21. Strahlenoptik Ebener Spiegel

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Achim Hausler
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1 2. Strahlenoptik Die Strahlenoptik eht von einer eradlinien Ausreitun der Lichtstrahlen aus und erücksichtit nicht die Welleneienschaften des Lichtes. Sie eschreit die Erzeuun von optischen Aildun mit Hilfe von Spieeln und Linsen, also unter Ausnutzun der vorher diskutierten Phänomene Reflexion und Brechun. 2. Eener Spieel Ein Beoachter sieht ein Bild, das hinter der Spieelfläche liet. Da von diesem Bild keine Lichtstrahlen ausehen, nennt man es virtuelles Bild. Geenstand P Beoachter Spieel Bild P

2 Beispiel: Wie roß muss ein Wandspieel sein, damit eine Person der Größe h sich anz darin sehen kann? Hänt dies vom Astand zum Spieel a?

3 2.2 Sphärischer Spieel Wir etrachten einen sphärischen Spieel oder Hohlspieel. Lichtstrahlen, die von einem Geenstand P auf der optischen Achse A ausehen, werden vom Spieel in einen emeinsamen Bildpunkt P reflektiert. Dies stimmt näherunsweise jedoch nur für achsnahe Strahlen (kleine Einfallswinkel). Achsferne Strahlen werden nicht in den Punkt P reflektiert, was zu einem unscharfen Bildpunkt führt. Man nennt diesen Effekt sphärische Aerration. A P (Geenstand) C P (Bild) S

4 Man nennt das Bild P reelles Bild, weil von ihm wirklich Strahlen ausehen. Das Bild ließe sich am Punkt P eoachten, wenn man dort eine Mattscheie aufstellt. Dies ist ei virtuellen Bildern nicht mölich. Die Aildunsleichun Wir etrachten einen Lichtstrahl, der vom Punkt P unter dem Winkel α zur optischen Achse auseht und vom Hohlspieel zum Punkt P reflektiert wird. P α C β θ θ P γ r l

5 Für die auftretenden Winkel ilt: In der Näherun für kleine Winkel ilt: woraus durch Einsetzen folt: γ α β θ α γ γ θ α θ α β β θ α ) ( ) ( r l l l γ β α r 2

6 Falls die Geenstandsweite roß ist een den Krümmunsradius, also >> r, ilt: 2 r r 2 Dies ist die Brennweite f des sphärischen Hohlspieels: f 2 Daraus folt also, dass Lichtstrahlen, die von sehr weit entfernten Ojekten ausehen, im Brennpunkt F des Hohlspieels vereinit werden, der im Astand f vor dem Spieel liet. Steht der edachte Geenstand im Unendlichen, so fallen die von ihm ausehenden Lichtstrahlen achsenparallel auf den Spieel. Wir fassen dies zu folender Aussae zusammen: r Achsenparallele Strahlen werden im Brennpunkt des Spieels vereinit. Wir erhalten außerdem durch Einsetzen die Aildunsleichun des sphärischen Spieels: f

7 Bildkonstruktion eim Hohlspieel Der achsenparallele Strahl verläuft nach der Reflexion durch den Brennpunkt (maenta). Der Brennpunktsstrahl verläuft durch den Brennpunkt und wird dann achsenparallel reflektiert (lau). Der radiale Strahl verläuft durch den Krümmunsmittelpunkt und wird dann in sich selst reflektiert (rot). Der zentrale Strahl ist auf den Scheitelpunkt S des Spieels erichtet und wird unter dem leichen Winkel zur optischen Achse reflektiert (rün). G B S Der Schnittpunkt aller reflektierten Strahlen ildet den Bildpunkt. Dieses Verfahren lässt sich für jeden Punkt des Geenstands durchführen, wodurch man das vollständie Bild B des Geenstands G erhält (lauer Pfeil).

8 Aildunsmaßsta eim Hohlspieel Wir etrachten nur den zentralen Strahl: G B θ θ Der Aildunsmaßsta ist das Verhältnis aus Bildröße B zu Geenstandsröße G. Es ilt: G tanθ B

9 Vorzeichenkonvention für Reflexion am Spieel Im folenden leen wir die Vorzeichen für die Geenstands-, Bild- und Brennweite für die Reflexion am Spieel fest: Geenstandsweite : positiv, wenn der Geenstand vor der reflektierenden Fläche steht neativ, wenn der Geenstand hinter der reflektierenden Fläche steht Bildweite : positiv, wenn das Bild vor dem Spieel ist (reelles Bild) neativ, wenn das Bild hinter dem Spieel ist (virtuelles Bild) Brennweite f und Krümmunsradius r: positiv für konkave Spieel (Hohlspieel) neativ für konvexe Spieel (Wölspieel)

10 Befindet sich der Geenstand zwischen Spieel und Brennpunkt F, dann existiert kein Schnittpunkt der reflektierten Strahlen. Es entsteht also kein reelles Bild sondern ein virtuelles Bild am Ort, wo sich die rückwärtien Verlänerunen der reflektierten Strahlen schneiden. C G B F Aus der Aildunsleichun erhält man für die Bildweite : f f f Die Bildweite ist also kleiner null falls < f, wie in der Vorzeichenkonvention für virtuelle Bilder festelet.

11 Wir kommen nun nochmal auf den Aildunsmaßsta zurück. Aus der Vorzeichenkonvention folt, dass für den Aildunsmaßsta V elten muss: Das Vorzeichen it an, o das Bild aufrecht steht (positiver Aildunsmaßsta) oder umedreht ist (neativer Aildunsmaßsta). Wie wir esehen haen, erhalten wir für reelle Bilder eine positive Bildweite. Diese stehen auf dem Kopf, es handelt sich also um einen neativen Aildunsmaßsta. Umekehrt stehen virtuelle Bilder aufrecht, ihr Aildunsmaßsta ist positiv, da die Bildweite in diesem Fall neativ ist. Im Spezialfall eines eenen Spieels sind der Krümmunsradius und damit die Brennweite unendlich. Wir erhalten aus der Aildunsleichun: f V Es handelt sich also um ein aufrechtes, virtuelles Bild hinter dem Spieel, woei die Bildröße leich der Geenstandsröße ist. B G V

12 Sphärischer Wölspieel F C Die am Wölspieel reflektierten Lichtstrahlen schneiden sich nicht, es entsteht daher ein virtuelles Bild hinter dem Spieel. Dies folt auch aus der Aildunsleichun: f f f Da die Brennweite f nach der Vorzeichenkonvention eim Wölspieel neativ ist, folt daraus, dass die Blidweite eenfalls neativ sein muss, das Bild ist also virtuell.

13 2.3 Aildun durch Brechun Wir ehandeln nun Bilder, die durch Brechun erzeut werden. Dies wird schließlich auf das wichtiste optische Element führen, die Linse. Wir etrachten zwei optische Medien mit Brechunsindizes n und n 2, die durch eine sphärische Oerfläche voneinander etrennt sind. Der vom Punkt P auf der optischen Achse ausehende Lichtstrahl trifft unter dem Winkel α auf die Oerfläche und wird unter dem Winkel α 2 zum Lot hin erochen. Es entsteht ein reeller Bildpunkt P auf der Transmissionsseite. Für Ein- und Ausfallswinkel ilt nach dem Brechunsesetz von Snellius: n α n 2 α 2 P r C P n sinα n2 sinα 2 Daraus lässt sich für kleine Winkel folender Zusammenhan herleiten: n n2 n n2 r

14 Vorzeichenkonvention für Bilderzeuun durch Brechun Geenstandsweite : positiv, wenn der Geenstand vor der rechenden Fläche steht neativ, wenn der Geenstand hinter der rechenden Fläche steht Bildweite : positiv, wenn das Bild hinter der rechenden Fläche ist (reelles Bild) neativ, wenn das Bild vor der rechenden Fläche ist (virtuelles Bild) Brennweite f und Krümmunsradius r: positiv, wenn der Krümmunsmittelpunkt auf der Transmissionseite ist neativ, wenn der Krümmunsmittelpunkt auf der Einfallsseite ist Beachten Sie, dass die Bildweite für reelle Bilder wieder positiv ist, wie ei der Reflexion. Bei der Reflexion liet das reelle Bild jedoch vor dem Spieel, während es ei der Brechun hinter der rechenden Fläche liet.

15 Aufrund der Lichtrechun an der Wasseroerfläche erscheinen uns Geenstände im Wasser in einer erineren Tiefe, als sie wirklich sind. Es ilt der ekannte Zusammenhan: n n2 n n2 r Für Brechun an einer eenen Oerfläche ist der Krümmunsradius unendlich, woraus folt: n n 2 0 n n 2 Die Bildweite ist neativ, es entsteht also ein virtuelles Bild. Für n > n 2 ist der Betra der Bildweite kleiner als die Geenstandweite, der Geenstand erscheint für einen Betrachter also näher an der Wasseroerfläche. n 2 n

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