Ein Skript der Vorlesung. Höhere Mathematik für Physiker Kapitel Jordan-Normalform

Transkript

1 En Skrp der orlesung Höhere Mahemak für Physker Kapel Jordan-Normalform Dr. Peer Gesl TU München 4. Semeser SS Daum: 6.6. von Mchael Wack Chrsoph Moder Manuel Saebel ( ) hp:// Hnwese (z.b. auf Fehler) be per emal an uns: mal@skrpweb.de elen Dank.

2 Inhalsverzechns See /4 De Jordannormalform und hre Anwendung auf Syseme homogener lnearer DGL m konsanen Koeffzenen Lneare Abbldungen und Marzen...3 Berechnung der Inversen ener Marx Jordansche Normalform... 6 hp://

3 . zu 6 B'7 v De Jordannormalform und hre Anwendung auf Syseme homogener lnearer DGL m konsanen Koeffzenen See 3/4 De Jordannormalform und hre Anwendung auf Syseme homogener lnearer DGL m konsanen Koeffzenen x A x K. Lneare Abbldungen und Marzen se en K -ekorraum (Körper) s ene Menge von ekoren v K kommuave Gruppe skalare Mulplkaon n Polynome n x m reellen Koeffzenen Grad n Bespele: x n a a a n x n. n Defnon: Ene Menge Bv v von ekoren v heß Bass von wenn: n n v! lnear unabhängg snd d.h. n" : $#&%! % K v n v % ' K( erzeugen d.h. ln v v v v n n n Bemerkung:. Is v bs v n ene Bass von so heß n de Dmenson von (unabhängg von der Bass). v v'. Zu edem )&* * n+- ekor gb es genau n ene K n so dass v n v n Bv v x x B K/ eder Bass B gb es enen Isomorphsmus (d.h. ene bekve lneare Abbldung). Bespel: Polynome vom Grad reelle Koeffzenen x x B' " x " 3 ' x 8 9: 9 9: 9 9: x x 9 Allgemen: K n< 4B' 3 4B' =4B 3 54B 3 K n : hp://

4 K E N F v' n s v' > Marx s " SBA BBC A SA Berechnung von SD B' F SD G G H H. Lneare Abbldungen und Marzen See 4/4 B'v' v BC A n B' B ' s K : > SB$s x v x x x x x v' v' 3 v' s v' x x x Berechnung der Inversen ener Marx erfahren: Auf beden Seen werden mmer de glechen Umformungen gemach (enweder nur Spalen- oder nur Zelenumformungen) bs T zur Enhesmarx geworden s. De Enhesmarx auf E der anderen J See s ann zu TD geworden. I T J L TD F M Defnon: F ' : s lnear falls ( v v v % " " N FOQPSRvTUWPXRFOvT " v v F v F v ' ): hp://

5 . zu E E w E E E B. Lneare Abbldungen und Marzen See 5/4 M F A x " F" b K n M A SD B " B K n " b c x c x Berechnung " x" x von A ( x x ): F F x F. A x x F B F F F F. Y Defnon: Dreke Summe: W ' W falls ' \ () ] W $#( W Zw w [w W w W v' () W W ' v. gb es genau en w W W m w denn: exser wegen () _^ `^. _^ a^ wegen (): w w w w w w w b Bemerkung: ) Is Y v b b md W W Y W ) dann s cv v n w w Bass von. b ) w b w v Is v b md w m von W so dass cv v n w b w ne md. Bass von s. 3) Es kfgb gl nch kfng cv v Bass von v lfgb v lfmg s Bass von W v v Y s Bass von W "h 4) Se B W! W. F lneare Abbldung m F w W. Bass n' v! v m' W k w w W B a S Bespel: F 6 lm 6 B' B K n und w ' v n Bass von W und w! B' F" 6 K n B' 6 B w v n Bass von W dann gb es ene Bass w! w m Bass von W ( W ] $#( hp://

6 FŠHau F ses % HausFu mnmales. Lneare Abbldungen und Marzen See 6/4 n m M B Fœž Ÿ * * * n m. Jordansche Normalform F k Fm n Fm! m F k -mal o Saz: F : se ene lneare Abbldung das charakerssche Polynom zerfäll n Lnearfakoren (n der Fall). Dann gb es ene Bass B von so dass: F" J J J J M B % m J J k % J De J snd bs auf Permuaon endeug besmm (d.h. de Bass darf ledglch % % anders angeordne sen dann snd de J verausch). p Bemerkung: nch Aq unbedng nr verscheden Ivwxsyu$u für. z {}zsyu$u S nr S u Äquvalener Saz: Zu K n K vr lvr gb es ene nvererbare Bass K n so dass S A J. Bewes: Fsyu vwsyuƒu. Zerlegung n Haupräume z {}zsquƒxu % p % p k vr kvr (charakerssches Polynom) für Hau F% G " v F % w Ker d"r (wenn r s der Haupraum glech dem Egenraum) Kern: Ker v G Lemma: w Uner den oraussezungen des Sazes gl:. HausFu vˆ HausFu vˆ { kv. dm Hau F% " Œ % % r 3. "r 4. F Hau F% "y"h Hau F% ". Beschränkung Ž F Q W auf enen Haupraum Annahme: n Hau F% " F % : F % Ker p pš d"n Bemerkung: Es gl: H d s nlpoen : H. m desau ~ l r hp://

7 H nur ¾ v nš Her gl nämlch H. Jordansche Normalform See 7/4 d.h. p n pš m H Lemma: A H Se H nlpoen. Dann gb es ene Bass A so dass M (lauer A F Käschen m deser Srukur Länge des längsen Käschens s p ). M. R: u v Bewes: ª«: š. Ker H ƒ nd ekorräume. pš Es gl: : ( H d ) Denn: ±u² uš v³ š H±u² v³ š u u² H H H šh µ±h u² vš u H u³ ensprechend H falls H H H º u uš u uš š ¹ uš : u p vš H vš H H H H w : Falls H (*) H p½ w p½ w ¹ p¼ für» w H p p½ H H Ker H. Wderspruch zur Mnmalä von p!. Bass von oben : Hnergedanke: man wende wederhol H an (bs man be ankomm). Man blde also ewels enen Bassvekor m Hlfe von H auf den vorgen Bassvekor ab (sell A±H³ hn als Lnearkombnaon durch de anderen Bassvekoren dar). In der Marx M bedeue das: n enem Jordan-Käschen s de erse Dagonale oberhalb der d.h. H vš Haupdagonale alle anderen Elemene snd wel der erse ekor (m Elemen ) auf (auf ) der zwee ekor (n ) auf usw. abgeblde wrd. De Bree des Jordan- Käschens enprch der Länge der Kee der ekorräume. Grund: Wenn man unen be anfäng und de Bass mmer weder um enen ekor erweer kann es passeren dass man seckenbleb daher muss man von der anderen See anfangen. Bewes s exak beschreben n: Fscher: Lneare Algebra (Anhang B). Rezep: de±a xà I³ š ±À$ À Berechnung der Egenwere Á Á±À$ WÀ und elfachheen r k ³r k³r hp://

8 Î Jordannormalform:. Jordansche Normalform See 8/4 Fxere : Ker A I Ker A I à pä KerÅAÆÇ IÈp p mnmal pš pš pêë pé oder pêš p mnmal m dm r. Dann: ÌpÍ ÌpÍ pê Ë U p U p Bass von U p pê ±A À I³ : u u l p ÌpÍ ±A À I³ ÌpÍ Bass von U : u u l p pâ m ersen Käschen l p Elemene Bree p zwees Käschen: l pê Elemene Bree usw. Bespel: A   deïaðwñ IÒÓÔÕÓÑ 3Ï&Ñ$Ð. Egenwere: Ò3 EW: r 3 r 3 H AÂ. I A Ker Ln  Bass (-dmensonal): Â Ö W»¼ U ØÙÚ U Ln u ØÙ u m: hp://

9 Â Â Â. Jordansche Normalform See 9/4 ØÙ u ÛÜ u bedeue: H u ØÙ Â. Haupvekor. Sufe Haupvekoren. Sufe snd de Egenvekoren. 6 3 ÂÂ Ker Ö H AÂ H H 3 H Ln U : Â I Â Â Â Â Â Â Â 3 Â3 Â Â 5 hp://

10 Â. Jordansche Normalform See /4 Ln ( Dmenson) Ln Ln ( Dmensonen) 3 Ln 3 Ø3Ù u Ö U 3 H u Ø3Ù H u Ø3Ù J S A SÝ SÝ Â Þx A ß nà Bespel: DGL A Lösung der DGL A x n (*). Annahme: J (Jordannormalform) hp://

11 ÿ â ã r. Jordansche Normalform c ß See /4 Lösung: e J ác n e J e J e J J J J e J k Iâ J Elemene bre â¹ Iå æ ä îðïòôó e J e kñ eíi öø kù e J k k é øû ò çúçç kñ J çèçç é ê kõ î eí k I k k ý kü I eä þ þ þ æ I ìe çèçç é æ k k Iÿ e ì þ þ þ ÿ þ 3 r þ þ þ eä þ þ e J þ S. Allgemener Fall: S A J A S J S (darauf achen dass man rchg von lnks und rechs dranmulplzer) Lösung von (*): þ þ þ ìÿ þ þ 3 ÿ ÿ þ þ þ r r hp://

12 sn7 e ý kü S ý kü J ðû. Jordansche Normalform See /4 k S û k e A e S J S J Sk k k k S S S e J S J Iw w w ws S J S J k S ) De Spalen der Marx S e J snd lnear unabhängge Lösungen. Se S Iw w Kee von Haupvekoren zum Egenwer A w ws A w (wegen S J S S J S w ws! #" Saz: ()Se ene Kee von Haupvekoren zum Egenwer von eä A. Dann eä snd w $wÿ eä ' wÿ wÿ w3( w&% eä ) s * wÿ ÿ ws ÿ ws+ s ()Se.-/ 3 34 w ws lnear unabhängge Lösungen von x A x. en Egenvekor von A und ene Kee (komplexer) Haupvekoren. e56cos7 w Re sn7 w8 Im e59cos7 : s wÿ Õÿ ws ÿ ws s : s Re Re Re wÿ ÿ ws ÿ ws < s * Im Im Im e59sn7 : s wÿ ÿ ws ÿ ws s : s * Re Re Re wÿ Õÿ ws ÿ ws < s * Im Im Im = A> = 3 - > > A3-3 (3 Bewes: : s Egenwer zu ) eä w (auch für Haupvekoren) Durch Lnearkombnaon von w und wÿ w: Re e56cos7 w Re sn7 wa8 Im eä w w Im e56cos7 w Re sn7 w8 Im lefer unere Lösung. Bespel: e? ä 3 (> 3 s e? ä Egenwer zu > ) e? ä hp://

13 . Jordansche Normalform See 3/4 A B Berechne Lösungen von x A x : Egenwere von A : (ewels doppel) Berechne A Egenvekor zu : H I C 4 H Ln E 4 E C D Ln D C D U F U G F whi C D whi C D Saz ():.- Dann snd e cos C e cos e sn C D sn C D D ÿ C D sn C D ÿ C D C D C D ÿ cos hp://

14 . Jordansche Normalform See 4/4 e sn C D ÿ C D x C D ÿ C D ÿ cos dj Idefx KÖlL Rohöl p -er hp://