Grundlagen der Elektrotechnik I

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1 Gundlagen de Elektotechnk I Pof. D. Suchaneck WS 5/6

2 Inhaltsvezechns Sete. llgeenes SI-Enhetensyste Schebwese von Gößen (DIN 33) Glechungsaten Gafsche Dastellungen, Dagae Gundbegffe de Elektztät.... Das Wesen de Elektztät.... Elektsche Sto....3 De elektsche Spannung Elektsche Wdestand, etwet, Oh sches Gesetz Tepeatuabhänggket des Wdestandes von eten Stak tepeatuabhängge Wdestände....7 Nchtlneae Wdestände Beechnung von Glechstokesen Vozechen- und chtungsegeln Enfache nchtvezwegte Stokese De vezwegte elektsche Stokes echnung Stenschaltung Deeckschaltung neae Maschennetze ösung t allen Glechungen Das Übelageungsvefahen Netzwekbeechnung t Zwepolen Enege und estung; Enegeufoung Enegeufoung ech. Enege ] elektsche Enege Enegeufoung elekt. Enege Y thesche Enege Wäeaufnahe enes Köpes Wäeletung enes Köpes Wäeübegang (Konvekton) Das elektsche Stöungsfeld Feldblde Stodchte Wdestandsbeechnung Elektsche Feldstäke und Spannung Geschchtete Matealen Das elektsche Feld n Nchtleten Nchtlete elektostatschen Feld Elektsche Veschebungsdchte Elektsche Kapaztät Beechnung de Kapaztät aus de Geoete und Plattenkondensato Schchtkondensato ohkondensato Wckelkondensato... 7

3 6.4.5 Dehkondensato Betebsfeldstäke Gundschaltungen von Kondensatoen Geschchtetes Delektku Kaftwkung elektostatschen Feld Elektodynasche Vogänge Enegenhalt enes geladenen Kondensatos Zetlche Ändeung de adung Q und Veschebesto I V Das statsche elektoagnetsche Feld Gundbegffe Gößen des agnetschen Feldes De agnetsche Flussdchte De agnetsche Fluss Das Duchflutungsgesetz Duchflutung Magnetsche Feldstäke Magnetsches Feld Magnetsches Feld enes zylndschen etes Magnetsches Feld enes ohletes Magnetsches Feld enes Koaxalletes Magnetsches Feld ene Zwedahtletung Ewetetes Duchflutungsgesetz Magnetsches Feld n enfachen agnetschen Kesen Enfluss von Mateal und Geoete De agnetsche Kes ngkenspule t Esenken Das echnen t agnetschen Wdeständen Magnetsche Matealegenschaften Magnetseungskennlnen Veluste duch agnetseen µfe und µfe -Bestung aus Kennlnen Gafsches Vefahen zu P- und µ-bestung Induktvtät Selbstnduktvtät Spulen-Induktvtät Bestung Käfte Magnetfeld Kaftwkung auf bewegte adungen Kaft auf enen stoduchflossenen ete Magnetfeld Kaft zwschen paallelen stoduchflossenen eten Kaft auf fe bewegte adung Hall-Geneato Enege Magnetkes... 3

4 7.8 Magnetsche Indukton Selbstnduktonsspannung uf- und Entagnetseung von dealen Induktvtäten uf- und Entagnetseung von ealen Induktvtäten bschalten von aufagnetseten Induktvtäten t Gegenspannung Bewegung enes etes (eteschlefe) Magnetfeld otaton ene eteschlefe hoogenen Magnetfeld

5 teatu. Gafe/oose/Kühn 'Gundlagen de E-Technk' Band + Velag Technk Beln, Hüthg Velag. Moelle/Fohne/öchee/Mülle 'Gundlagen de E-Technk' 'Bespele zu Gundlagen de E-Technk' Teubne Velag 3.. Haug 'Gundzüge de E-Technk' Hanse Velag 4. unze/wagne 'Enfühung n de E-Technk' betsbuch Hüthg Velag 5. unze 'Enfühung n de E-Technk' ehbuch Hüthg Velag 6. G. Hagann 'Gundlagen de E-Technk' Studenbuch ula Velag Wesbaden 7. G. Hagann 'ufgabensalung zu den Gundlagen de E-Technk' kadesche Velagsgesellschaft Wesbaden 8. H. Classntze 'Enfühung n de E-Technk' Velag Belne non 9. Zastow 'Gundlagen de E-Technk' Veweg Velag. H. ndne 'Elektoaufgaben' Band I + II Fachbuchvelag epzg-köln. Fühe/Hedeann/Neete 'Gundgebete de Elektotechnk' Band + Hanse Velag. Kuschwtz/Müllenbon 'ufgabensalung E-Technk' Veweg Velag 5

6 3. Wolfschlag/Seens G 'Enheten,Gößen und Foelzechen n de Elektonduste' Hanse Velag 4. Fcke/Vaske 'Gundlagen de E-Technk' Tel Teubne Velag 5. Benz/Henks/Stake 'Tabellenbuch Elektonk Nachchtentechnk' Kohl + Nolteeye Velag Fankfute Fachvelag 6. Fedch 'Tabellenbuch Elektotechnk Elektonk' Düle Velag Bonn 7. ndne/baue/ehann 'Taschenbuch de Elektotechnk und Elektonk' Fachbuchvelag epzg-köln 8. Koes/Schdt-Walte 'Taschenbuch de Elektotechnk' Velag Ha Deutsch 6

7 . llgeenes. SI-Enhetensyste nteschedung - Physkalsche Gößen (, I, s, t...) - abgeletete Gößen (P, W, Q,,...) - bezogene, spezfsche Gößen (k,, :, g...) spezfsche Gößen snd u.a. Matealkonstanten, Koeffzenten (Bewete), Popotonaltätsfaktoen. Hstosche Entwcklung von Gößen und Enhetensysteen:. etsches Syste (799 Fankech) M K S M K S Weg/Masse/Zet. absolutes Syste (83 Gauß/Webe) c g s c, g, s 3. gogsches Syste (9) M K S M K S, kg, sec, el. Sto 4. Technsches Maßsyste bs 969 M (Weg), kp (Kaft), S (Zet) 5. Intenatonales Enhetensyste ab 96 (. Genealkonfeenz) SI-Enheten (Systee Intenatonal de ntes) SI Das SI-Enhetensyste glt set 969 als Bundesgesetz. Übegangsfst endete 977. lle Staaten, de das etsche (dekadsche) Syste vewenden, haben das SI-Syste als Gundlage de natonalen Noen. Das S-Syste st kohäent. De Bassgößen und Enheten snd duch Glechungen veknüpft, de nu den Zahlenfakto haben. Bassgößen änge Mete Wellenlänge ene tostahlung Masse Kloga kg kg-pototyp Zet Sekunde s Peodendaue ene tostahlung el. Stostäke pee Kaft zwschen zwe eten Tepeatu Kelvn K 73,6te Tel des Tpelpunktes von H O chtstäke Candela cd chtstäke enes schwazen Stahles Stoffenge Mol ol nzahl von to- ode Molekültelen Natonale Festlegungen n DIN-Noen (uszug) DIN 3 Enheten, Enhetennaen, Enhetenzechen DIN 34 llgeene Foelechen DIN 35 Masse, Kaft, Gewcht, ast; Begffe DIN 36 Dchte; Begffe DIN 33 Schebwese phys. Glechungen n Natuwssenschaft und Technk DIN 34 Duck; Begffe, Enheten 7

8 DIN 35 Wnkel; Begffe, Enheten DIN 3 kustk; Gundbegffe DIN 33 Elek. Spannung, Potental, Zwepolquelle, elektoot. Kaft; Begffe DIN 34 Elektsches Feld; Begffe DIN 35 Magnetsches Feld; Begffe DIN 338 Foelschebwese und Foelsatz DIN 339 Enheten agnetsche Gößen DIN 34 Wäeübetagung; Gundbegffe, Enheten, Kenngößen DIN 344 Elektsche Nachchtentechnk; Foelzechen DIN 355 Zet, Kalende, Wochennueeung, Tagesdatu, hzet DIN 357 Enheten elektsche Gößen DIN 489 Inch-Mllete, Gundlagen fü de echnung DIN 489 Inch-Mllete, echnungstabellen DIN 4893 Mllete-Zoll, echnungstabellen DIN53 Stahlungsphysk optschen Beech und chttechnk DIN 5483 Zetabhängge Gößen; Benennungen de Zetabhänggket DIN 549 Gebauch de Wöte bezogen, spezfsch, elatv, noet und eduzet DIN 684 Begffe de adologschen Technk; llgeenes DIN 544 Kentechnk; Foelzechen DIN 4 Wechselstogößen DIN 4 Elektoaschnenbau; Foelzechen DIN 6635 Kaloe - Joule; Joule - Kaloe; echnungstabellen DIN 6636 Pfedestäke - Klowatt, Klowatt - Pfedestäke; echnungstabellen DIN 6637 Klopond je c² Ba, Ba - Klopond je c²; echnungstabellen DIN 6639 Klokaloe - Wattstunde, Wattstunde-Klokaloe; echnungstabellen bgeletete Enheten Bespel: Faad F C/V C s V J/C J N N kg /s² Enheten außehalb de SI: u.a. te, Mnute, Stunde, Tonne Ncht eh zugelassene Enheten: u.a. Pond, at, at, To, PS. Schebwese von Gößen (DIN 33) Es glt: G [G] Göße Enhet Bespele:. el. Stostäke von,86 pee: I,86. Kaft von 68,5 Newton: F 68,5 N (De kusve Dastellung de Gößen kann zu Vedeutlchung angewendet weden.) 8

9 .3 Glechungsaten.) Gößenglechungen Se bescheben de physkalschen Zusaenhänge, gelten unabhängg von Enheten. Bespel: a Kaft Beschleungung jede Göße wd t Zahlenwet und Enhet engesetzt..) Enhetenglechung Se bescheben de echnung de Enheten. Bespel: N /s² [F] [a] 3.) Zugeschnttene Gößenglechung De enzusetzenden Gößen weden duch de zugehögen ode velangten Enheten dvdet. Bespel: a N kg /s² 4.) Zahlenwetglechungen Se gelten nu fü bestte Enheten, de angegeben weden üssen. Ohne zusätzlche ngaben snd Zahlenwetglechungen unbauchba. Bespel: Blndwdestand x c 59 x c n S f C f n khz C n :F 5.) Dezale Velfache und Tele von Enheten (Vosätze und Vosatzzechen) Deka da - Dez d Hekto h - Zent c 3 Klo k -3 Mll 6 Mega M -6 Mko : 9 Gga G -9 Nano n Tea T - Pko p In de Paxs sollen öglchst 3e-Potenzabstufungen vewendet weden (sog. wssenschaftlche Schebwese)..4 Gafsche Dastellungen, Dagae Se snd besondes wchtg fü nchtlneae Funktonen (Kennlnen) nach DIN 46 Bespel: Dodenkennlne 9

10 I F 5 4 3,5,5 F V De Skalentelung st lnea (t Null-Punkt) ode logathsch (ohne Null-Punkt). Wetee Möglchketen: 4V 5V 6V De Enheten weden als Buch (z.b. V F V ) ode a Zahlenwet (z.b. 3V) gescheben. Bldbeschftung z.b. Duchlasskennlne Dode N448 öglch. Wchtg: nvollständge Dagae snd bedeutungslos.. Gundbegffe de Elektztät. Das Wesen de Elektztät Elektsche Eschenungen snd schon set de Fühgeschchte de Menschhet bekannt. - nschtbaes Vohandensen von el. adungen 6 Käfte (z.b. nzehen von Haaen) - Schtbae usglech von el. adungen 6 Bltz bzw. stlle Entladung 6 Elsfeue, Nodlcht Expeentell können adungen ezeugt weden, z.b. duch eben von Hatgu, Bensten usw. Beobachtung von anzehenden und abstoßenden Käften Schlussfolgeung: Es üssen postve und negatve adungen exsteen. Bespele: klebendes Papeblatt, aufstehende Haae, Staub auf Plexglas etc. Spontane adungsausglech st duch sene Nebenwkungen wahnehba: cht (Bltz), usdehnung (Donne), Funken (Knsten). Dagegen blebt de adungsausglech el. Stokes ohne Hlfsttel vebogen.

11 Das Wesen de Elektztät legt Vohandensen, de ufbau und de usglech von adungen. Was st ene adung? De tophysk hat fühzetg Vostellungsodelle entwckelt, welche de adung und hen Tanspot (elektsche Stöung) ekläen helfen. De adung Göße Q N@e N Telchenzahl e Eleentaladung De adung Q besteht aus zählbaen Eleentaladungen, deen Täge Bestandtele de toe ode Moleküle snd (Beweglch ode als auladung). Bestandtele de toe: Das Boh'sche toodell (93) Bespel: Cu-to De Ken besteht aus: 9 Potonen 6 pos. adungen Odnungszahl 34 Neutonen 6 ohne el. adung De Schalen haben 9 Elektonen 6 neg. adungen Es snd glechvele pos. und neg. adungen vohanden, d.h. nach außen st das Cu-to elektsch neutal. Egenschaften de tobestandtele Eleentatelchen Masse n g adung n s Poton,67-4 +,6-9 +e Elekton 9, -8 -,6-9 -e Neuton,67-4 De Masse des Elektons st seh klen (,5 Polle des Potons bezehungswese Neutons), daduch lecht zu beschleungen (nwendung: Baun'sche öhe, Fensehöhe). De äußeen Schalen besten das chesche und physkalsche (elektsche) Vehalten de toe. Äußee Schale Valenzelektonen, Wetgketselektonen (öglche fee Elektonen) Eleente, de elektsch nteessant snd: Odn.- Schalen zahl Eleent Sybol K M N O P Beekung 3 lunu l 8 3 p-dot./metall 4 Slzu S 8 4 Halblete 5 Phospho P 8 5 n-dot. 9 Kupfe Cu 8 8 Metall

12 3 Gallu Ga p-dot. 3 Geanu Ge Halblete 33 sen s n-dot. 47 Slbe g Metall 79 Gold u Metall Ekenntnsse: Metalle snd gute elektsche ete. (sog. Kupfeguppe: Slbe, Gold, Kupfe), ekennba auch duch 8- nodnung de 8e Schale bldet t Nachbaato Kstallgtte. Ca. 3 Elektonen/c³ (en Elekton je to) snd etungselektonen adungstäge t de adung e (fee Elektonen). Nchtlete können kau fee adungstäge zu Vefügung stellen z.b. Edelgase, Kunststoffe, Glas, enes Wasse. De Elektonen haben feste Bndungen, vollständge Schalen. Nchtlete können letfähg weden, wenn hohe Enegen von außen zugefüht weden, z.b. Wäe to-, Molekülschwngungen Stahlung Elektonenanegung Feldstäke Feldkäfte eßen Bndungen auf Halblete bestzen ensten Zustand fast kene feen adungstäge (Egenletung) ehöhte etfähgket duch Enlagen von Fedatoen (Doteung) höhewetg n-mateal nedewetg p-mateal (Stöstellenletung) z.b. Slzu, Geanu, Selen Ionen Elektonen des neutalen to fehlen postv geladenes Ion (Katon) zusätzlche Elektonen a neutalen to angelaget negatv geladenes Ion (non). Elektsche Sto De Göße (Stäke) de elektschen Stöung st als elektsche Stostäke I (ode ) defnet. I' Q t [I] (pee) De Sto I st de adungsenge Q, de po Zetenhet den etequeschntt duchstöt. Voausgesetzt: Sto zetlch konstant und glechäßg übe den Queschntt vetelt Glechsto. Sonst uss de Skneffekt beachtet weden (Stovedängung). Stodchte S S' I [S]' ² etequeschntt üblche Wete fü Kupfe..., je nach Wäeabletung (VDE ). ²

13 Bespel: Wevele Elektonen bewegen sch n Sekunde duch den Queschntt enes etes, wenn fleßt? ösung: Q'I@t's Q'N@e N'nzahl de Elektonen N' Q e ' s,6@ &9 s '6,4@ 8 Elektonen Stöungsgeschwndgket de Elektonen De Stöungs- (Dft) Geschwndgket de Elektonen st geng (./s). De Enegepuls setzt sch abe t nahezu chtgeschwndgket (.3 6 /s) fot. c³ Cu enthält,84 3 fee Elektonen t je e-,6-9 s. Dchte n e,84 3 Elek./c³ (Cu) Es glt: I' Q t, Q'@s@n N'@s@n e t v e ' S n Queschntt s Weg S Stodchte v e ttlee Stöungsgeschwndgket t Zet Bespel: Duch enen Cu-Daht t fleßt en Glechsto von. a) Wevele Elektonen fleßen je s duch den Queschntt? b) We schnell bewegen sch de adungen? c) We goß st de Stodchte? a) b) c) Q'N@e'I@t 6 I v e ' n ' N t ' I e ',6@ &9 s '6,4@9 Elek. s,84@ 3 Elek. &3 c² S' I ',785² ',73 ² ',95 c s Elektonenbeweglchket : : st en Maß dafü, we schnell sch de beweglchen adungstäge Gtteveband bewegen können. : st ene Matealkonstante. µ' v e E 3

14 .3 De elektsche Spannung Zwschen zwe äulch getennten adungen +Q und -Q bldet sch en elektsches Kaftfeld aus. uhende adungen: elektostatsches Feld. Zwschen den beden adungen und auch auf zwschen Ihnen befndlche adungstäge wken Käfte. Ähnlch de Magnetfeld. De Hauptkaftchtung an ene Ot st duch de Feldstäkelnen (Feldlnen) gegeben. E Kaft auf de adung Q n chtung E: Ist Q postv: PE und F P gleche chtung Q negatv: : PE und F P entgegengesetzte chtung. PF'Q@ P E El. Feldstäke P E' P F Q, [E]' V PEPE PEPE [F]' V@C 'N, [Q]'C (Coulob) PFPF Wd de adung Q elektschen Feld vo Punkt zu Punkt bewegt, st de echansche bet W zu lesten. PFPF W ' PF P ds ode W ' j n ' (s klenste Wegstecken n chtung PF ) Wenn PF und n ds P n gleche chtung: Enege wd fegesetzt PF und n ds P entgegengesetzt: Enege uss aufgewendet weden W 'W &W W potentelle Enege vo de Bewegung W potentelle Enege nach de Bewegung 4

15 Das Potental n st n ' W Q bzw. n ' W Q (Enege bezogen auf de adung) Das elektsche Potental n el. Feld defnet de ötlche Vetelung des Nveaus de pot. Enege ' W Q 'n & n De Potentaluntesched n & n heßt elektsche Spannung. De Index gbt den Bezugspunkt an: 'n &n '& Defnton nach DIN 5489: De Spannung entlang ene Weg von Pkt. nach Pkt. wd postv geechnet, wenn das Potental Pkt. göße als Pkt. st. Enheten [Enege] Joule (J), J Ws Bespel: Spannung' Enege adung []'V' Ws C ' Ws s ' W Vohandene adung Q-s Punkt : W J Potental n ' W Q ' J V@@s '& &s s '&V Punkt : W J n '&V W 'W &W 'J&J'&J 'n &n ' W Q ' &J &s 'V Stodchte S' I I n e e v e : Elektonenbeweglchket t v e µ E I n e e µ E S n e e µ E 6n e e µ 6 spezfsche etfähgket (Popotonaltätsfakto) S6 E De Stodchte S st de Feldstäke E popotonal. De Stostäke I st de Spannung popotonal. 5

16 Wo ttt ene Feldstäke bzw. Spannung auf, d.h. Kaftwkung enes el. Feldes?.) adungsezeugung duch Käfte bzw. Enegezufuh we Magnetfelde, Stahlung, chesche Wkung, echansche ebung Spannungsezeugung ene sog. EMK (Elektootosche Kaft, spannung ) Bespele: Wäe: Seebeck-Effekt Magnetfeld: Dynao Stahlung: Solazelle Chesche Wkung: Pä-Eleent Mechansche ebung: Band-Geneato Mechansche Spannung: Pezo-Effekt.) Duch gebesten (Stau) adungstägefluss n eten (Wdestände etc.).4 Elektsche Wdestand, etwet, Oh sches Gesetz Wd an enen glechfögen ete ene Spannung angelegt, so weden nfolge de Feldstäke de feen adungstäge bewegt (Sto I). De Stostäke I stegt t de Feldstäke E, de spezfschen etfähgket und de etequeschntt. Kehwet des spezfschen etfähgket 6 st de spezfsche Wdestand D. κ@@ 'G' Popotonaltätsfakto ' etwet I'G@ De Kehwet von G st de elektsche Wdestand. ' G I' Oh sches Gesetz '@I Enheten [G]' V 'S (Seens) []' V 'Ω (Oh) [κ]'s@ ² [ρ]' V Ω ² ' Oh sche Wdestand von eten 'ρ@ Enhet S 6

17 Voaussetzung: übe konstant, Glechsto (Skneffekt be Wechselsto!) 6 und D snd tepeatuabhängge Matealkonstanten. 6 und D fü veschedene eteatealen be autepeatu: Mateal D / Ω ² 6 / S@ ² lunu,9 34,48 Kupfe,78 56,8 Slbe,6 6,5 Gold, 45,45 Konstantan,5 Kohle.., Wolfa,55 8,8 Bespel: Wdestand von eten Wdestand von etungen aus Cu und l. Welchen Wdestand haben -lange etungsabschntte t Queschntten,75,,5,,5, 4 ² be h C? auf bezogen: Wdestandsbelag ' ' ρ l /²,75,5,5 4 Belag Cu ',4,,7,45 S/ Belag l ',39,9,,73 S/ Cu,4,,7,45 S l 3,9,9,,73 S.5 Tepeatuabhänggket des Wdestandes von eten De Wdestand von eteatealen ändet sch t de Tepeatu z.b. nt e zu be Metallen. De Wdestandsändeung st nchtlnea und de wahe Kennlne kann duch en Polyno angenähet weden. h ' h (%α [h &h ]%β [h &h ] %γ[h &h ] 3...) 7

18 Bs h C wd allg. nu t " geechnet. " und $ gelten nu bezogen auf h (z.b. C) " (" ) lneae Tepeatukoeffzent TK Enhet: $ quadatsche TK Enhet: K K lso glt veenfacht bs h C: h. (+" [h -h ]) ªh h. +" ªh ª h. +" ªh TK α ' ª ªh@ 8

19 Bespele: ) Tepeatustable Wdestände (Messwdestände) haben folgende ngabe des Tepeatukoeffzenten: TK5 pp (z.b.) heßt: α'5@ &6 K ) Tepeatuesswdestand PT Platnwdestand t Ω be de Tepeatu h C. Koeffzenten: α'3,98@ &3 K β'&,58@ &6 K Nach DIN 4376 We goß st de Wdestand be h C? 'Ω [%3,98@ &3 K K &,58@&6 K (K) ] '38,5Ω Bespele fü TK von eten/ Wdestandsatealen Mateal α n / K Tepeatubeech l -3-4 C... C Cu -3 " Fe -3 " Kohle (Wdestand) -6 " Metallfl " ± -6 " Konstantan - -6 " Wolfa -3-4 C... C Platn -3 (" ) -4 C... C Beechnung tepeatuabhängge Wdestände nwendung: Ettlung (ndekte Messung) de ttleen Wcklungstepeatu von elektschen Maschnen. k Wdestand kalt (vo Ewäung) h k w Wdestand wa h w h dann glt: h [ + " (h - C)] 9

20 w k [ + α ( ϑw C)] [ + α ( ϑ C)] k / α C + ϑ / α C + ϑ w k ϑ ϑ M M + ϑ + ϑ w k Matealkenntepeatu h M 35 C Kupfe h M 45 C lunu ϑ M C α.6 Stak tepeatuabhängge Wdestände ) Heßlete, NTC-Wdestände De Wdestand nt be Ewäung nchtlnea ab. Sybol Schaltzechen nach DIN 47 Ewäung nfolge Fedewäung ode Egenewäung Fedewäung: fü Messzwecke, Kopensaton S Messheßlete: Efassung de gebungstepeatu ode enes andeen Medus, dabe uss de Egenewäung venachlässgba sen. S Kopensatonsheßlete: Kopensaton des postven TK von Metall(fl)- wdeständen Egenewäung: be anlegende Spannung S nlassheßlete (Hezfäden, Motoen, elas etc.) S egelheßlete (Spannungsstablseung) wchtg: NTC daf ncht an ene konstanten Spannung, sonden nu übe enen Vowdestand beteben weden, sonst Selbstzestöungsgefah! Selbstzestöung! 6 zunehende Velustlestung füht zu Wdestandsabnahe: daduch wetee Zunahe de Velustlestung Hestellung: gesntete Metalloxde (Magnesu, Ttan u.a.) polykstallne Stuktu t Halbleteegenschaft, kene Speschchten, Egenletung bllg, obust, polatätsunabhängg, nwendung z.b. n Kfz.

21 Kennlnen: Statonäe Stospannungskennlne Tepeatuvehalten von Heßleten bhänggket des Heßletewdestandes von de Tepeatu De Wdestandswet von Heßleten ändet sch ungefäh exponentell t de Tepeatu. Matheatsch lässt sch de Wdestandswet als Funkton de Heßletetepeatu näheungswese beechnen: B( & ) T T ' T T Wdestandswet fü gegebene Tepeatu T Wdestandsnennwet be Bezugstepeatu e,78... B Matealkonstante...6K (Mschungsvehalten de Oxde) T gegebene Tepeatu n K T Bezugstepeatu n K De TK " NTC ändet sch stak, dahe nu fü enen klenen Tepeatubeech ªT snnvoll. α NTC B T fü B4K und T 7 C 3K: α NTC K 4 44, $ 44%, / K 3 K K

22 ) Kaltlete, PTC-Wdestände De Wdestand nt t de Ewäung zu. Sybol In bestten Tepeatubeechen stegt de Wdestandswet spungfög an. De atheatsche Beschebung des Wdestandsvelaufs st koplzet und nu n klenen Beech hnechend genau öglch. Technologe: gesntete Oxde (Ttanat-Keak ) Wkung: Halbletung und Feoelektztät be Cuetepeatu blden sch Speschchten aus: hochohge (Halbletung) Wechselstovehalten: st fequenzabhängg Wdestandsvelauf von PTC- Wdeständen nwendungen: Steue-, egel- und Übewachungsaufgaben, unewünscht be Glühlapen, ca. 3...fache Übesto be Enschalten wegen goße Tepeatubeech. Be technschen PTC-Wdeständen seh stake Wdestandsändeung..) Messtechnk S Stöungswächte als Sensoen. P v wd abgeletet, daduch h klene als h Spung. nwendung: Nveau-Übewachung n Tanks.) Stobegenzung S S S S S Übelastschutz von elektschen Maschnen, Isolestoffe weden geschützt PTC wd n de Cu-Wcklungen engewckelt. egelung, Begenzung de Kühlwassetepeatu von Motoen (PKW) Esatz: Theostat üfte-moto wd engeschaltet. Stablseung klene Stöe Entagnetseung von ochasken de Fabbldöhe hohe nlaufsto, danach klene eststo selbstegelnde Hezeleente.7 Nchtlneae Wdestände Wdestände t lneae Velauf de Sto/Spannung-Kennlne heßen: lneae Oh'sche Wdestände. De Wdestand we auch de spezfsche Wdestand snd unabhängg von Sto und Spannung. Voaussetzung: Konstante Tepeatu. En Wdestand t TK blebt auch be Ewäung lnea. Be Wdeständen t TK / egbt sch en nchtlneae Zusaenhang. ndekte Nchtlneatät.

23 Echte nchtlneae Wdestände snd auch ohne Tepeatuändeung nchtlnea. In bestten Genzen von I und folgt de Kennlne,I dese Wdestände n de egel ene enfachen Exponentalgesetz. I K α β () ode C I () [K]S; [C]S : ln. syetsche Wdestand 6 Oh sche Wdestand : ln. unsy. Wdestand 6 Oh sche Wdestand t deale Dode (Päzsonsglechchte) 3: nchtln. syetsche Wdest. 6 VD-Wdestand, Doden antpaallel 4: nchtln. unsy. Wdest. 6 Dode, Z-Dode, Glechchte lnea: Popotonaltätskonstante I '' nchtlnea: f(, I) kene Konstante Nchtlneae Wdestände spezelle t: Doden n Duchlasschtung unsyetsche Kennlne De atheatsche Beschebung st be Doden andes als be andeen nchtlneaen Wdeständen: T &) I F 'I S (e I S Sättgungssto T Tepeatuspannung e-funkton Koektuwet... Ene andee Dastellung de e-funkton st t ene ehenentwcklung öglch: F I F 'I S T % [ T ] % 6 [ T ] 3 %...) lneae quadat. ntel klen, Tel Tel venachlässgba Es entsteht en zusaengesetzte Wdestand aus lneaen und nchtlneaen ntelen. VD-Wdestände (Vastoen) Voltage Dependent esstance 3

24 Esatzschaltbld: syetsche Kennlne Näheung: Mateal: Duchlassspannung n F, da polykstallne Stuktu Slzu-Kabd SC Znkoxd ZnO (SIOV, Handelsnae) De typschen VD-Wdestände haben folgende Wete: C $.,3...,35 nwendung: - Übespannungsbegenze (Telefon, Bltzschutz, Messtechnk) - Kontaktschutz (Funkenlöschung be nduktven asten) - Fensehschaltungstechnk (Wechselspannungsstablseung) 3. Beechnung von Glechstokesen 3. Vozechen- und chtungsegeln (nach DIN 5489) Wllkülche, tels hstosche Festlegungen (Konventonen). Elechteung de Beechnung von Stokesen a) konventonelles postves Syste. ) De Zahlenwet des Stoes wd postv geechnet. postve adungstäge bewegen sch be adungsausglech n chtung des Stopfeles (von + nach -). ) De Zahlenwet de Spannung (Potentaluntesched) zwschen zwe Punkten (Kleen) enes Stokeses wd postv geechnet, wenn de Pfelchtung zu Punkt t nedge Potental zegt (-). 3) Bezugssyste Be koplzeten Netzweken t velen Gundbestandtelen ('s, Quellen) kann kene vebndlche chtungsangabe geacht weden. ) Festlegung enes voläufgen Bezugssystes. (Danach kann be negatven Zahlenegebnssen de Pfelchtung geändet weden). wchtg n Vebauchen (passve Zwepole) haben Sto und Spannung e de gleche Pfelchtung. Vebauche-Pfelsyste 4

25 Daaus esultet: Be ene Quelle, de estung abgbt snd Sto und Spannung entgegen gesetzt gechtet. Ezeuge- Vebauche- wllkülch selbst festgelegtes Pfelsyste Pfelsyste Syste Bezugssyste und I entgegen und I glech Doppelpfele haben kene ussage (veeden). 3. Enfache nchtvezwegte Stokese Bestandtele enes enfachen Stokeses snd:. Elektsche Quelle: ezeugt getennte adungen. adungstäge-etung: velustae adungstanspotweg 3. Elektsche Senke: foe n andee Enegefoen (Vebauche, ast) ndee uftelung: aktve Zwepol-Vepol-passve Zwepol Quellen Spannungsquelle: Schaltbld deale eale Spannungsquelle Spannungsquelle > deal: konstant, unabhängg von I Y 6 schwe ealseba (t egle abschnttswese öglch) eal:. konstant ( engepägte Spannung) Y << Konstantspannungsquelle I' % Y ' I'I K ' I Kuzschlusssto 5

26 ' (deale etung) ' %, ' & ' Y ' % ' ( % ) eelauf,, I Kuzschluss ' Bespel: n ene Battee wd eelauf ene Kleenspannung von 6 V geessen. De Innenwdestand betägt,s Welche Sto fleßt be ene astwdestand von 6S? eelauf ' l, I' % ' 6V,Ω%6Ω ' Bespel: Ene Spannungsquelle t ene Quellenspannung 4 V hat enen Innenwdestand von 3S. Es wd en astwdestand S angeschlossen. Beste echnesch und gafsch de Kleenspannung und de Stostäke. Gafsch: I,8 8,5V I K ' ' 4V 3Ω '8 echnesch: I' % ' 4V 3Ω%Ω ',85 ' % '4V Ω 3Ω%Ω '8,5V 6

27 Ettlung des Innenwdestandes ene Spannungsquelle ) us eelaufspannung l und Kuzschlusssto I K ' l I k ' I K ( ncht e öglch!) ) Belastung de Quelle nachenande t zwe unteschedlchen Wdeständen und Es glt: % Glechsetzen egbt: % (I &I )' & ' & I &I ' ª ªI Stoquelle Ikonstant Schaltbld Idealfall G 6 ( p 64) eal: I. konstant ( engepägte Sto ) Konstantstoquelle Y klen G 7

28 Egenschaft de etung (Hn + ückletung ) ) Velustlose etung Supalete ) Velustae etung tg «S S S S be goßen estungen nu t Hochspannung öglch so kuz we öglch, ρ so klen we öglch (Kupfe, lunu), so goß we öglch. Egenschaften de Senke ) Oh'sche Vebauche (lnea, nchtlneae) W el. 6 W the. ) Enegeufoe W el. 6 W ech. %W the. (E-Motoen, Magnete etc.) 3) ufladung von Quellen (kkuulato) Elektolyse (chesche Wkung) ehenschaltung lneae Wdestände (See, Hnteenande) En eale enfache Stokes besteht beets aus de ehenschaltung von Innen-, etungs-und ußenwdestand und ene Spannungsquelle. ehenschaltung von n Wdeständen De etungswdestände tg snd n egel seh klen. Esatzschaltbld t dsketen Eleenten allgeenes Schaltbld Enege geht ncht veloen: (Enegeehaltungsatz) De vo Geneato (Quelle) aufgebachte Enege W I t uss n den Vebauchewdeständen n Wäe ugesetzten Enege glech % %...% 8

29 ' % % 3 %...% N ' j n e e' ode n j e ' e' n Eds' laufntegal ). Kchhoff'sches Gesetz (Physke 84-87) Mt de Oh'schen Gesetz fü lneae Wdestände n 'I@ n wd 'I@ %I@ %I@ 3 %...%I@ n 'I( % % 3 %...% n )'I@ ges ges ges ' j n n ' % % 3 %...% n De Gesatwdestand st glech de Sue de Telwdestände Spannungstele-egel (unbelastete Spannungstele) I I ode z.b. be 4 s 4 ' 4 I@ ' 4 ' j n I@ j n j 4 n Ekenntns: De Spannungabfälle (Potentalunteschede) vehalten sch we de Wdestandwete. n + n a + a + echenbespel 'V 'kω 'kω a '? a ' ' % 9

30 Gafsche Dastellung enes Spannungsteles t vaabel Fü ene Spannungs- bzw. Stoquelle t ast gbt es 3 wchtge Betebsaten.) Spannungsanpassung. wenn».) Stoanpassung I. I wenn «3.) estungsanpassung P Maxu estungsanpassung P'@I ' P '( )I t P I + 'ax? P ( ) + + ( + ) Bestung duch Dffeenzeen: P ' ² ( % )² ' ² ²% % ² Maxu von P kann beechnet weden, wenn de. bletung Null gesetzt wd: dp ' ²( ²% % ²)&(% % )@ ² ' d N² bletung von P t Hlfe de Quotentenegel. d( Z ) N Z N N Z d N N' ²% % ² Z' ²@ dp d ' 6 optal 3

31 Es genügt wenn de Zähle glech Null gesetzt wd ²( ²% % ²)&( % )@ ² ' ( ²% % ²)& & ²' ²& ²' ' P ax ' ² ( % )² ' ² 4@ Vehältnsse be estungsanpassung: ' Pges I t I I + P ges + P I Pges P 4 4 ( t ) Es glt also: P ax 'P ax Spannung und Sto I be Pges Pges I I P I 4 lso: usgang halbe eelaufspannung und halbe Kuzschlusssto be estungsanpassung I K estung und Wkungsgad be den estungsanpassung ( ) Pax $ 5% Pges 4 P η % % 5% P ges Be wd de ax. estung übetagen be ene Wkungsgad von 5%. Dese estungsanpassung st wchtg n de Nachchtentechnk. Bespel: Vestäkeanpassung an autspeche Dagegen st n de Enegetechnk de axale Übetagungswkungsgad nteessant. Dabe legt Spannungsanpassung vo, dabe glt: >> η + üblch: η >95% 3

32 Bespele zu. Kchhoff'schen Satz Beechnung t de Maschensatz Vogehen: ) lle Spannungspfele entagen (Stochtung gegebenenfalls belebg festlegen, abe enhalten). ) Wllkülch enen laufsnn festlegen und an ene belebgen Stelle t de Maschenulauf begnnen. Zahlenbespel: 6V 9V 4 S S 3 5 S 4 S I ges I ges 6V 9V 3V 349, 349, 4Ω + Ω + 5Ω + Ω 86Ω 3.3 De vezwegte elektsche Stokes bet W I t I t+ I t+ I t+ + I t ges 3... I ges I+ I + I I n Knotenegel,. Kchhoff sches Gesetz I Mt de Oh schen Gesetz: ( ) ges 3 n 3 n n 3

33 ges 3 n ode G G + G + G + + G ges 3... n Gesatletwet EEnzelletwete llg. ussage: ges st e klene als de klenste Enzelwdestand Paallelschaltung von Wdeständen: Paxsfoel Bespele ges + +. Paallelschaltung von 4 Wdeständen 5S,3kS ks ks Gesucht: ges ges + k k + Ω, Ω Ω kω 354, Ω. 5kS ges ks? + ( + ) + ( ) ges ges ges ges ges ges ges ges ges ges kω 5kΩ 5kΩ kω 333, 3kΩ Stotele-egel nnahe: konstant (analog zu Spannungstele) I I I ges ges I I I I G G ges ges G G ges Stöe vehalten sch ugekeht popotonal zu den Wdeständen und dekt popotonal zu den etweten. 33

34 De Esatzstoquelle G Esatzstoquelle Konstantstoquelle + G engepägte Sto G I I ( ) I G + G I I G G + G G G + G I I I I I I I I G I ges I Io G G + G ges echnung Esatzstoquelle ] Esatzspannungsquelle G ; I ; I G G Zusaenstellung Esatzstoquelle Esatzspannungsquelle eelauf G Kuzschluss G 6 4 estungsanpassung G G I Il, l Il, l G IK I, K IK, K I P P P 4G, P 4 Spannungsanpassung Stoanpassung G >> G I I >>

35 ehenschaltung von lneae und nchtlneae Wdestand Bespel: Wdestand und Dode n Duchlasschtung Gesucht: Gesatwdestand ösung: echnesch ode Gafsch I 4 I 3 I D +D De echnesche ösung st schweg, da de exakte Dodenkennlne nu t goßen ufwand zu etteln st. Üblch st de epsch ettelte, typsche Kennlne, de gafsch n Datenblätten angegeben wd. Dahe st de gafsche ösung zweckäßg. I ösungspnzp: I ddton de Telspannungen be konstante Sto: egbt jewels enen Punkt auf de esulteenden Gesatkennlne (+D). Paallelschaltung von lneae und nchtlneae Wdestand Bespel: Tansstoengang (Bass) t paallele Bass-Telewdestand Gesucht: ösung wede gafsch, da zweckäßge ges B BE I ösungspnzp: D D B De Telstöe be jewels konstante Spannung weden addet: Sue egbt enen Punkt auf de neuen, geensaen Wdestandskennlne ( D). 35

36 Geschte Stokese (nwendung von Maschen- und Knotenegel) In ene geschten Stokes koen ehen- und Paallelschaltungen von aktven und passven Zwepolen vo. De belastete Spannungstele (Potentoete) def. l k... k l Gesucht: f(,, ) Beechnung t Paallelschaltung und Spannungsteleegel. Paallelschaltung ehe p k + k ( k ). Spannungsteleegel P + P k k ( + k ) + ( k) + k k ( + k ) ( + k ) k + ( + k )( k) [ ] k k + ( + k ²)( k) k k + + ( k) k k + + ( k) + ( k) k k k + ( k) k 36

37 Gafsche Dastellung des Egebnsses Wetetabelle f(k) Paaete k.., k, 4.8 ak (, ) k. ( k ).6,,,,7,8 ak,,4,4,39,3,,8,8,79,7, k eelauf Kuzschluss (t Mathcad) Potentoete: Enstellbae Spannungstele S S wetes nwendungsgebet n Mess-, egel- und Steuetechnk fenstufge Enstellung de usgangsspannung Votele: Nachtele: Enfaches Pnzp, kostengünstg Be Belastung Veluste Potentoete vebunden t nchtlneae Vehalten Paktsche uslegung: << fü akzeptable neatät Üblch wd de Questo I q 5... I gewählt, dat egbt sch fü : 5... I Wchtg: Be st das Potentoete duch Übelastung a Schlefeanfang bzw. Schlefeende gefähdet. Bespel En Dahtpotentoete von 5kS st fü P ax 5W ausgelegt. Be welche n. astwdestand a bgff st das Pot gefähdet? V 37

38 ösung: I ax des Pots besten P I² I P 5W 5kΩ 36, 3,6 düfen an allen Stellen des Wdestandsdahtes des Pots fleßen. [( ) ( )] I k + k Gößte Gefah a Wdestandsanfang: Zu Veenfachung wd k gesetzt. ( ) I I I I + I V 5kΩ 36, 5kΩ V 86, kω Bespel Spannungstele fü V, 5V, 5S De Questo soll I q I und I q 8I betagen. Gesucht: und fü bede Fälle und de astspannungsändeung ª, wenn auf S abfällt. I 8I V Ω I 8 I q 5V 8, 9Ω I 64 q V 5V I + I q 3, 6Ω I ,76Ω 7,7Ω astspannungsändeung fü S: P ' ' + P ' + 8I 8, 9Ω Ω 5, 9Ω 8, 9Ω + Ω P 5, 9Ω V ' 3, 6Ω + 5, 9Ω ' 483, V 5V 7, V 483, V I 43, Ω 4,57V 43, V Beechnung ene Esatzspannungsquelle nwendung von Kchhoff I und II GI, G 38

39 Innenwdestand enes Spannungsteles Engangsspannung + Tele Gundstokes t Esatzspannungsquelle Bespel: I Gegeben:,,, Gesucht: f(i, ) nsatz t Kchhoff M : - - M : - K : I - I - I I I + I Ohsches Gesetz: I I + I + I ensetzen n M egbt: + I + + I + I + I I + Koeffzentenveglech Egebns: usgangsspannung des unbelasteten Teles (I ) Pobe: l I I l + + k k + 39

40 Bespel: Bestung de Funkton stellung. + fk ( ) des unbelasteten Potentoetes t gafsche Da- ( k) k ( k ) k ( k ) + k ( k ) k ( k ) k k + k k + k k ( k ) k kk k k ( ) ² Wetetabelle k,,4,5,6,8,6,4,5,4,6,5,8,6,4,4,3,5,,,,,4,5,6,8 k Beechnung geschte Wdestandschaltungen Kobnaton von ehen- und Paallelschaltungen Bespele. ges

41 . ges ( + ) Zahlenbespel ( 4 + 5) 3 ges ( 3Ω+ 5Ω) Ω Ω+ 7Ω+ Ω+ 3Ω+ 5Ω 98Ω I ges I5 3 ( 4 + 5) 3( 4 + 5) I ( )( 4 + 5) 3 Ω I5 I ( ) Ω+ 3Ω+ 5Ω I, 5 3 V Ω 7Ω Ω 3Ω 5Ω Gesucht I Ω Ω 5Ω 5 Welchen Wet uss 4 haben, wenn de Gesatwdestand n beden Schaltestellungen glechbleben soll? nsatz: ges ( + ) ges 3 4 ath. enfache st: 4

42 ges ges Ω Ω + 5Ω 46, 67Ω 5. Kettenschaltung 3Ω, 7Ω, 3 Ω, 4 6Ω, 5 4Ω, 6 8Ω, 7 Ω 4V Wevel % von betägt 7? Wevel % von I betägt I? Beechnung EF CD B ges 77, 6Ω 7 CD 4, 7V Spannungsvehältnsse ges 4 EF 4 879, V 3 + EF , V , V, % 4V 7 57, V I7 43, 9 7 Ω 4V I 39, ges 77, 6Ω I7 43, 7, 4 4, % I 39, 4

43 Bespel: Wdestandswüfel Jede Kante enes Wüfels habe den Wdestand S. We goß st de Wdestand zwschen den gegenübelegenden Eckpunkten und C? ösung: Vostellung: Wüfel zwschen und C ausenandegezogen De n und C zusaenlaufenden Wdestände je S n paallele Wdestände je S aufspalten: daduch entstehen 6 paallele Zwege je 5S. echnung: Jede Paallelzweg: Wdestand zwschen und C: ' C C Ω+ Ω+ Ω 5Ω 5 6 Ω 6 6 Ω 5Ω 5 Ene ösung st auch t de Sten-Deeckufoung öglch. 43

44 Sten- und Deecksschaltungen allg. C nwendung n de Dehstotechnk C Schaltungsveenfachung Sten T-Schaltung (Vepol) Deeck π-schaltung (Vepol) 3.4 echnung Stenschaltung Deeckschaltung nnahe zu Ettlung de echnungsfoeln: De Wdestand zwschen je Punkten uss be beden Schaltungen glech sen. Punkt Y - ( ) + ( 3 + 3) E - 3 3( + 3) ( + 3) E 3-3( 3 + ) ( 3 + ) E echnung Y Wenn, 3 und 3 gegeben snd, können, und 3 beechnet weden. E E3 3 3 E3 44

45 + E E3 E3 + E E3 E3 ( E E3 + E3) ( + + ) ( + + ) () Duch zyklsches Vetauschen de Indzes: () 3 (3) echnung Y Dabe snd, und 3 gegeben und, 3 und 3 können beechnet weden. nsatz: Vehältnsbldung t (), () und (3) () getelt duch nach auflösen egbt + + t zyklsche Vetauschung

46 3.5 neae Maschennetze Netzweke En allg. Netzwek st aus Zwegen, Knoten und Maschen aufgebaut. Knoten Zweg: Knoten: Kette von Zwepolen nnehalb enes Netzwekes, von gleche Sto duchflossen Vebndungspunkt ehee Zwege Masche: nsch geschlossene Kette von Zwegen Masche Knoten Zweg Muste enes allgeenen Netzwekes z4 Zwege, d.h. 4 unbekannte Stöe 6 Maschen k9 Knoten Bespel: neaes Glechungssyste t z nbekannten und z Glechungen 46

47 ufstellung de zu ösung efodelchen Glechungen Î Kennzechnung de Stöe und Spannungen Quellen: Spannungen von + - (voläufges Bezugssyste) Stöe entgegengesetzt Wdestände: Spannungen und Stöe glechgechtete Pfel ã Maschenglechungen Glechnungen nach Kchhoff, ' Maschen t laufsnn bezechnen, Glechungen aufscheben ä Knotenglechungen (k-) Glechungen 'I Knoten bezechnen Glechungen aufscheben: hnenfleßende Stöe postv, heausfleßende negatv ene Knotenglechung weglassen (stechen) nsgesat egeben sch Bespel z+k Glechungen ösung des Glechungssystes. dekte nwendung de Kchhoff schen Sätze alle Glechungen vewenden (geegnet fü echenpogae). Maschenstovefahen (wd he ncht wete behandelt) Stoquellen weden n Spannungsquellen ugeechnet, de (k-) Knotenglechen weden engespat, es wd nu t Maschen geechnet. Geabetet wd t Wdeständen und Stöen 3. Knotenpotentalvefahen (wd he ncht wete behandelt) Spannungsquellen weden n Stoquellen ugeechnet, Glechungen weden engespat, nu de (k-) Knotenglechungen weden gebaucht. Geabetet wd t etweten und Spannungen ösung t allen Glechungen Zu ösung (edukton) des Glechungssystes t allen Glechungen beten sch wesentlchen folgende Methoden an: a) Elneen duch zweckäßges Ensetzen bs unbekannte duch bekannte Gößen ausgedückt snd. (Methode des schafen Hnsehens ) b) Gauß sche lgothus (ddtonsethode) c) Matzenlösung t Cae sche egel 47

48 Bespel Enfaches Netzwek t Quellen und astwdeständen ösung t de Gauß schen lgothus I K I I Maschenglechungen k Knoten M M k- Knotenglechungen Gegeben: Gesucht:,,,, I,, I K ufstellung de Glechungen M - M - K I I -I De nwendung des Gauß schen lgothus bedeutet: Glechungen eduzeen a x +a x +a 3 x 3 c a x +a x +a 3 x 3 c a 3 x +a 3 x +a 33 x 3 c 3 Pnzp: Multplkaton de. Glechung t a und ddton zu. Glechung. a Multplkaton de. Glechung t a und ddton zu 3. Glechung. a3 Multplkaton de. Glechung* t a a * bedeutet odfzet 3 * und ddton zu 3. Glechung*. Zuest I beechnen Spalten vetauschen M - M - K I -I I 48

49 I n M und K elneen a M t ultplzeen und zu M addeen, d.h. M und M addeen. a M - M - M* - a M t a 3 ultplzeen und zu K addeen. M - M* -I I nsgesat: K I -I I K* -I I + I M - M* - K* -I I I I n K* elneen a3 M* t a ultplzeen und zu K* addeen. + M* -I I K* -I I + I K** I + I + I I I ( ) ( ) I ( ) + ( + ) 49

50 Zahlenbespel V, V S, S, S I V Ω ( V V)Ω Ω Ω + Ω( Ω Ω) 44 t M: I I I + I V V+ ( 44) Ω V, 44V 756, V t M : -I I I V 7, 56V, 44V 5, ösung t Detenanten, Cae sche egel Beechnung von Detenanten, Pnzp: a a a a a a a 3 a a a 3 a a a a a a a a a a 3 a a 3 a a a a a a a a a a usgangsatx (voheges Bespel) I I I Zu Beechnung enes unbekannten Stoes wd n de usgangsatx de Spalte des unbekannten Stoes duch de Spalte t den bekannten Gößen esetzt. Dese Matx t de ausgetauschten Spalte wd dann duch de usgangsatx dvdet. 5

51 I ( ( ) ) + ( )(( ) ( )( ) + () ( ( ) + ( )(( ) ( )( ) + () I Ω V+ V( Ω Ω) Ω Ω+ ( Ω)( Ω Ω ) VΩ VΩ VΩ Ω² + Ω² 4Ω², 44 I ( + ) + ( )(( ) )( )( ) ( ( ) + ( )(( ) ( )( ) + () I Ω V + Ω V+ V( Ω) VΩ, 5 4Ω² 4Ω² I Ω, 5, 4V 3.5. Das Übelageungsvefahen Übelageungssatz von Helholtz (853) In ene lneaen Syste kann de Gesatwkung alle sachen an ene Stelle duch ddton (Zusaenzählen) de Wkungen de Enzelusachen bestt weden. (nwendung auf velen Gebeten de Physk) nwendung be de Beechnung elektsche Netzweke t lneaen Koponenten De Stöe n den Zwegen und de Spannungen zwschen den Knotenpunkten enes lneaen elektschen Netzwekes t eheen vonenande unabhänggen Quellen fü Spannung und Sto snd glech de Sue de Telstöe und -spannungen de von den Enzelquellen veusacht weden. Voaussetzungen: S neae Wdestände Popotonaltät zwschen und I, nchtlneae Wdestände können abschnttswese lneaset weden S unabhängge aktve Zwepole 5

52 Matheatsche Bezehungen Vefahenswese I I + I x n x xi. alle Spannungsquellen bs auf ene übebücken, de Innenwdestände bleben bestehen.. alle Stoquellen duch ntebechung abschalten 3. Telsto I x t beechnen, evtl. t Sten/Deeckufoung etc. 3. we bs 3. abe t bs n 4. lle n Spannungsquellen übebücken, 5. lle Stoquellen (-) t bs auf ene (I k ) duch ntebechung abschalten 6. Telsto I xik t I k beechnen, evtl. t Hlfsvefahen 6. we bs 6. abe t I k bs I k 7. lle Telstöe zu Gesatsto I x addeen. Bespel zu Übelageungspnzp Spannungsquellen spesen Vebauche I I I Gesucht: I. Schtt: I / I / ges +. Schtt: I / + // I / I / Stoteleegel I / I / I / + 3. Schtt: ddton de Telstöe I I / +I / 5

53 3.5.3 Netzwekbeechnung t Zwepolen Vefahen zu Veenfachung von Stokesen und zu Elechteung de Beechnung duch eduzeung auf de Schnttstellengößen I und (Gundstokes). ls bekannt voausgesetzt: - das Vehalten von Gundstokesen t Quelle, Innenwdestand, astwdestand, Sto, estung, Wdestandsvehältnsse, npassung. Zwepolbeechnung passve Zwepol: aktve Zwepol: Netzwek ohne Quellen aus passven Schaltungseleenten Netzwek aus passven und aktven Schaltungseleenten Wdestände und Quellen Bespel: aktve Zwepol ode Esatzspannungsquelle ( + ) l l ( + ) + I k 3 4 Esatzstoquelle I I I ges ges ( + ) 3 4 I I4 ( + + ) G ( + ) I I I k 4 53

54 Vefahen zu Stokesveenfachung. Festlegung ene Tennstelle (Kleen) zwschen aktve und passve Zwepol an de Stelle de gesuchten Göße I und.. Veenfachung de an den Kleen angeschlossenen Zwepole (aktv sowe passv) zu Gundstokes. 3. Beechnung de gesuchten Gößen z. B. t den Foeln fü de Gundstokese. Mt Esatzspannungsquelle I + I (3) + () () (4) t Esatzstoquelle I I G (5) G I G + G (6) I I (7) G I G + G (8).Bespel: S I 4 S I 3 3 S Gesucht: I I 3 V S 5 5S 4 S B. Beechnung t Esatzspannungsquelle.Schtt Veenfachung echte Sete ( 4 + 6) Ω + 5Ω Ω 6, 7Ω.Schtt l + Veenfachung lnke Sete l I k + 9, 9V + 99, Ω 54

55 t (4) I I3 + 9, 9V 99, Ω+ 67, Ω 58, 9. echnung t Esatzstoquelle. Schtt G S 643,. Schtt (lnke Sete) 3. Schtt t (6) I G V Il Ω Ik l + +, S. Bespel: G I I I G + G 3 6, S 6, S +, S 58, 9 Bückenschaltung Zelegung n Quellen und passve Zwepol, gesucht k k k k 3 Masche: I I I ; 5( + + ) I 5 I5 ( ) ( + + 5)

56 4. Enege und estung; Enegeufoung (Zusaenfassung) ) Elektsche Enege W ( ϕ ϕ) N { q { I t u() t () t dt 4 34 Q I t W ) Elektsche estung P I { ; p(t) u(t) (t) () t * * Glechspannung, Glechsto * t t () 3) Enegeufoung; Wkungsgad (n % 6 ultplzeen t %) PN η P P P V ges N ( η) P PN + P ges V (3) (4) P N Nutzlestung P ges Gesatlestung P V Velustlestung 4. Enegeufoung ech. Enege ] elektsche Enege Gewnnung elekt. Enege W η W (5) el ech bgabe ech. Enege Wech η Wel (6) Geadlnge Bewegung Wech F W s s (7); P F F v (8) t t Dehbewegung Wech F s M ϕ (9); ϕ π P M M ω M n () t 3 Geadlnge Beschleungung W F s a s v ech t s v v () v v dv v v (a) ( ) s v P a a v () t v F t t (7) und () F v t Dehbeschleungung ω { { W F s a s ϕ { ω ω (3) t J ω J ωdω J( ω ω ) ω a s (3a) W ω P J ω J ω a (4) t t t (9) und (3) M ω M t n M ω ; t 3 t J J π 56

57 n π echnung ω auf n ; [n]n - ω 5, n 6 3 W J 5, ( n n ) 548, J( n n ) (5) W P J t t n n, ( ) (6) [ W] Ws [ t] s [ n] n [] J kg Enege fee Elektonen Enege W F s q E s q 6, 9 Geschwndgket (v<<c) v Enheten: Enege J Ws N kg s e e v, 594 ; [ v] s estung W N kg s s 3 4. Enegeufoung elekt. Enege Y thesche Enege (Wäe) 4.. Wäeaufnahe enes Köpes (Tepeatuehöhung) Wth c ϑ c ( ϑ ϑ) ; c Cth Wth ϑ Pth c P th t c ϑ t t t p () t dt c ( ϑ ϑ) ϑ c ptdt + () ϑ C Wäekapaztät c spezfsche Wäekap. 4.. Wäeletung enes Köpes Wäefluss von x (h ) nach x (h ); P x λ ϑ th th ϑ P th x λ ªxDcke λ Wäeletzahl; [ λ] duchstöte Fläche λ cu 37 W K W K 57

58 4..3 Wäeübegang (Konvekton) von festen auf flüssge ode gasföge Meden P P α ϑ th K KF ϑ ϑ ϑ KF th ϑ P α th KF α Wete Metall / uft Metall / Wasse α α M M 35 W K W K α Wäeübegangskoeffzent KF Konvektonsfläche gebung Veglech thesch elektsch Enege Wth Qth Pth t Cth ϑ adung Q I t C (Wäeenge) Wäesto P th Q th Q Sto I t t Tepeatuntevall ϑ ϑ ϑ Spannung ϕ ϕ Wäekapaztät C th Wth c ϑ Qth ϑ Kapaztät C Q Wäeletfähgket (Wäeletzahl) λ spez. etwet κ Bespele zu Kaptel 4. Zu Spannungsvesogung enes elektschen Geätes weden 5 Batteen je,5v ehenschaltung) engesetzt. De Stoaufnahe betägt I5. Wevel kostet kwh aus desen Batteen, wenn de ebensdaue 8 Stunden und de Kaufpes,55 E je Battee betägt? W@I@t5@,5V@,5@8h3Wh,3kWh kwh Kosten 5, 55E 97, E 3, kwh. De estungsaufnahe enes Elektowäegeätes soll vedefacht weden. wevel uss de Spannung gesteget weden? blebt konstant. 58

59 P 3 P Zwe Glühlapen t den estungen P 4W und P 6W an jewels 4V weden n ehe an 8V geschaltet. We goß uss de paallel zu ape geschaltete Wdestand sen, dat an beden apen 4V legt? 4V, P P + + ( ) PP ( ) P P 4 V 8Ω 4W6W( ) 4 W 6 W 4. En elektsche Moto t ene estungsaufnahe P5kW st t ene Födepupe gekoppelt, de aus ene 3 tefen Schacht Wasse heaufpupen soll. Zu beechnen st de po Mnute gefödete Wasseenge. Wkungsgad Moto: η M 8, Wkungsgad Moto: η P 7, bgegebene estung: P ηm η P P 8, 7, 5kW 435, kw 435 N s Enheten: N Ws W N s P F h t F g g 98, s kg N s kg te 59

60 g h P F h t t N P t 435 6s s g h 9, 8 3 s kg s Ns 9, 56 9, 56 s 9, 56kg V 9, 56 te po Mnute 5. En Sto I8 fleßt fü t,5s duch en 6 langen lu-daht t,5² (Masse,43kg). We goß st de Tepeatuehöhung ete? (Wäevelust venachlässgbe) J cl 896 kgk Wth c ϑ P t c ϑ I t c ϑ I ρ l ϑ t c I ρ l t ϑ c Ω ( 8), , s J, 43kg 896 5, kgk 49K 6. En Wassehezgeät t PkW ewät 8 te Wasse von h C auf h 6 C. Welche Zet wd benötgt, wenn de Wkungsgad t,8 angenoen wd? J cw 487 kgk c ϑ P t η P c c ϑ ( ϑ ϑ) t η t η c t ( ϑ ϑ) P η 797, 5s 3, 3n J 487 8kg ( 6 C C) kgk 3 W, 8 6

61 5. Das elektsche Stöungsfeld elektsches Feld n eten (sehe DIN 34) Bekannt:. Was st elektsche Sto. Wau fleßt elektsche Sto 3. elektsche Stokes Bshege Betachtung: Sto lneaen ete (lnea bedeutet: Duchesse konstant, hoogenes Mateal) Nun sollen de Vehältnsse belebg gefoten ete untesucht weden. Zu Beschebung st de Enfühung des Feld-Begffes zweckäßg. En Feld st en Zustand des aues; jede aupunkt ene physkalschen Göße (Feldgöße) kann en Wet zugeodnet weden. nteschedung: Vektofeld: Feldgöße st en Vekto z.b. el. Feld Skalafeld: Feldgöße st en Skala z.b. Tepeatufeld sachen des el. Stöungsfeldes: uf el. adungen Q N q N e weden Käfte F Q E el. Feld ausgeübt. Hauptchtung dese Käfte Kaft-Feldlnen. Ote glechen Potentals Äqupotentallnen. De Äqupotentallnen schneden de Feldlnen echtwnklg (othogonal). Hoogene und nhoogene Felde 5. Feldblde Bespele.) hoogen Sx ( )~ E F Q S S S 3 Hoogenes Feld: Feldvekto hat an jede Stelle den glechen Betag und gleche chtung. 6

62 .) nhoogen Bespel: zylndsche Behälte t Elektolyt Inhoogenes Feld: Feldvekto st nach Betag und chtung otsabhängg. S (, ϕ) 5. Stodchte Stodchte be hoogene Stovetelung: Stodchte be nhoogene Stovetelung: S f( ) und f(x,y) Zusaenhang zwschen de el. Feldstäke E S I Enhet I di( ) di( x, y) S d dxdy und de Stodchte S d d S d E d l S E l di S d d di l t ; κ spez. etfähgket κ S E l E κ l κ S κ E allg. S κ E Das Flächenntegal des Feldvektos heßt Fluss (he: Sto I). n I ( S ) k k exakt I S d 6

63 5.3 Wdestandsbeechnung Bespele: ) En Wdestandsdaht t de änge hat en S und κ Ω. Es fleßt en Sto I4. a) We goß st de Stodchte ete? b) We goß st de Feldstäke ete? a) l Ω κ Ω 4 b) I 4 S 6 4 ) En galvansetes Kunststoffoh t ; a 3; 5c hat ene spez. etfähgket κ 4. Ω We goß st de Wdestand zwschen Innen- und ußenfläche? (Stnflächen ohne Metall) E S 6 κ 8 V d d κ d κ π l π l d a a d κ π l κ π l a a [ ln ] (ln a ln ) ln κ π l κ π l κ π l 3 ln, 9 MΩ 4 π, 5 Ω a d 3) Gegeben st en zylndsche etallsche Beche, gefüllt t Elektolyt. Mttg st ene Elektode aus Metall angeodnet. Zu besten st de Stodchte n bhänggket vo adus be ene bestten Stostäke I. S 63

64 π I Sd S( h dϕ) S h dϕ S h π S I h π ~ Das Elektolyt hat ene ax. Stodchte S zul n st daduch festgelegt. 4) En Kuzschlusssto von I5 ttt von ene halbkugelfögen Ede n das Edech en. Zu beechnen st de Potentalvelauf als Funkton des bstandadus vo Entttspunkt aus. Spez. Wdestand des Edechs: D5S S d S d da senkecht auf d I S d S d S π Halbkugel I 5 S 79, 58 π π Ede be : S 79, 58 ρ I E ρ S 5Ω 79, , 87V π ϕ ϕ ρ d ρ ϕ { Eds { I I V ϕ 3978, 87 π π d d SE, We goß st de Schttspannung (ª) bstand und? n 397,89V; ÿ / 36,7V ÿ /3 663,5V n 36,7V Schttspannung be Schttspannung be 64

65 5.4 Elektsche Feldstäke und Spannung ufgund S κ E glt: Jede Feldlne des Vektos S st glechzetg auch ene Feldlne des Vektos E. ϕ ϕ I lneaen (hoogenen) ete glt: E allg. (hoogen) E E dϕ dl l De el. Feldstäke st en Vekto n chtung des Stodchtevektos t de Betag des ötlchen Potentalgefälles. Spannung hoogenen Feld: E l Spannung nhoogenen Feld: E ändet sch von Punkt zu Punkt, dahe uss de Weg n dffeentelle Wegeleente ds zelegt weden. dϕ E ds -Zechen: E zegt n chtung des Potentalgefälles d E ϕ und dϕ st als Potentalzunahe defnet. ds z.b. De Gesatspannung ehält an duch Integaton s E ϕ ϕ dϕ dϕ E ds ( ϕ ϕ ). fü das Bespel: ϕ ϕ V 8V ( 8V V) V allg. glt: De el. Spannung zwschen zwe Punkten enes Weges st glech de nenntegal de el. Feldstäke längs des Weges. E ds De Wet des nenntegals st wegunabhängg. Fü enen geschlossenen Weg (lauf) ehält an stets den Wet fü das nenntegal. E ds laufntegal, sehe Kchhoff: G 65

66 5.5 Geschchtete Matealen De letenden Schchten haben unteschedlche etfähgketen 6. Daduch egbt sch ene jewels veschedene elektsche Feldstäke t unteschedlche Potentalvelauf. ϕ ϕ 3 V V κ κ κ 3 I8 Gesucht: Potental- und Feldvelauf I ϕ l I κ 8 ϕ 4V S 4 nach gleche echnung: κ κ κ 3 S c S c 4 S c E S I κ ; S 8 4 V V E S c Nach gleche echnung: E dck 4² V ; E 5 c 3 V c S 66

67 6. Das elektsche Feld n Nchtleten Elektostatsches Feld Egenschaften. adungen uhen I. Feld (-käfte) we Stöungsfeld vohanden Es glt E F Q Ähnlchket t de Stöungsfeld n eten, dot st en Mateal t spez. etfähgket 6 und ene Stodchte vohanden. Be elektostatschen Feld geht de Stodchte zu Null, veschwndet. Das Mateal zwschen den otsfesten adungen st nchtletend (Isolato), das sogenannte Delektku. I elektschen Stöungsfeld st de Stodchtevekto S e n chtung des Feld- stäkevektos E. Be Veschwnden de Stodchte blebt abe das elektsche Feld t den Feldlnen von E unveändet, ebenso de Äqupotentalflächen. Veglech Stöungsfeld elektostatsches Feld I Stodchte S Veschebungsdchte D E S E D κ ε Q 6. Nchtlete elektostatschen Feld We vohegen Veglech angedeutet hat de Nchtlete t de Matealkonstanten g enen Enfluss auf das elektostatsche Feld. Mt folgende Expeent kann de Enfluss gezegt weden: En Plattenkondensato t Vakuu als Delektku wd auf aufgeladen. nschleßend wd de Feldau t ene Isolestoff ausgefüllt. Feststellung: De Spannung an den Platten wd genge C <. Nach Entfenung des Isolestoffes stegt de Spannung wede auf den alten Wet an. De Fakto ε heßt Pettvtätszahl ode elatve Delektztätskonstante. C Genaue Zusaenhang zwschen E und Q Vakuu: Q E ε Q klene Püfladung Fläche de Püfladung ε Popotonaltätsfakto, elektsche Feldkonstante ε 8854, s V 67

68 6. Elektsche Veschebungsdchte De ladungstennende Wkung des el. Feldes wd duch den Veschebungsdchte-Vekto D bescheben. D ε E [ D] [ ] [ E] s V s V ε De Vekto D hat Feld de gleche chtung we E. (fü Vakuu) D Q De Veschebungsdchte st gesaten Feldau vohanden. 6.3 Elektsche Kapaztät Duch enen Vesuch st feststellba, dass de adung Q enes Plattenkondensatos lnea t de angelegten Spannung anstegt. Q ~ Genaue: Q C C st en Popotonaltätsfakto und heßt Kapaztät. C Q [ Q] s [ C] Faad F [ ] V Jede belebge nodnung von eten, getennt duch en Delektku hat ene Kapaztät. Technsche ealseung n Kondensatoen. Möglche Kapaztätsbeech:... F. Neuee Entwcklungen von sog. "Supe- Caps" baseen auf spezellen cheschen Vefahen und eöglchen Kapaztäten von engen F, alledngs t el. klenen Betebsspannungen. De Kapaztät enes Kondensatos st abhängg von de Geoete und de Pettvtät des Delektkus. En entspechende Zusaenhang glt auch fü de Feldstäke. De elatve Delektztätszahl (Pettvtätszahl) enes Delektkus egbt sch t: ε E E Fü Vakuu und annähend fü uft st. ε Wetee Matealen (uswahl): g Pape (ölgetänkt) 4,3 Pape tocken Keak Polyäthylen,3 68