- Theorie - 3. Dynamik

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1 K.Bräuer: Phlosophsche Aspeke der modernen Physk, SS 5 - Theore -. Dynamk Wel erschen n sändger Veränderung Veränderung wrd beschreben durch Kräfe Impuls=Kraf*Ze 'sammel' Krafwrkungen Klassschen Mechank: Impuls Geschwndgke von Massepunken auf Bahnkurven Impuls: ha Rchung -> Vekor Wahl enes Koordnaensysems m wllkürlcher Bass Wrkungsfeld Wrkungsfeld S als 'Poenzal' des Impulsfeld: Impuls: p = S Dfferenal: Kraf: S S ds = dq + d q p ( Impuls ) F = S = S q q p ( Energe) Späer: Hamlon-Jacob-Glechung -> E s Erhalungsgröße Verermpuls wegen Lorenz-Invaranz Wrkungsdfferenal: Verermpuls: Koordnaen-Tupel: Tübngen, den.6.5 E S µ ( 4) ( 4) E ( 4) 4 ( 4) ds = dq = p g g dq g g4 dc µ q c pµ ( 4) ( 4) E ( 4 ) 4 p = p g g c eˆ eˆ 4 p ( 4) p = E c ( 4) µ E / c s vere Komponene des konravaranen Verervekors! Energefunkon und nchrelavsscher Grenzfall Länge des Verermpulses s Invarane (Lorenz-Skalar) g (-) (-)

2 Kur Bräuer: Phlosophsche Aspeke der moderenen Physk Länge Impulsvekor Invarane : 4 µν E p = g pµ pν = p = m c c Energe: E = c m c + p = m c + m c Kons Lorenz Skalar 4 p p p klene Impulse: E = mc + + O m 4 c + m c m c m p Schrebwese: m m (-) Hamlon-Jacob-Glechung (HJG) und Hamlon-Funkon Energefunkon (-) über Wrkungsfeld aus S ( r, ) HJG : + ( S ( r, ) ) + V ( r ) = m E p m oder: E = S r, + V r m ( ) Brechung der räumlchen Symmere Impulsänderungen mc nchrelavssch rrelevan - orsabhängges Poenzal V ( r ) (Begründung späer be WW) Energeerhalung Hamlon-Jacob-Glechung lösen durch 'Trennung der Varablen' Lösungsansaz: S r, W r S = r + S HJG : = ( Wr r ) + V ( r ) m S Trennung der Varablen: ( W r ( r )) + V ( r ) = = E m also: Konsanen der Bewegung 'Trennung der Varablen' we be Energe zeunabhängg E = konsan orsunabhängg (-4) (-5)

3 Theore Hamlon-Funkon: N W r ( r ) W r ( r ) N H = g + V ( q,... q ), = m q q spezelles Bespel: W r ( r ) W r ( r ) H = g ( q ) + V ( q ) m q q N W r ( r ) W r ( r ) N + g + V.. N ( q,... q ) = E, = m q q Seperaonsansaz: N W r = W q + W q,..., q, = r dam: W ( q ) g ( q ) + V ( q ) = m q Is ewa V ( r) = V ( z).. N N N (,... ) (,... ) N W q q W q q E g + V q q m q q (,... ).. N.. N N.. N = cons, folg sofor de Impulserhalung n x- und y-rchung p cons, p cons V ( r) = V r folg m r = r cosϕeˆ + r snϕeˆ x = =. Für en Zenralpoenzal y sofor de Erhalung des Drehmpulses p = ϕ cons. Bespel Hamlon-Funkon: H = ( S ) + V ( r ) m Ansaz: S r, W r W S Hamlon-Jacob-Gl.: = + ( ϕ ) + ( ϕ ) ( ϕ ) ( r) ( ϕ ) Wϕ Wr r Seperaon: = me V ( r) = kons. ϕ r Fϕ S Wr r Konsane der Bewegung: = pϕ = me V r ϕ r r ϕ Wr ( r) Wϕ E = + V ( r) + m r r ϕ F r x (-6) y (-7) Tübngen, den.6.5

4 4 Kur Bräuer: Phlosophsche Aspeke der moderenen Physk Bahnkurven 4. Klasssche Mechank Grundlage der Klassschen Mechank: Bahnkurven (genale Absrakon), QM: Messwahrschenlchke & Wrkungsfeld Wellenfunkon + Quanserung Bewegung: zelche Orsänderung der Punkmasse (Geschwndgke proporonal zum Impuls) Proporonaläskonsane: Masse m Kraf änder den Bewegungszusand (e lecher deso größer de Geschwndgke be glecher Impulsänderung) Bahnkurve wrd so über Impulsfeld gelegen, dass Geschwndgke überall proporonal zum Impulsvekor s Punkelchen Impuls Geschwndgke Bahnkurve pk ( q, ) pk ( q, ) ɺ q q v q q = q Impulsfeld: Lösung der HJG Bahnkurve: kaum lösbare Inegralglechung p k k = g p k k + g p ( ( ), ) k q d m m Inegraon des Impulses Wahl geegneer Koordnaen -> Separaon der enzelnen Frehesgrade Energe: E = g p p + V q,..., q, q,..., q + g p + V q m Impuls: + N kl k l M k, l N / V m / T nur wenn g = δ! / g p + V = E T V = kons = E m / / m p = ± E V g Zeablauf: Bahnkurve: ( Separaon, wenn möglch ) = q mqɺ m = d = d = ± dq g p g E V q q ( durch Auflösen des Zeablaufs ) (4-) (4-) (4-)

5 Theore 5 Hamlonsche Bewegungsglechung (HG) Hamlon-Funkon: H q, p g p p V q m Impuls-Or: p = mq ɺ also: Dam folg auch de Impulsdynamk: also: pɺ pɺ qɺ + H = g p = m p d S S S S S H H H = = + qɺ = + + d q q q q q q q p H q q H = q p Bekanne Formulerung der klassschen Mechank: Zyklsche Varablen HG : H qɺ = p H pɺ = q S H p H d S d + + = + H = = q p q q dq dq p= p q auf Bahnkurve! Häng de Energefunkon von ener Koordnae q nch ab, dann s der konugere Impuls ene Erhalungsgröße oder ene Konsane der Bewegung. ( ) q zyklsch: H F q H HG : pɺ = = q also Impulserhalung: p = konsan Durch Wahl geegneer Koordnaen: Holonome Zwangsbedngungen (zeunabhängg) Rheonome Zwangsbedngungen (zeabhängg) Velelchensyseme und konnuerlche Massenverelungen (4-4) (4-5) (4-6) (4-7) Tübngen, den.6.5

6 6 Kur Bräuer: Phlosophsche Aspeke der moderenen Physk 5. Quanenmechank Klasssches Welbld Modernes Welbld Wel s absolu und obev, Bewusssen: exzerper unabhängg vom Beobacher spaalser Korrekuren zur klassschen Physk Bahnkurve Dche der Meßwahrschenlchke Deekor-Ansprech- Wahrschenlchkesdche: narraver kompablser Wr erleben de Wel als Bld m Bewusssen Physk: Geseze zur Erkennbarke ( x, ) ρ S Konnuäsglechung ( KG) : + ρ = m p = = v m Verenhelchung von Inhal und Bewegung Wellenfunkon S( r, ) / ψ ( r, ) ρ ( r, ) e ( S( r, ) + S( r, ) )/ S( r, r, ) / ψ ( r, r, ) = ρ( r, ) ρ( r, ) e = ρ( r, r, ) e ρ Reproduzerbarke Messbarke Transformaon: S + ( S ) + V = m ψ = ψ + Vψ + ρ S m + ρ = m S/ ψ = ρe m ρ ψ ρ (5-) (5-) Operaoren Mlere Energe: * * R E Eρd r = ψ E ψ d r = ψ + ψ d r R Eˆ S/ S S / Re Re * R = ψ ψ d r + R d r Eˆ Energe- Operaor = ρd r= (5-)

7 Theore 7 Mlerer Impuls: * * p pρd r = ψ p ψ d r = ψ R ψ d r ( S ) * R = ψ ψ d r R d r p pˆ Impuls- Operaor = ρd r= ρd f = R (5-4) Mleres Impulsquadra: Quanserung ˆ ˆ ψ ψ ψ ψ ( ψ )( ψ ) * * * p = p d r = d r = d r R S R S * = + ψ ψ d r R R R S = + ρd r R R = ρd r + R S ρd r * R = R d r= R Rd r= ψ ψ d r R ˆ Mlere knesche Energe: p p = + Q, m Q = R m m m R Eˆ ψ pˆ ψ m p Term heb Trennung von Inhal und Bewegung auf R ˆ, ˆ Varablen Operaoren auf : p = S p = pψ = S + ψ ψ R S ˆ ˆ S R E = E =, Eψ = + ψ R also: p ˆ pˆ E = + V Eψ = ψ + Vψ m m Schrödnger-Glechung: ψ = ψ + Vψ m Konnuäsglechung: ρ * S = ψψ = ρ m ρ Sörender Term s verschwunden m ρ ( sehe unen) (5-5) (5-6) (5-7) Tübngen, den.6.5

8 8 Kur Bräuer: Phlosophsche Aspeke der moderenen Physk Durch Quanserung: Führ zu: Komplemenarä von Inhal und Bewegung Glechzeges Vorhandensen aller Möglchkeen Inerferenz Nchlokalä aomaren Srukuren, Halbleer, LASER,... (5-8) Bespel für Lösung der Schrödnger-Glechung Zerfleßen x b b e π b mb Gauß'sches Wellenpake: ψ x, =, m b = b + (5-9) Unschärfe Orsunschärfequadra: Impulsunschärfe: Hesenbergsche Unschärferelaon: * x ψ xˆ ψ dx = x ρdx * * p ψ pˆ ψ dx = ψ ψ dx x p (5-)