GUTENBERG Produktions- und Kostenfunktion

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1 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon GUTENBERG Produons- und osenfunon PRODUTIONSFUNTION - lonl (echnsch vorgegebenes Forenszverhälns) - lner und nchlner Merl - Produonsoeffzen ( ) und so de Forenszenge ( r ) häng von der Lesungsnensä ( ) des Aggregs b; nch GUTENBERG gb es ene dree Inpu-Oupu-Bezehung für Verbruchsforen - LEONTIEF Produonsfunon s Spezlfll der GUTENBERG Produonsfunon, be der de Inensä des Aggregs ( ) onsn bleb. Enelung der Produonsforen Gebruchsforen (uch: Poenlgu) Verbruchsforen gehen nch physsch n Produ en (werden nch ufgebruch) Bespel: - Berebsel (Mschnen) - Gebäude - Arbesräfe Anzhl der öglchen Arbesenheen (b) enes Aggregs s von der Lesungsnensä () und der Enszze () bhängg, de n Grenzen vrerbr snd b * De Oupuenge () s dvon bhängg, wevel Arbesenheen (b) n ene Oupuenhe engehen. Des bes der Produonsoeffzen (d) des Aggregs b / d ( * ) / d verenfchend wrd dvon usgegngen dss d 1 gl. Produonsfunon für Gebruchsforen b l * (d1) gehen physsch n Produ en (werden ufgebruch) önnen Besndele des Produs werden oder nur der Produon denen Bespel: - Merl (Buwollsoff) - Hlfssoffe (Nähgrn) - Berebssoffe (Sro, Scheröl) Verbruchsfunon [ ρ () ] gb n, wevel Enheen des Fors (r ) pro Arbesenhe (b) des Aggreges n Abhängge von der Lesungsnensä () nowendg s. ρ ρ () für b 1 Produonsoeffzen [ ()] gb n, wevel Enheen des Fors (r ) uner Bechung des Produonsoeffzenen des Aggregs (d) für ene Oupuenhe () benög werden - onsn be Merlen [z.b.:. ] - vrbel be Hlfs- und Berebssoffen, d.h. bhängg von Lesungsnensä () des Aggregs [z.b.: 2 -b+c ] () ρ (). d verenfchend wrd weder d1 ngenoen, so ds gl: () ρ () Forfunon für Verbruchsforen r ().. r (l). l. (d1) Produonsfunon und Forfunon geben llen de echnschen Bezehungen zwschen den Enszengen und den d erzelbren Produonsengen n. Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 1 von 13

2 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon Anlyse (Erlung der oplen Inensä ( ) für effzene Produonspune) Produonsoeffzen (densch Verbruchsfunon r (l) wenn Produonsoeffzen des Aggregs (d) glech ens (d 1) gl. ρ ρ d d 1 gb n, welche Forenszenge von Produonsfor () n Abhängge von der Lesungsnensä des Aggregs benög wrd, u ene Oupuenhe herzusellen M H + B onsn be Merlen vrbel be Hlfs und Berebssoffen + ßgeblch. Oplnens- Zur Erlung der Oplnensä ( ) s nur der vrble H B Produonsoeffzen [ ] ä ( ) leg Mnu des Produonsoeffzenen. Oplnensä: ( )! * Ze-Verbruchs- Lesungsfunon zeg den Verbruch von For () pro Zeenhe () n Abhängge von der Lesungsnensä () ( ) 5 45 Oplnensä ( ) leg dor, wo der Fhrsrhl n der Ze- Verbruchs-Lesungsfunon de gerngse Segung () h (nch verwechseln der gerngsen Segung der Funonsurve!) * Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 2 von 13

3 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon OSTENFUNTIONEN uf BASIS der GUTENBERG Produonsfunon sellen de Bezehung zwschen den Forpresen bewereen Enszengen und den drus resulerenden Gesosen dr. Nur nhnd der osenfunonen nn de Enschedung über ene ople Produon geroffen werden. Sücosenfunon ( ) ( ) ρ q 1 Gb de osen für ene Oupuenhe ( 1) n Abhängge von der vrerbren Mschnennensä ( ) n, wenn - Foren n de Produon engehen und de Forprese (q) onsn snd. (uch: osen-lesungs- Funon) Angbe n Werenhe Mengenenhe Oplnensä: ( )! * Zeosen-Lesungs- Funon z ( ) z z z q ρ q ρ 1 1 gb de osen für ene Zeenhe ( 1) ener der Inensä ( ) lufenden Mschne (Aggreg) n. De n deser Zeenhe hergeselle Oupuenge spel dbe ene Rolle. Angbe n [ Werenhe ] Zeenhe z z ( ) * Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 3 von 13

4 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon Gesosenfunon n Abhängge von der Lesungsnensä ( ) T z q ρ { T 1 q ρ q r 1 r T ρ Gb de osen für de Gesduer der Produon (T) n Abhängge von der Mschnennensä ( ) n. Funonsverluf s vo Verluf der Verbruchsfunon ρ bhängg. ( ) Drsellung ( ( )), -Dgr 4 z ( ) ( ) 3 2 ( ) De Oplnensä ( ) leg dor, wo de Sücosenfunon ( ) nl s bzw. dor wo de Segung () des Fhrsrhls n der Gesosenfunon ( ) ODER der Zeosen-Lesungs- Funon z ( ) nl s. z ( ) 1 ( ) * 8 1 Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 4 von 13

5 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon Gesosenfunon n Abhängge von der Beschäfgung (Oupuenge ) ( ) (, ) ( ) ( ) Gb de Produonsosen n Abhängge von der Oupuenge () n. Funonsverluf s ebenflls vo Verluf der Verbruchs- ρ bhängg ber densch de Verluf von funon ( ) ( ). Drsellung (, ( )) -Dgr! Opler Produonspun: ( ) ( ) ( ) ( ) Opler Produonspun leg dor, wo de Sücosenfunon ( ) nl s bzw. dor wo de Segung () des Fhrsrhls n der Gesosenfunon ( ) nl s. ( ) Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 5 von 13

6 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon Anpssungsforen - Anpssungssregen n nur EINEM Aggreg Zel: osennle Produon ener Oupuenge ( ) zelche Anpssung cons. usschleßlche Produon Oplnensä ( ) Enszze ( ) De Oupuenge vrer zwschen uner llenger Vron der und De osenfunon s ene Gerde ze ze ze ze ( ) (, ) ( ) ( ) cons De osenfunon der zelchen Anpssung ze (, ) osenfunon der nensäsäßgen Anpssung n ( ) wrd lso bs zur Oupuenge De Segung der osenfunon ze (, ) osennl produzer. doner bs zu de. M zelcher Anpssung ensprch über de gese öglche Oupuenge der zelchen Anpssung ( ) der nlsen Segung () des Fhrsrhls n der osenfunon n ( ) ( ) ( ) n, zelche Anpssung ze n (, ) f (, ) En höherer Oupu ls s zelcher Anpssung nch öglch, d de le Enszze usgeschöpf s. Be ener Oupusegerung uss nensäsäßg ngepss werden. Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 6 von 13

7 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon nensäsäßge Anpssung cons. En höherer Oupu ls nn nur durch Anpssung der Lesungsnensä erfolgen. De Produon erfolg usschleßlche be ler Enszze ( ) uner llenger Vron der Lesungsnensä. De Oupuenge vrer zwschen und De osenfunon s nun bhängg von der Verbruchsfunon ρ ( ) n ( ) (, ) (, ). De Sücosen ( ) ( ) seg. ( ) ( ) segen ber der Oupuenge n n ( ) (, ) nensäsäßge Anpssung n n ( ) (, ) En höherer Oupu ls ( ) s nensäsäßger Anpssung nch öglch, d de le Enszze und de le Lesungsnensä usgeschöpf s. Es uss qunv ngepss werden, d.h. es üssen weere Aggrege (Mschnen) engesez werden. Gesosenfunon für Aggregnpssung ( ) ze n ze (, ) ( ) n (, ) zelche Anpssung nensäsäßge Anpssung Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 7 von 13

8 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon Anpssungsforen - Anpssungssregen be MEHREREN funonsglech ABER osenverschedenen Aggregen Proble: Lösung: Sehen ehrere funonsgleche ber osenverschedene Aggrege zur Verfügung, gb es ds Whlproble, welches Aggreg we lnge und welcher Anpssungsfor engesez wrd. Verfhren der voroperen Grenzosen Voroperung bedeue: Schr 1: Schr 2: pro Aggreg wrd zunächs fesgeleg, für welche Oupuenge () zelche oder nensäsäßge Anpssung sfnde (Voroperung) Donnzüberlegung n Bezug uf osenfunon ( ) der zelchen und nensäsäßgen Anpssung) Gülgesbereche der Inensäen bechen! Wenn <, dnn zelche Anpssung nur bs und ene nensäsäßge Anpssung. Wenn <, dnn nur zelche Anpssung und dnch nensäsäßge Anpssung. Feslegung, welches Aggreg wnn und welcher Anpssungsr zu Ensz o (Grenzosenverglech uner Bechung der pzäsgrenzen) Wru s de Voroperung so wchg? De osenfunon ( ) (, ) besz uf Grund hres S-förgen Verlufes enen onv verlufenden (bschnswese snende Grenzosen) und enen onve verlufenden (bschnswese segende Grenzosen) Funonsberech. Wenn n usschleßlch de Grenzosen für de osenfunon der zelchen Anpssung und de nensäsäßge Anpssung für de gese öglche Oupuenge erel, dese n en [ ( ), ] Dgr enzechne und drus de Anpssungsbschne feslegen, dnn ergäbe sch folgendes flsche Bld.: Flscher Ansz! ( ) ( ) für nensäsäßge Anpssung ( ) für zelche Anpssung Be der bloßen Berchung der Grenzosen würde de nensäsäßge Anpssung beres be ener Oupuenge begnnen, de we vor de Mu der zelchen Anpssung leg. Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 8 von 13

9 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon Rchger Ansz! (Vor)Berchung nur enes Aggreges ( ) ren zelche Anpssung onsne Grenzosen (Grenzosen der nensäsäßgen Anpssung werden bs zu Oupu (*) gr nch berche, d de nensäsäßge Anpssung wegen Donnz der osenfunon durch de Voroperung n dese Berech usgeschlossen wurde). ren nensäsäßge Anpssung segende Grenzosen Durch de Voroperung (pro Aggreg) und ers nschleßende Berchung der Grenzosen ( Verglech zu llen Aggregen) wrd schergesell, dss de zelche Anpssung (onsne Grenzosen) voll usgeschöpf wrd und ers dnch ( segenden Grenzosen) de nensäsäßge Anpssung erfolg. Berchung ller öglchen Aggrege und Sregefeslegung A1: n. A2: ons. ( ) A1: ons. A2: zel. A1: n. A2: n. A1: n. A1: zel. Aggreg A2 Aggreg A1 De Begnn- und Abschlussenge des Oupus der enzelnen Abschne wrd durch Glechsezen der Grenzosen und Auflösung nch () erel. Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 9 von 13

10 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon Inensäsng De zelche Anpssung s usgeschlossen, d.h. ds Aggreg nn nur über de gese Enszze ( ) engesez werden. Sllsnd s nch öglch. De Mnlnensä s größer Null ( < ) Aggreg wrd be Inensäsng den Inensäen ( ) und ( ) über de gese Enszze ( ) zur Oupuenge bereben. Ds Inensäsng s osengünsger ls en Bereb lerer Inensä zwschen den beden Inensäen. Be Anschlen der Mschne uss dench ndesens der Mndesnensä produzer werden. bs ngepss (nensäsäßge Anps- Be ene Oupu > sung). wrd de Inensä onnuerlch b bs zwe un- Bs zu ener Oupuenge ( ) wrd über de gese Enszze ( ) erschedlchen Inensäen und ( ) vlle für und ( ) ( ) ( ) geseuer. Achung: ( ) < ( ) n Telzeen ( ) und ( ) 1 2 produzer. De Oupuenge wrd über de Länge der Telzener- gerngse Segung () h, leg dor, wo der Fhrsrhl der ngepssen osenfunon ( ( ) )! ( ) wobe der Fhrsrhl nch Nullpun, sondern be Funonsbegnn ( ( ) ), sre., Dgr sene ( ) ( ) ( ) Produonspun A Produonspun C B ( ) spl Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 1 von 13

11 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon Berechnung 1. Alernve über osenfunon ( ) Vorussezung: 3 2 osenfunon ( ) s n der For ( ) + b + c + d gegeben oder erel worden. De Segungsglechung ( ) der Gerden AC wrd we folg erel: CB AB ( ) ( ) ( ) benn s nn der onree Wer von ( ) erel werden. Außerde s der Mndesoupu ( ) D de osenfunon ( ) (, ) gegeben. So nn ls llenge Funon von und de Mlenszze ( ) drgesell werden. [ ] [ onreer Wer von ] ( ) ( ) onreer Wer von ( ) Durch Polynodvson wrd der Bruch ufgelös u ( n. Polynodvdon ) weerrbeen zu önnen. De Segungsfunon h nch der Polynodvson folgenden Aufbu: ( n. Polynodvdon ) α + β + γ 2 Es gl: De Segung von ( ) s be h be der Segung von densch und sene gerngse Segung (sehe Pun C n der Grf uf der vorhergen See). Dher nn durch Null sezen der ersen Ableung von Segung von ( ) für bes und durch uflösen nch erel werden. ( ) n. Polynodvdon [ ( )]! Durch Auflösung erhäl n. de der onree Wer De Inensä ergb sch us: Oplerwese wrd so de Produon zwschen den Inensäen und ufgeel. Jede Produonsenge, de über hnusgeh, nn nch ehr durch Inensäsng sondern nur noch durch nensäsäßge Anpssung hergesell werden. Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 11 von 13

12 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon 2. Alernve über Ze-osen-Lesungsfunon z Vorussezung: 3 2 osenfunon z ( ) s n der For z + b + c + d gegeben oder erel worden. De Segungsglechung ( ) der Gerden AC wrd we folg erel: z z ( ) z ( ) Benne Vrblen [ z ( ); ] ensezen und Bruch durch Polynodvson uflösen! ( n. Polynodvdon ) 2 α + β + γ De gerngse Segung von ( n. Polynodvdon ) ergb sch dor, wo de erse Ableung von ( n. Polynodvdon ) glech Null s: ( ) n. Polynodvdon [ ( )]! Durch Auflösung erhäl n. Erlung der (Ges)osenfunon De Gesosenfunon beseh us zwe Telen. Ener lneren osenfunon für de Oupuenge ( ) und ener nch lneren osenfunon für Ou- pu > ( ). bs ( ) lnere osenfunon ( ) De osenfunon für ds Inensäsng ( ) AC. Allgeene Drsellung: verläuf lner uf der Srece ( ) + b Segung der Gerdenglechung b onsne der Gerdenglechung Es gl n den Punen ( ) bzw. ( ) : ( ) ( ) bzw. ( ) so dss der Gesosenberg für enen deser beden Pune e erel werden nn. Deser Wer ensprch de lnen Tel der Glechung. Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 12 von 13

13 Produonswrschf E1 Guenberg Produonsfunon De Segung ( ) der lneren osenfunon ( ) s zwr über de ge- se Srece AC densch, ensprch ber nur n den Punen ( ) bzw. ( ) der Segung von ( ) bzw. z ( ) ( ) nur ( n. Polynodvdon ) werden nn, nde:, so dss der onree Wer von n den Sellen ( ) bzw. ( ) 1. Alernve: der onree Wer für ( ) n de Segungsfunon wrd. 2 erel ( n. Polynodvdon ) α + β + γ engesez und berechne 2. Alernve: der Wer für ( ) n de Segungsfunon ( n. Polynodvdon ) 2 α + β + γ engesez und berechne wrd. Zur Erlung der onsne ( b ) werden de nzwschen bennen Vrblen ( ) und ersez und de Glechung nch b ufgelös: [ ] b ( ) + b ( ) {, } nch lnere osenfunon n ( ) Be Oupuenge > ( ) nensäsäßge Anpssung ngesez. wrd de llgeene osenfunon ( ) ( ) n. für ges ( ) n. ( ) + b ( ) (, ) < Inensäsng nensäs. Anpssung Anj Echler / Rolf Bunns SS 25 See 13 von 13