Geometrische. Transformationen 2D

Transkript

1 Geometche Tanfomatonen D Tanfomatonen tae Köpe Köpe: Menge von unkten 3 { } Tanlaton: : ' T ' ' age

2 age Tanfomatonen tae Köpe ( Rotaton: R n n ' ' ' : Um a Rotatonzentum n n ' ' ( Tanfomatonen (3 Skaleung: S ' ' ' : Scheung: (ken tae Köpe S h h H ' ' ' :

3 Tanfomatonen (4 Allgemen: : ' ' ' ' T S R H S De Aton be e Tanlaton lät au hnteenane gechachtelten Tanfomatonen oft komplzete Auücke enttehen. ' ' S T R T Homogene Koonaten In Homogenen Koonaten können alle Tanfomatonen uch Multplkatonen eetzt ween. En algebache Objekt e het homogen fall fü en belebge l a algebache Objekt le a gleche geometche Element e epäentet. e(e e(le l D Kateche Koonaten ---> HomogenenKoonaten wobe un k W W W en elben unkt becheben alo auch. age 3

4 age 4 Tanlaton n Homogene Koonaten Alle Tanfomatonen ween zu Multplkatonen! mt ( ' ' ( T ' T ( ( T ' T ' Tanlaton n Homogenen Koonaten ( Egenchaften: ( ( ( ( " T T T T ' ( " un ( e T T ' ( "????? T ( T T T

5 age 5 Skaleung n Homogenen Koonaten Egenchaften: S S S Rotaton n Homogenen Koonaten Egenchaften: n n n n R R R?? -n n??

6 age 6 Rechenegeln fü Matzen A + B = B + A A + O = O + A = A A ( B + C = A B + A C A ( B C = ( A B C : = ABC (A B T = ( B T A T (A B - = ( B - A - ACHTUNG!!!! Im Allgemenen t A B B A Vekettung von Tanfomatonen n n n n n n - T(- R( T( ( R ( Rotaton um Fpunkt

7 Wetee Vekettungen Skaleung um Fpunkt S( f f T( f f S( T(- f - f S( f f f f Affne Tanfomatonen Ene Abblung ' ' mt ' a ' a heßt zwemenonale affne Tanfomaton! a a b b Egenchaften: aallelen ween auf aallelen abgeblet un enlche unkte ween auf enlche unkte abgeblet. Ene affne Tanfomatonen läßt ch mme n ene Rotaton ene Tanlaton ene Skaleung un ene Scheung zelegen! Lee ncht eneutg! age 7

8 D Tanfomatonen un Rateung In Anmatonen mt aufwengen Objekten können Rateopeatonen ene effzente Altenatve zu Beechnung affne Tanfomatonen en! Tanlaton: Kopee enen elblock von enen Rategebet n anee. Rotaton um 9º: Enfache Umoteung e Blöcke. (umkehen e elwete jee Zele ann Zelen mt Spalten vetauchen Belebge Rotatonen un Skaleungen efoen e Tanfomaton e enzelnen elfele auf he Zelgebete. (Intentäten je nach Übelapp betmmen. Wapng & Mophng age 8

9 Übecht Wapng Geometche Tanfomatonen Fowa an Invee mappng Vechebe Vektofele Schnelle Algothmen fü geom. Tanfomatonen obleme! Mophng Meh mophng Featue-bae mophng Mehmenonale Mophng Mophng n e un meh Dmenonen Wapng: Tanfomatonen e Blgeomete Wofü: Koektu von Lnenfehlen Vegößen un veklenen von Blen Roteen von Blen epektvche Koektu von Blen Mophen! age 9

10 z.b. Roteen ene Ble Input [uv] Output [] Geucht: Ene Abblung A e jeem el m Output enen Fabwet au e Volage zuwet. u A( A v Rotaton ene Ble ( R u v t t u v n n u v t t u v age

11 Rotaton ene Ble (3 Gegeben zwe Ble e ch nu uch ene Rotaton untecheen! We vele unktkoeponenzen zwchen en Blen n notweng um e Rotaton eneutg zu betmmen? n n u v t t u v unktpaae betmmen e Rotaton eneutg! Rotatonen n wnkelteu! Affne Tanfomaton Ene affne Abblung t ene allgemene lneae Abblung e ch au Tanlaton Rotaton Scheung Skaleung un Steckung zuammen etzt. a a a a u v t t u v 3 unktpaae betmmen ene affne Abblung eneutg! Be affnen Abblungen bleben aallelen paallel! age

12 Affne Tanfomaton? Ene pepektvche Abblung t kene affne Abblung!! Lät ch en planae pepektvch vezete Bl entzeen? We vele unkkoeponenzen betmmen ene pepektvche Abblung? epektvche Tanfomaton De pepektvche Abblung t ene ncht lneae Funkton. a u a v a a u 3 a v 3 3 u v a a u a 3 u a v a 3 v 3 Geaen ween auf Geaen abgeblet! Im allgemenen blebt wee e aalleltät von Geaen noch bleben e Wnkel zwchen Geaen ehalten. unkte können nach Unenlch abgeblet ween. We vele Koeponenzpaae betmmen e Abblung eneutg? age

13 Homogene Koonaten (Enchub D Kateche Koonaten ---> Homogene Koonaten w w mt = w w w w wobe un k w w w en elben unkt becheben alo auch =. w epektvche Tanfomaton W uchen e Abblung In Homogenen Koonaten u v w a a a 3 w u w = a a a w v 3 w a a a w w a 33 w a a a u 3 w = a a a v 3 w a a 3 3 a u a v a 3 a u a a a v 3 3 u a 3 u a v a 3 v 3 age 3

14 epektvche Tanfomaton Löen e Glechungen mt 4 unktkoeponenzen. u v 3 a u a v a a u a v a u a v a a u a v a u a v a a u a v a u a v a a u a v u v u v a u v u v a u v u v a 3 u v u v a u v u v a u v u v a 3 u v u v a 3 u v u v a 3 3 lanae Tanfomatonen (Übecht Name Mat Wkung Invaant Multple Vew Geomet n Compute Von Hatle & Zemann Cambge e p3 ojektv Affne Ähnlch a a a 3 a a a 3 a a 3 3 a a t a a t t t Geaen Schnttpunkte von Geaen... aallelen Flächenvehältne Lneakombnatonen von Vektoen... Längenvehältne & Wnkel... Euklch t t Längen & Flächen... age 4

15 Fowa Mappng Input v I (u v Output I ( u oton e el u u v v oblem: n ncht ganzzahlg! Dehalb müen e Nachbapunkte n e Beechnung mt engechloen ween. Fowa Mappng ( u u v v j j j Bezechnung: u v w auch mt Vechebe- Vekto- oe Koeponenzfel bezechnet (Dplacement vecto fel. Vogehenwee zu Implementeung:. E ween mehee Nachbapunkte glechzetg betachtet met Deecke.. De Fläche zwchen een unkten w ann geatet. age 5

16 Backwa Mappng u u Kann e Invee Abblung zu v v v I (u v betmmt ween? I ( Input u oton e Uble zwchen en eln Output Dee Abblung wäe vel lechte auzuweten! Denn e müt ja nu zwchen en 4 umlegenen eln ntepolet ween un e könnten alle el e Output e Rehe nach abgeabetet ween.. Enchub: Intepolaton von eln t u v+ t u+ v+ Met w blneae Intepolaton benutzt! v? = t u v + v ( t u v+ - t u v t u v t u + v = t u+ v + v ( t u+ v+ - t u+ v u = + u ( - age 6

17 Backwa Mappng ( Ob ch ene Abblung nveteen lät t von e Abblung elbt abhängg (z.b. Rotatonen laen ch nveteen. A u v fall A etet u u A v v Angenommen e t nu en Vektofel u v en Backwa mappng uchgefüht ween? gegeben kann amt Da heßt: u u u kann au beechnet ween v v v Backwa Mappng (3 Da heßt: u u u kann au beechnet ween v v v Ganz enfach: u u u u v v v v De t noch ncht e geuchte Löung!!! Denn v u v u u v n mme noch ene Funkton von uv. Danach ollte abe jeoch aufgelöt ween. Da Umkehen ene Koeponenzfele kann nu übe fowa wapng efolgen. age 7

18 Schnelle Algothmen fü geom. Tanfomaton Fü betmmte Tanfomatonen laen ch pezelle optmete Algothmen mplementeen. Klache Bepel: Sepaable Abblungen u A v u B C v z.b. De Rotaton: R n n n tan / -a Rotaton n u v C B n u n v R tan / age 8

19 3-a Rotaton - Schtt Rotaton: Duch e Skaleung kann Infomaton veloen gehen R n n n tan / Duch en 3- Schtt Vefahen kann e vemeen ween E n nu noch enmenonale Scheungen nötg. n tan / tan / R n n -a fü pepektvche Tanfomaton C B ehe: Wolbeg Geog Dgtal Image Wapng IEEE Compute ocet pe. Lo Alamto CA age 9

20 Wapng zu Bechebung ene Methamophoe Mophng D Ac Thompon Mathematke au Schottlan D Ac Thompon ( age

21 Mophng : Aton von Ble Kene Koeponenz ½ + ½ = Koeponenz Koeponenz t e unkt zu unkt Zuonung zwchen zwe Blen un kann uch en Koeponenzfel becheben ween. Etellen von Koeponenzfelen Da Hauptpoblem bem Mophng t a Etellen von Koeponenzfelen (Vechebefelen. Manuelle Vefahen n e Regel: Met w e Koeponenz an wengen Stellen manuell betmmt un fü e etlchen el ntepolet.. Meh Wapng. De Vefahen untecheen ch nu n e Intepolatonmethoe.. Fel Wapng. age

22 Meh Wapng au: Wolbeg Geog Image Mophng: A Suva Depatment of Compute Scence Ct College of New Yok Fel Wapng Bem Meh Wapng enttehen mme ann Blfehle wenn e Gttekanten ncht mt en Blkontuen übeentmmen. Auweg: Man maket nu noch Kontuen n en Ble (manuell. Duch a Abblen e Kontuen auf enane w ann fü enge unkte e Koeponenz betmmt e ann auf e aneen Blpunkte augeehnt w. age

23 Mekmalbaete Mophng (Fel Mophng au: S. Lee G.WolbegK. Chwa an.y. Shn Image Methamopho wth Scattet Featue Contant IEEE Tanacton on Vualzaton an Compute Gaphc :4 996 Mot Famou Black o Whte n 99 Featue-Bae Image Metamopho b T. Bee an S. Neel Sggaph 99 age 3

24 Gaenten Vefahen zu Optchen Flu Beechnung pel ( I I I mn! age 4

25 Koeponenz zwchen zwe Blen Gaent-bae Optcal Flow Intent Image Image I I I I Image oton X pel ( I I I mn! Genzen e Optchen Flu Vefahen Efolgech Mt Fehlen age 5

26 De Koeponenz bechebt en Fomunteche (Koeponenzfel Mehmenonale Mophen age 6

27 Mophng n meheen Dmenon. Mophng oe Intepolaton Vefahen ween heute auf ene Velzahl untechelche Datentuktuen zu Blezeugung vewenet. 3D Objekte Anmaton... age 7