Mechanik II Prof. Popov SS 09 Seite 1 Aufgabenkatalog Kinematik und Kinetik

Transkript

1 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite 1 Vowot uf den foenden Seiten ist de ufabenkatao fü Mechanik 2 abeduckt, aus de jede Woche ufaben fü die Goße Übun, die Tutoien und das eienständie beiten ausewäht weden. Lösunen zu den Tutoius- und Hausaufaben weden unefäh eine Woche nach eabeitun veöffenticht. Leide scheichen sich ancha in die veöffentichten Lösunen Fehe ein. Wi beühen uns, diese öichst züi zu beseitien. Jede Student ist abe in este Linie sebst veantwotich. Dau sebständi echnen! We ene noch eh ufaben (it Musteösunen) echnen öchte, sei auf die beite uswah an ufabenbüchen vewiesen. Die ufaben weden nicht notwendieweise in de Reihenfoe des Kataos abeabeitet. De Katao kann in den Tutoien käufich ewoben weden ode i Intenet unte heunteeaden weden. Fü den Mechanik-Kus wude zude bei Moses Fou ( eineichtet. Diese so vo ae de ustausch de Studenten unteeinande dienen. Wi weden zude vesuchen, wichtie Teine/Infoationen auch auf diese Wee bekanntzueben. ei Faen zu Oanisation bitte zuest das Infoationsbatt und die entspechenden Intenetseiten ündich duchesen. Inhatsvezeichnis 1 Gundaen Kineatik 2 2 Gundaen Kinetik 13 3 Schwinunen 49 Liteatu [1] Gasch, Robet und Kaus Knothe: Stuktudnaik, and 1 Diskete Sstee. Spine, [2] Goss, Dieta, Wene Haue, Wate Schne und Jö Schöde: Technische Mechanik, and 3 Kinetik. Spine, 8. ufae, In de Lehbuchsaun: 5Lh380. [3] Guet, Pete und Ka-uust Reckin: Mechanik. Viewe, 2. ufae, In de Lehbuchsaun: 5Lh296. [4] Haedon, Pete: Technische Mechanik and 3. Vea Hai Deutsch, zweite ufae, In de TU Zentabibiothek: Reestandot UF /3. [5] Haue, Wene, Wate Schne und Dieta Goss: Technische Mechanik, and 3 Kinetik. Spine, 6. ufae, (Neuee usabe) in de Lehbuchsaun: 5Lh380. [6] Maket, R.: Übunsaufaben it Lösunen zu Einfühun in die Technische Mechanik. Technische Univesität Dastadt-Fachbeeich Mechanik, este ufae, Fachbeeich MMD. [7] Mebe und Vachenaue: Höhee Matheatik 1. Spine-Vea, sechste ufae, In de Lehbuchsaun: 5Lf598.

2 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite 2 1 Gundaen Kineatik 1. Ein Radfahe fäht it eine konstanten Geschwindikeit von 36 k/h. Zu Zeit t 0 spint die noch 150 entfente pe auf Rot. 20 s späte schatet sie wiede auf Gün. Genau dann wi de Radfahe die pe passieen. Dazu bewet e sich vo Zeitpunkt t 0 an bis zu Passieen de pe it de konstanten escheuniun a k/h 150 Wie oß ist a 1, und it weche Geschwindikeit passiet de Radfahe die pe? Liteatu: [5, S. 3-20] 2. uf de utobahn fäht ein uto it de Geschwindikeit v. Von hinten kot das uto it de Geschwindikeit v auf das uto zu. ei de bstand zwischen de vodeen Stoßstane von und de hinteen Stoßstane von beekt de Fahe des utos, dass e das uto nicht übehoen kann. Nach eine Schecksekunde T fänt an zu besen. (a) Weche konstante esbescheuniun a ist indestens nöti, dait ein Zusaenstoß veieden wid? Weche Wet eibt sich fü a, wenn de Waen zu einn it eine Geschwindikeit von v = 72 k/h fäht und est bei eine bstand von = 20 zu Vodeann feststet, daß das Übehoen nicht öich ist? (b) Nach weche Zeit und wo beühen sich fü diesen Genzfa die Stoßstanen de Fahzeue? (c) Zeichnen Sie Diaae fü die Wee und Geschwindikeiten de beiden Fahzeue as Funktionen de Zeit. Nehen Sie dabei an, daß seine esun bis zu Stistand fotsetzt. Ge.:, v, v = v, v = 2v, T = 2v Liteatu: [5, S. 3-20], Hauptsatz de Diffeentia- und Inteaechnun siehe [7] Kap. 4 Satz 1.3. S In eine aaschine weden Tennisbäe aus de Ruheae bescheunit. Die escheuniun eines Tennisbaes entan des bschussohes nit it de zuückeeten We inea von a 0 a nfan des Rohes auf a 0 /2 a Ende ab (siehe Diaa). Die nutzbae Läne des Rohes heißt. estien Sie die Geschwindikeit eines Tennisbaes bei Veassen des Rohes! Ge.: a 0,. a 0 a(s) a 0 /2 Liteatu: [5, S. 3-20] s

3 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite 3 4. In eine aaschine weden Tennisbäe aus de Ruheae bescheunit. Die escheuniun veäuft inea übe de Zeit eäß nebenstehende Diaa. Zu zunächst nicht bekannten Zeit t veässt de a das bschussoh. α (a) estie die Geschwindikeit eines Tennisbaes bei Veassen des Rohes! (b) Das bschussoh steht unte eine Winke α zu Edobefäche. Das Ende des Rohes befindet sich in eine Höhe h übe de (ebenen) Edboden. Wie weit fieen die Tennisbäe? Venachässie die Reibun! (c) estie die aiae Fuhöhe de Tennisbäe! a 0 a(t) h a 0 2 t t Ge.: a 0,, h, α,. Liteatu: [5, S. 3-20] 5. Eänzen Sie die eeen Fede fü Ot, Geschwindikeit und escheuniun! e Gößen, die nicht epizit as Funktion de Zeit t aneeben sind, seien konstant. Ot s(t) = Lsin Ωt } (t) = 0 t t1 cos {ω 2 (t 2 t 2 0 ) Liteatu: [5, S. 3-20] Geschwindikeit escheuniun nfansbedinunen ẍ(t) = a 0 (0) = ẋ(0) = 0 ṙ(t) = v 0 + a 1 t (0) = 0 ẏ(t) = u 0 e ωt (t 0 ) = u 0 ω ϕ(t) = ϕ(t) ϕ(0) = 1 ẍ(t) = λ 2 (t) (0) = L, ẋ(0) = v 0 λ 2 6. Ein Luftbaon wid so aufebasen, daß sein Radius it de Geschwindikeit ξ zunit. Zu Zeitpunkt t = 0 sei de Radius 0. uf de Äquato des aons kabbet eade eine Fiee it de Geschwindikeit c. (a) estien Sie in Poakoodinaten den Otsvekto de Fiee in bhänikeit des Winkes (ϕ) zwecks escheibun de eweun de Fiee. (b) estien Sie nun noch Geschwindikeitsund escheuniunsvekto in bhänikeit de Zeit. z e ϕ (t) e (t) (t) c Ge.: (t = 0) = 0, ξ, c

4 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite 4 7. Ein Fuzeu steuet it Hife seine Peivoichtun einen Fuhafen an, wid jedoch duch den Wind abetieben, de it konstante Geschwindikeit v f in Richtun de -chse weht. Das Fuzeu hat die Reativeschwindikeit v. Gesucht ist die wahe, ebene ahn des Fuzeues, wenn es vo Punkt P 0 ( 0, 0 ) ab Kus auf die Peianae des Fuhafens hät, die i Uspun O ieen öe. 8. De nebenstehend skizziete Industieobote kann sich u die senkechte z-chse dehen (Dehwinke ϕ), seinen u das Geenk in de Höhe auf und ab beween (Winke ψ) und zusätzich die Läne des es veänden. eechne den Ots- und Geschwindikeitsvekto (in katesischen Koodinaten) des auf de Spitze des es sitzenden Geifes, wenn de Robote it ϕ = Ω = konst. u die z-chse otiet, de sich it ψ = Θ = konst. hebt und sich seine Läne eäß = (2 + sin Ωt) it de Zeit t ändet. nfan (t = 0) iet de Geife auf de positiven chse (ϕ t=0 = 0, z t=0 = 0). Ge.:, Ω, Θ. 9. De Punkt Pau bewet sich auf de Innenfäche eines zindischen Rohes it de Radius R. Seine ahn wid beschieben duch z(ϕ) = 0 e kϕ, ϕ(t) = ωt. Das Roh esteckt sich in Richtun de z-chse bis zu Höhe H. Geeben sind die Konstanten ω, 0, k, R und H. estie den Geschwindikeits- und escheuniunsvekto des Punktes bei Veassen des Rohes in katesischen Koodinaten! O θ v P(, ) z Pau z ϕ ψ H v f R ϕ 10. Die beiden obeen sta iteineinde vebundenen Rieenscheiben it den Radien und R dehen sich it de Winkeeschwindikeit ω. Das Sei äuft auf aen dei Rieenscheiben ohne Schupf, seine bschnitte zwischen den Rieenscheiben hänen enau senkecht. De Dehpunkt S de unteen Scheibe ist vetika efüht. ω R eechne die Geschwindikeit des Punktes S! Ge.: R,, ω = konst. S

5 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Ein Rad it de Radius R ot auf eine Ebene. Zu Zeit t = 0 beüht de auf de Ufan des Rades befestite Punkt Titus die Ebene und zwa enau i Uspun des otsfesten katesischen Koodinatensstes. estie Titus Ots-, Geschwindikeits- und escheuniunsvekto in ezu auf das otsfeste Koodinatensste as Funktion de Zeit t in katesischen Koodinaten. Titus ϕ d Ge.: R, dtϕ(t) = ω = konst. Tip: estie zuest die Koodinaten des Mittepunktes des Rades zu eine beiebien Zeit t und dann den bstand in - und -Richtun des Punktes Titus von diese Mittepunkt. Daaus kann dann de Otsvekto eittet weden. Liteatu: [5, S. 3-5] R 12. Eine oje hänt an eine Sei de Läne, weches i bstand b = 2 vo Fussufe befestit ist. Unte de Einfuss de Stöun schwit die oje vo inken zu echten Ufe, wobei das Sei stets espannt beibt und die ojeneschwindikeit it de in die Richtun de ahntanente faenden ntei de konstanten Stöunseschwindikeit c übeeinstit. b c ϕ e ϕ ϕ 1 = π 2 ϕ 2 e (a) Steen Sie nacheinande Otsvekto, Geschwindikeitsvekto v und escheuniunsvekto a fü eine aeeine Lae de oje in Poakoodinaten auf. (b) eechnen Sie fü = 45 und c = 1 s Fusses benötit. die Zeit T, die die oje zu Übequeun des 13. Das skizziete Sste wid von eine Zahnstane anetieben, die sich eäß s(t) = v 0 t eadini bewet. uf de senkechten it α = ω otieenden Scheibe ist de Punkt P befestit. a α P eechnen Sie Ots-, Geschwindikeits- und escheuniunsvekto des Punktes P as Lineakobination de itedehten asisvektoen e, e ϕ und e z bezüich des uhenden ezussstes it Uspun O. Ge.: R, h, a, s(t), ω = konst., α(0) = 0, ϕ(0) = 0 eϕ R e z ϕ e h O s(t)

6 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite In eine Tu ist in Punkt eine Maus, i Mittepunkt O eine Katze. Die Maus ennt it de konstanten Geschwindikeit v M entan de Tuaue, u das ettende Loch L zu eeichen. Die Katze vefot die Maus it de konstanten Geschwindikeit v K und bescheibt dabei eine ahn, die duch die chiedische Spiae K (ϕ K ) = R π ϕ K beschieben wid. L R O K ϕ K ϕ M Ge.: R, v M, d = 1 2 [ asinh ] (a) Gib die Geschwindikeits- und escheuniunsvektoen von Katze und Maus as Lineakobination aus e, und e ϕ an! Ni dabei die Winkeeschwindikeit de Katze ϕ K (t) as eine eebene Funktion de Zeit an. (b) Wie oß uß die ahneschwindikeit v K de Katze sein, dait sie die Maus a Loch ewischt? Liteatu: [5, S ] 15. Eine Stane de Läne otiet u O it de Zeitesetz ϕ = κt 2. uf de Stane utscht ein Geitköpe G nach de Gesetz = ( 1 κt 2). (a) estien Sie bezüich des Koodinatenuspuns O den Otsvekto (t) des Köpes G, seinen Geschwindikeitsvekto v(t) und escheuniunsvekto a(t). G (b) estien Sie den eta de Geschwindikeit fü den Winke ϕ 1 = π 4. e ϕ e ϕ (c) ei weche Winke ϕ E stößt G a Lae O an? O Ge.:, κ 16. Eine echteckie Scheibe deht sich wie daestet it ϕ(t) = ωt u den uhenden Uspun O. Dabei bewet sich eine Fiee F auf de Kante it de konstanten Geschwindikeit v 0 eenübe de Kante. Zu Zeit t = 0 ist ϕ = 0, und die Fiee F ist bei. e d(t) v 0 F ϕ(t) = ωt O e (a) eechnen Sie Otsvekto und Geschwindikeitsvekto de Fiee F in ezu auf den

7 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite 7 Uspun O. Steen Sie die beiden Vektoen in de uhenden asis e,e da. (b) eechnen Sie d(t), den bstand de Fiee F vo Uspun O. (c) eechnen Sie den Geschwindikeitsvekto de Fiee F sowie dessen eta fü einen Speziafa, näich fü: ω = 2π/s, = 2, v 0 = 1/s und zu Zeit t = 1s. Geben Sie auch hie die Koponenten in ezu auf e,e an. Ge.:, v 0, ω =const. 17. eechnen Sie bezüich des Koodinatenuspuns O ω s(t) (a) den Otsvekto zu Punkt P (setzen Sie dabei s(t) = v 0 t und α(t) = Ωt ein), (b) seinen Geschwindikeitsvekto, (c) seinen escheuniunsvekto und (d) den Dehipus de Punktasse i Punkt P! (e) estien Sie den Vekto de Reaktionskaft, die auf die Punktasse wikt (Gavitation wid venachässit)! Ge.: H, L, h, b, ω = konst., s(t) = v 0 t, α(t) = Ωt, 18. Eine Scheibe deht sich u die Kante -C it de Dehwinke ϕ(t) = ωt. De Punkt Peta bewet sich auf de Scheibe von nach it de konstanten Geschwindikeit v 0 eativ zu Scheibe, und zu Teit t = 0 ist Peta bei. eechnen Sie die Vektoen und etäe de (bsout-) Geschwindikeit und (bsout-) escheuniun H e z e ϕ O α(t) P L e b b v 0 h h (a) in eine aufesten, konstanten katesischen asis. (b) in eine köpefesten (it de Scheibe) itedehten Zindekoodinaten-asis. C ϕ Peta Ge.: b, h, ω, v 0 Liteatu: [5, S ]

8 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite De Punkt Pau bewet sich auf de Innenfäche eines zindischen Rohes it de Radius R. Seine ahn wid beschieben duch z(ϕ) = 0 e kϕ, ϕ(t) = ωt. Geeben sind die Konstanten ω, 0, k und R. Pau estien Sie zu jede Zeit t den Ots-, Geschwindikeits- und escheuniunsvekto des Punktes Pau as Lineakobination aus e, e ϕ und e z! estien Sie außede die katesischen Koodinaten des escheuniunsvektos! Liteatu: [5, S ] R z ϕ 20. Ein Punkt bewet sich auf de ebenen ahn (ϕ) = a(1 + ϕ ) it 0 < ϕ < 2π, ϕ = c t. 2π ϕ a a und c sind positive Konstanten, Zeit t > 0. Gib Geschwindikeits- und escheuniunsvekto in de asis < e,e ϕ > und in de asis < e,e > an! Liteatu: [5, S ] 21. De Mittepunkt de daesteten Scheibe bewet sich tansatoisch it de Geschwindikeit ẏ(t) in - Richtun. uf de sich dehenden Scheibe kann sich die it eine Fede efessete Punktasse in eine Nut eibunsfei beween. Die Gewichtskaft wid venachässit. Das ξ, η, ζ-sste ist ein scheibenfestes Koodinatensste. η η ξ ζ c ξ ϕ, ϕ, ϕ (a) Wie oß ist de Vekto und de Vekto e vo Punkt zu Punktasse? Geben Sie die Winkeeschwindikeit ω des beweten ξ,η,ζ-sstes eenübe de,,z- Inetiasste an. (b) Geben Sie die Geschwindikeit de Punktasse i Inetiasste an. z (c) Geben Sie die escheuniun de Punktasse i Inetiasste an. (d) Schneiden Sie die Punktasse fei und taen Sie ae Täheits-, Zwans-, und einepäten Käfte an. Ge.:,c,η,(t),ϕ(t), ϕ(t), ϕ(t),ξ, ξ, ξ

9 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Eine stae Scheibe otiet in de -bzw. -ϕ-ebene u den Uspun. Die Winkeeschwindikeit ϕ(t) = ω(t) ist eine as bekannt voausesetzte Funktion de Zeit t. Gib den Ots-, Geschwindikeits- und escheuniunsvekto eines duch seine oentanen Koodinaten und ϕ identifizieten Punktes auf de Scheibe sowoh it eine katesischen asis as auch it e und e ϕ an! ω ϕ 23. Ein Schwiköpe K so von eine Ufe eines it de Geschwindikeit v S dahinfießenden Stoes de eite b zu andeen Ufe daduch befödet weden, daß e ittes eines i Punkt O befestiten Taues heübeezoen wid. Man eitte unte de Voaussetzun eine konstanten Veküzunseschwindikeit v T des Taues die Geichun de ahnkuve des Schwiköpes. b O ϕ K v S v T Liteatu: [5, S ] 24. Die Stane in de Skizze hat in de Winkeae α = α 0 die Winkeeschwindikeit ω. + D (a) estien Sie die Winkeeschwindikeiten de Stane C und des Rades in de daesteten Lae. (b) Wie oß daf de Radius aia sein, dait die Scheibe eine voe Udehun achen kann? α ω C Ge.:,, ω, α 0 = 60.

10 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Das daestete Getiebe besteht aus den Zahnäden 1 und 2, de Winkeahen 3 und de Schubstane 4. De Winkeahen 3 otiet it de Winkeeschwindikeit ω 3 u den Laepunkt. Das i Punkt C it de Rahen vebundene Zahnad 2 ot infoedessen i Punkt auf de bockieten Zahnad 1 ab. Die Schubstane 4 ist in E eenki it de Winkeahen 3 sowie übe die Schiebehüse D it Zahnad 2 vebunden. Fü die foenden ufaben ist R und ω 3 eeben. D 2 R C 4 2R E 3 R ω 3 1 4R (a) Zeien Sie, dass die Winkeeschwindikeit des Zahnades 2 ω 2 = 3 2 ω 3 betät. (b) eechnen Sie die Winkeeschwindikeit ω 4 de Schubstane 4. (c) eechnen Sie die Reativeschwindikeit v (e) D in de Schiebehüse D. 26. Ein Getiebe besteht aus 4 staen Köpen: eine unbeweichen Zahnad 0, eine Winkeahen 1, eine Hüse 2 und eine uaufenden Zahnad 3. n de Stee P eitet in de Hüse ein keine Stift, de auf de uaufenden Rad sitzt, d.h. fest it ih vebunden ist. n de Stee K ot 3 auf 0 ab. 4H ω Ge.: ω 1 = ω 1 e z, H. e 3 eechnen Sie fü die daestete Lae: e K P n Stift 2 e z H 2H H (a) die Winkeeschwindikeit ω 3 des Rades 3, (b) die Geschwindikeit des Stifts v 3 P und die Geschwindikeit de Hüse bei Stift, aso v 2 P, und daaus die Winkeeschwindikeit ω 2 de Hüse. Tipp: In Richtun n nit de Stift die Hüse it, so dass die Geschwindikeitskoponenten in diese Richtun übeeinstien. (c) die Reativeschwindikeit v e zwischen Stift und Hüse.

11 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Ein Wekzeu besteht aus dei Staköpen: Die Schubstane 1 eitet eibunsfei it de Geschwindikeit v 1 und de escheuniun a 1 auf de Unteund. Das zu Hubausee 2 ehöende, bei dehba eaete Rad ot bei auf de Stane 1 ab (eines Roen). De stützende Winkeahen 3 ist i Punkt C dehba it de Hubausee 2 vebunden und eitet in D, übe eine Schiebehüse ekoppet, eibunsfei auf de Schubstane 1. Fü die daestete Lae sind, v 1 und a 1 eeben. 6 C a 1,v D 1 (a) Zeien Sie, dass sich die Winkeeschwindikeiten von 2 und 3 zu ω 2 = 1 v 1 3 bzw. zu ω 3 = 1 v 1 8 eeben, und beechnen Sie den eta de Reativeschwindikeit v D,e zwischen de Schiebehüse in D und de Schubstane 1. (b) eechnen Sie die Winkebescheuniun ω 2 des Hubausees. (c) Konstuieen Sie den Moentanpo G 3 des Rahens 3 (Skizze). 28. ei eine Kubetieb deht sich die Wee it konstante Winkeeschwindikeit ω. estien Sie die Geschwindikeit und die escheuniun des Kobens K. Ge.:,, ω ω C + K 29. Fü das skizziete Panetenetiebe, das aus eine Sonnenad (a 1, ω 1 ), eine Hohad (a 2, ω 2 ) und Panetenäden besteht, eitten Sie (a) die ahneschwindikeit v fü den Mittepunkt des Panetenades, (b) die Winkeeschwindikeit ω des Pantenades, (c) die Winkeeschwindikeit ω des Pantenadtäes, e.: a 1, a 2, ω 1, ω 2.

12 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Die Spue in de Skizze wicket sich von de undehnbaen Schnu ab und hat zu daesteten Zeitpunkt die Winkeeschwindikeit ω und die Winkebescheuniun ω. estien Sie die Winkebescheuniun ω des Punktes. + Ge.:,, ω, ω. S 31. Das Sonnenad 1 bewee sich it de Winkeeschwindikeit ω 1 und de Vebindunshebe 3 it ω 3. Das Panetenad bewet sich ein oend. Eitten Sie den Geschwindikeitsvekto des Punktes P, de sich auf de Panetenad 2 befindet. ω a ψ P Ge.: 1, 2, a, ω 1, ω 3, ψ. 1 1 ω Die Stane in de Skizze hat die Winkeeschwindikeit ω und die Winkebescheuniun ω. Die Scheibe ot innen auf de aufesten keisföi eküten Obefäche it de Radius R ohne zu eiten. estien Sie die Winkeeschwindikeit ω S und die Winkebescheuniun ω S de Scheibe. Ge.:, R, ω, ω. ω S C ω R +

13 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite 13 2 Gundaen Kinetik 33. Ein echanische asketbaspiee wift den a ie unte de Winke α ab. De Luftwidestand sei venachässiba. (a) Wie oß uß die bwufeschwindikeit sein, dait de a den Kob tifft? (b) b weche iniaen Entfenun d von de Kob hat de asketbaspiee keine Möichkeit eh zu teffen? d eschw α h Ge.: α, h, d, 34. uf eine schiefen Ebene bewet sich eibunsfei ein Köpe de Masse, eweunskoodinate s, infoe de Schwekaft abwäts. In eine adiaen ohun ist ein Zinde de Masse M, de Reativkoodinate, eastisch aneodnet, de sich ebenfas eibunsfei beween kann. Fü die entspannte Lae de Feden it s = 0 und = 0. estien Sie die eweunsdiffeentiaeichunen fü die eneaisieten Koodinaten s und. Ge.:, M, c, α, Liteatu: [5, S , S ] 35. In eine Fussbaspie wid ein Feistoß eeben. De Feistoßschütze öchte den a so teten, dass diese bei de Maue, an de Stee 1, und bei de Toinie, an de Stee 3 1, die Höhe h hat. eechnen Sie bei Venachässiun des Luftwidestandes den notwendien ntittswinke α, sowie die notwendie nfanseschwindikeit v 0 des as. Ge.:, 1,h Hinweis: cos 2 1 α = tan 2 α+1 Liteatu: [6, S. 154] z v 0 0 α h 1 3 1

14 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Die abebidete stae Stane deht sich it konstante Winkeeschwindikeit ω. Ein Köpe (Masse ) eitet eibunsfei auf de Stane. De Köpe ist zusätzich duch eine Fede (Steifikeit k) an das Lae ekoppet. Die entspannte Läne de Fede sei 0. estien Sie die Käfte, die auf den Köpe duch die Fede und die Stane auseübt weden. k ω 37. Ein Fußbaspiee spiet den a (Masse ) it de Geschwindikeit v 0 unte de Winke α 0 zu Hoizontaen ab. Wähend des Fues wikt eine Widestandskaft F W = kv enteen de Richtun de Geschwindikeit auf den a. Man bestie die Geschwindikeitskoponenten in bhänikeit von de Zeit. Wie oß ist Hoizontakoponente, wenn de a bei Mitspiee (bstand ) ist? v 0 α estien Sie fü das skizziete Sste it den Newtonschen Gesetzen die Lae de Kue zu eine beiebien Zeitpunkt t. nnahen: Das Sei und die Uenkoe seien asseos und nicht dehnba. α De Stöunswidestand de Kue sei popotiona zu Geschwindikeit it de Widestandskoeffizienten k. 1 2 µ De Geiteibbeiwet zwischen de Köpe 2 und seine Unteae ist µ. De hdostatische uftieb de Kue sei venachässiba. Zu Zeit t = 0 uhe das Sste bei = 0. Danach sinkt die Kue senkecht nach unten. Ge.: 1, 2, k, µ, α, Hinweis: Küzen Sie die Koeffizienten de Diffeentiaeichun ab, u sich Scheibabeit zu spaen. 39. Die ufhänevoichtun (Masse 1 ) eines ebenen Pendes it de Läne und de Pendeasse 2 eitet eibunsfei auf eine hoizontaen Schiene. s 1 Eitten Sie die eweunsdiffeentiaeichunen fü die Massen 1 und 2. Ge.: 1, 2,, ϕ 2 Liteatu: [5, S , 72-76]

15 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Ein Spote stößt eine Kue it de nfanseschwindikeit v 0 aus eine nfanshöhe z 0. Unte weche Winke α opt uss die Kue estoßen weden, dait sie öichst weit fiet, und wie oß ist diese Weite? Wie änden sich die Eebnisse, wenn an von eine nfanshöhe z 0 = 0 auseht? z 0 z v 0 α w e.: z 0 = 2,0, v 0 = 13,0 s 41. uf eine as sta und asseos anzusehenden Stane kann die Masse, die ittes eine ideaen Fede it de Dehpunkt vebunden ist, eibunsfei eiten. Es sei 0 die Fedeäne i spannunsosen Zustand. Ein ntieb i Dehpunkt de Stane et it de Moent M(t) = M 0 sinωt das Sste zu Schwinen an. Stee die eweunsdiffeentiaeichun auf! eücksichtie die Schwekaft. Ge.:, 0, M 0, Ω,, c 42. Eine Punktasse bewet sich eibunsfei i daesteten Keisin unte Wikun de Gewichtskaft. Eitten Sie die eweunsdiffeentiaeichunen fü die Masse. Ge.:,,R c µ = 0 R ϕ(t) M(t) 43. Zwei Massen M und sind übe ein Sei iteinande vebunden. Zu Zeitpunkt (t = 0) besitzt das Sste die nfanseschwindikeit v = 0. De Kotz M eitet von nach eibunsfei. Von nach C hescht de Reibunskoeffizient µ. Wie oß uß µ sein, dait de Kotz enau an de Stee C zu Haten kot? Ge.:, M = 2,, µ, Liteatu: [5, S , 72-76] M C µ = 0 µ

16 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Zwei Massen M und it den Reibunskoeffizienten µ 1 bzw. µ 2 eenübe de auen Unteae sind duch einen asseosen staen Stab vebunden und eiten eine schiefe Ebene hinab. n de Masse eift zusätzich noch eine Kaft P an. Ge.: M,, P,, µ 1, µ 2, α Lösen Sie foende Teiaufaben it Hife de Newtonschen ioe! (a) Machen Sie eine Feischnittskizze und bestien Sie die Stabkaft S! Wie oß ist die escheuniun des Sstes? µ 1 M S P µ 2 α (b) Wie oß ist die Geschwindikeit in bhänikeit vo zuückeeten We, wenn die Kaft P = 0, die Reibunskoeffizienten µ 1 = µ 2 = µ sind und die Massen it de nfanseschwindikeit v 0 hinabestoßen wuden? (c) Nach weche Stecke koen die Massen zu Ruhe? Unte wechen Uständen ist dies öich? 45. In eine Födeanae befindet sich eine Rape, auf de die zu befödenden Kisten (Masse ) heunteutschen. Ende de Geitstecke weden sie duch einen eastischen nscha (Fedekonstante c) abebest. Zwischen Kiste und de Rape wid Couobsche Reibun it de Reibunsbeiwet µ anenoen. Ge.:,, s, c, µ, α F c µ α s (a) Weche Zeit t 0 benötit die Kiste bis zu eühen des nschaes und weche Geschwindikeit v 0 hat sie dabei, wenn sie aus de Ruheae bei = 0 feieeben wid? (b) Wie oß ist de Fedewe Fa, de zu bbesen de Kiste auf die Geschwindikeit Nu notwendi ist? Die Masse des eastischen nschas so venachässit weden. (Hinweis: enutzen Sie die Tennun de Vaiaben!) 46. Dei eiche Massen 1 = 2 = 3 = sind it Seien übe asseose Roen vebunden. Man bestie die eweunseichunen fü den Fa, daß sich 3 nach unten bewet! Ge: α, µ,, α µ µ

17 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite In de skizzieten Sste eitet die Masse M die Rape hinab. uf M bewet sich eibunsfei eine zweite Masse. Gesucht ist die escheuniun von M. Ge.: M,, µ G, α, µ = 0 µ = µ G M 2α α 48. Wie autet die Geichun de ahnkuve eine Masse, die i Schweefed de Ede zu Zeitpunkt t = 0 it de nfanseschwindikeit v 0 unte de Winke α bei ( 0, 0 ) abewofen wid? eücksichtien Sie den Luftwidestand nach de Gesetz F W = kv it k 0! F W v 0 α v 0 0 Liteatu: [5, S ] 49. uf de skizzieten Scheibe, die it de konstanten Winkeeschwindikeit ω otiet, eitet die Masse in eine diaetaen Fühun. Zwischen de Masse und ihe Fühun hescht de Reibkoeffizient µ. Die Scheibe iet in eine hoizontaen Ebene, d. h. die Gewichtskaft wikt in Richtun de Dehachse. Zu Zeitpunkt t = 0 hat die Masse keine Reativeschwindikeit zu Scheibe und den bstand 0 von de Dehachse de Scheibe. Steen Sie fü diese nnahen die eweunsdiffeentiaeichun fü die Masse auf! ω µ Ge.:, 0, ω, µ Liteatu: [5, S ] 50. Eine Punktasse eitet eibunsfei auf eine Ebene. Sie ist an eine Sei befestit, das it de konstanten Geschwindikeit v zu Punkt P ezoen wid. Zu Zeit t = 0 betät die Ufanskoponente de Geschwindikeit de Punktasse ω 0 0 und ih bstand zu Punkt P 0. ẋ 0 estien Sie die Seikaft. v P Ge.:, v, 0, ω 0

18 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Ein Geitkotz de Masse wid ittes eines Seis auf eine hoizontaen staen Schiene entanezoen. Die Seioe it de Radius R otiet it konstante Winkeeschwindikeit ω 0. Das Sei so as asseos und nicht dehnba anenoen weden. De Reibunskoeffizient zwischen de Kotz und de Schiene ist µ. (a) Zeien Sie, daß die escheuniun des Geitkotzes betät. ẍ = R2 ω 2 0 h tan3 ϕ (b) eechnen Sie nun die Seikaft F s as Funktion des Winkes ϕ. Die Gewichtskaft des Kotzes ist zu venachässien. ω 0 R µ ϕ eϕ e e e h Ge.:, h, R, ω 0, µ, ϕ 52. Ein Köpe (Masse 1 ) eitet eibunsfei in vetikae Richtun und ist übe eine asseose Stane (Läne ) it eine Punktasse 2 eenki vebunden. Die Punktasse ist übe eine weitee Stane (Läne ) eenki an die Uebun ekoppet. att 1 (a) Wieviee Feiheitsade hat das Sste? (b) estien Sie die eweunsdiffeentiaeichun fü das Sste. ϕ 2 Ge.:,, 1, 2 Liteatu: [5, S , S ] 53. Eine eichseitie Deiecksscheibe (Masse, Massentäheitsoent J C ) ist an ihe Schwepunkt C eenki it eine Pendestütze vebunden. Die Pendestütze ist a andeen Ende eenki it eine Dehfede (Fedekonstante k) eaet, ihe Läne ist L, die Masse sei venachässiba. I bstand L vo Mittepunkt C ist die Scheibe in eine Lineafühun eaet (Punkt ). In de skizzieten Ruheae ist die Fede spannunsos. Es wikt das Edschweefed, die Reibun wid venachässit. (a) Fetien Sie eine Feischnittskizze fü die Pendestane und die Deieckscheibe in auseenkte Lae an! (b) estien Sie die eweunsdiffeentiaeichun des Sstes fü die Koodinate ψ unte Vewendun von Ipus- und Dehipussatz! (c) Geben Sie die Eienkeisfequenz des Sstes bei keinen usenkunen aus de Ruheae an! Ge.: L,, J C,, k L L k C ψ,j C

19 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Mittes eine Seitoe wid eine an eine ideaen Sei befestite Masse abwäts befödet. ei Eeichen de Geschwindikeit v 0 wid die Roe duch einen staen Hebe abebest, inde de Hebe een die otieende Scheibe edückt wid. Es sei µ de Geiteibunskoeffizient und µ 0 de Genzhaftunskoeffizient zwischen de Hebe und de Scheibe. a R F (a) Man bestie die Kaft F so, daß das Sste in eine voeebenen Zeit T nach Eineifen de ese zu Stistand kot. (b) Weche Stecke et die Masse wähend des esvoans zuück? b J (c) Mit weche Mindestkaft uß an de Hebe ezoen weden, u das Sste i Geichewicht zu haten, nachde es zu Ruhe ekoen ist? Ge.: a, b,,, R,, v 0, T, J, µ, µ Zwei übe Seie vebundene Räde weden it eine anehänten Gewicht bescheunit. Seie und Uenkoe seien asseos, die Seie undehnba und ie staff. Die Räde stehen a einn de eweun sti und utschen danach ie (kein eines Roen). Ge.:, J, µ,, h,,j µ,j µ h (a) Geben Sie die escheuniun de Massenittepunkte de Räde as Funktion de Zeit an. (b) Geben Sie die Winkeeschwindikeit des inken und des echten Rades zu de Zeitpunkt an, an de sich das Gewicht u die Höhe h aus de Ruheae abesenkt hat. (c) Weche Wete daf de Reibbeiwet µ annehen, dait die nnahe efüt ist, daß die Räde ie utschen? 56. Eine Kue de Masse fiet it eine Geschwindikeit v 0. Sie epodiet in zwei Teie. Die Einzeteie haben die Massen 1 bzw. 2. Sie fieen it den Geschwindikeiten v 1 bzw. v 2 unte den Winken α 1 bzw. α 2 zu uspünichen Fuichtun auseinande. Die Richtunen α 1 und α 2 sowie die Geschwindikeit v 1 des einen Teis unitteba nach de Eposion weden eessen. estien Sie die Massen de Teie und die nicht eessene Geschwindikeit v 2! v 0 v 1 1 α 1 α2 2 v 2 Ge.:, v 0, α 1 = π 2, α 2, v 1

20 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Zwei utos stoßen unte eine Winke α zusaen und utschen ineinande vekeit (ohne Rotation) nach de Zusaenstoß it bockieten Räden eine Stecke X R, bis sie zu Stistand koen. 1 α X R β Ge.: Massen und Geschwindikeitsbetäe de utos vo de Zusaenstoß: 1, v 1, 2 und v 2 Reibbeiwet bei Rutschen µ Winke vo de Stoß α 2 (a) In weche Richtun utschen die utos nach de Zusaenstoß? (b) Wie an ist die Rutschstecke X R? (c) Ein Gof 1 = 1000k und ein Mecedes 2 = 2000k stoßen unte α = 45 zusaen. De Gof hat seine eweunsichtun bei Zusaenpa u β = 30 eändet. us de Rutschstecke konnte die Geschwindikeit de ineinande vekeiten utos unitteba nach de Zusaenstoß bestit weden, sie betu 20 s. Wie schne waen die utos vo de Zusaenstoß? 58. ei seh kuzen Landebahnen (z.. auf Fuzeutäen) weden Kettensstee einesetzt, u andende Fuzeue abzubesen. U einen Einduck von den Voänen bei Landen zu ehaten, soen die foenden einfachen eechnunen duchefüht weden. Das daestete Fuzeu habe die Masse F und bei Einkinken de Ketten die Geschwindikeit v 0. eide Ketten haben die Läne L und die Masse po Einheitsäne µ. Es wede anenoen, dass die einzenen Ketteniede schaati aus de Ruhezustand in den beweten Zustand it de Geschwindikeit v übeehen. Reibun und Effekte senkecht zu Zeichenebene weden venachässit. (a) estien Sie die eziehun zwischen We und Geschwindikeit v fü das andende Fuzeu. Weche Geschwindikeit v E hat das Fuzeu in de Moent, in de das etzte daestete Gied de beiden Ketten bewet wid? (b) estien Sie den zeitichen Veauf von Geschwindikeit v und We. Liteatu: [5, S , S ] 59. us eine anfänich uhenden oot weden zwei schwee Steine hoizonta nach hinten ewofen. Das oot hat die Gesatasse 0 (einschießich de Steine), die Steine haben die Massen 1 und 2. Die Reibun des ootes so venachässit weden. Die bwufeschwindikeit (eativ zu oot) sei w. Wie oß ist die Geschwindikeit des ootes nach de bwefen, wenn (a) die beiden Steine eichzeiti, bzw. (b) zuest die Masse 1 und dann die Masse 2 ewofen weden? Ge.: 0, 1, 2, w v 0 2 L v

21 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Ein Sei de Läne L it de Masse M iet auf de oden. Nun so es an eine Ende hochezoen weden. Weche Kaft H ist nöti, u dieses Ende it de konstanten escheuniun a nach oben zu heben? Es so anenoen weden, daß das Sei bis zu oden ie senkecht hänt. H Ge.: L, M, a Zwei Pesonen it den Massen 1 und 2 aufen auf eine Scheibe it Massentäheitsoent Θ S äns zweie konzentische Keise it den ahneschwindikeiten v 1 und v 2. Die Scheibe ist dabei in Ruhe. Mit weche Winkeeschwindikeit otiet die eibunsfei und zentisch eaete Scheibe, wenn beide Pesonen pötzich stehenbeiben? Θ S 2 v 2 2 O v Ge.: 1, 2, Θ O = Θ S, 1, 2, v 1, v Eine Kue fiet it eine Geschwindikeit v 0. Zu Zeitpunkt t = t 0 zepatzt sie in dei Teie. e Geschwindikeitsvektoen ieen in eine Ebene. Deen Daufsicht ist anbei skizziet. v 3 3 v 0 0 Ge.: 0, α = π 6, β = π 2, v 0, v 1 = 2 3v 0, v 2 = 4 3 3v0, v 3 = 8 3 3v0 β α α 2 v 2 (a) estien Sie die Massen de dei Teie. (b) Wievie echanische Eneie hat das esate Sste bei Zepatzen insesat aufenoen, wenn 0 = 6 (sechs Ga) und v 0 = 10 s? 1 v Eine Kue ( 2 ) stößt it de Geschwindikeit v 0 een einen fei beweichen uhenden Kotz ( 1,J S ). Nach de Stoß ist die Geschwindikeit de Kue nu. a (a) Wie oß sind die Winkeeschwindikeit ω des Kotzes und die Geschwindikeit seines Schwepunkts v S,n nach de Stoß? (De Stoß kann nicht as idea eastisch anenoen weden.) (b) eechnen Sie fü den Fa eines idea eastischen Stoßes und J S = 1 2 1a 2 das Vehätnis de Massen 1 / 2! v 0 1,J S 2 Ge.: 1, 2, J S, a, v 0

22 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Eine Masse 1 tifft it eine eastischen Stoß auf ein Pende. ( 2, Θ 2, Schwepunkt S) (a) estien Sie die Winkeeschwindikeit des Pendes nach de Stoß. (e.: a) (b) estien Sie die Läne a so, daß i Lae keine Käfte infoe des Stoßes aufteten. Ge.: 1, v 1, 2, Θ 2, s Liteatu: Ezentische Stoß: [5, bschnitt 3.3.3] S. 145ff 65. Eine sich it v 1 beweende Kue tifft auf eine sich it v 2 beweende Unteae. Eitte die Winkeeschwindikeit Ω de Kue nach de in tanentiae Richtun eastischen Stoß. Ge.: 1, J C 1,, 2, v 1 = v 1 e n, v 2 = v 2 e t, S 1 v 1 1,J1 C e n 2 e t 2,Θ 2 s a v 1 v Eine Kue de Masse und des Radius tifft it de Geschwindikeit v unte eine Winke α auf eine stae Patte. estie die Geschwindikeiten ˆv und ˆω sowie den Winke β nach de Stoß unte den foenden veeinfachenden nnahen: De Stoß senkecht zu Wand sei idea eastisch.,θ C ˆω ˆv (a) De Stoß tanentia zu Wand sei idea eastisch. (b) De Stoß tanentia zu Wand sei vo pastisch. v α β (c) Die Kue eitet an de Wand ohne Reibun (kein Stoß in tanentiae Richtun) Ge.:, Θ C,, v, α Liteatu: Zu zentischen Stoß siehe [5] bschnitt 2.5 (S. 86ff). In [5, bschnitt 3.3.3] wid de ezentische Stoß und auf S. 149ff de Fa des ein pastischen Tanentiastoßes behandet. 67. Eine Kue de Masse 2 stößt itti een einen uhenden hooenen Wüfe it de Dichte ρ, de an eine as asseos anzusehenden Stab befestit ist. (a) eechnen Sie die Winkeeschwindikeit des Wüfes unitteba nach de ufpa. De Stoß sei idea eastisch. J S und 1 sind as bekannt anzunehen. Ge.:, v 0, J S, 1, 2 (b) Leiten Sie das Massentäheitsoent J S des Wüfes u seinen Schwepunkt aus de aeeinen Foe fü das Massentäheitsoent eines beiebi efoten staen Köpes ab. Ge.: ρ,

23 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Zwei Kuen teffen wie skizziet aufeinande. Vo de Stoß ist die Masse 1 in Ruhe und 2 bewet sich it de Geschwindikeit v 2, beide Kuen dehen sich nicht. eechnen Sie die Geschwindikeiten de Kuen nach de Stoß unte de nnahe, daß diese idea eastisch ist und nu eine Noakoponente besitzt ( atte Kuen). 2 2 v 2 e n 1 et Ge.: 1, 2, v 2, 1, 2 1 Liteatu: Zentische Stoß: [5] bschnitt 2.5 (S. 86ff). 69. Eine Masse, die von eine Faden ehaten wid, bewet sich it de Winkeeschwindikeit ω 0 auf eine atten Ebene it de bstand 0 von eine Loch. Die Masse hänt an eine Faden, de duch das Loch efüht ist und it de Kaft S 0 ehaten wid. ω 0 e ϕ 0 e S 0 0 (a) Wie oß ist die Winkeeschwindikeit ω 1, wenn de Faden so weit anezoen wid, dass sich die Masse anschießend i bstand 1 bewet? (b) Wie ändet sich hiebei die Fadenkaft? Ge.: ω 0, 0, 1, S 0 Liteatu: [5, bschnitt 2.3 Moentensatz, S. 80], zu Fadenkaft siehe bschnitt 1.14 Ebene eweun, Poakoodinaten, S. 20 [5] 70. Ein dünne hooene Stab it Masse und Läne ist i Punkt eibunsfei dehba aufehänt. E wid aus de Lae ϕ = 0 ohne nfanseschwindikeit oseassen. In de Lae ϕ = π 2 wid e von eine Punktasse M die sich hoizonta it de Geschwindikeit v 0 bewet an seine Ende etoffen. Die Punktasse beibt i Pendeköpe stecken. (a) eechnen Sie ω = ϕ(ϕ = π 2 ) des Pendeköpes unitteba vo de Stoß. (b) eechnen Sie ω + = ϕ(ϕ = π 2 ) des Pendeköpes it de Punktasse M unitteba nach de Stoß. (c) Nehen Sie an, de Pendeköpe it de Punktasse schät zuück (ω + < 0). Weche edinun uss eten dait diese Fa eintitt? Wie oß ist dann die iniae usenkun ˆϕ des Pendes nach de Stoß? Dabei uss de in ufabentei (b) bestite Wet fü ω + nicht einesetzt weden. Ge.: M,,,, v 0 ϕ S, v 0 M

24 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Eine dünne hooene eichseitie Deiecksscheibe de Dicke t stößt it de Spitze een eine uhende Kue. Die Kue fiet enau in senkechte Richtun zu vodeen Kante de Scheibe we. De Stoß sei idea eastisch. 3 3 Hinweis: o () = o () (a) estien Sie das Massentäheitsoent de Scheibe u ih Lae! (b) eechnen Sie die Geschwindikeit de Kue unitteba nach de Stoß! Ge.:, t, ρ,, ω 0, v 0 = Eine Kue de Masse 1 ot aus de Höhe H heab een einen Kasten (Leeasse 2 ) und beibt dain stecken. Duch den ufpa utscht de Kasten eine schiefe Ebene hinauf. Zu einn waen Kue und Kasten in Ruhe. (a) eechnen Sie it de Eneieehatunssatz die Geschwindikeit de Kue bei ufteffen auf den Kasten! (b) estien Sie die Geschwindikeit des Kastens it de dain steckenden Kue unitteba nach de ufpa (Venachässien Sie das von de Kue auf den Kasten übetaene Moent)! (c) eechnen Sie it de beitssatz weche Stecke L de Kasten bis zu Stistand zuücket! H 1,J S eines Roen µ 2 L α Ge.: 1, J S = ,, 2, H, α, µ,, 73. Eine Punktasse bewet sich zu Zeitpunkt t 0 = 0 it de Geschwindikeit v 0 keisföi it de Radius R auf eine Scheibe. Zwischen de Scheibe und de Punktasse titt Reibun auf, so dass die Punktasse auf de Keisbahn abebest wid und zu Zeitpunkt t 1 uht. e ϕ v 0 e R µ eechnen Sie den Zeitpunkt t 1 an de die Punktasse zu Ruhe kot. Ge.:,R,µ,v 0,

25 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Eine dünne hooene Scheibe (Radius, Masse ) ist i Punkt P fei dehba duch ein Kueeenk eaet. I Punkt Q stößt etwas senkecht zu Scheibe (in -Richtun) daeen. U weche chse deht sich die Scheibe unitteba nach de ufpa? eabeite dazu zunächst die foenden Teiaufaben! P Q (a) eechne den Dehipus(-vekto) bezüich P eine Punktasse, die senkecht zu Scheibenebene i Punkt Q een die Scheibe stößt vo und nach de ufpa (Masse und Geschwindikeiten seien eeben). (b) eechne den Massentäheitsoententenso de Scheibe bezüich P. z (c) Die Dehun de Scheibe u eine beiebie duch P ehende chse wid duch den Vekto de Winkeeschwindikeit ω chaakteisiet. eechne den Dehipus(-vekto) de Scheibe bezüich P bei voeebene ω. Ge.:, 75. n eine Einde eines übe eine Roe efühten Seies sitzt ein ffe (1) uhi. Ein eich schwee ffe (2) kettet it de Reativeschwindikeit u = konst. an de andeen Seiende epo. Θ a Das Lae sei eibunsos, dann beibt fü das Gesatsste das Ipusoent ehaten. estien Sie die bsoutschwindikeiten beide ffen und die kinetische Eneie des Sstes. Ge.: u, Masse eines ffen, Täheitsoent Θ und Radius a de Roe (1) (2) Liteatu: [5] bschnitt 2.2 Schwepunktsatz S.76ff, bschnitt 2.3 Moentensatz S.80ff 76. Zu Eittun de Stoßziffe ε wid de skizziete Vesuch duchefüht: Ein Kotz it de Masse eitet eibunsfei eine schiefe Ebene hinunte. I bstand 0 vo Stoßpunkt beinnt die eweun aus de Ruhe. Nach de Stoß eeicht de Kotz den aiaen bstand 1. Ge.: 0 = 1, 1 = 0,64, 0 1 α estien Sie ε! Liteatu: [5] bschnitt 2.5 Zentische Stoß (S. 86ff)

26 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Eine Hozkue de Masse wid aus de Höhe h 0 übe eine festen Unteae aus de eichen Hoz oseassen. Die Kue eeicht bei Rückpa die einee Höhe h 1. Die ufabe ist in foenden Schitten zu beabeiten. (a) Leiten Sie zunächst die Foe e = v 1 v 2 v 1 v 2 fü den zentischen, teieastischen Stoß zweie Köpe he. Ekäen Sie ae Foezeichen. (b) Nun so das einans beschiebene Pobe beabeitet weden. Die Höhen h 0 und h 1 wuden eessen. eechnen Sie daaus die Stoßzah e. (c) Geben Sie eine ekusive und eine epizite Foe zu eechnun de Rückpahöhe h i nach de iten Stoß an. Liteatu: [5, S ] 78. Geeben ist eine nodnun it zwei staen Köpen de Massen M, vebunden it c eine asseosen, undehnbaen Sei, weches übe eine Roe M (eibunsfei dehba, Radius, µ = 0 Massentäheitsoent Θ (S) ) efüht wid und übe eine Fede c (entspannt fü = 0) it de Uebun vebunden ist. Das Sste setze sich aus de Ruhe heaus von,,ϕ = 0 in eweun. (a) estien Sie die Zusaenhäne ẏ(ẋ) und ϕ(ẋ). ϕ Haften Θ (S) (b) estien Sie ẋ() it de beits- bzw. de Eneiesatz (fas anwendba). (c) Fü weches = ˆ kot das Sste wiede zu Ruhe? Ge.: M,, Θ (S),, c, 79. Ein Sste, bestehend aus eine aken und zwei Roen an den akenenden, füht eine ebene eweun aus. ekannt ist die waaeechte Geschwindikeitskoponente v s des akenittepunktes und de Steunswinke β. estie die kinetische und potentiee Eneie des Sstes! Ge.:, 1, 3, 1, J 1 = 2 2 1, 2, J 2 = 2 3 2, 3, J 3 = 2 2 3, v s, β S asseos

27 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite eechnen Sie an de twoodschen Faaschine veittes des Eneiesatzes die Geschwindikeit de zwei Massen in bhänikeit de usenkun. Das Sei sei hiebei as asseos und dehnsta anzusehen, die Scheibe as täheitsos. Geeben:, M,. M M Ein Köpe de Masse wid noa zu Schweefed de Ede u die Stecke d bewet. Zeien Sie, daß ausehend vo Newtonschen Gesetz F = a fü die kinetische Eneie fot, wenn fü die beit dw = F d it. T = 1 2 v2 82. Eine Punktasse wid a Punkt duch eine u s espannte Fede abeschossen. Die Punktasse äuft eibunsfei von übe nach C. b de Punkt C hescht Geiteibun. (a) Wie oß ist die Geschwindikeit de Punktasse i Punkt und C? H c s L µ = 0 µ C β a D N.N. (b) Wie an ist de eswe L? Ge.: a,β = 30,c,,H,,µ = 0.6, s. 83. I nebenstehend skizzieten Sste titt kein Schupf auf, die Reibun wid venachässit. (a) Das ntiebsoent sei M 1 := M a. estien Sie it de beitssatz die Geschwindikeit ż(z) de Masse an jede beiebien Stee z! (b) estien Sie das ntiebsoent M b (M 1 = M b ), bei de die Masse aia die Höhe z b eeicht! (c) estien Sie duch beiten nach de Zeit eine ineae eweunsdiffeentiaeichun fü z(t). Ge.: J S,,, c, M a, z b,, z(0) = ż(0) = ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0) = ϕ 3 (0) = 0, Dehfede entspannt bei ϕ 1 = 0

28 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Zwei Massen sind übe eine Roe iteinande vebunden. (a) Fü weche Wete des Hafteibbeiwetes µ 0 kann sich die Masse 2 nach unten in eweun setzen? (b) eechnen Sie unte Vewendun des beitssatzes die escheuniun de Masse 2. (c) Nachde die Masse 2 a oden auftifft, bewet sich die Masse 1 weite und kot an ihe höchsten Punkt zu Stistand. Wechen We L hat die Masse 1 insesat zuückeet? Tip: beitssatz 1 α 2 Θ S µ,µ h Ge.: 1, 2, Θ S, 1, 2, (µ 0 ), µ,, h, α Liteatu: [5, S ] 85. Ein Skateboade öchte it seine Skateboad duch ein Loopin fahen. estien Sie die Mindesthöhe h, bei de de Skateboade aus de Ruhe staten kann, dait e das Loopin voständi duchäuft. De Skateboade wid as Punktasse de Masse ideaisiet. Dissipation (Eneieveust) titt nicht auf. Ge.:,, R. 86. Eine zindeföie Waze ( 2 ) schiebt einen Kotz ( 1, Geiteibkoeff. µ) auf eine schiefen Ebene vo sich he. Die Waze und de Kotz teffen auf eine Fede und dücken diese bis zu Maiabeta f zusaen. Die schiefe Ebene besteht aus zwei unteschiedichen Mateiaien it den Geiteibkoeffizienten µ 1 und µ 2. uf de esten Mateia ot die Waze, auf de zweiten Mateia eitet sie. Wie oß uß v 0 sein, dait die Fede u die Läne f zusaenedückt wid? Ge.: 1, 2, f, α, µ 1, µ 2,, 1, 2, c, α 2 1 h v0 R 1 2 f µ µ c

29 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite uf eine auhen schiefen Ebene it de Winke α befindet sich eine Punktasse i Edschweefed. n ih wikt wie daestet eine Kaft F 0, und zusätzich wid sie von eine Wind it v 0 = konst. anebasen. (a) Stee it Hife des beitssatzes die eweunseichun auf. α F 0 µ v 0 (b) eechne die Kaft F 0 die nöti ist, dait sich die Masse it de konstanten Geschwindikeit ẋ = v 0 bewet. Ge.: α, µ,,, k, v Eine Kue (Radius, Masse, Massentäheitsoent Θ S ) ot i Schweefed außen auf eine keisföien Fühun (Radius R) hinab. Ihe eweun beinnt bei ϕ = 0 it de hoizontaen Geschwindikeit des Schwepunkts v 0. Ge.:, R,, Massentäheitsoent bezoen auf den Schwepunkt Θ S = 2 5 2,, v 0. (a) Geben Sie den Eneiesatz zwischen ϕ = 0 und beiebie ϕ an, und bestien Sie v 2 (ϕ). Tipp: Die Kue hat tansatoische und otatoische Eneie. (b) Schneiden Sie die Kue fei, und bestien Sie die Noakaft zwischen Kue und Fühun abhäni von ϕ fü den Speziafa, dass die nfanseschwindikeit Nu ist, d.h. v 0 = 0. Tipps: (R + ) ϕ = v, Schwepunktsatz in e -Richtun. (c) Fü wechen Winke ϕ veässt die Kue die Fühun fü diesen Speziafa? 89. Die Stane 1 eitet ohne Reibun an de inken Wand ab. Zwischen de Stane und de Rad 2 wikt das konstante Reiboent M R. estien Sie it Hife des beitssatzes die Geschwindikeit des Punktes zu de Zeitpunkt, an de die Stane enau waaeecht ist. Dabei so anenoen weden, daß de Punkt it de Wand in Kontakt beibt. Ge.:, L,, 1, J S 1 = L 2, 2, J 2 = , M R = konst., nfansbedinunen: ϕ(0) = π 6, ϕ(0) = 0 R ϕ v 0 ω 0 e e ϕ,θ S eines Roen NN

30 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite I skizzieten ebenen Sste so die Reibun venachässit weden. Das anteibende Moent M 0 sei konstant, die Dehfede bei ϕ(t=0) = 0 entspannt. (a) Steen Sie den beitssatz fü das Sste auf zwischen de nfanszustand it ϕ(t = 0) = ϕ(t = 0) = 0 und eine beiebien späteen Zustand, de duch den Winke ϕ(t) chaakteisiet wid. Diese Geichun so auße ϕ(t) und ϕ(t) keine Unbekannten enthaten. (b) estien Sie daaus die Winkeeschwindikeit ϕ(t 1 ) in de Moent t 1, in de das Stabende E eade duch den Koodinatenuspun eht! (c) Wie oß uß das Moent M 0 indestens sein, dait das Stabende E den Koodinatenuspun übehaupt eeicht. Ge.:, c,, M 0,, J S 91. Ein Massepunkt bewet sich eibunsfei auf de skizzieten Unteae. uf de ebenen Tei de ahn betät seine Geschwindikeit v 0. v 0 ϕ (a) ei weche Winke ϕ 1 hebt de Massepunkt von de Unteae ab? (b) Wie hoch üßte die Geschwindikeit v 0 indestens sein, dait de Massepunkt beeits bei ϕ 2 = 0 abhebt? Geeben:,,, v Daestet ist eine einfache Sotieaschine, die Güte it Hife eine eibunsbehafteten schiefen Ebene in este und zweite Wah aufteit. Ein beite et die Waen je nach Quaität obehab bzw. untehab eine Makieun auf die Rape. In weche bstand a zu Ende de Rape uß die Makieun anebacht weden? α h a µ b Ge.: b, h, α,, µ, Liteatu: [5, S , S ]

31 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Ein Kotz de Masse eitet auf de daesteten ahn von 0 übe und nach C und zuück bis nach D. I Punkt 0 habe e die Geschwindikeit v 0. De Geiteibunskoeffizient zwischen und sei µ, übea sonst eich Nu. De Luftwidestand so venachässit weden. ei C ist eine Fede (Fedesteifikeit k) befestit. ist de bstand bis zu nscha bei entspannte Fede. 0 h 0 h 1 N.N. Vewenden Sie den beits- und/ode Eneiesatz. D v 0 α b µ β k C (a) estien Sie die Geschwindikeiten des Kotzes, wenn e die Punkte und das este Ma passiet. (b) estien Sie die aiae usenkun de Fede s. (c) is zu weche Höhe h 1 eitet de Kotz zuück? Ge.: α, β,, v 0, h 0,, b, k, µ, Liteatu: [5, S , S ] 94. Ein Pende de Läne und Masse wid aus de Winkeae ϕ 0 (Lae 1) eenübe de Vetikaen oseassen. ei ϕ = 0 wid das Pende i Punkt P ueenkt. estien Sie den aiaen Winke ϕ bis zu de das Pende eposteit (Lae 3), wenn OP = /2 it! Ge.:,,, OP = /2, ϕ 0 = ϕ 0 P Ein Seefuschüe öchte seinen Fuehe beeinducken und it de höchstzuässien Geschwindikeit v ne knapp übe den oden eiten. In weche Fuhöhe H uß e it de Manöve beinnen, wenn e vohe it de Mindesteschwindikeit v in fiet? nnahen: α F W H (a) Venachässien Sie den Luftwidestand. (b) eücksichtien Sie (as bschätzun) eine konstante Widestandskaft F W auf eine eadinien Fuwe unte eine Winke α zu Hoizontaen. Ge.: = 270k, v in = 60k/h, v ne = 190k/h, F W = 400N, α = 45 Liteatu: [5, S , S ]

32 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Ein Motosee (bfuasse ) habe bei einekappte Tiebwek ein Geitvehätnis von ǫ = 1:35, das heißt auf eine Geitstecke von 35 veiet e bei konstante ahneschwindikeit 1 an Höhe. Weche effektive Leistun P eff uß das Tiebwek ebinen, u den Motosee bei eine konstanten Geschwindikeit v i Hoizontafu zu haten? Ge.: = 400k, ǫ = 1:35, v = 108k/h 97. eechne unte Vewendun des beitssatzes die escheuniun ẍ 2 de Masse 2. Geitfu ohne Moto Fu it Moto actan(e) z 1 Ge.: 1, 2, Θ C 2, d, D, µ, α ,Θ C µ α d D 98. Eine aus zwei Teischeiben it den Radien 1 und 2 bestehende Scheibe ( 1,Θ S 1 ) ot an eine festen Wand auf de Radius 1 ab. Die vetikae eweun des Scheibenschwepunkts S 1 wid duch die Koodinate (abwäts positiv), die Dehun de Scheibe duch den Winke ϕ beschieben. uf de Radius 2 ot die Scheibe auf eine vetika eibunsfei efühten Stane de Masse 2 ab. Die eweun des Stanenschwepunkts S 2 wid duch die Koodinate z (aufwäts positiv) beschieben. 2 z c S 2 S 1 1 c ϕ 2 1,Θ S 1 De Tansationsbeweun von Scheibe und Stab wikt jeweis eine asseose Fede (Fedekonstante c) enteen, die fü = z = 0 entspannt sind. Das Sste setzt sich aus de nfansae = z = ϕ = 0 ohne nfanseschwindikeit aufund de Schwekaftwikun in eweun. (a) estien Sie ϕ(ẋ) und ż(ẋ) und daaus ϕ() und z(). (b) eechnen Sie die kinetische und potentiee Eneie in de nfansae sowie in eine aeeinen Lae. estien Sie daaus it de Eneieehatunssatz die Geschwindikeit ẋ(). (c) Fü diesen ufabentei it: 2 1 = 2. n weche Stee Ruhe kot das Sste estas wiede zu Ruhe? estien Sie übe das Vozeichen von Ruhe eine edinun fü das Massenvehätnis 1 2, so dass sich die Scheibe aus de nfansae abwäts in eweun setzt. Ge.: 1, 2, 1, 2, c,, Θ S 1 =

33 Mechanik II Pof. Popov SS 09 Seite Ein Tuspine, ideaisiet as Massenpunkt de Masse, spint unte eine Winke α it de Geschwindikeit v 0 von eine Spunbett ab, das sich in de Höhe H übe de Wasseobefäche des Spunbeckens befindet. Wähend des Fues wid de Spine vo Geenwind eine Kaft W = konst. aufepät. (a) Stee it Hife des Eneiesatzes die eweunseichun fü den Massenpunkt auf! (b) estie die ahnkuve in de Fo = (t) und = (t)! (c) eechne die Fuzeit t e bis zu Eeichen de Wasseobefäche! (d) n weche Stee e = (t e ) taucht die Masse ins Wasse ein, wenn α = 0 wa? (e) Wie oß daf die Windkaft W höchstens sein, dait de Spine das ecken eade noch tifft? H α v 0 1 W Ge.: H, α,, v 0, W, Edbescheuniun 100. Ein Waen ( 2 ) scheppt einen Kotz ( 1, Geiteibkoeffizient µ) auf eine schiefen Ebene. De Waen sebst bewet sich eibunsfei, seine nfanseschwindikeit bei ist v 0. ei bockieen die Räde des Waens, de Geiteibkoeffizient ist dann ebenfas µ. Wie oß uß v 0 sein, dait die Fede u die Läne f zusaenedückt wid? Ge.: 1, 2, µ, α, f, 1, 2, c, Edbescheuniun Liteatu: [5, S , S ] 101. Ein Waen it de Masse hat i Punkt die Geschwindikeit v und ot dann veustfei duch eine Senke. n de Stee C steht ein Rabock it de Fedekonstanten c. 1 2 v0 1 2 f µ α c v h c (a) Weche Geschwindikeit hat de Waen i Punkt? (b) Wie weit hat sich die Fede des Rabocks i Punkt C zusaenedückt, wenn de Waen bei C zu Stistand kot? C Ge.:, v, c, h, Edbescheuniun