2.17 Verspannte Quantenfilme

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1 .7 Verannte Quantenfilme Baut man Heterostrukturen aus Materialien mit unterschiedlicher Gitterkonstante auf, so kann unterhalb einer kritischen Schichtdicke die Gitterfehlanpassun durch elastische Verannun aufefanen werden (siehe Abb..7.). Diese Gitterverzerrun in uniaxialer ichtun führt zu einer Änderun der Bandstruktur. Abbildun.7.: Links: Eine Schicht aus einem Material mit einer Gitterkonstanten a0 wird zwischen zwei Schichten mit Gitterkonstanten a einebracht. arallel zur Schicht passt sich die Gitterkonstante der Zwischenschicht dem Substrat an, senkrecht dazu verrößert sich die Gitterkonstante. Zur Beschreibun der Verannun definiert man einen Verannunskoeffizienten dies ist der relative Unterschied der Gitterkonstanten von Substrat und aufebrachtem Material, bezoen auf die natürliche Gitterkonstante des Schichtmaterials: a a mat Sub (.7.) amat mit a sub = a als Gitterkonstante des Substratmaterials. Bei Druckverannun (compressive strain) ist ε>0, bei Zuverannun (tensile strain) ist ε<0. Den Einfluss der Verannun auf die Bandstruktur eines Materials kann weiter in einen isotropen Druckanteil (Volumen der Einheitszelle ändert sich) und einen uniaxialen Verzerrunsanteil (kubische Einheitszelle wird quaderförmi) zerlet werden. Der Druckanteil bewirkt eine Änderun der Bandlücke (Verrößerun bei kompressiver Verannun, Verkleinerun bei tensiler Verannun), der uniaxiale Anteil reduziert die Symmetrie und bewirkt eine Aufaltun der entarteten Valenzbänder am Γ-unkt. Durch die soenannte kp-störunstheorie können die Änderunen der Bandlückenenerien in der ähe des Γ-unktes berechnet werden. Daraus ereben sich Enerieverschiebunen der Bandkanten und damit Änderunen in den optischen Überansenerien zwischen Leitunsband und Schwer-, Leicht- bzw. Spin-Bahnabealtenem Band. Abb..7. zeit die Auswirkunen von Verannun auf die eneretische Lae der Bänder

2 Abbildun.7.: Auswirkun von Verannun auf die Bandstruktur eines Halbleiters. Link: Zuverannun, rechts: Druckverannun. Die Enerie des Leitunsbandes ändert sich um H, die des HH/LH Valenzbandes um H-H. elevant ist allerdins vor allem die Änderun der Bandlücke, die sich um H ändert. Der isotroper Druckanteil und der uniaxiale Verannunsanteil hänen über die Deformationotentiale und Komponenten des Elastizitätstensors vom Verannunskoeffizienten ab C C Isotroper Druckanteil: H a (.7.a) C C C Uniaxialer Verannunsanteil: S b (.7.b) C Werte für Deformationotentiale und Elastizitätsmodule von wichtien Halbleitern sind in der folenden Tabelle aufeführt:

3 Die Änderun der Bandlücken für Leitunsband-Schwerloch, Leitunsband-Leichtloch und Leitunsband - lit-off Band Überäne sind wie folt: E hh = H-S E lh = H+S- E SO = H++ mit S / ist der eneretische Abstand zwischen HH/LH Band und dem slip-off Band. eben der Verschiebun der Bänder ändern sich bei Verannun die effektiven Massen der Ladunsträer. Aufrund des Symmetriebruchs muss man nun die effektiven Massen parallel zur Schicht und senkrecht etrennt betrachten. In Abb..7. ist die Auswirkun von kompressiver Verannun auf die Diersion der Valenzbänder darestellt. Durch die Verannun wird z.b. das schwere Loch parallel zur Schicht leichter und senkrecht dazu schwerer. Abbildun.7.: Diersion des HH/LH Valenzbänder ohne Verstpannun (links) und bei kompressiver Verannun (rechts) Konsequenzen für Halbleiterlaser Durch die Aufhebun der Entartun von Schwer- und Leichtlochband ist die Emission des Lasers eindeuti polarisiert. Wir erinnern uns an Abschnitt.3 (Auswahlreeln für optische Überäne). Für Quantenfilme liefert der Leitunsband Schwerlochüberan nur Verstärkun für TE polarisiertes Licht, der Leitunsband Leichtlochüberan vor allem Verstärkun für TM polarisiertes Licht. Ween der Aufaltun der Valenzbänder ist in verstpannten Quantenfilmen nur ein Valenzband für den Laserbetrieb relevant. Kompressiv verannte Quantenfilme => Leitunsband Schwere Löcher => TE olarisation Zuverannte Quantenfilme => Leitunsband Leichte Löcher => TM olarisation Die Aufhebun der Entartun hat neben der eindeutien Festleun der olarisation noch einen weiteren Vorteil: Sie verrinert die Zustandsdichte im Valenzband und damit den Schwellenstrom des Lasers. Warum ist das so? Eine notwendie (allerdins nicht

4 hinreichende) Bedinun für das Anschwinen des Lasers ist der durch Gleichun.9.5. festelete Mindestabstand der Quasi-Fermienerien. Dieser muss rößer als die Enerie des optischen Überans sein. Betrachtet man einen unepumpten Laser, so lieen beide Quasi- Fermienerien unefähr in der Mitte der Bandlücke bei der leichen Enerie. Erhöht man nun die Ladunsträerdichte im Quantenfilm, so schieben die Quasi-Fermienerien in ichtun der Bänder. Aufrund der Ladunsneutralität (n=p) und der kleineren Zustandsdichte im Leitunsband schiebt die Quasi-Fermienerie der Elektronen allerdins viel schneller als die Quasi-Fermienerie der Löcher. Verrinert man die Zustandsdichte der Löcher (z.b. durch Verannun), so erhält man für die leiche Ladunsträerdichte einen rößeren Abstand der Quasi-Fermienerien. Die Laserbedinun EF E EG wird daher bei einer kleineren Ladunsträerdichte (und damit bei einer kleineren Stromdichte) erreicht. Am besten wäre ein Material mit leichen Elektronen- und Lochmassen, sowie nur einem Valenzband. Durch die Verannun des Quantenfilms kann man diesem Idealfall ein Stück weit näher kommen, da durch die Aufhebun der Entartun nur ein Valenzband am Laserbetrieb beteilit ist. Weiterhin werden schwere Löcher durch kompressive Verannun in der Ebene des Quantenfilms (die ist relevant für die Zustandsdichte) leichte (siehe Abb..7.):.8 Spontane ekombination Wir hatten in Abschnitt.0 einen Zusammenhan zwischen der Verstärkun und der ontanen Emissionsrate in die Lasermode hereleitet (Gleichun.0.4): ' v n V (.8.) Spontane Emission in die Lasermode ist allerdins nur ein sehr kleiner Anteil der esamten ontanen Emission. Für die esamte ontante Emissionsrate müssen wir über alle Moden, in die ontan emittiert wird, summieren. Für die esamte ontante Emission in einem Frequenzinterval dv eribt sich damit: d v ' ( h ) n n Moden (.8.) Moden Moden V V v mit emittelten Werte für die Gruppeneschwindikeit v, die Verstärkun und das Modenvolumen V. Bei der Mittelun der Verstärkun muss die olarisationsabhänikeit der Verstärkun berücksichtit werden: TE TM 3 (.8.3) Diese Mittelun ist vor allem für Quantenfilme relevant, für Volumenmaterial ist TM TE. Die Anzahl der Moden kann über die Zustandsdichte der hotonen bestimmt werden: ( V d (.8.4) Moden hot ) - 8 -

5 Die Zustandsdichte der hotonen in einem Medium mit Brechunsindex n und Gruppenindex n ist: 8 hot ( ) n n 3 (.8.5) c Diese Zustandsdichte der hotonen taucht auch im lanck schen Strahlunsesetz auf: 3 8h 8 ( ) hv E ( ) ( ) ( ) 3 h / kt 3 h / kt hoton hot fboseeinstein (.8.6) c e c e Hier ist natürlich n=n =. Das rodukt aus den drei Faktoren: Enerie pro hoton, Dichte der Zustände und deren Besetzunswahrscheinlichkeit eribt die Eneriedichte in einem Hohlraum. Für die esamte ontane Emissionsrate eribt sich damit: hot ( vn (.8.7) h ) Durch Einsetzen des Ausdrucks für erhalten wir schließlich: 4ne 3 h c m 0 0 h M T hot ( ) f ( f ) (.8.8) M T ist das emittelte Matrixelement für TE/TM polarisierte Überäne..9 ichtstrahlende ekombination a) ekombination an Defekten (Shockley-ead-Hall ekombination) Die Konzentration von Verunreiniunen und Fehlstellen kann durch moderen Epitaxieverfahren auf einen sehr kleinen Wert reduziert werden. ekombination kann allerdins auch an Dotieratomen stattfinden, die natürlich in (elektrisch epumpten) Halbleiterlasern vorhanden sind. In erster äherun ist die ekombinationsrate an Derekten proportional zur Ladunsträerdichte: Defekt = A. Eine enauere echnun für Defekte in der Mitte der Bandlücke liefert: pn ni n0( p ni ) p0( n ni ) (.9.) Für n=p>> n i kann man schreiben: pn ni n n n0( p ni ) p0( n ni ) n( n0 p0) n0 p0 (.9.) n0 und p0 sind die Einfanzeiten für Elektronen und Löcher. Ist ein Defekt mit einem Ladunsträer besetzt, so muss erst ein Ladunsträer der enteenesetzen olarität einefanen werden, damit der Defekt wieder für nichtstrahlende ekombination zur Verfüun steht. Die ekombinationsrate ist damit wie in Gleichun.9. zu sehen durch die rößere der beiden Zeitkonstanten bestimmt

6 b) Auer ekombination Bei der Auerrekombination rekombiniert ein Elektron aus dem Leitunsband mit einem Loch aus dem Valenzband. Die freiwerdende Enerie wird an ein weiteres Elektron übertraen, das die Enerie durch Emission von hononen an das Gitter abibt. Je nach Art der beteiliten Ladunsträer unterscheidet man verschiedene Auer rozesse, von denen drei in Abb..9. darestellt sind. Abbildun.9.: Darstellun von drei verschiedenen Auer rozessen im Banddiaramm. Die vier zur Kennzeichnun verwendeten Buchstaben repräsentieren die vier am rozess beteiliten Teilchen, so sind z.b. beim CHHS rozess ein Elektron (C), zwei Löcher aus dem Schwerlochband (H) und ein Loch aus dem abealtenen Band (S) beteilit. Die Überanswahrscheinlichkeit hänt von der Besetzun der Zustände ab. Für den CCCH- rozess kann man ansetzen: f f f )( f ) (.9.3) 3 C C ( V 3 C 4 In Boltzmann äherun kann man für die Verteilunsfunktionen schreiben: f C ( E EF, C ) / kt ( E EC ) / kt e e (.9.4a) C ( EF, V E) / kt ( ECV E) / kt fv e e (.9.4b) V Damit wird aus (.9.3) ( E E E3 ) / kt 3 e (.9.5) C V Die Es sind die eneretischen Abstände der beteiliten Zustände zu den Bandkanten, so ist z.b. E = E - E C. Zustand (4) liet sehr weit oben im Leitunsband und ist damit mit sehr roßer Wahrscheinlichkeit nicht besetzt, man kann daher ( f C 4) = setzten. Aus diesem Grund taucht E 4 nicht in Formel.9.5 auf

7 Setzt man Ladunsneutralität an (=) und versteckt den Exponentialterm und C, V in einer Konstanten C, so folt aus Gleichun.9.5 die bekannte Formel für die Auerrekombination: 3 Auer C (.9.6) Enerie und Impuls bleiben bei Auerprozessen erhalten, d.h. wir haben für den CCCH rozess die Auswahlreeln: k + k = k 3 + k 4 und E + E = E 4 - (E + E 3 ) (.9.7) Aufrund der Auswahlrelen sind Auerüberäne erst ab einer bestimmten Mindestenerie für E 4 mölich, der soenannten Schwellenenerie E T. So muss sicherlich elten: E 4 E G, sonst ist die Enerieerhaltun nicht zu erfüllen. Aufrund der Impulserhaltun ereben sich zusätzliche Einschränkunen, so können z.b. die Zustände () und (3) nicht direkt übereinander lieen. In diesem Fall müsste man auf das Teilchen im Zustand () Enerie, aber keinen Impuls übertraen, was nicht mölich ist. Für den CCCH rozess eribt sich als Schwellenenerie: E T E m m C H 4 EG (.9.8) mc mh Die Schwellenenerie ist proportional zur Bandlücke des Halbleiters, damit ist Auerrekombination vor allem in Materialen mit kleiner Bandlücke relevant (für Laser mit Wellenläne >.3 µm). Dieser Effekt ist in Abb..9. darestellt. Der Auerkoeffizient steit von µm bis 6 µm Wellenläne um mehr ca. drei Größenordnunen an. Die ealisierun von lanwellien Laser mit > 3 µm wird damit extrem schwieri. Einen Auswe bieten hier soenannten Quantenkaskadenlaser, bei denen die Überäne nicht zwischen Leituns- und Valenzband, sondern zwischen quantisierten Zuständen im Leitunsband stattfinden. Wellenläne (µm) Abbildun.9.: Auer-Koeffizient als Funktion der Wellenläne des optischen Überans in verschiedenen Halbleitermaterialen