Ergänzungsvorlesung zur Physik II. Universität Tübingen Sommersemester 2008 (Vorlesungsaufschrieb)

Transkript

1 Ergänzungsvorlesung zur Physk II Unverstät Tübngen Sommersemester 8 (Vorlesungsaufschreb) Tübngen, den 8.7.

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3 Vorwort Das vorlegende Manuskrpt basert auf der 'Ergänzungsvorlesung zur Physk II' m Sommersemester 7 und wurde m Sommersemester 8 korrgert und erwetert. Zel der Vorlesung st es, Studenten den Ensteg ns Physkstudum auch m Sommersemester zu ermöglchen. Es werden vorwegend de mathematschen Inhalte der Vorlesung 'Physk I' aus dem Wntersemester behandelt. Den Studenanfänger soll damt ermöglcht werden, der Vorlesung 'Physk II' folgen und auch an den 'Übungen zur Physk II' erfolgrech telnehmen zu können. Tübngen, den. Jun 8 Kurt Bräuer Letzte Korrektur: 8. Jul, 8. Fourer-Transformaton Tübngen, den 8.7.

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5 Inhalt. Raum und Koordnatensysteme.... Vektorfunktonen Felder Krummlnge orthogonale Koordnaten Komplee Zahlen Gewöhnlche Dfferentalglechungen Partelle Dfferentalglechungen (Wellenglechung) Fourer-Transformaton Krummlnge Koordnaten Ergänzung Tübngen, den 8.7.

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7 . Raum und Koordnatensysteme Messgrößen n der Physk Messen gescheht zunächst durch Verglech mt enem Maßstab. Messbare Grundgrößen der klassschen Mechank snd räumlche Abstände, zetlche Abstände und Kräfte. Interessant st, dass auch zetlche Abstände und Kräfte zunächst über Ortsmessungen durchgeführt werden (Lauf der Gestrne, Sanduhr, Pendeluhr, Quarzuhr, ; Federwaage, ). Andere physkalsche Größen werden ndrekt gemessen (Ladung, Massen, ). (Strom oder Spannung msst man bem Spulennstrument auch über räumlche Lageveränderung des Zegers). Raumerfahrung und Objektverung des Raumes Raum st Grundlage unserer bewussten Welterfahrung. Alle Bewusstsensnhalte snd räumlch angeordnet (massve Objekte, aber auch Gedanken und Gefühle).. Stufe der Raumerfahrung (Klenknd) Topologe (Nachbarschaft: neben- hnter- überenander).. Stufe der Raumerfahrung(Schulknd) Objektverung der Raumerfahrung durch Messung:. Stufe der Raumerfahrung (Erwachsener) -dmensonaler, relatver Raum: ( belebges Objekt) Maßstab e : Koordnaten : Strecke L = e Rchtungsmaßstäbe Bass eˆ, eˆ, eˆ : Koordnaten,, : D-Bezug zwschen zwe Punkten P, P : y z ( P, P ) y z R = eˆ ˆ ˆ + yey + zez 4.Stufe der Raumerfahrung (Erwachsener) -dmensonaler, absoluter Raum (Raum als unabhängger Behälter für Objekte, Raum wrd selbst zum Objekt): Rchtungsmaßstäbe Bass eˆ, ˆ, ˆ ey e : z Koordnaten, y, z : Bezugspunkt O : Absoluter Punkt m Raum: ( P, O) P R = eˆ + yeˆ + zeˆ y z Objektverte (quantfzerte) räumlche Bezüge -> Objektver Raum Bld des Raumes wrd Bewusstsensnhalt, objektve Welt wrd n objektvem Raum erlebt. (-) (-) (-) Tübngen, den 8.7.

8 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Punkt P m absoluten Raum, dargestellt mt Bassvektoren e und Koordnaten, y, z. Abb. - Vektoren Rchtungen sollen unabhängg vonenander sen: Neue Schrebwese: eˆ, eˆ, eˆ eˆ, eˆ, eˆ y z Inneres Produkt oder Skalarprodukt: für = j; eˆ ˆ e j = δj für j. Inneres Produkt oder Skalarprodukt Kroneckersches -Deltasymbol Durch das nnere Produkt ' ' werden de Rchtungsmaßstäbe zu Bassvektoren. Basstransformatonen De Bassvektoren snd ncht endeutg, man kann den mathematsch beschrebenen Raum ja verscheben, drehen und stauchen. De Bezehung zwschen zwe Punkten P, P wrd davon jedoch ncht beenflusst. ( P, P ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. R = e + yey + zez = e + y ey + z ez ursprünglcher Raum Enen Vektor kennzechnet man durch enen Pfel. Lneare Transformaton T (Basstransformaton): Basstransformaton: Bedngung: also: eˆ = k k k = transformerter Raum δ = eˆ eˆ = T eˆ T eˆ = T eˆ eˆ T = T T j j k k jl l k k l jl k jk, j= k, l= k, l= = δ k = kl k = T T T eˆ = δ k jk j T beschrebt ene so genannte Basstransformaton, genau dann, wenn (-6) erfüllt st. Daraus ergbt sch auch, we de Koordnaten transformert werden müssen. (-4) (-5) (-6)

9 . Raum und Koordnatensysteme aus: folgt: oder umgekehrt: eˆ = T eˆ = eˆ k k k k =, k = k = = T k k = = δ = T T = T T = T = j, k = k = = k = Tk Tjk k j j k jk jk k jk k k= Bespel: Austausch zweer Achsen Transformatonsmatr: ( Tj ) = Bedngung für Bass-Tranf. T jtj = + + =, T jtj = + + =, T jtj = + +, sonst. Transformerte Koordnaten: = + T + = = T + + = = + + T = (-7) (-8) Schrebwese: Es st oft ncht nötg, de Bassvektoren mt aufzuschreben, man defnert Koordnatentrpels: y eˆ ˆ ˆ + yey + zez. z Damt kann man etwa schreben ˆ, ˆ e, ˆ = ey = ez =. (-9) (-) De eˆ bezechnet man als 'Bass des Kartesschen Koordnatensystems'. Es gbt auch 'Krummlnge Koordnanten'. Wchtg werden vor allem Zylnderkoordnaten und Kugelkoordnaten (Kaptel 4). Rechenregeln: Alle Regeln folgen unmttelbar aus der Defnton der Bassvektoren Tübngen, den 8.7.

10 4 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Addton für a ( a, a, a ), b ( b, b, b ) : Addton: a + b = a + b eˆ + a + b eˆ + a + b eˆ ( a b, a b, a b ); z = Subtrakton: a b = a b, a b, a b ; Kommutatvgesetz: a + b = b + a; Assozatvgesetz:. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Multplkaton mt Skalar Multplkaton mt Skalar: λa = ( λa, λa, λa ); Dstrbutvgesetz: λ ( a + b ) = λa + λb; Assozatvgesetz:. Skalarprodukt zwschen Vektoren: ( λµ ) a = λ ( µ a) Das Skalarprodukt ' ' wurde n (-4) für Bassvektoren engeführt. Daraus folgt allgemen Skalarprodukt: a b = a eˆ + a eˆ + a eˆ b eˆ + b eˆ + b eˆ = a ˆ ˆ bj e e j, j= δ j = ab eˆ eˆ + ab eˆ eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + ab e e + ab e e = ab + ab + ab = ab = a b = Enstensche Summenkonventon. (-) (-) (-) Länge enes Vektors: Länge: (-4) r r r r =, y, z = + y + z.

11 . Raum und Koordnatensysteme 5 Geometrsche Interpretaton der Länge enes Vektors nach (-4) und dem pythagoreschen Lehrsatzes. Abb. - Interpretaton des Skalarprodukts zwschen zwe Vektoren: Projekton auf -Achse: a eˆ = a = a cos α; Für Vektor b n -Rchtung: a ( beˆ ) = ab cos α; b Unabhängg vom Koordnatensystem: a b = ab cos α. (-5) Skalarprodukt als Produkt der Vektorenlängen und dem Cosnus des engeschlossenen Wnkels. Abb. - Kreuzprodukt oder Vektorprodukt: Hlfsgröße Antsymmetrscher Fundamentaltensor oder Lev-Cvta-Tensor: ε jk für jk zyklsch,, ; = - für jk antzyklsch,, ; sonst; also ε jk jk und ε = ε =. k = ε k ( antsymmetrsch ) (-6) Tübngen, den 8.7.

12 6 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Defnton: j jk k k = ( eˆ eˆ ε eˆ mt Enstenscher Summenkonventon. also Summaton über k ; z.b.: eˆ eˆ = eˆ, eˆ eˆ = eˆ, eˆ eˆ = eˆ, eˆ eˆ =. y z y z z y ) (-7) Symmtere: ( antsymmetrsch ) eˆ eˆ = eˆ eˆ. (-8) j j Symmetre des Kreuzproduktes. Austausch der Faktoren führt zu Vorzechenwechsel des Ergebnsses (antysmmetrsch). Abb. -4 Kreuzprodukt zwschen Vektoren: aybz azby Kreuzprodukt: a b = a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e bje j = ab j e e j = jk j k z z. ε a b e = a b a b, j=, j=, j, k = εjkeˆ k aby ayb Betrag des Kreuzproduktes: (-9)

13 . Raum und Koordnatensysteme 7 ( a b ) = ( ε ˆ ) ( ˆ ) ˆ ˆ jkab jek ε mnoambneo = aamb jbnε jkε mno e k eo, j, k, m, n, o= = aamb jbn ε jkε mnk = aa bjbj ab a jbj a b ( a b ) = a b ( cosα ) = a b ( ( α ) ) ( snα ) δmδ jn δnδ jm ( zykl. zykl. ( zykl. antz...)..) antzykl antz antz zykl cos ; also: a b = a bsnα für α, π. [ ] δ ko (-) Rchtung des Kreuzprodukts: c = a b a, b da: a c = a eˆ ε a b eˆ jkl j k l (-) = a a b ε = also a c = a c =, analog: = a a b ε = = = a a b ε j k jk j k jk εjk = ε jk a a b ε ; j k jk j k jk Umbenennung j, j a c = ac cosα =, α = π / ( rechter Wnkel ); b c =. Tübngen, den 8.7.

14 8 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Der Betrag des Kreuzproduktes zweer Vektoren a,b entsprcht der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms (-). Das Spatprodukt dree Vektoren a,b,c entsprcht dem Volumen des aufgespannten Spatkrstalls (-). Abb. -5 Spatprodukt Volumen des Spatkrstalls: V = F h ; Volumen Fläche Höhe 'Orenterte Fläche': a b = Feˆ z; Höhe: eˆ z c = h; Volumen=Spatprodukt: V a, b, c = Fh = Feˆ c = a b c. Hnwes: Das Koordnatensystem wurde geegnet gewählt! Determnantenschrebwese des Spatprodukts Spatvolumen: z P V a b c a b c a b c a b c (,, ) = ( ) = ε = ( ) jk j k j k, j, k =, j, k = a b c det a b c, a b c mt für gerade Permutatonen (,j,k ) von (,, ); P ( ) - für ungerade Permutatonen (,j,k ) von (,, ); sonst. (-) (-)

15 9. Vektorfunktonen Vektorfunktonen snd Vektoren, wobe jede Komponente ene Funkton von der Zet, der Bogenlänge oder sonst enem Parameter st. Bahnkurven Bahnkurven snd de Grundlage der klassschen Mechank (Hamltonsches Prnzp). Es snd Idealserungen, se snd ncht beobachtbar! Jedem Objekt (Massepunkt, Punkt n kontnuerlcher Massevertelung) wrd zu jedem Zetpunkt r t zugeordnet. t en Ort Der Ort r ( t) kann ncht belebg genau gemessen werden. Er st ene Idee, kene physkalsche Realtät (alle Messverfahren haben ene beschränkte Genaugket). Maßstab e : belebges Objekt, Koordnaten : Strecke L = e. Meßgröße Konventon (-) Bespele für Bahnkurven (s st Bahnparameter, z.b. Zet t, Bogenlänge, ) Gerade m Raum: Freer Fall: Schraubenkurve: v cos s r + r s r ( s) = r + vs r ( s) = vys r ( s) = r + r sn ( s). z v gs zs Unter Umständen entsprcht v der Geschwndgket. Gerade m Raum Freer Fall Schraubenkurve (-) Verschedene Bahnkurven m dredmensonalen Raum. Abb. - Stetgket von Bahnkurven Es glt für ene belebge Funkton f: Tübngen, den 8.7.

16 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II oder f : D R st stetg n, genau dann, wenn zu jedem ε > en δ > Zel- berech Defntonsberech estert, so dass für alle D mt < δ glt: f f < ε. Für Vektorfunktonen: Dann st (-) f : D R st stetg n lm f = f. (-4) f f eˆ st stetg, wenn alle Koordnaten = = f ( ) oder Vektorkomponenten stetg snd. ˆ = ˆ = = = (-5) (-6) lm f = lm f e f e f. Abletung vektorwertger Funktonen Abletung nach dem Bahnparameter: df ( ) f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) df lm = lm eˆ = d d = = df df df,,. d d d = Zelenvektor df ( ) Der Vektor legt n tangental an der Kurve an. De Bahnkurve ändert sch ja genau n d Rchtung der Bahnkurve. Höhere Abletungen: n n d f ( ) d d f ( ) (-8) ( rekursve Defnton ). n n d d d Geschwndgketsvektor Für de Bahnkurve r ( t) ( Ort als Funkton der Zet ) st dr ( t) = v ( t) de Geschwndgket des Objekts zur Zet t. dt r t + t r t Messbar snd jedoch mmer nur mttlere Geschwndgketen v t eˆ. (-7) (-9)

17 . Vektorfunktonen Rechenregeln: Summenregel: d d d d a + b = a ˆ ˆ ˆ + b e = ae + be = = = d d d d d d = a + b, d d Produktregel : d d d d ( a b ) = ab = a b + a b d d = = d = d d d = a b + a b, d d Produktregel : d d d ( a b ) = ε ˆ ˆ jk a b jek + εjka bj ek d jk = d jk = d d d = a b + a b, d d Produktregel : d d d ( ab ) = a b + a b, d d d Kettenregel: d d da ( b) db( ) a ( b( ) ) = a ( ) ˆ b e =, d = d db d Quotentenregel: d a d d = a b a. d b b d b d Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung Bogenlänge: dr s Für de Bogenlänge s glt: ds= dr = ds. = ds (-) (-) Dann st der dr ˆ ( s) (-) Enhetstangentalvektor t =. ds We oben begründet legt jede Abletung der Bahnkurve nach dem Kurvenparameter m entsprechenden Punkt parallel an der Kurve an. Ferner st nach (-), also nach der Defnton der Bogenlänge s ˆ dr ( s ) t = =. (-) ds Der Tangentalvektor blebt be klenen Änderungen von s n Tangentalrchtung glech (Normerung) er ändert sch genau senkrecht zur Tangente, also st der Krümmung: dtˆ ( s) dtˆ s Enhetsnormalenvektor nˆ =. ds ds Normerung (-4) Tübngen, den 8.7.

18 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II ˆ dt s Krümmung: κ st en Maß für de Krümmung der Raumkurve; ds Krümmungsradus: ρ =. κ (-5) De Änderung des Ortsvektors dr tangert n de Kurve und defnert so den Tangetalvektor t. De Änderung des Tangetlavektors dt steht n senkrecht auf der Kurve. Abb. - Bespel: Kresbahn mt Radus R: Bestmmung von f : r ( s) = ( R cos ( f ( s) ), R sn ( f ( s) ),), dr ( s) = ( sn ( f ( s) ), cos ( f ( s) ), ) Rf ( s) ds Betrag: ( sn( f ( s) )) + ( cos( f ( s) )) =! s dr ( s) = Rf ( s) ds = ds f =, R also: s s r ( s) = R cos,sn, ; R R Tangentalvektor: ˆ s s t = r ( s) = sn,cos, ; R R Normalenvektor: ˆ s s nˆ = t = cos,sn, κ κ R R R s s r ( s) = cos,sn, = ; R R R (-6) Krümmung: κ = ; R Krümmungsradus: ρ = R.

19 . Felder Vektoren und Funktonen Wr betrachten her folgende Vektorstrukturen: Vektor r R : ( r t) r t Vektorwertge Funkton : R R : Skalarfeld: ϕ, : R R R : Vektorfeld: F r, t : : R R R Koordnaten für Poston m Raum; Schar von Vektoren, Kurvenparameter st Zet, Bogenlänge,...; Skalare Funkton von Ort und Zet (Vektoren): Vektorwertge Funkton von Ort und Zet (Vektoren). Skalare Felder: Gravtatonspotental, elektrsches Potental, Temperaturfeld, Vektorelle Felder: Kraftfeld, Geschwndgketsfeld, Elektrsches- und Magnetsches Feld, Bespele: Zentralpotental: Schwerefeld, ϕ ( r ) = r + y + z elektrsches Potental ); Kräfte m Zentralfeld: rˆ r (, y, z) ( Schwerkraft, F ( r ) = = elektrsches Feld. ( + + ) / r r y z ( ) (-) (-) Bemerkung zur Realtät der Felder: Felder snd mathematsche Hlfsmttel zur Beschrebung physkalscher Phänomene aufgrund kausaler Zusammenhänge. Felder snd ncht beobachtbar oder messbar! Wr beobachten zum Bespel, we en Ball durch de Luft flegt, oder we sch Esenspäne auf ener Glasplatte über enem Magneten orenteren. Schwerefelder oder magnetsche Felder treten dabe ncht n Erschenung, aber de beobachteten Phänomene können mt hrer Hlfe berechnet werden. Felder snd real m Snnen gedanklcher Vorstellungen, ncht m Snne physkalscher Objekte. Das gleche glt auch für Raum und Zet. Partelle Abletung Felder hängen n der Regel von dre Raumkoordnaten und ener Zetkoordnate ab. Bem Ableten werden alle bs auf ene, nach der abgeletet wrd, festgehalten: Tübngen, den 8.7.

20 4 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Partelle Abletung: ϕ ( r, t) ϕ ( r + heˆ, t) ϕ ( r, t) (-) = lm ; h h ϕ ( r, t) ϕ (, y + h, z) ϕ (, y, z) etwa = lm,, z, t konstant y h h ϕ ( r, t) ϕ ( ru, t + h) ϕ ( r, t) = lm ; t h h oder F ( r, t) F ( r + heˆ, t) F ( r, t) = lm ; h h F ( r, t) F ( r, t + h) F ( r, t) = lm. t h h Nach ener Varablen oder t wrd also abgeletet und de anderen Varablen werden dabe festgehalten. Schrebwese: oder. ϕ = ϕ Bespele für partelle Abletungen: r Abletung des Ortsvektors, z.b.: = ( ˆ ˆ ˆ ) ˆ y e + yey + zez = ey, y r oder allgemen: = ˆ ˆ j e j = e, j= Kettenregel mt u= + y + z r y Abletung des Abstandes: = y + y + z = ( u u )( yu) =, y r δ j = = u r oder:. r r = j j = = j= j j j= = y (-4) (-5)

21 . Felder 5 Gradenten: Bespel: Abletungsvektor Nablaoperator : Gradent enes Skalarfeldes: Gravtatonspotental, ϕ = = elektrsches Potental r Gradent: =,, = eˆ ; y z = ϕ = eˆ ϕ = ϕ, ϕ, ϕ. ( j j ) j= = y z Partelle Integraton mt u= j j= ϕ = = = / / eˆ ˆ j j e ( uu )( u) ( ) / j= = j= / eˆ j j ; r rˆ = =. r r / = u j = j (-6) (-7) Interpretaton Das Totale Dfferental dϕ gbt an, we sehr sch das Potental ϕ be ener Änderung des Ortes dr ändert: Totales Dfferental: δj = j j = ( ) = j= dϕ r ϕ r d ϕ r eˆ eˆ d ϕ r dr; also bedeutet ϕ ( r ) : We stark ändert sch ϕ n Rchtung dr. Spezell entlang = dϕ ( r ) = ( ϕ ( r )) dr ϕ dr; Äqupotentallnnen: ϕ r steht senkrecht auf Äqupotentallnen von ϕ. Der Gradent zegt entgegen der Falllne und der Betrag gbt de Stelhet an. (-8) Tübngen, den 8.7.

22 6 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Bespel elektrsches Potental enes Dpols: ϕ ( r ) =, r a r + a r = eˆ + yeˆ, a = aeˆ. y Äqupotentallnen und Gradentenfeld enes Dpols. Abb. - Rechenregeln Summenregel: Produktregel: Quotentenregel: Kettenregel: ϕ + ψ = eˆ ϕ + ψ = eˆ ϕ + eˆ ψ = = = = ϕ + ψ ; = = + ( ϕψ ) eˆ ( ϕψ ) eˆ ( ϕ ) ψ ϕ ( ψ ) = = = + ϕ ϕ ϕ ψ = ψ ψ ψ = ( ϕ ) ψ ϕ ( ψ ) ( ϕ ) ψ ϕ ( ψ ) ( ϕ ) ˆ ( ϕ ) f = e f = eˆ = ψ df = ϕ. dϕ ; = ; df ϕ dϕ (-9)

23 . Felder 7 Rchtungsabletung: Rchtung uˆ : uˆ ( r ) h uˆ = u eˆ, uˆ = = Rchtungsabletung: ϕ ϕ lm ( r + huˆ ) ϕ ( r ) h h h ε = ( ε ) ϕ( + ε ˆ) f r u ϕ ( r + ( h + ε ) uˆ ) ϕ ( r + εuˆ ) f ( ε + h) f ( ε ) = lm = lm h h = u ε = Kettenregel r r + εuˆ d d ( ε ) d ( ε ) = f ( ε ) = ϕ ( r + εuˆ ) = ϕ ( r ) r ε = ε = ε dε dε = r dε ε = = u ˆ ϕ r = u ϕ ( r ). = ( ε ) (-) Endmensonale Taylor-Entwcklung We n Abb. - kann man jede enmal stetge Funkton f() m Punkt lnear appromeren: + ( ) f f f (-). De (durchgezogene) Bahnkurve wrd n ener Umgebung von sehr gut durch de (gestrchtelte) Gerade angenähert. Abb. - Nmmt man mehrere Abletungen hnzu, wrd de Appromaton besser. Tübngen, den 8.7.

24 8 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Allgemen: Jede n-mal stetg abletbare Funkton f() kann um enen Punkt n ene so genannte Taylor- Rehe entwckelt werden. Taylor-Polynom: k = ( k ) ( ) n f pn ( ) k! = ( ) k ( n ) n... n! = f + f + f + + f (-) Das Taylor-Polynom hat n deselben ersten n Abletungen we de ursprünglche Funkton f(): und es glt ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) d f d p d n = k d = = n+ ( ) = + ( ) f pn O ( ) n n+ Korrekturterm proportonal zu - (-) (-4) In ener Umgebung von st der Korrekturterm sehr klen und f() kann durch p n () ersetzt werden. Das Polynom p n () st n der Regel vel enfacher oder überhaupt zu handhaben. Bespel cos-funkton: Abletung der cos-funkton: cos ( ) ( ) ( ) Abl. der cos-funktone be = : n d cos n+ sn ungeraden n, = n cos ( ) geraden n; = ( n) Entw. der cos-funkton um = : cos d n d d n n n ( π ) = cos =,,,,,...; n N n = ( n + O + ) n=!. De Güte der enzelnen Entwcklungsstufen st Abb. - abzulesen. (-5)

25 . Felder 9 Taylor-Entwcklungen (durchgezogenen Lnen) der Cosnus-Funkton (gepunktete Lnen) um = n verschedenen Ordnungen. Abb. - Bespel: Entwcklung von + um = : mt u = + : ( ) ( u ) ( ) + = + =, + = + = + =, / u = 4 4 ( ) ( ) ( ) / ( ) ( n ) n= ( + ) + = + =, 5/ 4u = ( ) ( ) n+ n n+ 5 n +... = ( k ); = also: n k = an an n 4 + = = + mt. n! O < sogenannter Konvergenzradus (-6) Tübngen, den 8.7.

26 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Taylor-Entwcklung für f()=(+) -/ um = für verschedene Ordnungen. De Rehe konvergert nur m Intervall [-,], we n der Funktonentheore bewesen wrd. Abb. -4 Taylor-Entwcklung für Felder Mt Hlfe der Rchtungsabletung nach (-) wrd de Taylor-Entwcklung ganz zwanglos auf Felder erwetert: ˆ ( r r ) (-7) Taylor-Entwcklung von ϕ um r mt d r r, d = : r r n N ( dˆ ) ϕ n ϕ ( r ) = d n! n= r = r N ( ) ˆ ( ˆ ) ( ˆ n = ϕ r + d ϕ d + d ϕ d + + d ) ϕ d + Restgled r = r N! r = r r = r

27 . Felder Wchtg: Es st / dˆ ϕ r = d / j d dk dl lϕ ( r ) jk = jkl = jkl = ( ) ϕ ( δ ) ϕ / / / / j k l k l k l l = d d d d + d d + d d r / / / / j k l k l k l l = d d d d d + d + d d r d = d + d + d d d ϕ r d d d = = dˆ dˆ ϕ r ; ( ˆ ) n ϕ ˆ ˆ ( ˆ ( ) ) ϕ und d r = d d d r. Bespel: Entwcklung von r a um r =. Ord.: r a = a; r = /. Ord.: a r a r r a = ( j a j ) = = r / = r j= r r a ˆ ˆ, ( j a j ) j= also a r a rˆ r a r = rˆ r = ; r = a a. Ord.: rˆ r a = rˆ rˆ r a also / j j = j ( k k ) j r r a = = k = j= r r ( j a j )( a ) ( k ak ), j j = / / j= ( rˆ a) r ( r a) rˆ ( rˆ ) r a r = r = r = a a a a ( j a j ) ( k ak ) k = δ r r ( k ak ) k =. / (-8) (-9) Tübngen, den 8.7.

28 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II r a r ( r a) Insgesammt: r a = a + + O ( r ). a a a Anderer Weg: Wr wenden enen Trck an, um das Feld endmensonal zu entwckeln: r a = a r a + r = a + = a + + O( ) r r a 4 a sehe oben r r a r r a = a + + O ( r ) a 8 a r a r ( r a) r a r ( r a) = a + + O 4 ( r ) = a + + O ( r ). a a a a a a (-) (-) Wegntegrale Enfache Integraton über enen Weg be konstantem Integranden (her =) r r r r r dr deˆ dyeˆ dzeˆ deˆ dyeˆ dzeˆ = ( + + ) = + + y z y z r r r r r ( ) eˆ ( ) ˆ ( ) ˆ y y ey z z ez r r = + + = Länge des drekten Weges. (-) Integral über en skalares Feld Das geht ncht so ganz analog, wel de Funkton ja m Allgemenen von allen Koordnaten abhängt. r r ϕ ( r ) dr = ϕ (, y, z)( deˆ ˆ ˆ + dyey + dzez ) r r r r ( ϕ (, y, z) deˆ (,, ) ˆ (,, ) ˆ ϕ y z dyey ϕ y z dzez ) = + + (-) Man muss also angeben, welcher Wert von zu enem bestmmten Wert von y oder z gehört. Man muss den Weg parametrseren: Parametrserung: r = r s s st etwa Bogenlänge, (-4) Damt st Dfferental: Für Zet t : ( Zet oder en anderer Parameter ; r dr = ds = r ds; s r dr = dt = rdt ɺ = vdt ( v st Geschwndgket ). t )

29 . Felder r t (-5) ϕ r dr ϕ r s r s ds. = ( ) r t Bem Ensetzen der Funktonen ergbt sch en gewöhnlches, bestmmtes Integral. Bespel Bespel Bahnkurve freer Fall: r ( t) = a t, dr ( t) = v ( t) = atdt Wegntegral: Konstant r t dr = atdt = a t t r t ( ) (-6) Integral über en Vektorfeld Sehr fundamental! Bespele: Arbet = Kraft Weg da = F dr also: r t A = F dr = F r s ds r t (-7) Weg n Kraftfeldern. Lnks führt der Weg Γ entlang der -Achse ns unendlche und der Weg Γ von enem Punkt auf ener Äqupotentallne zu enem anderen. Rechts betrachten wr zwe geschlossene Wege, Γ legt neben dem Zentrum des Wrbels, Γ umfasst es. Abb. -5 Lnkes Bld n Abb. -5: rˆ r (-8) Kraftfeld: Fa = =. r r Tübngen, den 8.7.

30 4 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II ( [ ]) + ( ) Weg s, : R R s R r = lm, r = lm ; A = F dr = r ds = R ds Arbet : r lm lm r Γ s ( R + ( R) s) = lm ( R) ds = lm ( R + s) u, ds= du / ( R+ s ) R+ = lm du lm lm = = u u R R R ds (-9) =. R Wr erhalten das Potental ϕ. ( s [ ]) ( s) Weg, : r = s, r = ; Arbet : s s A = F dr = dt / Γ Γ (( s) s ) + Integraton mt Substtuton u= s s+ + s= u u ( s ) + s = ds = (( ) s + s ) u ( s+ s ) = u / / u u ds du = u / =. Her bewegen wr uns von enem Punkt auf ener Äqupotentallne zur anderen. Rechtes Bld n Abb. -5: Ene Rechnung zegt, dass (-) rˆ eˆ ˆ z r ez (-) Kraftfeld: Fb = =. r r Weg : A = F dr ; Weg Weg : A = F dr =. Weg Der Untersched zwschen den beden Wegen st klar: b b (-)

31 . Felder 5 Auf Weg bewegt man sch um de Sngulartät herum (etwa mt ener Ladung um enen stromführenden Leter). De Kraft kommt vorwegend aus der Bewegungsrchtung. Auf Weg bewegt man sch an der Sngulartät vorbe. De Kraft wechselt hre Rchtung und de Komponenten kompenseren sch. Konservatve Kraftfelder. De Egenschaft der Wegunabhänggket der Arbet st sehr elementar. Wenn man enen Berg bestegt, hängt de Potentelle Energe am Gpfel ncht vom Weg ab. Das Kraftfeld der Gravtaton hat en Potental: allgemener: Für en konservatves Kraftfeld F st rˆ r Für das Kraftfeld F = = r r estert en Potental ϕ mt F = ϕ. a) das Wegntegral st unabhängg vom Weg: F dr = F dr; Γ Γ ( r r ) ( r r ) b) das Integral auf jeder geschlossenen Bahn F dr F dr = ; Γ Γ c) für alle r st de Rotaton F ( r ) =; d) es estert en Potental ϕ mt ϕ = F. ( r r ) De Aussagen a-d snd äquvalent und defneren den Ausdruck 'konservatv'. In den obgen Bespelen st Feld F a offenschtlch konservatv, Feld F b ncht. (-) (-4) Tübngen, den 8.7.

32 6 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Bespel: Bogenlänge auf ener Kurve r ( ) dr ( ) d d / / / Bogenlänge der Kurve : =, = = + ( ) / dr = dr ( ) = + d = ( + ) Γ = sn / = ( + ) ( Stammfunkton ) (-5) Bogenlänge der Kurve / Flächen- und Volumenntegrale Defnton des Integrals über ene Dmenson : N Stützstellen: = + -, N = ; = Fläche unter der Kurve: A = lm f df. N (-6) Man berechnet her ene Fläche (D-Volumen) und das kann auch n und y etwas symmetrscher Schreben: Stützstellen: Fläche unter der Kurve: N = + ( -), N = ; f ( ) y j = y + ( j -) y, N y, = ; y f ( ) N N y, f A = lm y dy d dyd. y = j = (-7)

33 . Felder 7 Integraton als Flächenberechung. Lnks wrd de genannte Obersumme gebldet, ndem de -Koordnate n nfntesmale Abschntte untertelt wrd. Rechts wrd zusätzlch auch de y-koordnate n nfntesmale Abschntte untertelt. Des führt auf ene Verallgemenerung zu Volumenntegralen. De Äquvalenz von (-6) und (-7) seht man lecht: f ( ) A = dy d = f d. f ( ) y Des wrd nun zum Volumenntegral verallgemenert: (, ) y z y V = ddydz = d dy dz. (, ) V y z y De Rehenfolge der Integratonen rchtet sch nach der Geometre (sehe folgendes Bespel). Bezechnungen: Abb. -6 (-8) (-9) ddydz = dv = d r (-4) V V V z. B. n der Vorlesung Tübngen, den 8.7.

34 8 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Bespel Pyramde Pyramde, deren Volumen n (-4) berechnet wrd. Abb. -7 Integratonsbereche: = + z z, y = + z z, z = ; (-4) Volumen: V z z z + z + z + z ( ) = 4 dz z = 4 dz z z + = 4 z z + z (( ) ( )) V = dv = dz dyd = dz y = dz z + z Telchendchte = 4. ( r ) { } Anzahl von Telchen m Volumen V : n, k K ; Telchendchte: Anzahl N von Telchen m Gesamtvolumen: Massendchte: k k ρ k nk = V k ; n N = n = V dv ρ r. K K k k k k = k = V k V { } Masse m Volumen V : m n, k K ; m nk Massendchte: ɶ ρ ( rk ) = ; V k k m n Masse m Gesamtvolumen: M = m n = V dv r. Ladungsdcht geht analog. Schwerpunkt (Integraton über Vektorfeld) k K K k k k ρ k k = k = V ɶ k V m n Schwerpunkt: R r m n = r V dvr ( r ). M M V M Bespel Geodreeck (konstante Massendchte) K K k k k k k k ρ k k = k = ɶ k V (-4) (-4) (-44)

35 . Felder 9 Geodreeck, dessen Schwerpunkt n (-45) berechnet wrd. Abb. -8 Dchte: M M ɶ ρ ( rk ) = = ; V d Schwerpunkt: R = dvr r = M d dz dy d e + ye + ze d y ɶ k ρ ( k ) ( y z ) V + y d dz dy = (( y) ( y) ) e ( y) yey ( y) ze z d = d dz = e ze d +. d = ( ) ( y ) z = ( de ) y + d e z d (-45) Tübngen, den 8.7.

36

37 Rückblck 4. Krummlnge orthogonale Koordnaten Zur quanttatven Erfassung räumlcher (und zetlcher) Bezüge denen Koordnatensysteme. Bsher haben wr Kartessche Koordnaten betrachtet: { } { } { } Bass: eˆ,,, ; Koordnaten:,,,, y, z ; Vektoren: ˆ r = e = (, y, z) = y. Zahlentrpel z Zelenvektor Zahlentrpel Spaltenvektor (4-) Produkte: Skalarprodukt eˆ eˆ = δ, a b = a b j j ( R R R) = a b : cos ϕ ; Betrag Betrag cos des von a von b engeschl. Wnkels Vektorprodukt eˆ eˆ = ε eˆ, a b = ε a b eˆ jk k jk j k ( R R R ) = a b : sn ϕ ; Spatprodukt: V a, b, c a b c Abletungen und Integrale: r = ( ) = ( a b c ) Gradent: ϕ = ; Wegntegral: Volumenntegrale: ( r ) eˆ ϕ ( r ) det,,, ϕ ( ) = ϕ r s( r ) r s r ( ) = ( ) r s r s r Betrag Betrag sn des von a von b engeschl. Wnkels Volumen des Spatkrstalls. dr s r s ds s r s s st Wegparameter ; dr s F r s dsr s F r s u (, v j ) dvf ( r ) d d = j dk f ( r ). ( ) (, j ) V v u ; (4-) (4-) Tübngen, den 8.7.

38 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II In der Physk legen oft Symmetren vor (Translatonssymmetre, Rotatonssymmetre, Kugelsymmetre). Dann kann der Rechenaufwand für Abletungen und Integratonen wesentlche rngert werden, wenn man geegnete Koordnaten enführt. Zur Bestmmung der Rechenregeln geht man jedoch mmer auf de Kartesschen Koordnaten zurück. Se legen fest, we wr räumlche Bezüge objektvert haben. Zylnderkoordnaten Zylnderkoordnaten legen enen Raumpunkt fest durch senen Abstand ρ zur z-achse, den Wnkel φ zwschen Projekton auf -y-ebene und -Achse und durch sene z-koordnate. Abb. 4- Zylnderkoord.: ρ + y, y φ = arctan [, π ], z = z; ( ) Umkehrung: = cos, also + = cos + sn ρ φ y ρ φ φ y = ρ sn φ, = s z = z, y ρ snφ und = = arctan φ; ρ cosφ Vektor: r = ρ cosφeˆ + ρ snφeˆ + zeˆ ρ cosφ = ρ sn φ. z y z (4-4) Optmale Bassvektoren für Zylnderkoordnaten: De Rchtung der Bassvektoren wrd festgelegt durch den Tangentalvektor an de Kurve, de sch durch Varaton der entsprechenden Koordnate ergbt.

39 4. Krummlnge orthogonale Koordnaten q r q r q r q r Defnton: eˆ Normerung: ˆ ˆ q e ; q e q = = = q r q r q r ( q r ) Orthogonale Bass: eˆ eˆ = δ. q q j j Für de n (4-4) defnerten Zylnderkoordnaten ergbt sch so ρ-koordnaten: r = eˆ ρ φ + eˆ ρ φ + eˆ z ( cos ) ( sn ) ρ ρ y ρ z ρ = cosφeˆ + sn φeˆ, r = cos e + sn e = cos + sn =, ρ ( φ ˆ ˆ φ y ) ( φ ) ( φ ) cosφ ˆ ˆ cos ˆ eρ = e φ + ey snφ = sn φ ; ϕ-koordnaten: r = eˆ ρ φ + eˆ ρ φ + eˆ z y ( cos ) ( sn ) φ φ y φ z φ = ρ snφeˆ + ρ cos φeˆ, r = ρ cosφe + ρ sn φe = ρ, φ ( ˆ ˆ ) y snφ ˆ sn ˆ cos ˆ eφ = φe + φey = cos φ ; ( ρ cosφ ) ( ρ snφ ) z-koordnaten: eˆ = eˆ + eˆ + eˆ z z z y z z z ˆ = ez =. Für de Abletungen der Bassvektoren glt: eˆ = snφeˆ + cos φeˆ = eˆ ; φ ρ y φ eˆ = cosφeˆ sn φeˆ = eˆ. ρ φ y ρ y (4-5) (4-6) (4-7) (4-8) (4-9) Tübngen, den 8.7.

40 4 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Skalarprodukte: ( φ φ y ) ( φ ) ( φ ) ( φ φ y ) ( φ ) ( φ ) eˆ eˆ eˆ ρ = cos + sn = cos + sn = ; eˆ eˆ eˆ φ eˆ z = ; = sn + cos = sn + cos = ; ( φ φ y ) ( φ φ y ) eˆ eˆ = cos eˆ + sn eˆ sn eˆ + cos eˆ = ; ρ φ eˆ eˆ = eˆ eˆ =. φ z z ρ (4-) Vektorprodukte: ( φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ φ φ ) eˆ eˆ = cos eˆ + sn eˆ cos eˆ + sn eˆ = cos sn sn cos eˆ eˆ = ; ρ y y y eˆ eˆ = sn eˆ + cos eˆ sn eˆ + cos eˆ = sn cos + cos sn eˆ eˆ = ; φ y y y eˆ eˆ = = ; z ρ φ z ( cosφ snφ y ) ( snφ cosφ y ) ( cosφ ) ( snφ ) ( φ φ ) φ φ ( φ φ ) φ φ eˆ eˆ = eˆ + eˆ eˆ + eˆ = + ρ φ eˆ eˆ = eˆ ; y z eˆ eˆ = sn eˆ + cos eˆ eˆ = sn eˆ + cos eˆ = eˆ ; φ z y z y eˆ eˆ = eˆ cos eˆ + sn eˆ = cos eˆ sn eˆ = eˆ. z ρ z y y Begletendes Dreben: ρ φ (4-) De Bassvektoren der Zylnderkoordnaten (und aller anderen orthogonaler, krummlnger Koordnaten) blden an jedem Raumpunkt en orthogonales Koordnatensystem. Wenn sch der Punkt r (etwa auf ener Bahnkurve) bewegt, wrd er von desem 'Dreben' begletet. Abb. 4-

41 4. Krummlnge orthogonale Koordnaten 5 Bespel: Zetabletung des Ortsvektors Ortsvektor: ρ cosφ cosφ r = ρ snφ = ρ snφ + z z = ρeˆ ˆ ρ + zez; Geschwndgket: rɺ = ɺ ρeˆ eˆ zeˆ ˆ ρ + ρ ɺ ρ + ɺ z + zeɺ z Beschleungung: ɺ ϕeˆ φ eˆ ρ = ɺ ρeˆ ˆ ˆ ρ + ρϕɺ eφ + ze ɺ z; ɺɺ r = ɺɺ ρeˆ eˆ eˆ eˆ eˆ zeˆ ρ + ɺ ρ ɺ ρ + ɺ ρϕɺ φ + ρϕɺɺ φ + ρϕɺ ɺ φ + ɺɺ ɺ ϕeˆ φ Radalbeschleungung eˆ z ɺ ϕeˆ ρ Azmuthal- geschwnd. Radalgeschwnd. Zentrfugalbeschleungung = ɺɺ ρ ρϕɺ eˆ ( ) eˆ ρ + ɺ ρϕɺ + ρϕɺɺ φ + ɺɺ zeˆ. z Azmuthalbeschleungung z (4-) Totale Dfferentale Dfferental des Ortsvektors für krummlnge Koordnaten: Dfferental enes Skalarfeldes q r (4-) dr = ˆ wegen ˆ q rdq. = q r e q dq e q q r dϕ = ϕdq. (4-4) q Gradent: Gradent allgemen: ϕ = O eˆ ; dr Gradent Totales Dfferental: dϕ = ( ϕ ) dr = O ˆ ˆ q e ; q q r e j q dq j j = Oq q r dq Koeffzentenvergl.: O q q ( q Invarant, n allen Koordnatensyst. glech q ϕ =. r q ) = q ϕ ( sehe oben) (4-5) Tübngen, den 8.7.

42 6 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Gradent für Zylnderkoordnaten: φ = ρ ρφ ρ + φ φϕ φ + ϕ Gradent: r eˆ r eˆ r eˆ = ϕ ( ρφ ) = ( ) ˆ ˆ ˆ ρφ eρ + φϕ eφ + zϕ ez. ρ = ρ z z z (4-6) Bem Gradent werden de Größenänderungen der Lnenelemente berückschtgt. Während das Lnenelement n ρ-rchtung mmer glech groß st, hängt das Lnenelement n φ-rchtung vom Abstand ρ zur z-achse ab. Abb. 4- zegt, dass genau de Normerungsfaktoren der Bassvektoren r = r eˆ q q q Abb. 4- de Größenänderung der Lnenelemente beschreben. Dese müssen bem Ableten durch Telen und bem Integreren durch multplzeren mt den Normerungsfaktoren berückschtgt werden: (, + h) (, ) (, ) ϕ ρ φ ϕ ρ φ ϕ ρ φ lm. h h ρ φ (4-7) Volumenntegrale Das elementare Volumen, über das be Verwendung von Kartesschen Koordnaten aufsummert wrd, wrd von den dre Bassvektoren eˆ, eˆ, e ˆ aufgespannt: y z

43 4. Krummlnge orthogonale Koordnaten 7 De dre Bassvektoren spannen ene Volumen (Quader oder allgemener Spatkrstall) auf, das de elementare Volumenenhet defnert. Der Wert von Volumen, de von dre anderen Vektoren aufgespannt werden, bezeht sch auf dese Voluemenenhet. Abb. 4-4 Zur Verallgemenerung dredmensonaler Volumenelemente dent das Spatprodukt V = a b c = det a, b, c (4-8) (sehe erstes Kaptel). Das elementare Volumen kann entsprechend n ene nvarante Form gebracht werden: (,, ) (,, ) = det ( eˆ ˆ ˆ, ey, ez ) ddydz = det ( r, yr, zr ) ddydz; Spatvolumen: dv eˆ eˆ eˆ V eˆ eˆ eˆ ddydz = eˆ eˆ eˆ ddydz y z y z y z Mt der Jacob-Matr: y z ( r, yr, zr ) = y y y z y =, z yz z z und der Jacob-Det.: det ( r, yr, zr ) = ; also: dv ( eˆ, ˆ, ˆ ey ez ) = dv ( r, yr, zr ) = V ( r, yr, zr ) ddydz = det r, r, r ddydz. ( y z ) Das nvarante (vom Koordnatensystem unabhängge) Volumenelement st also oder ( q, q, q ) = det ( q, q, q ) (4-9) dv r r r r r r dq dq dq (4-) Tübngen, den 8.7.

44 8 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II q r wegen eˆ q : r q ( ) ( ˆ ˆ ˆ q,, det,, ) q q = q q q q q q dv r r r r e r e r e dq dq dq = für orthogonale Basen Für Koordnatensysteme mt orthogonalen Basen st also = det ( eˆ ˆ ˆ q, e ) q, e q q r q r q r dq dqdq. q q q q q q (4-) dv r, r, r = r r r dq dq dq. (4-) Abb. 4- veranschaulcht das Auftauchen der Normerungsfaktoren r = r eˆ. q q q Volumenelement für Zylnderkoordnaten dv r, r, r = r r r dρdφdz = ρdρdφdz. (4-) ( ρ φ z ) ρ φ z = = ρ = Bespel: Volumen enes Zylnders mt Radus R und Höhe h R π h dv = d d dz = R h ρ ρ ϕ π ( R h) π Zyl, R h. (4-4)

45 4. Krummlnge orthogonale Koordnaten 9 Kugelkoordnaten Kugelkoordnaten: r cosφ snϑ r = r snφ sn ϑ, ϑ [, π ], φ [, π ]. r cosϑ (4-5) In Kugelkoordnaten wrd en Raumpunkt beschreben durch senen Abstand r zum Ursprung, durch den Polarwnkel θ (Wnkel zwschen z-achse (Pol) und Vektor) und den Azmutwnkel φ (Wnkel zwschen -Achse und Projekton des Vektors auf de -y-ebene). Abb. 4-5 Bassvektoren: snϑ cosφ rr = snϑ sn φ, rr = (( cosφ ) + ( snφ ) )( snϑ ) + ( cosϑ ) = ; cosϑ cosϑ cosφ ϑr = r r = r ( + ) + = r snϑ snϑ snφ φr = r c snϑ os φ, φr = r (( snφ ) + ( cosφ ) )( snϑ ) = r snϑ. Also cosϑ sn φ, ϑ cosφ snφ cosϑ sn ϑ ; cosφ snϑ cosφ cosϑ snφ ˆ e sn sn, ˆ sn cos, ˆ r = φ ϑ eϑ = φ ϑ eφ = cos φ. cosϑ snϑ (4-6) (4-7) Tübngen, den 8.7.

46 4 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Spatprodukt cosφ snϑ cosφ cosϑ snφ ( ˆ, ˆ, ˆ V er eϑ eφ ) = det snφ snϑ snφ cosϑ cosφ cosϑ snϑ ( φ ) ( ϑ) ( φ ) ( ϑ ) ( ( cosφ ) ( snϑ) ) ( snφ ) ( cosϑ ) = + cos cos + sn sn ( cosφ ) = cosφ cosϑ + cosφ snϑ + snφ snϑ + snφ cosϑ =. ( snφ ) (4-8) Gradent Gradent: φ = r φ eˆ + r eˆ r eˆ ϑ ϑϕ ϑ + φ φϕ φ r r r = r ( r snϑ) (4-9) = ( ) ˆ ˆ ˆ rφ er + ϑϕ eϑ + φϕ eφ. r r snϑ Bespel: eˆ ˆ r r (4-) = r er = =. r r r r Invarantes Volumenelement: dv r, r, r = r r r d ρdφdz = r sn ϑdrdϑdφ. (4-) ( r ϑ φ ) r ϑ φ = = r = r snϑ Bespel Volumen ener Kugel mt Radus R: R 4π V = sn sn. K R r ϑdrdϑdφ = r dr ϑdϑ dφ = R K R π R u= cos ϑ, du = snϑdϑ π sn d = du= ϑ ϑ π π (4-) Bespel Potental ener Ladung n homogener Vertelung

47 4. Krummlnge orthogonale Koordnaten 4 Fall a: Fall b: ρ ρ ( r ) Q ϕ ( r ) = dv = dv K ( R) r r π R K ( R) r r r r 4 + Q = r dr snϑ d ϑ d φ 4π R r r r cos ϑ + r u= R R + + r dr du r dr r + r ru + r u= Q Q r r ru r = = R R r r Q = R R r + r r r. r r R r dr r > R r π ( außerhalb ) : ( r r) ( r r) R R R Q + + Q r Q ϕ ( r ) = r dr r dr r dr R = = r r R r r R r = Q r. r < R r nnerhalb : r R Q ( r + r) ( r r ) r + r r r ϕ ( r ) = r dr r dr R + r r r r r = r ( sehe oben) u π π R R Q r Q = r r dr r r dr + R = + r r R r r ( R r ) Q Q = r + ( R r ) = R r R R Q r Q = we Fall a. = R R r R R R (4-) (4-4) (4-5) Tübngen, den 8.7.

48 4 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Potental ener homogenen Ladungsvertelung nach (4-5). De Ladung st homogen lnks der gestrchelten Lne vertelt. Abb. 4-6

49 4 5. Komplee Zahlen De magnäre Enhet '': Bem Lösen von quadratschen Glechungen treten negatve Wurzeln auf: Man führt de magnäre Enhet en: Quadratsche Glechung: + = ; 'Lösung': = ±. Imagnäre Enhet: = also: + = = ±. Damt lassen sch alle Wurzeln zehen (Fundamentalsatz der Algebra: Jedes reelle Polynom vom Grad N hat genau N komplee Nullstellen). Vorscht: Komplee Zahlen Falsch: 4 = 4 = ; sondern: 4 = 4 =.? (5-) (5-) (5-) Komplee Zahl: z a + b. (5-4) Realtel Imagnärtel Rechenregeln: De Regeln folgen aus der Defnton der kompleen Zahl z: Glechhet: z = a + b = a + b, g. d. w. a = a und b = b ; Addton: z + z = a + b + a + b = a + a + b + b = z; Multplkaton: z z = a + b a + b = aa bb + ab + ab = z; wchtg: z = z = oder z = ; a b a b Dvson: z = = = + = z ; z a + b a + ba b a + b a + b * * Konjugaton:, z = a b. Betrag: a a = a b z z z = a b a + b = a + b * b b (5-5) Gaußsche Zahlenebene Wr führen en neues Vektorprodukt zwschen Bassvektoren en: Tübngen, den 8.7.

50 44 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II eˆ eˆ = eˆ, eˆ eˆ = eˆ eˆ = eˆ, eˆ eˆ = eˆ. (5-6) y y y y y Damt kann man komple Zahlen als Zahlendublets darstellen: Komplee Zahl: z = aeˆ + beˆ = a, b ; ( y ) ( y ) Multplkaton: z z a eˆ + b eˆ a eˆ + b eˆ y ˆ ( ) ( a a b b, a b a b ). = a a b b e + a b + a b eˆ = + Auch alle anderen Regeln aus (5-5) ergeben sch so aus (5-6). Vor allem kann man mt dem Vektorpordukt auch durch Vektoren telen. Ene Weterverfolgung deser Lne führt auf Quaternonen. Graphsche Veranschaulchung: y (5-7) Komplee Zahl z n der Gaußschen Zahlenebene (Dublets) und n Kreskoordnaten (r,φ). Abb. 5- Kreskoordnaten: φ b z = a + b = re, mt r = a + b, φ = arctan. a Für -D Graphken lassen sch n deser Darstellung sehr elegante Algorthmen entwckeln. Bespel: { ( α α ) } ( φ+ α ) α Drehung um Wnkel α : e z = re ; Spegelung an der Ursprungsgeraden g = t cos + sn, t R : α * α φ e z = e re = re ( α φ ). (5-8) (5-9) Komplee Funktonen: Komplee Funktonen snd für de Physk sehr wchtge Anwendung der kompleen Zahlen. Mt deser neuen Multplkaton kann man sehr elegant rechnen. Ene Weterverfolgung deser Lne führt auf de Funktonentheore. Bespel Eponentalfunkton De Eponentalfunkton st de Funkton, de bem Ableten sch selber reproduzert:

51 5. Komplee Zahlen 45 Bespel: Defnton: f ( ) = f ( ), f ( ) = e. f ( ) =, Taylor-Entwcklung um : ( n ) = n n e = e = ; n= n! = n= n! Für magnäres Argument: n n n e = ( ) = n! n! n= n= ( ) n n n n+ = + n ( ) = n! n= ( n + )! cos n = cos + sn = cos, sn. Movresche Formel: ( α + β ) α β e = e e ; cos( α + β ) + sn( α + β ) ( cosα + snα ) ( cos β + sn β ) sn ( α + β ) = α β α β ( α + β ) = α β + α β also: cos cos cos sn sn Realtel, und sn sn cos cos sn Imagnärtel. n (5-) (5-) Lösen von partellen Dfferentalglechungen mt kompleen Funktonen Bespel Wellenglechung für de Verschebung u enes elastschen Stabes Verschebung u(,t) beschrebt den Zustand enes schwngenden elastschen Stabes. Abb Tübngen, den 8.7.

52 46 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Schwngender Stab Verschebung: u, t Bewegungsglechung:,, µ uɺɺ ( t) = λ u ( r) Ansatz: u, t Stefhet = (Laplace Operat.) ( ωt ) k = Ae ebene Wellen Abletungen: uɺɺ = ω u, u = k u engesetzt: µω u = λk Dspersonsrelaton: µ k ( ω) = ± ω λ Massendchte c (Ausbretungsgeschwndgket) (5-)

53 47 6. Gewöhnlche Dfferentalglechungen DGL: Gewöhnlche DGL: Partelle DGL: Anfangs- oder Randbedngungen: Bestmmungsglechung für ene Funkton, n der de gesuchten Funkton und hre Abletungen vorkommt; Funkton ener Varablen; Funkton mehrer Varabel. Spezelle Lösungen können nur m Zusammenhang mt Anfangs- oder Randbedngungen angegeben werden. (6-) Methode : Drekte Integraton Bespel: = F ( t) Newtonsche Bewegungsglechung: m ɺɺ t ; Integraton über t: Zwete Integraton: Enfachster Fall: F m ɺɺ ( t) m = kraftfre = ; Lösung: m t = c t + c ; Bestmmung von c : = c; Bestmmung von c: d m ( t ) = m ɺ ( ) = c ; dt t= v t mɺ t c G t ( ) dt m ɺɺ t ' = dt F t ; t t m t = dt G t + c t + c. = + also: t v t Bewegung mt konstanter Geschwndgket. (6-) (6-) Tübngen, den 8.7.

54 48 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Freer Fall: ɺɺ F = mg konstant m t = mg; t t Lösung: m( t) = dt dt g + ct + c = gt + ct + c; gt gt also: ( t) = + vt + gt Bewegung mt konstanter Beschleungung. (6-4) Methode : Ansatz Harmonsche Kraft Integraton über de unbekannte Kraft st ncht möglch! ( lnear ) ɺɺ ; λt ( t ) = Ae A λ C = ( ω ) + ( ω ) ɺɺ = ω F = k m t = k t Ansatz:,, allgemen, oder spezell für dese Kraft Ensetzen: mω = k, t a sn t bcos t ; Harmonsche Oszllaton k Wnkelgeschwndgket: ω = ±, m m Perodendauer: ωt = π T = ; π k Konstanten: = b =, t= ɺ = aω = v ; t= Lösung: m k k ( t ) = v sn t + cos t ; k m m Vorzechen von n v ωt ωt Komple: t = Ae + Be mt A, B C. ω Vorzechen von ω rrelevant (6-5)

55 6. Gewöhnlche Dfferentalglechungen 49 Klassfzerung: Lneare DGL: Funkton und Abletung ɺ, ɺɺ treten n der Potentz κ ( κ = ) auf, und ; DGL n-ter Ordnung: DGL enthält Abletung bs zur Ordnung n n t; Homogen: Alle Terme der Glechung enthalten de gesuchte Funkton oder ene hrer Abletungen. (6-6) Allgemene Regeln: Es gbt so vele lnear unabhängge Lösungen, we de DGL Ordnungen hat. Be lnearen DGL können dese Lösungen überlagert (superponert) werden. Es gbt so vele Konstanten (Integratonskonstanten), we de Glechung Ordnungen hat oder we vele lnear unabhängge Lösungen se hat. De Konstanten werden durch de Anfangsbedngungen bestmmt. Lneare nhomogen DGLs Lneare nhomogen DGLs n-ter Ordnung kann man lösen durch Überlagerung von n lnear unabhänggen Lösungen der homogenen Glechung plus ener belebgen Lösung der nhomogenen Glechung Bespel: + τ ɺ = a ; Homogener Antel t / τ Lösung der homogenen DGL: = ce ; Lösung der nhomogenen DGL: = a; ( t) = a Inhomogentät t / τ Allgemene Lösung: = ce + a; Anfangswert: = c + a = ; t= also: = a e + a = e + a e Asymptote: lm. t En kompleeres Bespel kommt weter unten. t / τ t / τ t / τ ; (6-7) Tübngen, den 8.7.

56 5 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Mathematsches Pendel: En Mathematsches Pendel besteht aus enem 'masselosen' Faden, her der Länge ρ und ener Punktmasse m. Der Wnkel zwschen -Rchtung und Faden defnert φ. Abb. 6- Bewegungsgl.: Kreskoordnaten: mr ɺɺ ɺɺ g = m = m ɺɺ y Schwerkraft ρ cosφ r = = ρeˆ ρ, ρ snφ + m Zeˆ ρ ; Zwangskraft für Kresbewegung r ɺɺ = ɺɺ ρ ρφɺ eˆ ˆ ρ + ɺ ρ ɺ φ + ρφɺɺ e, φ = = Zeˆ geˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ + = Zeρ + g e eρ eρ + g e eφ eφ = r ɺɺ ; cosφ snφ ρφɺ eˆ ρ + ρφɺɺ eˆ φ also: g sn φ = ρφɺɺ, Bewegungsglechung, Z + g φ = ρφɺ cos, Bestmmungsglechung für Zwangskraft. (6-8)

57 6. Gewöhnlche Dfferentalglechungen 5 Klene Ausschläge: ( 6 ) ( ) Taylor-Entwcklung: g sn φ = ρφɺɺ, g φ φ +... = ρφɺɺ, Z + g = ɺ Z + g + = Lnearserung: ɺɺ g φ = φ, ρ Z = g + ( φ g ρφ... ɺ + ); Lösung: g φ = Asn ( ωt + δ ), ω = ρ Z = g + ( φ g ρφɺ +...) φ π cos φ ρφ, φ... ρφ ; ɺ (6-9) Gedämpfter Harmonscher Oszllator Bewegungsglechung: m ɺɺ = C α ɺ ; α α α C λ + λ + =, m m m m Dämpfung λt Ansatz: = Ae, A, λ C; Ensetzen: = Quadratsche Glechung ; mλ Lösung: α C λ + λ + =, m m C αλ λ + µ = µ ω, λ = µ ± µ ω. ± µ ω (6-) Schwache Dämpfung: µ ω < oder α < mc, Lösung: λ ± = µ ± ω µ ; ω R ( µ + ω ) t ( µ ω ) t µ t ωt ωt t = Ae + Be = e Ae + Be µ t = a cos ωt + ϕ e, Phase Gedämpfte Oszllaton. (6-) Tübngen, den 8.7.

58 5 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Starke Dämpfung: C > oder > mc, m µ α λ ± = µ ± µ ω ; φ < µ ( µ φ ) t ( µ + φ) t ( t) = Ae + Be Lösung:, Gedämpfte Bewegung ohne Oszllaton. (6-) Angetrebener harmonscher Oszllator mt Dämpfung Bewegungsglechung: ɺɺ + γ ɺ + ω = A cos ( Ωt), Ergänzung: ɺɺ y + γ yɺ + ω y = A sn ( Ωt ), + Ωt ɺɺ z + γ zɺ + ω z = Ae, ( z = + y) Lösung: ( t) = Re z ( t). (6-) Homogen: ɺɺ z + γ zɺ + ω z = ; (6-4) Ansatz: λt z = e, also: λ + λ γ + ω =, Homogene Lösung: Dese Antele verschwnden nach enger Zet! Ansatz: Ωt ( Ω φ ) t z = z e = z e ; ( γ ω ) λ = γ ± γ ω ; Ωt Inhomogen: ɺɺ z + γ zɺ + ω z = A e ; ± γ ω t γ ω t + γ t z = e c e + c e. also: z Ω + Ω + = A, z A = = z e ω Ω + γω φ, t * A z ( = z z =, Resonanzkurve, ( ω Ω ) + 4γ Ω Mamum dcht be ω ); Re z z cosφ = + ( ω Ω ) + 4γ Ω ω Ω + γω ω Ω γω ω Ω =. ( ω Ω ) + 4γ Ω (6-5)

59 6. Gewöhnlche Dfferentalglechungen 5 ( Ω + φ ) ( ) Zusammenhang z : = Re z = Re z e t (6-6) (( φ ) t) = z cos Ω +. Geschwndgket: Mama der Resonanzkurven A A zɺ = Ω z = Ω = ( ω Ω ) + 4γ Ω ( ω Ω ) + Ω ( ω ) 4γ Ampltude um ω: A A mamal lnks z = ω =Ω Ω + 4γ Ω γ Ω von ω Geschwndgket um ω : zɺ A = Ω 4γ + Ω A ω =Ω ( ω γ ) ( mamal n ω ) ( ) (6-7) (6-8) Bem elektrschen Schwngkres msst man snnvollerwese ncht de Spannung, sondern den Strom, der proportonal zur Bewegung der Ladungsträger st. So erhält man eakte Werte für de Resonanzfrequenz. Resonanzkurven enes angetrebenen, gedämpften harmonsches Oszllators. Lnks der Ampltude und Phase des Ausschlages und rechts der Betrag der Geschwndgket des Oszllators. Abb Tübngen, den 8.7.

60 54 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Numersche Lösung gewöhnlcher DGLs- Euler-Verfahren Allgemene Form ener Bewegungsglechung: r t = F r t. Taylor-Entw. von r t h um t : r t h r t r ɺ h O h Bespel Harmonscher Oszllator: ( + ) ( + ) = + + t r ( t) + F (( t )) h. ɺɺ + ω = Harm. Oszll.: ; Neue Varable: y ɺ, also yɺ = ɺɺ ; Ensetzen: yɺ + ω = ; ɺɺ ɺ (6-9) (6-) (6-) y Insgesamt: ɺ ɺ = = F = ( ) ; yɺ ω y also F ( ) =. ω (6-) kann man sehr gut mt dem Computer tereren und de Schrttwete h so klen wählen, we nötg (Konvergenz). In großen Schrtte kann man (6-) auch analytsch ntereren:

61 6. Gewöhnlche Dfferentalglechungen 55 ( + ) = + ( + ) = ω Iteratonsglechung: t h t hy t, y t h y t h t ; h = s : s = m + s = m, π y ( s ) = s m =.467 m / s; 4s h = / s : ( s) = m + s = m, π y ( s) = s m =.4 m / s, 4s s = m + s.4 m / s =.8 m, π y ( s ) =.4m / s s m =.467 m / s; 4s h = / s : ( s) = m + s = m, π y ( s ) = s m =.8 m / s, 4s s = m + s.8 m / s =.76 m, π y ( s ) =.8 m / s s m =.644 m / s, 4s s =.76m + s.644 m / s =.78 m, π y ( s ) =.644 m / s s.76m =.4 m / s. 4s (6-) = cos ( ω ), = ω ( ω ) t m t eakte Werte: y t m sn t ; π ( s ) = m cos = m, π π y ( s ) = m sn =.57 m / s; s = Tabelle: h[ s] s m y s m / s Konvergenz: [ ] [ ] gut, schlecht. (6-) Tübngen, den 8.7.

62 56 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Analytsche und numersche Lösungen des Harmonschen Oszllators, lnks de Ampltude und rechts de Geschwndgket v, bedes mal über der Zet t aufgetragen. Je klener de Schrttwete h st, je mehr Schrtte also gemacht werden. um so besser stmmt de numersche Näherung mt der analytschen Lösung überen. De Ampltude lnks konvergert dabe wesentlch besser als rechts de Geschwndgket v. Abb. 6- Verbessertes Euler-Verfahren: ( + ) Taylor-Entw. von r t h um t : (6-4) mt ɺɺ ɺ r ( t) = F ( r ( t) ) = ( F ( r ( t + h) ) F ( r ( t) )) + O ( h ) h = ( F ( r ( t) + F ( r ( t) ) h) F ( r ( t) )) + O( h ); h st r ( t + h) = r ( t) + rɺ ( t) h + ɺɺ r ( t) h + O( h ) = r ( t) + ( F ( r ( t) + F ( r ( t) ) h) + F ( r ( t) )) h + O ( h ). Zum Programmeren st deses Verfahren ncht wrklch aufwendger als das gewöhnlche Euler- Verfahren, jedoch ene ganze Ordnung besser. De Schrttwete kann wesentlch größer gewählt werden. Man programmert: K = F r t, K = F r t + K h, ( ) h r t h r t K K ( + ) + ( + ). (6-5) 5 Geht man noch zwe Ordnungen höher ( O ( h ), kommt man zu enem so berühmten Runge- Kutta-Verfahren.

63 6. Gewöhnlche Dfferentalglechungen 57 Bespel Potental mt Mnmas: Potental mt zwe symmetrsch um den Ursprung legenden Mulden (Mnma): Abb. 6-4 Bewegungsglechung: 4 ɺɺ = = ; Kraft Potental ɺ y = F; = yɺ Numersche Lösung mt der Programersprache 'Maple' > restart; [HELVETICA, 6]: plots[setoptons](font=%, aesfont=%, labelfont=%,legendstyle=[font=%]): Glechung (6-6) > V:=->^4-^; > DGL:='dff((t),t$)=-dff(V(),)'; DGL:=lhs(%)=subs(=(t),rhs(%)); Numersche Lösung mt Euler > Euler Step:=proc(q) local K,K; K:=F(q); K:=F(q+h*K); evalf[4](q+h*(k+k)/) end: > F:=q-><q[],subs((t)=q[],rhs(DGL))>: 'F(q)':'%'=%; > TMa:=5:N:=:h:=TMa/N: > Sol_Eul[]:=<,>: for n from to N do Sol_Eul[n]:=Euler Step(Sol_Eul[n-]) end do: Numersche Lösung mt Maple-'dsolve' > TMa:=4:N:=:; Sol_dsolve:=dsolve({DGL,()=,D()()=},numerc,method=taylorseres, abserr=e-,output=array(vector(n,n->tma*(n-)/(n-)))): Tübngen, den 8.7.

64 58 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Plots Potental > P:=plot(V(),=-...,ttle="Potental",labels=["Poston ","V()"]): Bahnkurve aus Euler > Eul_X:=Vector(N,n->[(n-)*h,Sol_Eul[n][]]): Eul_V:=Vector(N,n->[(n-)*h,Sol_Eul[n][]]): > P:=plots[dsplay]( plot(eul_x,color="blue",legend=["(t)"]), plot(eul_v,color="green",legend=["v(t)"]), labels=["zet t","(t),v(t)"],labeldrectons=[horzontal,vertcal],ttle="anharmonscher Oszllator (Euler )"): Bahnkurve aus 'dsolve' > Map_X:=Vector[row](N,n->[Sol_dsolve[,][n,],Sol_dsolve[,][n,]]): Map_V:=Vector[row](N,n->[Sol_dsolve[,][n,],Sol_dsolve[,][n,]]): > P:=plots[dsplay]( plot(map_x,color="blue",legend=["(t)"]), plot(map_v,color="green",legend=["v(t)"]), labels=["zet t","(t),v(t)"],labeldrectons=[horzontal,vertcal],ttle="anharmonscher Oszllator (dsolve)"): > plots[dsplay](<p P P>); Zwemuldenpotental lnks und numersche mt Euler (mtte) und mt Maple-'dsolve' (rechts) berechnete Bahnkurven. Abb. 6-5 Aufgrund der Energeerhaltung sollte de Bahnkurve n Abb. 6-5 theoretsch auf dem Mama des Potentals be = enden. Deser Punkt st aber labl, so dass de Bahnkurve früher (Euler ) oder später (dsolve) desen Punkt weder verlässt. Ob der wetere Verlauf der Bahnkurve nach lnks (<) oder rechts (>) geht, hängt vom Verfahren, von der Computersoftware und der Hardware ab. Auch m Eperment st das langfrstge Verhalten ener Kugel n der vorgegebenen Geometre ncht vorhersagbar. Im lablen Punkt reagert de Kugel sensbel auf allerklenste Kräfte, de epermentell ncht erfasst werden können. Der Begrff 'Bahnkurve' wrd bedeutungslos. Das führt über de Grenzen der klassschen Mechank hnaus. In der Chaostheore werden de Bahnkurven durch Attraktoren ersetzt und n der Quantenmechank durch Wahrschenlchketsströme.

65 59 7. Partelle Dfferentalglechungen (Wellenglechung) Partelle Dfferentalglechungen snd Glechungen für Felder mt Abletungen nach den Ortskoordnaten und nach der Zet. In der Physk st besonders de Wellenglechung relevant. Wellenglechung für enen gebogenen Stab: ( ɺ t ) = λ Verschebungsfeld: u, t, u u, u u ; Spannungskraftfeld: F, t u, t ; Spannungsmodul Spannung m Stab = + = Bespele: u, t a b u, t, kene Spannungskraft, Wellenglechung: muɺɺ, t = λ u, t. u (, t) = a u (, t) = a, ( homogene Spannungsk. ); Jede Stelle des Stabes gehorcht her dem Gesetz Kraft = Masse Beschleungung. Benachbarte Stellen des Stabes snd durch de Ortsabletung ( +, ) + (, ) (, ) u h t u h t u t (7-) Ortsabletung: u (, t) = lm h h mtenander verknüpft. Je mehr de Auslenkung des Stabes vom Mttelwert der Nachbarstellen abwecht, umso größer st de Spannungskraft. (7-) De Lage und Verbegung enes Stabes wrd durch das Verschebungsfeld u() beschreben. Nach dem Hookschen Gesetz st de Spannung m Stab proportonal zur zweten Abletung der Verschebung. Abb Tübngen, den 8.7.

66 6 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Allgemene Lösung der Wellenglechung Phase: φ ± vt; = f ( φ ) Allgemene Lösung: u, t, belebge Funkton der Phase; Bewes: f fɺ ( φ ) = ɺ φ, φ f f f ɺɺ f ( φ ) = ɺ φ = ( ɺ φ ) + ɺɺ φ ; t φ φ φ v f f ( φ ) = φ, φ f f f f ( φ ) = φ = φ + φ ; φ φ φ also: ɺɺ f f = v = v f φ = ( + ) + ( ) und u, t f vt g vt, λ mt v = ; m Typsches Bespel, k( + vt) k( vt) ( k+ ωt) ( k ωt ) k R u (, t) = Ae + Be = Ae + Be,. ebene Wellen: ω kv (7-) Phasengeschwndgket We schnell bewegt sch enen Punkt mt fester Ampltude des Wellenfeldes f? Wr gehen vom Phasenfeld über zur Bahnkurve enes Punktes konstanter Phase: ( ) ( φ ) = φ ( ( t) t) = ( t) ± vt = = Phase: f, t constant f t, t also auch φ, const, bzw. t const vt, Phasengeschwndgket d ɺ ( t) = ( const vt ) = v. dt (7-4)

67 7. Partelle Dfferentalglechungen 6 Phasengeschwndgket v be rechtslaufenden und lnkslaufenden Wellen. Betrachtet wrd de Bewegung enes Punktes konstanter Ampltude des Wellenfeldes. Abb. 7- Wetere Methode: Trennung der Varablen (her für enen engespannter Stab) Wr haben also zwe enfach zu lösende gewöhnlche DGL's erhalten. De Konstanten müssen nun durch Anfangs- und Randbedngungen festgelegt werden. Wr betrachten de muɺɺ ( t) = λu ( t) u ( t) = u ( L t) = = v( ) w( t) ɺɺ =, u (, t) u (, t) v( ) wɺɺ ( t) v ( ) w( t) = = k, v( ) w( t) v( ) w( t) Konstante System:,,,,,, Randbedngungen ; Trennung: u, t, Bewegunggl: m u, t u, t λ m λ Funkton nur von t t ω t ω m Funkton nur von also: v = k v v = a sn k + b cos k, λk wɺɺ t = w t w t = a sn t + b cos t ; ω Wr haben also zwe enfach zu lösende gewöhnlche DGL's erhalten. De Konstanten müssen nun durch Anfangs- und Randbedngungen festgelegt werden. Wr betrachten de Randbedngungen: nπ v( ) = v( L) = v( ) = a sn, n N; L also: u, t, Bewegunggl: = v( ) w( t) = ( ω ) + ( ω ) n= u, t sn kn an sn nt bn cos t. Schwngungsmoden (7-5) (7-6) Tübngen, den 8.7.

68 6 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Schwngungsmoden enes lnks und rechts engespannten Stabes. Jede Mode n hat n- Knoten und schwngt mt ener Frequenz f n =ω n /π. Wetere Methoden zur Lösung parteller Dfferentalglechungen Abb. 7- Um de Ortsabletungen durchführen zu können, braucht man ene Darstellung der Ortsfunkton, etwa durch Entwcklung nach enem vollständgen Orthonormalsystem oder durch en Gtter. Entwcklung nach vollständgem Orthonormalsystem: Bespel: Ortsabletung: Fnte Dfferenzen: = ( π ) u, t cn t sn n, Vollst.Orthonorm. System π ( π ) u, t = n c t sn n ; n N n = + ( n ), n =.. N, N Entwcklung: u (, t ) u ( n, t) = un ( t ), h un ( t ) u ( nh, t) ; un+ ( t) + un ( t ) un ( t ) Abletung: u (, t). h De Ortsabletungen können durchgeführt werden und man erhält für de Entwcklungskoeffzenten c n (t) oder de Gtterpunkte u n (t) en gekoppeltes System gewöhnlcher Dfferentalglechungen. (7-7)

69 6 8. Fourer-Transformaton Wr betrachten zunächst ene perodsche Funkton: f t + T = f t. (8-) De Idee st, das se sch durch ene Überlagerung perodscher, harmonscher Schwngungen darstellen lässt. Analoge: + cos( ω + ϕ ) + cos( ω + ϕ ) cos( ω + ϕ ) f t A A t A t A N t N n= ( nωt ϕ ) = A cos +. n n Entwcklung enes Vektors nach Bassvektoren: ; N = ( ) n n= t= t N (8-) (8-) r = ˆ nen n= Entwcklung ener Funkton nach Polynomen n d f f t t t Taylor-Entwcklung : n! dt n. Bespel Rechteckschwngung und Sägezahnschwngung Appromaton ener so genannten Rechteckschwngung (lnks) und ener Sägezahlschwngung (rechts) durch Überlagerung von Snus-Funktonen n verschedener Ordnung. Abb Tübngen, den 8.7.

70 64 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Umschrebungen: ( nωt + ϕn ) = ( ϕn ) ( nωt ) ( ϕn ) ( nωt ) ( ϕ ) ( ϕ ) mt cos cos cos sn cos und a = cos A, b = sn A st oder mt ganzzahlgen Indzes Fourer-Rehen n n n n n n N f ( t) an cos ( nωt ) + bn sn ( nωt ) n= nωt nωt nωt nωt ( e + e ) ( e e ) N nωt = ( an bn ) e + ( an + bn ) e n= nωt N n t c e ω. f t n= N Berechnung der Koeffzenten c n : π Perodendauer: T = ω T für n = m, T ( n m) ωt π Nebenrechnung: T dte = Tδ n m ωt n m ωt = e e = = sonst; ( n m) ω ( n m) ω n ; mn (8-4) (8-5) (8-6) Multplkaton, Integraton: T N T mωt ( n m) ωt dte f ( t) = cn dte = cmt n= N = T mn also: T nωt cn = dte f ( t) und T N nωt f ( t) = cne. n= N n Wnkelgeschwndgket der Oberwellen: ωn = nω = π. T δ (8-7)

71 9. Krummlnge Koordnaten Ergänzung 65 Reelle Funktonen f reell: also: N N N * nωt * nωt * nωt * n n n n n n= N n= N n= N f = f c e = c e = c e c = c N N nωt nωt * nωt n ( n n ) f = c e = c + c e + c e n= N n= N nωt * nωt = c + c n e + c n e n= a n + bn ( cos( nωt ) + sn( nωt )) an bn ( cos( nωt ) sn( nωt )) = c + N n= ( an cos ( nωt ) bn sn ( nωt )). ; (8-8) Bespele: Rechteckschwngung [ π ] { } [ π ] Funkton: für t -,, Perodendauer T = π, f ( t) = für t π,, π, π Wnkelgeschw. ω= = für t,. T π Koeffzenten: c = dtf ( t) = ; T π π π nt nt nt cn = dtf ( t) e dte dte π = π π π = T π nt n nt e = (( ) ) e n n n π n n ( ) = n = (( ) ) = π n π ,,,,... n< n> Fourer-Rehe: ( n ) t n f ( t) = t e e π n n n= = sn (( n ) t) wegen ( e e ) = sn. π n= n (8-9) Tübngen, den 8.7.

72 66 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Sägezahnschwngung Funkton: Perodendauer T = π, t für t [ - π, π ], f ( t) = π für t { π, π}, Wnkelgeschw. ω= = T π Koeffzenten: c = dtt, π = π T π π nt nt nπ + nπ nπ + nπ π cn = dtf ( t) e = dtte = e e n n n n π π ( ) ( ) n= ( ) ( ) n+ ( nt) π nt+ nt e n π n π ( ) = π ; n Fourer-Rehe: n n n ( ) nt ( ) nt ( ) f ( t) = e e = sn nt n= n n n= n = sn. n n n (8-) Aperodsche Vorgänge Wr kommen zu aperodschen Vorgängen, wenn wr de Perodendauer mmer länger machen: Oberwellen: n ωn = π ; T Dfferenz benach- π ω = ωn+ ωn = ; barter Oberwellen: T also: lm ω = dω T und N nωt f ( t) = cne f ( t) = dωc( ω) e n N π = T nωt cn = dte f ( t) c( ω) = dtf ( t) e T π Normerung: ωt f ( t) = dω c( ω) e π ωt dt f ( t ) e π ωt ωt ω( t t ) ω( t t ) = dt dω f ( t ) e dt f ( t ) dωe π = π = f t. ; πδ ( t t ) sehe Anhang am Schluß des Kaptels! (8-)

73 9. Krummlnge Koordnaten Ergänzung 67 Bespel Fourer-Transformaton Transformerte: Partelle Integraton: DGL: Lösung: Normerung: Fourer-Transformerte der Gaußfunkton f e. k k c( k ) = f ( ) e d = e e d π π k k e e d = e e d d d ( / ) k = e e = k e e k d= c( k ) π k k c k = k c k = c k c k = c e k k π ( / ) = (8-) k k e e d c( k ) π = f ( ) = c( k ) dk = c e dk π also: = c π = c π und: k c( k ) = e π = sehe Anhang am Schluß (8-) Vektorraumnterpretaton Analoge zu räumlchen Vektoren: Ortsraum Funktonenraum k Bass: eˆ k, e ; π Inneres Produkt k l eˆ ˆ k e j = δ kj, d e e δ ( k l) ; ( Orthogonaltät ): = π π Darstellung von k r = a ˆ kek, f ( ) = dc ( k ) e. Vektoren: π (8-4) Spektralanalyse: Sehr wchtg für de Untersuchung vor allem lnearer Systeme (Astronome, Atom-, Kernphysk, Elektronk, Medzn, ). Das Lestungsspektrum c( ω) zegt, we stark enzelne Frequenzen n enem Sgnal vorhanden snd. Tübngen, den 8.7.

74 68 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Sonnenaktvtät als Funkton der Jahreszahl (lnks) und das Lestungssprektrum deser Funkton (rechts) als Funkton der Jahre/Zyklus (sehe unten). Abb. 8- Im Lestungsspektrum von Abb. 8- st ncht c( ω ), sondern c aufgetragen, so dass das ω Argument ncht Zyklen/Jahr sondern Jahre/Zyklus drekt abgelesen werden kann. Lösung lnearer Dfferentalglechungen De Bassfunktonen der Fourer-Analyse snd Egenfunkton der Dfferentaton: k k sn k = k sn k, cos k = k cos k, e = ke. (8-5) Daher kann man vor allem lnear Dfferentalglechungen aller Art (auch partelle) mt Hlfe der Fourer-Analyse n ren algebrasche Glechungen umwandeln. Bespel Wellenglechung für das elektrsche Potental: Wellenglechung: t ϕ ϕ = ( t) Ansatz: ϕ, ( π ) ( k ) ( k ) ( k ωt) also ( ω ) =, ω = ± k εµ εµ ( t) εµ ( k ωt ) Ensetzen: dk ( ω ) c( k ) e = εµ Feld: ϕ, = = = ( π ) dkc k e dkc k e = c k( ckt) (8-6)

75 9. Krummlnge Koordnaten Ergänzung 69 Anhang: Bewes von de k = πδ ( k ) Hlfsmttel: mt also: Zwschenrechnung: also: k k I = de = lm de ε k k k k ε = ε = ε + + ε ε ε ε ε k k k = ε ε 4ε u ε ε ε I = lm e de = lm e due ε ε ε Polarkoordnaten π εu εv ε u + v ε r J = due dve = dudve = rdr e dϕ ρ εr = d ρ = ε rdr π ρ π = d ρe ε = ε ρ e = π I = lm e ε ε k k ε k 4 ε 4 J k 4 Das st ene Darstellung der δ-dstrbuton: es st: k π = für k ; 4ε I = lm e ε k = und also: ε J k u = ε k r π π π 4ε 4ε ε für ; ρ dki = lm dke = lm π rdre = lm 4επ d ρe ε ε ε ε ε ε = lm π = π de k ε = I = πδ ( k ) π r r ρ =, d ρ = dr e = 4 ρ ε ε Trck we oben (8-7) (8-8) Tübngen, den 8.7.

76 7 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II Anhang Integral: k ( k + l ) ρ e dk = e dkdl = e ρd ρdϕ (8-9) ρ ρ d = π e d ρ π e = d ρ π = π =

77 9. Krummlnge Koordnaten Ergänzung 7 9. Krummlnge Koordnaten Ergänzung Orthogonale Bass für Krummlnge Koordnaten: q r q r q r q r Defnton: eˆ, Normerung: ˆ ˆ q e ; q e q = = = q r q r q r ( q r ) Orthogonale Bass: eˆ eˆ = δ. Invarantes Volumen q q j j V r r r r r r r r r ( q, q, q ) = ( q q ) q = εjk q q j q k = det ( q, q, q ) Spatprodukt ( ˆ ˆ ˆ ) = q r det,,. q r q r e q e q e q = ( für rechthändges System) (9-) (9-) Invarantes Volumenelement dv r, r, r = V r, r, r dq dq dq = r r r dq dq dq. (9-) Gradent q q q q q q q q q Dfferental dϕ = q ϕdq und dϕ = dr = Oq e, q q r dq = Oq q r dq q ϕ also: Oq =, r q ϕ und ϕ = eˆ q. r ( ϕ ) ( ˆ ) ˆ q q q r e q q ϕ (9-4) Tübngen, den 8.7.

78 7 K.Bräuer: Mathematsche Ergänzungen zur Physk I und II q ϕ ϕ = eˆ q : q r Karthessche Koordnaten: ϕ = eˆ ϕ; Zylnderkoordnaten: ϕ = eˆ ˆ ˆ ρ ρϕ + eρ φϕ + ez zϕ; ρ Kugelkoordnaten: j = eˆ ˆ ˆ r rϕ + eϑ ϑϕ + eφ φϕ. + r r snϑ (9-5) Dffergenz oder Quellstärke Kontnutätsglechung Grundlage der Erhaltung von Ladung, Matere, Wahrschenlchket, dq! Erhaltung von Q : = dv ρ = df j ( j : Strom durch Oberfläche ). dt ɺ (9-6) Zur Abletung der Dvergenz werden her spezell de zwe Flächen F und F abtrachtet, de bede ene q -q -Ebene aufspannen. De Flächennormalenvektoren stehen n q -Rchtung, der auf F zegt n postver Rchtung, der auf F zegt n negatve Rchtung. Abb. 9-