-rchtung zeregt. De Gechgewchtsbedngungen auten: ( B) : cos( ), m sn( ) 1,6 m 6,6 1,1 m 1, 1,6 m ( 6,6 1,1 1, 1,6 ), ( ), sn( ) 1,6 : sn( ) 1, B ( ) 1,,, (1) cos B, sn, z : cos( ) 6,6 B z, cos( ) 6,6,. B z sn( ) 6,6 1, 1,1 m 1, m, m cos( ) y B 1,6 m By bb. : reschntt am abgencten Träger. ach Beendgung der Rechnung zechnen wr den reschntt neu, um de Vorzechen entsprechend zu berücschtgen (was für de Vorzechen der Schnttgrößen wchtg wrd): bb..

2 Unv. Prof. Dr. rer nat. Wofgang H. üer Technsche Unverstät Bern autät V Lehrstuh für Kontnuumsmechan und ateratheore - LK, Ser. S Enstenufer, 187 Bern 6. Übungsbatt Schnttgrößen am begestefen Träger WS 9/1,86 q /m 1,, s 1,6 m y,, bb. : Vorzechenrchtger reschntt des Trägers. Um de ormaraft- und uerraftverteung zu zechnen, snd jewes ae schtbaren, norma und quer zum Trägerquerschntt egenden Kräfte zu berücschtgen. De Vorzechen assen sch mt den n bb. engezechneten Pferchtungen entscheden, de für postve Schnttgrößen (je nach nem oder rechtem Schnttufer) geten. ür de omentenfäche noteren wr noch speze de fogenden Zahenwerte n den ausgewähten Punten und. Das Vorzechen entscheden wr dabe mt der engezechneten gestrcheten Lne, de von den betegten Kräften gestrect (postv) oder zusammengedrüct (negatv) wrd:, 1,6 m,7 m (von rechts),,, m 6,6 1,1 m,7 m (zur Probe von ns), (), 1, m,8 m (von ns). De Tefe der zur Gechstrecenast gehörgen Parabe st gegeben durch: q (,) m 1,81 m. () 8 8,86, [], [] [m] 6,6,,,7,8,7 1,81 bb. : Schnttgrößenverteungen über dem Träger. Damt werden de n bb. dargesteten Schnttgrößenverteungen verständch. Um das für enen Spannungsnachwes wchtge amum zahenmäßg zu bestmmen, st es nötg, de genaue mathematsche orm der omentenverteung (quadratsche unton n ) m Berech der Gechstrecenast zu ermtten. Wr schneden fre (bb. ) und schreben:

3 Unv. Prof. Dr. rer nat. Wofgang H. üer Technsche Unverstät Bern autät V Lehrstuh für Kontnuumsmechan und ateratheore - LK, Ser. S Enstenufer, 187 Bern 6. Übungsbatt Schnttgrößen am begestefen Träger WS 9/1 ( ), ( 1, m ) q ( ) d, ( 1, m ),86 1, m, /m ( ) ( ) ( ). () m bb. : reschntt zur Ermttung der omentenverteung über dem Träger. Zur Probe se notert, dass für m fogt: ( ), 1, m,8 m () und für, m :, m (, m),, m,7 m, (6) m was mt früheren Ergebnssen überenstmmt. De Stee mamaen oments önnen wr nun entweder durch Bden der ersten betung der Gechung () nach und anscheßendes usetzen fnden oder aber per Strahensatz aus den uerräften; da dort, wo de uerraft verschwndet, sch das amum der omentenfäche befndet:, m, 6,6 bb. 6: Hfsonstruton zur Bestmmung der Lage des amums der omentenverteung. Es fogt:, m, m,,78 m, 6,6 6,6. (7) Ensetzen n de omentengechung ( ), um das mamae oment an deser Stee zu bestmmen, ergbt: (,78 m) ma, ( 1, m,78 m),7 m. (8) m

4 Unv. Prof. Dr. rer nat. Wofgang H. üer Technsche Unverstät Bern autät V Lehrstuh für Kontnuumsmechan und ateratheore - LK, Ser. S Enstenufer, 187 Bern 6. Übungsbatt Schnttgrößen am begestefen Träger WS 9/1. Das gezegte Tragwer wrd durch ene Gechstrecen- und Enzeast beansprucht. a) Ermtten Se zunächst de ufagerreatonen n den Lagern und B. b) Steen Se ormaraft-, uerraft- und omentenfäche graphsch über den Träger dar. Verwenden Se de strcherte zur Vorzechenfestegung und geben Se marante Punte n den ächen an. nsbesondere de Schnttmomente an den Übergangssteen und j müssen bestmmt werden. c) Berechnen Se den Ort sowe de Größe des mamaen Begemoments m Träger. Geg.: α,, q, q Lösung t enem reschntt werden de ufagerräfte aufgeöst und mt Gechgewchtsbedngungen berechnet. ( B) : ( ) ( ) sn α cos α q q 1 1 q (1) q q 1,q 8 : sn ( α ) 1 q q, 677q

5 Unv. Prof. Dr. rer nat. Wofgang H. üer Technsche Unverstät Bern autät V Lehrstuh für Kontnuumsmechan und ateratheore - LK, Ser. S Enstenufer, 187 Bern 6. Übungsbatt Schnttgrößen am begestefen Träger WS 9/1 z : Bz cos ( α ) By q cos q q ( α ) q q1 q 1,87q ach Bestmmung der ufagerasten, önnen mt der ufzehmethode de ormaraft-,uerraftund omentenveräufe gezechnet werden, s. bb. 1. () bbdung 1 Schnttasten sn( ) α cos( ) ür de ethode begnnen wr am ufager. De Lagerraft muss n hre ntee n Stabängs- und uerrchtung zeregt werden. Das Vorzechen der Schnttgrößen und ergbt sch aus Vergech mt der ufagerreton (zur Ernnerung ). Sowoh as auch wesen n entgegengesetzte Rchtung zur ufagerreaton, d.h. negatves Vorzechen. 1 ( 1 ), ( 1 ) Das oment m Berech ergbt sch aus der Suche der Stammfunt. zur uerraft, somt ene neare unton mt negatver Stegung. Wert am Knoten:, Knoten : us enem reschntt dret am Knoten ergbt sch: Da ene Last n ormaraftrchtung voregt, onstanter Verauf ( ), q 677 Wegen der onstanten Strecenast muss de uerraft mt stegendem near abnehmen (zur Ernnerung: d ( ) q( ) ). Den Wert am Knoten j ann man demzufoge auch berechnen zu d ( ) q, q 87 Um den Betrag des mamaen Begemoments, bzw. am Knoten j bestmmen zu önnen, muss zunächst de ustee der uerraftfunton bestmmt werden:

6 Unv. Prof. Dr. rer nat. Wofgang H. üer Technsche Unverstät Bern autät V Lehrstuh für Kontnuumsmechan und ateratheore - LK, Ser. S Enstenufer, 187 Bern 6. Übungsbatt Schnttgrößen am begestefen Träger WS 9/1 ( ) ma q 1 16 ( ) ma q,178q q Knoten 1 1 q q,q q m begestefen Knoten j ann der Verauf der Schnttgrößen überprüft werden, denn de Größen n den Berechen und V önnen echt durch Betrachtung der ufagerreatonen des freen Randes bestmmt werden. BY 1,87q B,667q Genau de geche Betrachtung wrd auch am Knoten B gemacht. west n de geche Rchtung we, d.h. postv. west n de geche Rchtung we, aerdngs hatten wr her enen negatven Wert ausgerechnet. Da ene Lasten m Berech V engeetet werden, beben de Veräufe auch onstant. q Weter geht es be dem freen Ende. Kene Kraft n Stabrchtung. Das Begemoment st wederum ene neare unton mt postver Stegung, d.h. der untonswert muss am Knoten j ( ) q q betragen. Das Begemoment m Berech V ermttet sch gechermaßen zu: V ( ), q 677

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