1 Lineare, affine und konvexe Kombinationen. für einen Punkt (Vektor) von IR d. IR heißt affin unabhängig, wenn für alle r IN, x1,, R S

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1 U. BEHM: Konvexgeoete Lneae, affne un konvexe Kobnatonen W abeten -enonalen euklchen au I un cheben x ( 1,, ) ( I, = 1,, ) fü enen Punkt (Vekto) von I. Da nnee Poukt auf I von Vektoen x un y (,, ) w bezechnet t x, y :, e No von x t x : x, x e Abtan von x un y t x y. 1 2, 1 Defnton: X I heßt affn unabhängg, wenn fü alle IN, x1,, x X, 1,, I t x x j fü j glt: Au 1x1 x 0 un 1 0 folgt Fall X ncht affn unabhängg t, heßt X affn abhängg. Defnton: Se X x 1 1 I. Jee Auuck e Fo x ( IN 0, 1,, I, x1,, x X ) heßt ene Lneakobnaton von Vektoen au X. De Lneakobnaton Affnkobnaton, 1x1 x heßt Konvexkobnaton, fall Potvkobnaton, x I heßt lnea affn konvex potv au X cheben lät. Veenbaung: Fall 0, t abhängg von X, fall x ch al wee affn noch konvex abhängg von un 0 1,,. 0 1,,. Lneakobnaton Affnkobnaton Konvexkobnaton von Vektoen Potvkobnaton : 0, alo t 0 lnea un potv abhängg von, abe Beekung: X t affn abhängg genau ann, wenn e en x X gbt, welche affn abhängg von X \{ x} t.

2 1-2 U. BEHM: Konvexgeoete Beekung: Offenchtlch gelten e Iplkatonen x affn abhängg von X x konvex abhängg von X x potv abhängg von X x lnea abhängg von X. Achtung: Wenn x affn un potv abhängg von X t, baucht x ncht konvex abhängg von X zu en, we folgene Bepel zegt: X {( 1, 0), ( 1, 1),( 0, 1 )}, x ( 0, 0 ). Dann t x 1( 1, 0) ( 1) ( 1, 1) 1( 0, 1) 0( 1, 0), abe au (, ) ( 1, 0) ( 1, 1) ( 0, 1), 0, 3 folgt 2 1, 3 alo t ( 0, 0 ) ncht konvex abhängg von X Defnton: X I heßt en/ene zu X gehöen. lneae Unteau, affne Unteau, konvexe Menge, fall alle von X konvexe Kegel, lnea affn konvex potv abhänggen Vektoen Beekung: t alo en affne Unteau un t ene konvexe Menge, abe jee lneae Unteau un jee konvexe Kegel enthält en Vekto 0. E echt n obge Defnton, ch auf Kobnatonen von je zwe Vektoen zu bechänken (w auch oft glech o n e Defnton geacht), we folgene Lea zegt: Lea 1.1: a) X I t en lneae Unteau genau ann, wenn X un fü je zwe Vektoen x, x X un alle, I glt x x X. 1 2 b) X I t en affne Unteau genau ann, wenn fü alle x, x X un alle I glt x ( 1 ) x X. c) X I t ene konvexe Menge genau ann, wenn fü alle x, x X un alle 0, 1 glt x ( 1 ) x X.

3 U. BEHM: Konvexgeoete 1-3 ) X I t en konvexe Kegel genau ann, wenn X un fü alle x, x X un alle, glt x x X B e w e : " " t jewel kla. a) un b) egeben ch unttelba au x x ( (( x x ) x ) ) x b) un c) folgen uch volltänge Inukton nach (= Anzahl e Suanen n e Affn- bzw. Konvexkobnaton). Fü 2 t ncht zu zegen. Gelte e Behauptung fü un e 1 x 1x1 1x 1 un 1, alo 1 1, wobe x1,, x 1 X (un fü c) alle 0 gelten), e o.b..a. 1 1 (wegen ) Nach Inuktonannahe t wegen 1 x X 11, alo 1 1 x ( 1 1) x 1x 1 X. 1 1 Geoetche Intepetaton un Spechwee: Lneae Unteäue n au e lneaen Algeba bekannt. De lneaen Unteäue e I 3 n: { 0 }, Geaen uch 0, Ebenen uch 0, I 3. Fü x, x I t x x t e Menge { x1 ( 1 ) x2 I} e Affnkobnatonen von x 1 un x 2 e (Vebnung-)Geae uch x 1 un x 2. ( x ( 1 ) x x ( x x )). 2 x 2 x 1 Fü x, x I t x x t e Menge { x1 ( 1 ) x2 0, 1} e Konvexkobnatonen von x 1 un x 2 e (Vebnung-)Stecke zwchen x 1 un x 2. x 2 x 1

4 1-4 U. BEHM: Konvexgeoete Fü x, x I t x x t e Menge x 2 { 1x1 2x2 1, 2 0} e Potvkobnatonen von x 1 un x 2 x 1 e Kegel t Sptze n 0. De Menge e Potvkobnatonen von x 0 t e Stahl von 0 uch x. x Beekung: Lea 1.1 b), c) agt alo, a X I en affne Unteau t, genau ann, wenn zu je zwe Punkten von X e Vebnunggeae zu X gehöt un a X I ene konvexe Menge t, genau ann, wenn zu je zwe Punkten von x e Vebnungtecke zu X gehöt. Dee Auagen nt an oft zu Defnton. Beekung: Au en Defntonen folgt unttelba, a jee lneae Unteau auch en affne Unteau t un a jee affne Unteau konvex t, owe a jee lneae Unteau auch en konvexe Kegel t un a jee konvexe Kegel konvex t. Bezechnungen: Seen X, Y I. Dann bezechne Fü X X Y: { x y x X, yy}. { y} cheben w auch X y. Lea 1.2: Se X I en affne Unteau. Se x X belebg (alo X ). Dann t U: X ( x) en lneae Unteau un X U x. U t von e Wahl von x X unabhängg un heßt e zu X gehöge lneae Unteau. B e w e : Fü alle I, x, x X glt ( x x) ( x x) U, a x x x X. Fü x, y X glt X ( x) U U ( y x) X ( y). Defnton: De Denon ene affnen Unteaue X t efnet al e Denon e zugehögen lneaen Unteaue U : X : U : 1.

5 U. BEHM: Konvexgeoete 1-5 Beekung: ( 1 ) (vecheene) Vektoen { x 0,, x } n affn abhängg genau ann, wenn { x x, x x,, x x } lnea abhängg n B e w e : Kla (a x x ( ) x ( x x ) ( x x )) Folgeung: En affne Unteau X t -enonal genau ann, wenn ( 1 ) e axale Anzahl affn unabhängge Vektoen von X t. Bepel: Jee eneleentge Telenge (Punkt) von I Unteau; jee Geae t en 1-enonale Unteau. t en 0-enonale affne Defnton: En ( 1) -enonale affne Unteau heßt Hypeebene. Beekung: En affne Unteau t genau ann en lneae Unteau, wenn e en Vekto 0 enthält. Beekung: Jee affne Unteau X I enthält ene axale affn unabhängge Telenge { x0,, x} x0 ( B {0}) (B Ba von U), o a X genau e Menge e von ee Telenge affn abhänggen Punkte e I atellt: X x I x x, E t X. De uch x eneutg betten Koeffzenten ( 0,, ) heßen auch bayzentche Koonaten von x bezüglch { x 0,, x }. Lea 1.3: De Duchchntt ene Menge von lneaen Unteäuen affnen Unteäuen konvexen Mengen konvexen Kegeln t en lneae Unteau. en affne Unteau. konvex. en konvexe Kegel. B e w e : Kla.

6 1-6 U. BEHM: Konvexgeoete Satz 1.1 (un Defnton): De Menge alle t e/e klente e/e X enthält. E heßt e von X un w t a) b) c) ) a) b) c) ) a) b) ) a) b) c) ) Lneakobnatonen Affnkobnatonen Konvexkobnatonen Potvkobnaton von Eleenten von X lneae Unteau, affne Unteau, konvexe Menge ( = Duchchntt alle konvexen Obeengen von X ), konvexe Kegel, aufgepannte lneae Unteau aufgepannte affne Unteau aufgepannte konvexe Kegel ln X aff X konv X po X bezechnet. B e w e : a) t au e lneaen Algeba bekannt. W zegen c), b) un ) ween ganz analog beween. oe e a) b) c) ) lneae Hülle affne Hülle konvexe Hülle potve Hülle c): Bezechne konv X e Menge alle Konvexkobnatonen von Eleenten von X. W zegen, a konv X konvex t. Dazu echt e nach Lea 1.1 zu zegen, a jee Konvexkobnaton von zwe Vektoen au konv X wee n konv X legt. Se x 1x1 x, y 1y1 y t, 0, x, y X, Se 0, 1. x ( 1 ) y x x ( 1 ) y ( 1 ) y un ( 1 ) 0 un ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 1, alo x ( 1 ) ykonv X, alo t konv X konvex. 1. Aneeet t kla, a konv X n jee konvexen Obeenge von X enthalten t, woau folgt, a konv X e klente konvexe Obeenge von X t. Beekung: X t konvex { affne Unteau { X X konv X. aff X.

7 U. BEHM: Konvexgeoete 1-7 Hypeebenen laen ch a enfachten atellen n e Fo H xi a, x b t ai, a 0, bi. De zu H gehöge lneae Unteau U t U xi a, x 0. U t a othogonale Kopleent von Ia. Affne Unteäue e Denon 0 kann an entwee uch ( 1 ) affn unabhängge Vektoen oe al Schntt von ( ) Hypeebenen, genaue al X xi A x b, wobe A ene ( ) -Matx vo ang ( ), un bi t, atellen. Wenn A ( a 1,, a ) T, b ( b1,, b ) T, ann t H X t H x a, x b. Da Glechungyte t löba, alo X, a ang( A, b) ang A. De zu X gehöge lneae Unteau t U xi Ax 0, U ( ). U t a othogonale Kopleent von ln{ a 1, a 2,, a }. Satz 1.2: Seen X Y, I. Dann glt a) aff( X Y) (aff X ) (aff Y). b) konv( X Y) konv X konvy. Heau folgt nbeonee, a e Sue von affnen Unteäuen wee en affne Unteau t un e Sue von konvexen Mengen wee ene konvexe Menge t. (Bewe: Duch enfache Nachechnen ähnlch we be Satz 1.1.) B e w e : a) Fü X oe Y glt e Behauptung. Seen X, Y. Se paff( X Y). Dann lät ch p atellen al p ( x y ) x y (aff X ) (aff Y) t Se nun p(aff X ) (aff Y). Dann gbt e, j, x X, y j Y t p x j y j, j1 1, x X, y Y.

8 1-8 U. BEHM: Konvexgeoete j1 j 1, alo j1 j 1 un ( x y ) x y x y p, alo j j j j j j j1 j1 j1 j1 paff( X Y). b) I Bewe von a) t nu zuätzlch voauzuetzen, a alle, 0 n. Beekung: E glt offenchtlch X Y Y X, X ( Y Z) ( X Y) Z fü alle X, Y, Z I, { 0} X X. Abe e gbt nu ann ene Invee von X bezüglch +, wenn X eneleentg t. Fene glt X X, Y Y X Y X Y, Y X X Y. De Sue von konvexen Mengen w päte ene wchtge olle pelen ( gechte Voluna, Queaßntegale ) ehalb enge Bepele: (E n e Übechtlchket wegen zu Tel nu e äne e beteffenen konvexen Mengen gezechnet.) j j + = + = + = + =

9 U. BEHM: Konvexgeoete 1-9 Bezechnungen un Defntonen: B ( a): { xi x a } fü ai, I + heßt abgechloene Kugel vo au u a. B a ( ) t konvex (folgt au e Deeckunglechung): x0, x1 B ( a), 0, 1 ( x0 ( 1 ) x1 ) a x0 a ( 1 ) x1 a ( 1 ). De konvexe Hülle ene enlchen Menge heßt en Polytop. Ene Kugel I fü 2 t z. B. ken Polytop. De Sue von enlch velen Stecken heßt en Zonotop. De Denon ene konvexen Menge X t efnet uch X : aff X. De Sue von Polytopen t wegen Satz 1.2 en Polytop. De konvexe Hülle von ( 1 ) affn unabhänggen Punkten e I heßt en -enonale Splex (kuz: -Splex). Sene Denon t. De ezeugenen Punkte heßen e Ecken e Splexe. En U V W -enonale Splex t en Punkt. ene Stecke. en Deeck. en Tetaee. Aufgaben 1.1 Chaakteeen Se e Telengen I M fü e e ene No gbt, o a M { xi x 1} (Enhetkugel bezüglch ). 1.2 Zegen Se, a ene Kugel n I, 2, ken Polytop t.

10 1-10 U. BEHM: Konvexgeoete 1.3 Wa t e Sue e ve Stecken konv{ x, x }, 1,, 4 (kene zwe avon paallel) n 3 I? Untecheen Se e Fälle a) ln{ x1,, x4} 2 b) ln{ x1,, x4} 3 un e e ve Vektoen x1,, x 4 n lnea abhängg c) je e e ve Vektoen x1,, x 4 n lnea unabhängg ) betachten Se en Spezalfall e Sue e ve auagonalen e 3 Wüfel[ 1,1]. Wa t e Syeteguppe? Beten Se e Ecken!