Physikalische Grundlagen der Biomechanik

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1 Physkalsche Gundlagen de Bomechank Dplomabet zu Elangung des Magstegades an de Natuwssenschaftlchen Fakultät de Leopold-Fanzens-Unvestät Innsbuck engeecht be Hen A. Unv.-Pof. D. Chstoph LEUBNER Insttut fü Theoetsche Physk von Floan NEURURER Innsbuck, Jul 003 1

2 Dank Ich möchte mch be menen Elten bedanken, de stets vesuchten, mch be de Vewklchung mene Täume zu untestützen und m deses Studum emöglchten. En besondee Dank glt auch menem Beteue Hen Chstoph Leubne, de m enen Goßtel menes bauchbaen Fachwssens vemttelte und mch mt vel Ensatz und zahlechen Vebesseungsvoschlägen be de Fetgstellung dese Abet untestützte. Recht hezlch bedanken möchte ch mch ebenso be menem Feund Paul fü de schöne Studenzet und de unzählgen genzgenalen Untehaltungen. Mene Feundn Tna möchte ch ebenfalls danken, da se mch mme wede motvete und menen Ausfühungen geduldg zuhöte.

3 Fü wen und mt welchen Zelvogaben wude dese Abet gescheben? En Goßtel menes bshegen Lebens wa vom Spot bestmmt. Bs zu menem 19. Lebensjah hatte ch vesucht, m alpnen Skennlauf den Duchbuch an de Weltsptze zu schaffen, ohne abe desen Lebenstaum vewklchen zu können. So entsched ch mch, en Lehamtsstudum fü de Untechtsfäche Mathematk und Physk an de Unvestät Innsbuck zu begnnen. Men Hez schlug abe nach we vo fü den Skspot und deshalb besttt ch neben dem Studum wähend dee wetee Jahe elatv ntensv Unvestätswettkämpfe, de 1997 und 1999 n de Telnahme an de Unvesade (Weltwntespele fü Studeende) n Muju-Chonchu (Südkoea) und Popad (Slowake) gpfelten. Danach übenahm ch bs Dezembe 00 das Tanng de östeechschen Studenten-Sk-Natonal-Mannschaft. In dese Zet absolvete ch de östeechsche staatlche Taneausbldung Sk Alpn. Als Tane machte ch m beets Gedanken übe de physkalschen Aspekte des Sklaufs, doch den esten tatsächlchen Kontakt zu Bomechank hatte ch wähend mene Taneausbldung. Im allgemenen Tel dese Ausbldung sollte n wengen Stunden en kuze Enblck n de Aufgabengebete de Bomechank geboten weden. Fü de mesten Zuhöe waen vo allem de Ausfühungen übe de vefügbaen Messappaatuen (z.b. Kaftmessplatten) von goßem Inteesse, und ncht de physkalschen Gundlagen de Bomechank. Vele de Telnehme hatten schon seh lange kenen Kontakt meh zu Physk, und de wengsten hatten enen Abschluss ene höheen Schule. Dese physkalsche Wssenstand machte es dem Votagenden ncht lecht, den Stoff zu vemtteln. Dazu kam noch eschweend hnzu, dass de theoetsche Aspekt von velen, en aus de Paxs kommenden Tanen, als ncht wesentlch angesehen wude. De Aufabetung enes so umfangechen und komplexen Stoffgebetes n wengen Stunden st unte den genannten Bedngungen fast ausschtslos. De Gunddee de Physk, mt wengen Annahmen vele glechatge Pobleme ekläen zu können, fel dem Zetduck zum Opfe. Fü mch nteessetem Physke bachten de Ausfühungen des Votagenden kenen Gewnn. Dese Efahung weckte men Inteesse, und so fasste ch den Entschluss, mch genaue übe Bomechank zu nfomeen. Ich begann, Atkel übe Sklauf zu lesen, 3

4 und vesuchte meh und meh physkalsche Übelegungen n mene Koektu von Skennläufen enfleßen zu lassen. Enen wet gößeen Bezug zu Bomechank bekam ch dann am Insttut fü Spotwssenschaften, wo ch de Volesung Gundlagen de Bomechank besuchte. In dese enstündgen Lehveanstaltung sollten sowohl de physkalschen als auch anatomsch-physologschen Gundlagen de Bomechank vemttelt weden. De seh kuze zu Vefügung stehende Zet fühte manchmal zu Enbußen n de näheen physkalschen Begündung de dagestellten Fomeln und Gesetze. Dese Rahmenbedngungen blden kene optmale Ausgangstuaton fü de Studenten, um sch mt den physkalschen Gundlagen de Bomechank vetaut zu machen. Dskussonen mt dem Votagenden wähend und nach de Volesung machten mch mt desem besse bekannt, und fühten zu enem egen Kontakt zu hm und dem Insttut fü Bomechank. Duch men bekundetes Inteesse wude ch späte engaget, um dvese Untesuchungen m Beech de Bomechank duchzufühen, wobe ch hauptsächlch mt dem Östeechschen Skveband (Sk Alpn) zusammenabetete. In Gespächen mt Spotstudenten wähend dese Zet wude mme wede de Wunsch nach enem veständlchen physkalschen Letfaden fü Anfänge m Beech de Bomechank laut, obwohl beets en seh goßes Angebot an Lteatu n den Bblotheken zu Vefügung steht. En Gosstel dese Büche st alledngs auf enem zu hohen physkalschen Nveau, und außedem n englsche Spache vefasst. Des eschwet den Spotstudenten de Lektüe zusätzlch und geht an hen Bedüfnssen vobe. Hnzu kommt das unteschedlche Vowssen de Studeenden. Enge de Studenten stammen aus ene technsch oenteten höheen Schule, andee bestzen enen Abschluss enes mussch ausgelegten Gymnasums. Aus desen Günden habe ch mch entschlossen, en Skptum zu vefassen, welches nu das Matuawssen n Mathematk voaussetzt. Ich möchte zegen, dass Physk auf desem Nveau lecht nachvollzehba st und kenele besondee Fähgketen efodet. Es soll n este Lne Spotstudenten anspechen, daneben abe auch Physklehe anegen, de zahlechen ausgeabeteten Bespele aus de spotlchen Lebenswelt de Schüle n hen Untecht enzubauen. Spotlche Anwendungen de Physk wecken das Inteesse de Schüle. 4

5 Entspechend dese Zelguppe sollte dese Abet en Nachschlagewek fü gundlegende mechansche Fagen sen, de sch aus dem Beech de Bomechank egeben und ene Begletung zu den physkalschen Aspekten de Volesung Gundlagen de Bomechank am Insttut fü Spotwssenschaften Innsbuck dastellen. Sämtlche Ekläungen sollten auf wengen Gundannahmen beuhen, mt deen Hlfe dann en goßes Repetoe an Poblemen gelöst weden kann. De egentlche Idee de Physk (fü vele zunächst unteschedlch anmutende Vogänge mt ene Theoe auszukommen) sollte demonstet, und so den Lesen de Fasznaton de Physk nachvollzehba gemacht weden. Wchtg st fü mch, dass de Spotstudenten emuntet weden, de Physk zu vestehen, und endlch vom stuen Ensetzen von Zahlenweten n auswendg gelente Fomeln loszukommen. 5

6 Inhaltsvezechns 1. Was st Bomechank? De Elemente de Newtonschen Mechank De Methode de Physk n elementae Dastellung De Modelleung äußee Enwkungen auf eale Köpe als Käfte De Modelleung eale Köpe als Massenpunkte De Modellbaustene Bezugssystem, Bahnkuve, Geschwndgket und Beschleungung Das Bezugssystem : Allgemene Bezugssysteme und Inetalsysteme De Bahnkuve De Geschwndgket De Beschleungung De Veknüpfung de Modellbaustene duch de Newtonschen Axome Das 1. Newtonsche Axom Das. Newtonsche Axom Das 3. Newtonsche Axom We das 1. Newtonsche Axom ncht lautet Das. Newtonsche Axom st kene Defnton de Kaft Fehle be de Anwendung des 3. Newtonschen Axoms Anwendungen de Newtonschen Axome Käfte aus Bahnkuven Bahnkuven aus Käften Schwekaftmodelleung n Ednähe Bestmmung de Masse duch Wägung Newtonsche Mechank und Stae Köpe De Schwepunkt enes Staen Köpes De Bewegungsglechungen des Staen Köpes Anwendungen de Newtonschen Mechank auf de Bomechank De fee Fall ohne Luftwdestand Fee Fall mt Luftwdestand De Votel schwee Abfahe n Gletstücken De Stabhochspung Weshalb uden Abfahe be Geländespüngen oft mt den Amen? De Innenlage bem Shot Tack Lteatuvezechns Vezechns de Bldquellen

7 1. Was st Bomechank? Bomechank st ene Teldszpln de Bophysk und untesucht Stuktuen und Funktonen bologsche Systeme unte Vewendung des Begffsappaates, de Methoden und Gesetzmäßgketen de Mechank [Röthg, 199]. Schänken w dese echt allgemen gehaltene Defnton auf den fü dese Abet elevanten Beech de Bomechank des Spots en, st folgende Chaakteseung etwas aussagekäftge: De Bomechank des Spots hat sch als Leh- und Foschungsgebet wesentlch m Rahmen de Spotwssenschaften entwckelt. Ih Gegenstand st de menschlche Köpe und de spotlche Bewegung. Aufgaben snd de objektve, quanttatve Beschebung und Ekläung de Eschenungen unte andeem duch veenfachte Modelleung de m Allgemenen komplexen Systeme unte wetgehende Vewendung de Spache de Mathematk [Röthg, 199]. De oben beschebene Defnton und Beschebung des Begffs Bomechank (des Spots) st nu ene de n de Lteatu vozufndenden. Ihe wesentlchen Inhalte, nämlch de Beschebung von bologschen Systemen (auf den Spot bezogen) duch physkalsche Modelleungen unte Anwendung de Mathematk, snd abe n allen Ekläungen zu fnden. Aus desen Ekläungen folgt unmttelba de Anfodeung an en Veständns de Mechank als Telgebet de Physk. De Zele de Bomechank snd unte andeem: [Nachbaue, 000] 1. Vebesseung de Technk und des Technktanngs. Vebesseung des Kondtonstanngs 3. Vebesseung de Ausüstung 4. Vehndeung von Schädgungen des Bewegungsappaates. 7

8 . De Elemente de Newtonschen Mechank.1. De Methode de Physk n elementae Dastellung Wähend de Mechank Bewegungen von ganz allgemenen Köpen m Rahmen de sogenannten Newtonschen Mechank zu vestehen vesucht, beschänkt sch de Bomechank auf Bewegungen m Spot. Dabe handelt es sch sowohl um Bewegungen von Spotgeäten als auch um Bewegungen von Spotlen. De Bomechank st also en Tel de Mechank. Um Vohesagen übe den Ablauf von Bewegungen m Spot machen zu können, müssen w uns also n den folgenden Abschntten mt den Elementen dese Newtonschen Mechank vetaut machen. Dazu st zu alle est von Nutzen, uns de typsche Vogangswese de Physk bewusst zu machen, mt de se zu physkalschen Ekenntnssen kommt. Dese Vogangswese nennen w m Folgenden kuz de Methode de Physk. Lede wd dese Methode de Physk n de Schule paktsch ncht vemttelt. Deshalb st auch be Spotstudenten daübe nchts bekannt. Dese Methode de Physk mt hem Modelldenken wd n de Dplomabet von Kan Lenz [Lenz, 00] seh ausfühlch bescheben, und he elementae Dastellung m Folgenden wd sch eng an dese Abet anlehnen - alledngs angepasst an de Bedüfnsse von Spotstudenten. De Methode de Physk st nchts andees als ene Vefeneung de von uns Menschen ganz allgemen geübten Paxs bem Vestehen von Vogängen n unsee Lebenswelt. Ennen w uns, als Bespel fü ene Klasse von solchen Vogängen an de Zet, als w das Fußballspelen noch seh wchtg nahmen. Ene de gößten Heausfodeungen stellte damals das gefühlvolle Plazeen des Balles m Keuzeck da, so we w es von den goßen Fußballstas vom Fensehen kannten. Allen Knden, de es auch so wet bngen wollen, fällt seh bald auf, dass bestmmte Dnge fü den efolgechen Schuss ns Keuzeck wchtg snd, und andee ncht. So spelen etwa de Hestellemake und de Fabe des Balles kene Rolle, wohl abe sen Gewcht (ob es en Jugend- ode Ewachsenenball st), de genaue Bewegung des Benes mt de zugehögen Muskelanspannung, und wo sch das To elatv zum Abschussot 8

9 befndet. Waen w enmal efolgech, so vesuchen w auch n Zukunft mt dese Bewegung des Benes und dese Muskelanspannung zum Efolg zu kommen. Und w weden feststellen, dass de Ball mme ns Keuzeck flegt, wenn es uns gelngt, dese offenschtlch wchtgen Mekmale zu wedeholen (wobe w von Wndenflüssen absehen wollen). De nächste Ekenntns st, dass dese Mekmale ncht nu fü uns selbst, sonden ganz allgemen wchtg snd. Wenn w se enem bewegungsbegabten Spelkameaden mttelen, de annähend unseen Köpebau hat, dann kann dese ohne Tanng, nu duch genaue Beachtung de von uns ekannten wchtgen Mekmale, schon bem esten Vesuch ns Keuzeck teffen. Es spelt also auch kene Rolle, we den Ball scheßt, solange de wchtgen Mekmale bem Abschuss efüllt weden. Wenn w von ene bestmmten Poston egelmäßg ns Keuzeck tafen, vesuchten w, des auch von andeen Postonen aus zu schaffen. Und wede stellten w fest, dass sch de Ball be entspechenden Weten de wchtgen Mekmale mme glech vehält. De wchtgen Mekmale snd de glechen gebleben be kene Schussposton wd etwa de Fabe des Fußballs zu enem wchtgen Mekmal. Ganz allgemen snd wchtge Mekmale fü uns jene, fü de sch das fü uns Wchtge des betachteten Voganges wedeholt, wenn w de Wete dese wchtgen Mekmale ungeändet lassen. Als unwchtg bezechnen w dagegen Mekmale, de w veänden können, ohne dass de Vogang fü unsee Maßstäbe andes abläuft. Da abe veschedene Leute an enen bestmmten Vogang veschedene Maßstäbe anlegen können, st de Untetelung n wchtge und unwchtge Mekmale letztlch subjektv. Zum Glück snd w uns jedoch be - physkalschen - Vogängen n de Bomechank stets eng, was daan als wchtge Mekmale anzusehen snd und was ncht! Dass das fü uns an bomechanschen Bewegungen Wesentlche mme nu von engen wengen wchtgen Mekmalen abhängt, elechtet das gesamte motosche Lenen und en gezeltes Technktanng ungemen. Alledngs st es m Spot ncht mme lecht, den als wchtg dentfzeten Mekmalen ene Bewegung auch genau de chtgen Wete zu geben. En Bespel dafü st de sogenannte Tanngsweltmeste. So wd en Spotle bezechnet, de zwa m 9

10 Tanng mme heausagt (also den wchtgen Mekmalen de absolveten Bewegungen genau de chtgen Wete zu geben vesteht), vo Publkum abe egelmäßg vesagt. Man sagt dann mestens, de Spotle se mental schwach, und ment damt, dass hn de Anwesenhet de Zuschaue psychologsch so beenflusst, dass e sch ncht meh daauf konzenteen kann, den wchtgen Mekmale auch de zum Efolg fühenden Wete zu geben. Bekanntlch vesucht man es n solchen Fällen mt mentalen Tanngsfomen. Wenn w be enem Bewegungsablauf de wchtgen von den unwchtgen Mekmalen zu untescheden gelent haben, und de unwchtgen Mekmale n de Folge weglassen, dann haben w gedanklch den uspünglchen Vogang duch enen enfacheen esetzt, be dem nu meh de wchtgen Mekmale vohanden snd. Desen veenfachten, n de Realtät ncht wklch ablaufenden Vogang nennen w en Modell des uspünglchen Voganges. Haben w den egentlchen Vogang duch en uns passend eschenendes Modell esetzt, haben also de Modelleung des egentlchen Voganges duchgefüht, dann folgt de Püfung unsees Modells auf sene Bauchbaket. En Modell st dann bauchba, wenn es alle jene Züge des Voganges chtg vohesagt, de w als wchtg enstufen. Tut es des, dann bleben w be desem Modell, tut es des ncht, dann müssen w es n de enen ode andeen Rchtung vebessen. Im Spot kommen solche Vebesseungsvoschläge fü unsee pesönlchen Modelle fü de Bewegungsabläufe n de beteffenden Dszpln häufg von enem Tane ode enem Teamkameaden. Des st beets alles, was zu Methode de Physk auf elementaem Nveau zu sagen st. De beschebene Vogangswese lässt sch seh enpägsam n enem Dagamm dastellen, das de Dplomabet von Kan Lenz [Lenz, 00] entnommen st. In den folgenden Kapteln weden w uns an de Telschtte deses Dagamms halten. 10

11 Klasse von ealen Vogängen aus de Lebenswelt, de physkalsch vestanden weden soll Unwesentlche Mekmale weglassen: egbt Klasse von dealseten Vogängen Fü de Klasse de dealseten Vogänge: Efndung enes Modells aus mathematschen Baustenen Von enem passenden ealen Vogang unwesentlche Mekmale weglassen Schlussfolgeung aus dem Modell m Rahmen de gewählten Logk Passende dealsete Vogang Besteht Übeenstmmung zwschen de Vohesage und dazu passendem dealsetem Vogang? Vohesage übe enen bestmmten dealseten Vogang Abbldung.1.1: Schema des Modelleens und Übepüfens De Newtonsche Mechank wude geschaffen, um de Usache von Bewegungen und deen Velauf zu vestehen. In desem Besteben kam Newton aus de Beobachtung von Vogängen n de Natu zu Übezeugung, dass de Bewegung enes bestmmten Köpes mme mt de Enwkung von andeen Köpen auf desen heausgegffenen Köpe n Vebndung gebacht weden kann. Dese Idee galt es nun n en bauchbaes Modell zu geßen. Was muss deses Modell lesten? Es muss de Bewegung von Köpen als Reaktonen auf Enwkungen aus de Umgebung modelleen. An dese Stelle st es nützlch, sch vo Augen zu halten, das de Satz de Bewegung von Köpen als Reaktonen auf Enwkungen aus de Umgebung modelleen 11

12 beets fü sch en Modell st, denn nu de als wchtg engestuften Mekmale de Vogänge (fü Newton Bewegungen von allgemene At; fü uns Bewegungen von Köpen n de Bomechank) snd dan enthalten. De als unwchtg engestuften wuden beets weggelassen. Im Untesched zu Newtonschen Mechank, de en Modell aus mathematschen Baustenen st, st es jedoch en vebales Modell. Es bestehet aus Wöten - Bewegung, Köpe, Umgebung, Enwkung, Reakton, und modelleen zwschen denen es ene Bezehung angbt. Auch wenn solche vebalen Modelle fü physkalsche Zwecke zu ungenau snd, snd se jedoch fü den Menschen mt sene Spache unentbehlch. W gehen nun n den anschleßenden Abschntten daan, de vebalen Baustene deses vebalen Modells Stück fü Stück n päzsee mathematsche Baustene zu übetagen, und weden so auf enschtge Wese be de Newtonschen Mechank landen... De Modelleung äußee Enwkungen auf eale Köpe als Käfte Da w gemäß de Übeschft äußee Enwkungen auf (m enfachsten Fall) enen ealen Köpe geegnet modelleen wollen, müssen w uns zuest daübe kla weden, was n dem beobachteten Vogang de Köpe und was de Umgebung sen soll. Dabe macht de Identfzeung des Köpes m Allgemenen kene Pobleme, wohl abe de zwete Schtt, nämlch den gesamten Rest bewusst als Umgebung des ausgewählten Köpes zu beückschtgen. In sene Dplomabet zegt Chstan Ponegg dazu en junges Paa, das Rücken an Rücken auf enem Sufbett stzt [Ponegg, 1993]. Ponegg bemekt, dass man enesets den jungen Mann als den Köpe auswählen kann; dann wd de Rücken de jungen Fau zu ene Enwkung auf den ausgewählten Köpe. Ode man kann de junge Fau als Köpe auswählen, dann wd daduch de Rücken des jungen Mannes zu ene Enwkung auf den ausgewählten Köpe. Bem Bespel Fußball waen w an de Flugbahn des Balles nteesset. Also wa dot de Ball das eale Objekt, und de tetende Fuß des Speles ene de wesentl- 1

13 chen äußeen Enwkungen auf den Ball und dessen Flugbahn. Ene andee Enwkung auf de Flugbahn snd de Hände ode Fäuste des gegneschen Tomannes, de duch gekonntes Engefen vehnden kann, dass de Flugbahn des Balles m Netz endet. In ene andeen Stuaton könnten w alledngs auch desen Tomann als den ealen Köpe betachten, bespelswese wenn e geade enen schafen Schuss n den Bauch bekommen hat und sch vo Schmezen wndet. Dann gehöte de Ball, de an desen bedauelchen Zustand des Tomannes schuld st, nunmeh zu den äußeen Enwkungen, de den augenblcklchen Zustand des ealen Objektes Tomann hebegefüht haben. W wählen also das eale Objekt je nach unsee Inteessenslage aus, und machen damt alle andeen Objekte zu dessen Umgebung. Dese Umgebung wd mme n de enen ode andeen Wese auf das ausgewählte Objekt enwken. Von dese Umgebung lassen w n de Folge jedoch alles weg, von dem w glauben, dass es fü de Bewegung des ausgewählten Objektes unwchtg st. Nu den veblebenden klenen Rest de enwkenden Umgebung behalten w wetehn be, und es fagt sch, we de Newtonsche Mechank dese wesentlch enwkende Umgebung behandelt, ode mt den Woten unsee Gafk n Abb..1.1, we se dese wesentlch enwkende Umgebung modellet. Betachten w dazu den Schuss bem Fußballspel noch enmal etwas genaue. W haben schon festgestellt, dass de entschedende äußee Enwkung fü de anfänglche Bewegung des Balles de Ttt des Speles st. Nun könnten w dem Ttt des Speles wede ene Menge von Egenschaften zuscheben. Von desen snd abe wede de mesten fü de Vohesage de Bahnkuve des Balles zemlch elevant, we bespelswese de Make des Fußballschuhs am Tttfuß. Newton hat nun vogeschlagen, be allen mechanschen Enwkungen auf enen heausgegffenen Köpe mme alle Egenschaften bs auf de wegzulassen. Dese de veblebenden Egenschaften snd de Stäke, de Rchtung und de Angffspunkt de Enwkung. Wetes schlug e vo, dese de Egenschaften mt enem Pfel zu modelleen, dessen Rchtung fü de Rchtung de Enwkung, dessen Länge fü de Stäke de Enwkung, und dessen Sptze fü den Angffspunkt de Enwkung stehen soll. 13

14 Bem Ttt enes Fußballs st de Übetagung von Stäke und Rchtung des Ttts n enen entspechend langen und gechteten Pfel unmttelba enschtg. Und dass de Stelle, wo de Ball von desem Ttt getoffen wd, ebenfalls seh wchtg st, wssen w von den beühmten Bogenschüssen von Spelen we Robeto Calos von Real Madd ode von Davd Beckham von Mancheste Unted. Abbldung..1: Modelleung de Enwkung des Tttfußes als Pfel In velen Fällen untelegt de heausgegffene Köpe glechzetg meheen Enwkungen, von denen w jede fü sch als Kaftpfel modelleen. Fü dese Stuatonen hat Newton heausgefunden, dass solche Kaftpfele, wenn se auf den selben Angffspunkt wken, duch enen enzgen Kaftpfel esetzt weden können, den man aus den enzelnen Kaftpfelen duch de aus de Schule bekannte Vektoaddton ehält. Und wenn w außedem veenbaen, dass de Kaftpfele mt Zahlen multplzet weden können mt de Bedeutung, dass etwa en mt de Zahl 3 multplzete Kaftpfel das selbe sen soll we de de Mal so lange uspünglche Kaftpfel, dann sehen w, dass de an enem Angffpunkt wkenden äußeen Enwkungen n de Newtonschen Modelleung enen Vektoaum blden, dessen Elemente de Kaftpfele snd. In desem Snne spechen w von nun an nu noch von Kaftvektoen F. Fü das Zusammenwken mehee Katfvektoen F, = 1,,3..., an en und dem selben Angffspunkt glt n dese Schebwese also F 1 + F + F = F ges. (..1) 14

15 Abbldung..: Vektosumme de Käfte Dank de enfachen Bedeutung des Poduktes ene Zahl λ und enes Kaftvektos mt dem Angffspunkt P als enem glech gechteten Kaftvekto mt de λ-fachen Länge und dem glechen Angffspunkt P, benötgen w fü jeden Angffspunkt und jede Rchtung egentlch nu enen enzgen Vekto, aus dem w alle andeen duch bloße Multplkaton mt ene Zahl konstueen können. Aus (..1) sehen w soga wete, dass w an enem Angffspunkt ga ncht fü jede Rchtung enen egenen Bassvekto benötgen, sonden fü alle Rchtungen echt ene Auswahl von nu de Bassvektoen aus (de, wel de Raum, n dem sch bomechansche und andee Bewegungen abspelen, dedmensonal st). Dese enfachen Ekenntnsse weden sch alsbald als echt nützlch ewesen. De Modelleung ene Enwkung auf den uns betachteten Köpe duch enen Vekto macht alledngs nu dann Snn, wenn w übehaupt snnvoll von enem Angffs- Punkt spechen können. Wenn w zum Bespel unsee Hände encemen, und de geade engecemte Hand als eales Objekt heausgefen, so st de andee - encemende - Hand offenschtlch ene Enwkung auf de este. Es lässt sch he abe 15

16 offenschtlch ken bestmmte Angffspunkt angeben, und es macht somt kenen Snn, dese Enwkung mt dem Modell des Kaftvektos zu bescheben. Steng genommen lässt sch fü übehaupt kene ealstsche Enwkung en Angffspunkt angeben, da jede Enwkung äumlch ausgedehnt sen muss, damt se übehaupt wkungsvoll sen kann, das mathematsche Modell Punkt jedoch pe Defnton kene Ausdehnung bestzt. Jede Enwkung bestzt also ene Angffsfläche. Ist dese alledngs m Veglech zu Obefläche des Köpes, auf den se wkt, klen, so können w dese zu enem Angffspunkt schumpfen lassen. Falls des ncht möglch st, müssen w zu aufwendgeen Modellen als de Newtonschen Mechank gefen..3. De Modelleung eale Köpe als Massenpunkte Nachdem w de Enwkungen de Umgebung mt Hlfe des Kaftvektos modellet haben, wenden w uns nun ene geegneten Modelleung von ealen Köpen zu. Zunächst enmal: Was menen w übehaupt mt enem ealen Köpe? Daunte vestehen w en Objekt aus unsee Elebenswelt, das ene deutlche Genze bestzt. En Auto bestzt ene deutlche solche Genze und st dahe en Köpe. Ene Duftwolke bestzt dagegen kene solche Genze, und zählt dahe be uns ncht als Köpe. Newton fand heaus, dass w be de Beschebung von Bewegungen enes ealen Köpes häufg mt nu zwe wesentlchen Mekmalen auskommen. Dese snd de augenblcklche Ot des Köpes und sene Masse. Was wollen w unte dem Ot enes ausgedehnten Köpes (und alle Köpe snd schleßlch ausgedehnt!) vestehen? Unmttelba enschtg st das Konzept enes Otes fü enen ausgedehnten Köpe dann ene bauchbae Veenfachung (also Modelleung), wenn sene äumlche Ausdehnung m Vehältns zu den Dmensonen de Umgebung des betachteten Vogangs klen st, und wenn w uns nu fü de gobe Bewegung des Objektes nteesseen. 16

17 Betachten w dazu en Bespel: Nehmen w an, w betachten wähend ene Wandeung duch en betes Hochtal de Flugmanöve enes Tumfalken be de Futtesuche. Wenn w de Dmensonen de Umgebung, also de Bete des Tales und de Höhe de Nadelbäume an dessen Flanken zu Gunde legen, dann st de Ausdehnung des Objektes Tumfalke seh klen dagegen. Aus de Entfenung sehen w auch ncht genau, we es de Tumfalke anstellt, um bald üttelnd paktsch stll zu stehen, um dann m Stuzflug auf ene Beute heunte zu stoßen. Fü de Beschebung de Gobbewegung des Tumfalken, Stllstand und Stuzflug genügt uns en enzge Ot. Dem Poblem, desen - zetlch veändelchen - Ot genau anzugeben, wenden w uns m Abschntt.4.1. zu. Abe schon jetzt sollten w uns bewusst machen, dass de Redewese de Tumfalke steht 100 Mete übe dem Talgund n de Mtte zwschen den Talhängen stll, andee Köpe (he z. B. den Talgund und de das Tal begenzenden Talhänge) als Bezugspunkte zu Hlfe nmmt. Dese Enfühung enes Bezugssystems wd uns n Abschntt.4.1 glech engehende beschäftgen. En (lede seh unewünschte!) Bewegungsablauf, be dem de Angabe enes Otes fü den betachteten Köpe Auto ncht ausecht, st en Autounfall: He geht es - neben de genauen Geschwndgket um de genaue Oenteung de Autos de Unfallgegne unmttelba vo und nach dem Aufpall. Mt de Angabe enes Otes st des ncht meh zu bewekstellgen. Auf de, desem komplzeteen Fall angepasste Modelleung enes Köpes weden w n Abschntt.7. zuückkommen. Das zwete Mekmal, von dem Newton zegte, dass es n enfachen Fällen zusammen mt dem Ot zu Beschebung de Bewegung enes ealen Köpes ausecht, st de Masse. Heute haben w uns an den Begff Masse beets deat gewöhnt, dass w uns anstengen müssen, um hn noch als genale Efndung Newtons weten zu können. Und doch wa es en Genestech Newtons zu ekennen, dass sch de fü de Bewegung wchtgen Mekmale enes ealen Köpes n velen Fällen neben dem Ot duch nu ene enzge wetee Zahl, de man mme mt dem Buchstaben m bezechnet, snnvoll modelleen lassen! Bedenken w dazu, dass es ncht möglch st, aus de Betachtung von ealen Bewegungsabläufen de goße Nützlchket enes Konzeptes we de Masse gendwe logsch abzuleten. Velmeh efodet es de genale Keatvtät enes Newton, um vohezusehen, dass sch mt sene Idee 17

18 enes Modellbaustens Masse be de Beschebung von Bewegungen ene ganze Menge anfangen lassen müsse; meh noch: das Konzept Masse hat sch bshe mme fantastsch bewäht. We mt de Idee de Masse ncht vetaut st, kann sch auch ncht vostellen, we deses Konzept be de Beschebung von Bewegungen zum Ensatz kommt. Das bespechen w n Abschntt.5.. Und est dot wd sch aus de Rolle, de de Masse n de Newtonschen Mechank spelt, auf echlch ndekte Wese ene Methode egeben, um jedem vogegebenen ealen Köpe ene zugehöge Massenzahl m zuzuscheben. Est dot weden w vestehen, waum man dese Zahl m mt Hlfe ene Waage bestmmen kann. Des jetzt schon zu sagen, wäe ene leee Behauptung, deen Hekunft w uns noch ncht ekläen können, wenn w uns ncht damt zufeden geben wollen, dass w se schon oft gehöt und ebenso oft selbst bestmmt zu haben. Es st en tefgündge Sachvehalt, dass de Rolle, de en als bauchba angesehene Modellbausten we de Masse n dem Gesamtmodell (he de Newtonsche Mechank ) spelen soll, ncht nach gendwelchen Regeln abgeletet weden kann, sonden efunden weden muss. Und dass est aus dese Rolle m Gesamtmodell hevogeht, auf welche Wese w de Masse jedes volegenden Köpes ene Zahl zuwesen können. Um wengstens ene Idee von desen Zusammenhängen zu bekommen, wollen w ene abschtlch vollkommen an den Haaen hebegezogenen Analoge efnden, de abe de wesentlche Poblematk ehellt. Stellen w uns en Schulsystem vo, n dem de Schüle nu duch egenes Heumpobeen (also ohne Anletung duch enen Lehe) mechansche Entdeckungen m Staßenvekeh machen sollen. Stellen w uns wetes ene stak von de gegenwätgen Feng Shu Welle angehauchte Schülen vo, de gendwo aufgeschnappt zu haben glaubt, dass de Schehet von Fahzeugen m Staßenvekeh auch von ualten Feng Shu Wesheten bestmmt wd (was mme das auch heßen mag). Deshalb hat se de Idee, allen Fahzeugen ene Feng Shu Zahl zuzuodnen, wobe Fahzeuge mt hohe Feng Shu Zahl unfallsfe bleben, solche mt klene Feng Shu Zahl abe häufg n Unfälle vewckelt weden sollten. Nachdem unsee Schülen dese Idee dese Efndung - geboen hat, steht se abe vo dem Poblem abzuklä- 18

19 en, ob dese Idee fü heutge Fahzeuge übehaupt bauchba st, und wenn ja, nach welchem Vefahen se enem volegenden modenen Fahzeug de zugehöge Feng Shu Zahl zuwesen kann. Wenn w Feng Shu Esotek duch Newtonsche Mechank und Feng Shu Zahl duch Massenzahl esetzen, dann snd de Pobleme dese Schülen ganz analog unseen Poblemen mt dem Konzept de Masse. In Fällen, wo w de Beschebung de Bewegung enes Köpes mt enem Ot und ene Massenzahl fü ausechend eachten, spechen w von de Modelleung des beteffenden Köpes als Massenpunkt. Da w natülch auch n desem Fall de äußeen Enwkungen auf desen Köpe als Kaftvektoen modelleen, blebt desen als Angffspunkt nu de augenblcklche Ot des Massenpunktes. Be ene Modelleung als Massenpunkt müssen w also de Angffspunkte alle Kaftvektoen zusammen fallen lassen. Abbldung.3.1: Modelleung ene Skennläufen als Massenpunkt. Ihen augenblcklchen Ot könnten w etwa duch he augenblcklchen Entfenungen d l und d von de lnken und echten oten Tostange angeben. An Enwkungen auf de Rennläufen ekennen w unmttelba de Schwekaft, den Luftwdestand und de Schneekaft (de se enesets stützt und andeesets meh ode wenge längs de Ideallne gleten lässt). Und obwohl de Schwekaft an hem ganzen Köpe angeft, de Luftwdestand n etwa an he ganzen Vodesete und de Schneekaft an de gesamten Schfläche, kommt wegen de Modelleung de Rennläufen als Massenpunkt als gemensame Angffspunkt fü de dese Enwkungen modelleenden Kaftvektoen nu de augenblcklche Ot des Massenpunktes n Fage. 19

20 .4. De Modellbaustene Bezugssystem, Bahnkuve, Geschwndgket und Beschleungung.4.1. Das Bezugssystem : Allgemene Bezugssysteme und Inetalsysteme Bshe haben w uns ledglch bewusst gemacht, dass w vom Ot enes Massenpunktes nu elatv zu andeen, geegnet gewählten, Köpen spechen können. De Tumfalke üttelte 100 Mete übe de Talsohle und n de Mtte zwschen den beden Talhängen, de Schennläufen wa d l Mete von de lnken, und d Mete von de echten oten Tostange entfent. De Poston enes Tennsspeles geben w etwa als am Netz an, de enes Fußballspeles etwa als m Stafaum, de bekanntlch duch ene weße Lne gekennzechnet st. Dese Angaben fühen uns nachdücklch vo Augen, dass de Ot enes Köpes nu elatv zu andeen Köpen angegeben weden kann. Wählen w andee Bezugsköpe, so ändet sch angepasst an dese geändeten Bezugsköpe - unsee Otsangabe. De Ot enes Köpes st dahe von de Wahl de Bezugsköpe abhängg. Alledngs snd unsee bshegen Otsangaben fü de mesten Zwecke zu unpäzse. Fü de Massonde, de wähend de Abfassung dese Abet gestatet wude und de he Bahn seh genau enhalten muss, um he Msson efolgech duchzufühen, wäe de Angabe, se befände sch geade auf halbem Weg zwschen de Ede und Mas vel zu ungenau. Und fü de Emttlung des Seges enes olympschen Maathonlaufs wäe es vel zu unpäzse zu sagen: Sege st de, de als este ns Stadon zuückkommt, wenn des etwa zwe Läufen paktsch glechzetg gelngen sollte. Um unsee Angabe des Otes enes als Massenpunkt modelleten Köpes genaue zu machen, egänzen w unsee Bezugsköpe duch en so genanntes Koodnatensystem. Am Tennsplatz wd de genaue Ot des Aufteffpunktes des Balles heute zwa automatsch gemessen, w könnten abe desen Punkt und den augenblcklchen Ot ene Spelen auch an zwe Maßbänden ablesen, de w an zwe zuenande senkechten Begenzungslnen ausgelegt haben, und auf de w de nstantane Poston de Spelen pojzeen. Dese Methode lefet uns fü jeden Zetpunkt zwe Zahlen x ( t ),y( t ). Dabe bedeutet de Buchstabe t ( tme ) den auf ene Stopp- 0

21 uh abgelesenen Zetpunkt, zu dem de Koodnaten x ( t ) und y ( t ) aktuell waen. Wenn w desen Katalog von Zahlenpaaen mt dem Geodeeck auf en Blatt Pape übetagen, und zu jedem Zahlenpaa de Zet makeen, zu de deses Zahlenpaa aktuell wa, dann ehalten w de Bahnkuve des Massenpunktes elatv zu dem gewählten Bezugssystem. De Abbldung.4.1 veanschaulcht dese Vogangswese fü en Fußballfeld. Abbldung.4.1: Poston enes ausgewählten Speles m elatv zu enem Koodnatensystem, das aus zwe langen Maßbänden besteht, de längs ene Setenoutlne und längs ene Tooutlne ausgelegt snd. De Schnttpunkt dese beden Maßbände (de mt de Eckfahne zusammenfällt) wd mt O bezechnet, was w wahlwese als Null (fü Nullpunkt dese Ot hat ja de Koodnaten x = 0 und y = 0), als auch als esten Buchstaben des englschen Wotes Ogn lesen können. Das Dagamm m echten Bldtel zegt de Übetagung de zum Zetpunkt t = t 0 aktuellen Koodnaten x(t 0 ) = a und y(t 0 ) = b des Massenpunktes, mt dem w den Spele m modellet haben, auf en Blatt Pape. Zu Angabe de Bahnkuve de Tennsspelen echen zwe Zahlen x ( t ),y( t ) aus, da Tennsspele den Boden nu selten velassen. Bem Fußballspele st des ncht so, denn es macht enen Untesched, ob en Stüme nach ene Flanke enes Mtspeles höhe spngt als en gegnesche Vetedge. In solchen Fällen (von denen de Bahnkuven enes Dskus, ene Kugel, enes Hochspnges und ene Stabhochspngen noch makantee Bespele snd) kommen w mt zwe Zahlen ncht aus. In desen Fällen egänzen w de bshegen beden Maßbände duch enen senkechten Maßstab, auf dem w ene dtte Postonszahl z( t ) ablesen. We m Mathematkuntecht an de Schule engefüht, scheben w dese de Zahlen n Fom ene Spalte 1

22 x( t) x ( t) = y( t) z( t) (.4.1.1) zusammen. Wenn w nu enen enzgen Zetpunkt t = t0 m Auge haben, dann nennen deses Objekt den Otsvekto (dese Redewese st egentlch ncht koekt, füht abe n de von uns he angestebten elementaen Dastellung de Mechank zu kenen Poblemen) des betachteten Massenpunktes zu Zet t = t0. Intepeteen w abe das Objekt (.4.1.1) als Stellvetete alle m Laufe enes ganzen Zetntevalls von unseem Massenpunkt engenommen Oten, dann nennen w (.4.1.1) we schon benutzt - de Bahnkuve des Massenpunktes, von de nun genaue de Rede sen soll..4.. De Bahnkuve Schon be de Enfühung enes Bezugssystems zu Angabe de aufenande folgenden Ote enes als Massenpunkt modelleten Köpes also sene Bahnkuve - wa kla, dass das, was sch uns nach de Übetagung dese Bahnkuve auf en Blatt Pape dabetet, ganz wesentlch von de Wahl des Bezugssystems abhängen wd. Da dese Umstand fü de Newtonsche Mechank von gundlegende Bedeutung st, müssen w uns damt nähe befassen. Geade m Spot weden de veschedensten Bezugssysteme vewendet. So lefet be de TV-Übetagung hochkaätge Lechtathletk-Meetngs ene auf Schenen neben den 100 m-spnten glechmäßg entlang bewegte Kamea packende Blde. Da de TV-Zuschaue natülch de Umandung de Mattschebe senes Fensehgeätes als Bezugssystem vewendet, odnet e den Läufen ganz andee Bahnkuven zu als en Zuschaue auf de Tbüne, de de Laufbahn als Bezugssystem vewendet (also etwa de Statlne als gedachte x-achse, und den Außenand de Laufbahn als gedachte y-achse). De Abbldung.4. zegt zwe Bldfolgen, we se mt ene uhenden und ene mtgefühten Kamea aufgenommen wuden. Mt dem Bldand als natülchem Bezugssystem egeben sch daaus unteschedlche Bahnkuven fü denselben ealen Vogang.

23 Abbldung.4.: Mtbewegte Kamea Ruhende Kamea Das natülche Bezugssystem st n beden Fällen de Bldand de Aufnahme: Fü denselben ealen Vogang weden unteschedlche Bahnkuven ehalten. Unte den be Spotübetagungen benutzten Bezugssystemen st de auf Schenen glechmäßg mt Läufen mtgefühte Kamea en besondes enfache Ausnahmefall. Im Allgemenen snd de vewendeten Bezugsysteme vel komplzete. Denken w nu, als enem Bespel unte velen ähnlchen, an de Übetagung enes Sch- Goßeegnsses we den Slalom am Ganslenhang n Ktzbühel (vgl. Lenz, 00). De Kamealeute des ORF (de ja de Spezalsten fü Schübetagungen snd) vesuchen natülch, den TV-Zuschauen den geade fahenden Läufe vom Stat bs ns Zel n Goßaufnahme, d.h. möglchst mme n de Mtte des Kameabldes, zu zegen. De Kamea schwenkt also möglchst mme mt den asch aufenandefolgenden Rchtungswechseln des Läufes mt. Da de TV-Zuschaue natülch wede de Beandung senes TV-Geätes als Bezugssystem wählt, setzen sch fü hn de n desem Bezugssystem aufenandefolgenden Ote des Läufes zu ene komplzeten Bahnkuve zusammen, de ähnlch we de Faden enes Wollknäuels mme meh ode wenge um de Mtte des TV-Bldschmes kest. W nennen en solches Bezugssystem en mt dem beschebenen Köpe mtbewegtes Bezugssystem. Auch de neben de Laufbahn mtbewegte Kamea vemttelte en mtbewegtes Bezugssystem, nu wa es wegen de glechmäßgen geadlngen Bewegung de Läufe von vel enfachee At als das Bezugsystem be de Schübetagung. Wegen de äußest aschen Rchtungswechsel des Slalomläufes kann von ene glechmäßg bewegten Kamea kene Rede sen. Auf en enfaches Bezugssystem wüde de TV- Betachte nu dann eduzet, wenn de TV-Kamea bespelswese wegen extem tefe Tempeatuen n ene bestmmten Poston festfeen wüde. Dann wüde man 3

24 fü de kuze Stecke, auf de de Läufe eventuell noch schtba wäen, ene Bahnkuve elatv zu enem enfachen Bezugssystem ehalten. Um späte Newtonsche Mechank teben zu können, müssen w den bshe bloß qualtatv getoffenen Untesched zwschen enfachen und komplzeten Bezugssystemen schäfe heausabeten. Fü de Zwecke de Beschebung von bomechanschen Bewegungen m Rahmen de Newtonschen Mechank st jedes mt de Ede fest vebundene Bezugssystem n ausechende Genaugket en enfaches Bezugssystem. Man beachte, dass des keneswegs ene Defnton st, sonden en empsche Befund, de sch est duch de efolgeche Anwendung de Newtonschen Mechank egeben hat. Unte unseen bshegen Bespelen waen de Maßbände entlang des Tenns- und des Fußballplatzes, sowe de festgefoene Kamea mt de Ede festvebundene Bezugssysteme, und dahe enfach. Ab jetzt weden w jedoch ncht meh von enfachen, sonden von netalen Bezugssystemen spechen. Daübe hnaus st jedes gegen de Ede mt glechmäßge Geschwndgket längs ene geaden Lne bewegtes Bezugssystem ebenfalls netal. Unte unseen bshegen Bespelen stellte de auf Schenen längs des Randes de Laufbahn (de ja ene geade Lne bldet) mt glechblebende Geschwndgket gefühte Kamea en solches netales Bezugssystem da. Dagegen stellt de dem Slalomläufe be all senen Rchtungsändeungen ständg folgende Kamea en nchtnetales Bezugssystem da. Fü de Newtonsche Mechank besteht nun de ganz und ga wesentlche Untesched zwschen netalen und nchtnetalen Bezugssystemen dan, dass de Newtonschen Bewegungsgesetze aus Abschntt.5. nu n netalen Bezugssystemen gelten. En bestmmtes nchtnetales Bezugssystem, das man gene benutzen möchte, wel n hm de volegende ode de gesuchte Bahnkuve besondes enfach aussehen, kann alledngs dann vewendet weden, wenn man weß, we deses bestmmte nchtnetale Bezugssystem mt enem netalen Bezugssystem zusammenhängt. Des st auch duchaus enleuchtend, wel man sch dann ja mme auf das Inetalsystem zuückzehen kann. In enem solchen Fall fomulet man de Newtonschen Bewegungsgesetze zuest m beteffenden Inetalsystem, wo se ja 4

25 gültg snd (vgl. Abschntt.5.), und echnet se dann auf das bequemee Nchtnetalsystem um. En seh häufg vewendetes nchtnetales Bezugssystem otet gegen de Ede mt glechblebende Wnkelgeschwndgket. Man beachte, dass de Fomuleung otet gegen de Ede mt glechblebende Wnkelgeschwndgket geade den oben gefodeten Sachvehalt ausdückt, dass w be Vewendung enes Nchtnetalsystems (etwa ene oteende Schebe als Bezugsköpe) genau wssen müssen, we es sch gegen en Inetalsystem (z. B. de Ede) bewegt De Geschwndgket De nstantane Geschwndgket enes als Massenpunkt modelleten Köpes st en wchtge Modellbausten de Newtonschen Mechank. Da dese Begff aus de Schulphysk engemaßen vetaut sen düfte, können w uns kuz halten. Duchläuft de Massenpunkt de Bahnkuve x (t), so betachten w m esten Schtt de Ändeung de Poston des Massenpunktes x( t) = x( t) x( t1) m dazugehöenden Zetntevall t = t t1. De Vekto x( t) = x( t) x( t1) stellt den Sehnenvekto vom Punkt x ( t 1 ) zum Punkt x ( t ) de Bahnkuve da. Im nächsten Schtt blden w x( t) den Quotenten und lassen das Zetntevall tgedanklch mme klene weden. We aus de Schulzet bekannt st, ehalten w so de Abletung des Otes nach t de Zet. De so gewonnene Vekto wd n de Physk als Geschwndgket v ( t ) bezechnet. x( t) dx( t) lm t 0 = : = v( t) t dt De Geschwndgket des Massenpunktes st somt wede von de Zet t abhängg und ebenfalls ene vektoelle Göße. Aus de At des Zustandekommens de Geschwndgket egbt sch deen Enhet zu [ m ]. Analog zu Dastellung (.4.1.1) des s Otsvektos stellen w auch de Geschwndgket als Spalte dann da, wenn w he de Komponenten explzt schtba machen wollen: 5

26 v ( t ) = v v v x y z ( t ) ( t ) ( t ) De Betag des Geschwndgketsvektos, v ( t) = vx ( t) + v y ( t) + vz ( t ), gbt Auskunft übe de Göße de Geschwndgket zum Zetpunkt t. De Rchtung de Geschwndgket zu enem Zetpunkt t st als Genzwet des Sehnenvektos mme tangental zu Bahnkuve m Punkt x ( t ). De Bahnkuve zusammen mt ene Rehe von maßstabsgeteuen Geschwndgketsvektoen egbt enen guten Enduck übe den Velauf de Bewegung. Bem Auto Fahen gbt uns de Tachomete Auskunft ü- be den Betag de Momentangeschwndgket, und deen Rchtung egbt sch aus de Tangente an de Fahlne. De Geschwndgketsvektoen zu aufenande folgenden Zetpunkten egeben den so genannten Geschwndgketsvelauf. Abbldung.4.: Rchtung de Geschwndgket Betag de Geschwndgket (n km/h) 6

27 .4.4. De Beschleungung In de Newtonschen Mechank hat de Geschwndgket vo allem als Ausgangsgöße fü den noch vel wchtgeen Modellbausten Beschleungung a (t) Bedeutung. Newton hat nämlch festgestellt, dass zu Beschebung de Reaktonen enes als Massenpunkt modelleten Objektes, auf ene Enwkung aus sene Umgebung en wetee Modellbausten, eben de Beschleungung, notwendg st. W konstueen desen Modellbausten Beschleungung an enem bestmmten Bahnpunkt x ( t 1 ), ndem w den Geschwndgketsvekto v ( t ) vom etwas späteen Bahnpunkt x ( t ) zum Geschwndgketsvekto v ( t 1 ) paallel vescheben. Auf dese Wese ehalten w enen Dffeenzvekto = v( t ) v( t ), den w wede duch das v 1 dazugehöende Zetntevall t = t t1 dvdeen. Indem w es gedanklch mme klene weden lassen, gehen w zum Genzwet bzw. zu Abletung übe: v( t ) dv( t ) lm t 0 = = : a( t ) (.4.4.1) t dt Da w de Geschwndgket duch Ableten de Bahnkuve beechnet haben und w dese nochmals ableten müssen, um auf de Beschleungung zu kommen, können w de Beschleungung auch dekt duch zwefache Abletung de Bahnkuve nach de Zet beechnen, dv( t) d x( t) a( t) = =. dt d ² t Dass geade dese Göße ene - we w m nächsten Kaptel sehen weden n de Newtonschen Mechank ene so bedeutende Rolle spelt, st natülch keneswegs selbstveständlch. Est duch de nachgewesene fantastsche Bauchbaket des Gesamtmodells de Newtonschen Mechank ehält deses Konzept sene Bedeutung. Es wäe zumndest ene Welt vostellba, n de de Abletung de Beschleungung de zentale Rolle spelt, so we es n de Vostellung des Astoteles de Geschwndgket (und ncht de Beschleungung wa), auf de es anzukommen schen. 7

28 We be de Geschwndgket handelt es sch be de Beschleungung um ene vektoelle Göße, und de Enhet egbt sch zu [ ms ]. Häufg vewendete Bezechnungen fü Geschwndgket und Beschleungung snd auch v = x = x& a = v = x = && x wobe Stche und Punkte de Zahl de Abletungen symbolseen, de w ausfühen müssen, um dese aus de Bahnkuve x ( t ) zu ehalten. Geschwndgket bzw. Beschleungung bezehen sch mme auf enen bestmmten Zetpunkt und weden deshalb häufg als Momentangeschwndgket bzw. Momentanbeschleungung bezechnet. Vel wchtge fü das Veständns de Newtonschen Mechank st abe fü uns de Tatsache, dass de Beschleungung enes Massenpunktes auf ene ganz bestmmte Wese enzg und allen aus sene Bahnkuve gewonnen wd..5. De Veknüpfung de Modellbaustene duch de Newtonschen Axome W haben jetzt alle Modellbaustene de Newtonschen Mechank fü de Beschebung von jenen enfachen Bewegungen zusammen getagen, wo de bewegten Köpe als Massenpunkte modellet weden können. Abe we bem Hausbau egbt est de geegnete Zusammenbau dese Baustene daaus en tagfähges Gebäude. Fü Köpe, de als Massenpunkte modellet weden können, schaffte Newton des mt de Fomuleung von de Zusammenhängen zwschen den Baustenen Bezugssystem fü de Regsteung de Bahnkuve des Massenpunktes, Masse des Massenpunktes Gesamtkaft(vekto) auf den Massenpunkt, und Beschleungung(svekto) des Massenpunktes. Dese weden mest als de de Newtonschen Axome bezechnet. Obwohl es nu de snd, weden se häufg falsch wedegegeben und ntepetet, und Schüle und Studenten bekommen so en falsches Bld de 8

29 Mechank. Zum besseen Veständns wd zuest jedes Axom eläutet und est dann kuz und pägnant fomulet Das 1. Newtonsche Axom Nach Abschntt.4.1. können w de uns nteesseenden Bewegungen n veschedenen Bezugssystemen betachten. Je nach de getoffenen Wahl enes Bezugssystems ehalten w unteschedlche Bahnkuven fü den als Massenpunkt modelleten ealen Köpe. Wenn w den Modellbausten Beschleungung mme nach dem Vefahen von Abschntt.4.4. gewnnen (und des wollen w veenbaen), dann weden w fü en und deselbe Bewegung klaewese zu unteschedlchen Beschleungungen gefüht. Andeesets st es das Zel de Physk, n de Natu Muste ode Regelmäßgketen zu entdecken. Was snd abe Muste und Regelmäßgketen? Das st Etwas, was be genaueem Hnsehen ene ganze Anzahl von Phänomenen gemensam haben, de auf den esten Blck nchts mt enande zu tun zu haben schenen. Wenn w also de Beschleungung nach Newton als gundlegenden Modellbausten fü de Beschebung de Bewegung enes bestmmten Köpes ansehen, dann sollte dese Beschleungung fü de Bahnkuven, de man fü dese Bewegung elatv zu veschedenen Bezugssystemen ehält, mme de gleche sen. Des st abe natülch ncht fü alle vostellbaen Bezugssysteme möglch, wohl abe fü ene goße Klasse von Bezugssystemen, nämlch fü de n Abschntt.4.1. dskuteten Inetalsysteme. Das 1. Newtonsche Axom besagt genau das: Nu be Beschleungungen, de w aus Bahnkuven elatv zu Inetalsystemen gewonnen haben, handelt es sch um Modellbaustene de Newtonschen Mechank. Solche Beschleungungen weden deshalb als Newtonsche Beschleungungen, a Newton (t) bezechnet, und nu fü dese glt das. Newtonsche Axom : 1. Newtonsches Axom : Um de Newtonsche Mechank anwenden zu können, benötgen w spezelle Bezugssysteme, Inetalsysteme genannt. En Inetalsystem st en Bezugssystem, be dem sch en als käftefe bekannte und als Massenpunkt modellete Köpe mt 9

30 konstante Geschwndgket v( t ) = v0 bewegt. Nu aus ene (auf de Enwkung belebge Käfte zuückgehende) Bahnkuve, de elatv zu enem Inetalsystem aufgezechnet wude, ehalten w jenen Modellbausten (Newtonsche) Beschleungung a Newton (t), auf den sch das. Axom bezeht..5.. Das. Newtonsche Axom Mt de zu Gunde Legung enes Inetalsystems haben w de Voaussetzungen fü de Gültgket de zwe weteen Axome geschaffen. Ohne zunächst de enwkenden Käfte beückschtgen zu müssen, können w zu jedem Zetpunkt t aus de zu desem Inetalsystem gehöenden Bahnkuve ene Beschleungung (des als Massenpunkt modelleten Köpes) angeben, de fü alle Inetalsysteme de selbe Vekto a Newton (t) st. Anschleßend wenden w uns de Fage zu, we de Umgebung auf unseen Massenpunkt enwkt und setzen voaus, dass w mme alle Enwkungen kennen und als Kaftvektoen modelleen können. Schleßlch esetzen w mehee auf den Massenpunkt wkende Kaftvektoen duch ene esulteende Kaft (t). F ges In enem weteen Schtt nehmen w noch an, dass w dem von uns als Massenpunkt modelleten Köpe ene Massenzahl m zuodnen können. Damt snd w nun meh n de Lage, das. Newtonsche Axom zu fomuleen. Newtonsches Axom : Fü enen als Massenpunkt modelleten ealen Köpe st zu jedem Zetpunkt t de Vektosumme F ges (t) alle enwkenden Kaftvektoen glech dem Podukt aus de Masse m und de Newtonschen Beschleungung a Newton (t) : ma Newton ( t) = F ( t). (.5..1) ges 30

31 Aus dem Podukt de Enheten de Beschleungung [m/s ] und de Masse [ kg ] auf de lnken Sete von (.5..1) egbt sch de Enhet de Kaft zu [kg m/s ], welche kuz als Newton [ N ] bezechnet wd Das 3. Newtonsche Axom Zu Vobeetung des 3. Newtonschen Axoms betachten w nochmals das Bespel des Fußballspeles aus Abschntt.. W stellten dot fest, dass en schafe Schuss n den Bauch des Tomannes als ene Enwkung auf desen mt enem Kaftvekto F modellet weden kann. Wählen w andeesets den Ball Ball _ auf _ Tomann als unseen heausgegffenen Köpe, so stellt de Tomann umgekeht ene Enwkung auf dessen Bahnkuve da, welche w mt enem Kaftvekto F modelleen. Tomann _ auf _ Ball Newton hat nun postulet, dass dese zwe Kaftvektoen eng zusammen hängen, nämlch als F Tomann _ auf _ Ball = F. Ball _ auf _ Tomann Allgemen fomulet lautet das 3. Newtonsche Axom so: Dttes Newtonsches Axom: Wenn zwe sch gegensetg beenflussende Köpe K1 und K volegen, dann können w enmal den Köpe K1 als unse eales Objekt heausgefen. Dann haben w den Köpe K zu Umgebung des heausgegffenen Objektes K1 gemacht. Als Tel de Umgebung wkt de Köpe K auf das heausgegffene Objekt K1 en. Dese Enwkung des Köpes K auf das von uns heausgegffene Objekt modelleen w mt enem Kaftvekto F 1. W können abe auch umgekeht den Köpe K als unse eales Objekt betachten. Dann st alles andee de gesamte Umgebung deses heausgegffenen Objektes, 31

32 also auch de Köpe K1. Als Tel de Umgebung wkt e auf K en. Dese Enwkung modelleen w mt enem Kaftvekto F 1. Fü de Kaftvektoen F 1 und F 1 glt, dass se betagsmäßg glech goß und entgegen gesetzt gechtet snd: F = F We das 1. Newtonsche Axom ncht lautet Seh vele Büche beten folgende Fomuleung des 1. Newtonschen Axoms an: En käftefee Köpe bewegt sch mt glechblebende Geschwndgket längs ene Geaden. So we dese Satz da steht, st e de enfachste Spezalfall des. Axoms und dahe als egenes Axom völlg übeflüssg; außedem fndet sch n desem Satz ncht de klenste Hnwes daauf, n was fü ene At von Bezugssystem sch de käftefee Köpe mt glechblebende Geschwndgket längs ene Geaden bewegt. W haben dagegen schon mehfach betont, dass das Konzept Bahnkuve enes Köpes est dann zu exsteen begnnt, wenn w en Bezugssystem gewählt haben. W bauchen uns dazu nu vo Augen zu halten, dass n enem mt dem Köpe mtbewegten Bezugssystem de Bahnkuve n enen Punkt entatet, wel es m mtbewegten Bezugssystem pe defntonem kene Otsveändeung des Köpes gbt! Fü de Übesetzung de Wote bewegt sch mt glechblebende Geschwndgket längs ene Geaden n mathematsche Spache, kommt wohl nu en Ausduck de Fom x( t ) = ( x0 + vx0t, y0 + v y0t,z0 + vz0t ), (.5.4.1) n Fage. Dese stellt abe nu dann das Beabschtgte da, wenn w glechzetg wssen, dass sch de dan enthaltenen Gößen Anfangsot de Bahn x 0 = ( x0, y0, z0 ), und glechblebende Geschwndgket v = v, v, v ) längs de Bahn auf en mt 0 ( x 0 y0 z0 katesschen Koodnaten übezogenes Inetalsystem bezehen. Bezeht sch de Ausduck (.5.4.1) jedoch auf en belebges Nchtnetalsystem, dann kann e totz 3

33 dann kann e totz senes enfachen Aussehens von ene belebg komplzeten Otsveändeung des betachteten Köpes n de ealen Welt hekommen. Machen w uns dazu wede bewusst, dass ene solche belebg komplzete Otsveändeung n de ealen Welt n enem mt dem Köpe mtbewegten Bezugssystem soga noch enfache als (.5.4.1) ausseht, nämlch x( t ) = ( x0, y0,z0 ). W kommen also ncht daum heum, m 1. Newtonschen Axom de besondeen Egenschaften de netalen Bezugssysteme fü de Newtonsche Mechank zu postuleen. Haben w das getan, dann st de Fomuleung: En käftefee Köpe bewegt sch mt glechblebende Geschwndgket längs ene Geaden tatsächlch de enfachste Spezalfall des. Newtonschen Axoms und als solche natülch n hm enthalten! Deshalb st es übeflüssg, hn egens zu ewähnen Das. Newtonsche Axom st kene Defnton de Kaft Zahleche Mssveständnsse anken sch um das. Newtonsche Axom. De häufgste Fehlmenung deutet deses Axom als ene Defnton de Kaft. Das wüde abe doch bedeuten, dass es ene Kaft übehaupt nu dann gbt, wenn sch Köpe beschleungt bewegen. Demgegenübe haben w be de Fomuleung des. Newtonschen Axoms betont, dass Masse, Beschleungung und Kaft völlg unabhängge Modellbaustene snd. De Masse wd enem heausgegffenen Köpe zugewesen, unabhängg davon, ob dese Köpe geade ene Bahnkuve duchläuft ode ncht, und unabhängg davon, ob de Umgebung auf hn enwkt ode ncht. De Beschleungung wd unabhängg von de Göße de Masse und unabhängg von de Kenntns äußee Enwkung allen aus de Bahnkuve gewonnen. De Käfte weden völlg unabhängg davon modellet, ob übehaupt Köpe da snd, auf de se enwken. Und wenn Köpe da snd, unabhängg davon, ob dese Köpe unte desen Enwkungen beschleungte Bewegungen ausfühen, ode ob solche Bewegungen duch glech goße Gegen- 33