Gewöhnliche Differentialgleichungen, erste Ordnung

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Hermann Hafner
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1 Gewöhnlche Derenalglechungen erse Ordnung wr haben beres gesehen daß sch ele Probleme n der Phsk durch gewöhnlche Derenalglechungen beschreben lassen besmme Varable als Funkon der Ze d d M den Anangsbedngung ( ) () ( ) psches Bespel dn d U N U τ Talor-Enwcklung d d d ( ) ( ) ( )... d wenn () ene glae Funkon s

2 Gewöhnlche Derenalglechungen erse Ordnung Euler Mehode: Terme der Ordnung () oder höher werden ernachlässg ( ) ( ) ( ( ) ) De lokale Ordnung der besonderen Näherung s Globale Ordnung nach N Schren (b) b der globale Fehler N ( ) ( ) b De Euler-Mehode s global de Näherung Nuller Ordnung de Wahl on s sehr wchg ) Klenere Were on werden klenere Fehler leern aber ühren zu größeren Rechenze-Kosen ) Zu große Were on machen ene Näherung snnlos

3 Gewöhnlche Derenalglechungen erse Ordnung τ radoaker Zerall ( ). τ. zum Bespel ( ) schwng m der Ze We können wr de Suaon ssemasch erbessern? ) höhere Ordnungen n der Talor-Enwcklung ( ) ( ) ( ) benög de Auswerung der parellen Ableung

4 Gewöhnlche Derenalglechungen erse Ordnung ) We modzer man de Näherung erser Ordnung um zuerlässge Ergebnsse zu bekommen? geomersche Inerpreaon der Euler Mehode: Inegraon on d/d on bs ()

5 Gewöhnlche Derenalglechungen erse Ordnung Melwersaz: es gb enen Wer on m zwschen and so dass de genaue Lösung beres m der ersen Ordnung erhalen wrd d d ( ) ( ) m Runge-Kua Mehoden: de Mehode de Krümmung rchg au anderen Punk zu schäzen als ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

6 De Segung wrd ür den Melpunk des Zeneralls geschäz und s der genähere Wer on (Euler-Mehode) be Man kann sehen dass das de Näherung zweer Ordnung s! Rechnung olg Was s besser: Verrngern n der Euler Mehode oder de Runge-Kua Mehode Verwenden? τ Dmensonsloses Verhälns. τ Runge-Kua Mehode ( ) Euler Mehode. muss um enen Fakor ermnder werden

7 Runge-Kua Mehode erer Ordnung ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 6 der lokale Fehler deser Näherung s O([] 5 )

8 Gewöhnlche Derenalglechungen zwee Ordnung d d () ( ) Anangswere ( ) d / d ( ) Das Problem n zwe gekoppele Derenalglechungen erser Ordnung umschreben d d d d ( )

9 Euler Mehode: Terme der Ordnung () oder höher werden ernachlässg ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( De Mehode s ür den Oszllaor nch anwendbar De Gesamenerge wrd nch erhalen De Lösung Euler-Cromer Mehode: weder erse Ordnung O()

10 oder Runge-Kua Mehode: ( ) ( ) wo

11 Vorlesung III. Bauen enes realsscheren Pendels: Dsspaon Nchlnearä und rebende Kra hnzuügen harmonsche Bewegung ) Rebung d θ d g θ L De Ar au de Rebung engeh häng on der Quelle der Rebung ab a) Luwdersand b) Auhängung wo de Schnur zur Unersüzung n Verbndung seh Ar

12 Wr nehmen an dass de Dämpungskra zur Geschwndgke proporonal s L dθ d F R dθ q d q s en Parameer der de Kra der Dämpung besmm d θ d g θ L q dθ d de genaue Lösung s bekann

13 Es gb dre Fälle ) Oszllaor m gernger Dämpung ( ) Ω q / 4 ϕ q / θ ( ) θ e sn Schwngungserhalen m der Frequenz Ω q / 4 Ω g / L ) überdämper Oszllaor θ ( ) θ e q / ± Ω q / 4 monooner eponeneller Aball 3) krsch gedämper Oszllaor θ ( ) ( ) q / C e θ Malab Illusraon

14 ) Hnzuügen ener rebenden Kra zum Problem de rebende Kra s m der Ze snusörmg m der Amplude F D und der Kresrequenz Ω D phskalsche Suaon: de Pendel-Masse ha ene elekrsche Ladung und wr legen en schwngendes elekrsches Feld an d θ g dθ θ q F sn d L d ( ) D Ω D dese rebende Kra kann Energe n das (oder aus dem) Ssem pumpen de Außenrequenz wrd m der Egenrequenz wechselwrken

15 analsche Lösung ( Ω ϕ) θ ) θ sn ( D m FD θ sn ϕ ( ) Ω Ω ( qω ) D D ( Ω ) D Malab Illusraon

16 as nchanalscher Fall: Auslenkungen snd nch klen d θ d g L snθ de Gesamenerge wrd erhalen perodsche Bewegung Malab Illusraon ) De Bewegung wrd nch mehr durch ene enache Kosnus- oder Snusunkon beschreben ) De Perode häng jez on der Amplude ab wr haben enen Algorhmus enwckel der erlaub de nchanalschen Lösungen zu suderen

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