21.4 Linsen. Entscheidend für die Funktion einer Linse ist daher, dass die beiden Oberflächen zueinander gekrümmt sind. α 1. α 2. n 1.

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1 21.4 Linsen Eine Linse ist ein optisches erät, dessen unktion au dem Brechungsgesetz beruht. Dadurch erährt der Lichtstrahl eine Richtungsänderung beim Ein- und Austritt. Die Oberlächen von Linsen sind im allgemeinen sphärisch geormt. Der Krümmungsradius und der Brechungsindex des Materials, aus dem die Linse besteht, bestimmt die Brechungseigenschaten der Linse. Betrachten wir zunächst den Strahlengang beim Durchgang durch eine planparallele lasplatte. Eine solche lasplatte ist gewissermaßen eine Linse mit unendlichem Krümmungsradius au beiden Seiten. Nach dem Brechungsgesetz von Snellius hat der ausallende Strahl die gleiche Richtung wie der einallende Strahl, die Strahl ist lediglich parallel verschoben. Entscheidend ür die unktion einer Linse ist daher, dass die beiden Oberlächen zueinander gekrümmt sind. α 1 n 1 α α 2 2 α 1 n 2 n 1

2 Wir unterscheiden zwischen konvex geschlienen Sammellinsen und konkav geschlienen Zerstreuungslinsen. Wenn der Krümmungsradius der sphärischen Oberläche groß ist gegen die Dicke der Linse, so spricht man von einer dünnen Linse. In diesem all kann man eine vereinachte Bildkonstruktion vornehmen, indem man annimmt, dass die Brechung in einer einzigen Ebene, der Hauptebene der Linse erolgt. Sammellinse Zerstreuungslinse Hauptebene

3 ällt ein achsenparalleles Strahlenbündel au eine Sammellinse, so werden die Strahlen zum Brennpunkt au der Transmissionsseite okussiert. Achsenparallele Strahlen, die au eine Zerstreuungslinse treen, werden von der optischen Achse weg gebrochen. Ihre rückwärtigen Verlängerungen vereinigen sich im Brennpunkt au der Einallsseite. Neben der Brennweite benutzt man zur Charakterisierung einer Linse auch die Brechkrat D, die als der Kehrwert der Brennweite deiniert ist: 1 D Einheit : [ D] 1 m 1 1 dpt (Dioptrie) Brennebene einer Sammellinse Jedes parallel einallende Strahlenbündel wird in einen Punkt in der Brennebene okussiert. Die Brennebene ist die zur Hauptebene parallel verlauende Ebene, die die optische Achse im Brennpunkt schneidet. (Speziell: das achsenparallele Strahlenbündel wird in den Brennpunkt okussiert.) Hauptebene Brennebene

4 Bildkonstruktion bei der Sammellinse ür die Bildkonstruktion bei der Sammellinse gelten olgende Regeln: Der Mittelpunktstrahl, der durch den Schnittpunkt von Hauptachse und optischer Achse verläut, wird nicht gebrochen. Der achsenparallele Strahl wird durch den jenseitigen Brennpunkt gebrochen Der Brennpunktstrahl verläut durch den Brennpunkt au der Einallsseite und verlässt die Linse achsenparallel. Der Bildpunkt liegt dann im Schnittpunkt der gebrochenen Strahlen. Mittelpunktstrahl achsenparalleler Strahl g b B Brennpunktstrahl

5 Wir erinnern uns an die Deinition des Abbildungsmaßstabes: V B b g sowie an die Abbildungsgleichung: 1 1 g + 1 b b g g und diskutieren drei mögliche älle ür die Sammellinse: 1) g > 2-1 < V < 0, b > 0 reelles, verkleinertes, umgedrehtes Bild 2) < g < 2 V < -1, b > 0 reelles, vergrößertes, umgedrehtes Bild 3) 0 < g < V > 1, b < 0 virtuelles, vergrößertes, aurechtes Bild

6 Bildkonstruktion der Zerstreuungslinse Bei der Zerstreuungslinse gibt es au der Transmissionsseite keinen Schnittpunkt der gebrochenen Strahlen. Es gibt also kein reelles Bild, sondern es entsteht ein virtuelles Bild am Ort, wo sich die rückwärtigen Verlängerungen der gebrochenen Strahlen treen. Der Mittelpunktstrahl verlässt die Linse ohne Richtungsänderung. Der achsenparallele Strahl wird so gebrochen, dass seine rückwärtige Verlängerung durch den Brennpunkt au der Einallsseite läut. Der au den Brennpunkt au der Transmissionsseite gerichtete Strahl verlässt die Linse achsenparallel.

7 Abbildungsehler Linsen weisen bestimmte Abbildungsehler au, die prinzipieller Natur sind und auch bei perekter Herstellung der Linsen autreten. Achsenerne Strahlen werden nicht in einem einzigen Brennpunkt okussiert, sondern näher an der Linse. Man bezeichnet dies als sphärische Aberration. Sie kann vermindert werden, indem man achsenerne Strahlen ausblendet, man verliert dann jedoch an Lichtstärke. Da der Brechungsindex leicht von der Wellenlänge abhängig ist, kommt es in der Linse zur Dispersion. Die verschiedenarbigen Anteile des weißen Lichts werden also nicht in den selben Punkt okussiert. Diesen Eekt bezeichnet man als chromatische Aberration. Beide Eekte lassen sich durch Verwendung von Korrekturlinsen weitgehend beheben.

8 22. Optische Systeme 22.1 Das Auge Die Augenlinse unktioniert wie eine Sammellinse, die das einallende Licht au die Netzhaut okussiert. Der Abstand zwischen Linse und Netzhaut beträgt etwa 25 mm, dies entspricht der maximalen Brennweite der Linse. Objekte, die im Unendlichen stehen (paralleler Lichteinall) werden also au die Netzhaut okussiert. Beindet sich der egenstand näher am Auge, kann die Brennweite der Linse durch Anspannung des Ziliarkuskels verkleinert werden, um ein schares Bild au der Netzhaut zu erzeugen (Akkomodation). Der minimal Abstand, bei dem dies möglich ist, ist die deutliche Sehweite s 0, die bei jedem Mensch anders ist und vom Alter abhängt. Als Bezugswert werden s 0 25 cm estgelegt. Das Objekt beindet sich dann am so genannten Nahpunkt.

9 Weitsichtigkeit Weitsichtigkeit liegt vor, wenn nur weit enternte egenstände schar wahrgenommen werden können. Die Lichtstrahlen, die von näher am Auge liegenden egenständen ausgehen, können von der Augenlinse nicht ausreichend gebrochen werden und werden hinter der Netzhaut okussiert. Diese Sehstörung kann durch eine Sammellinse ausgeglichen werden.

10 Kurzsichtigkeit Das kurzsichtige Auge kann weit enternte egenstände nicht schar wahrnehmen, da selbst die völlig entspannte Augenlinse eine zu große Brechkrat hat. Die Lichtstrahlen werden vor der Netzhaut okussiert. Kurzsichtigkeit kann durch eine Zerstreuungslinse ausgeglichen werden.

11 Sehwinkel Die röße, mit der ein egenstand vom Auge wahrgenommen wird, ist durch die röße des Bildes au der Netzhaut gegeben. Wir können dies durch den so genannten Sehwinkel ε ausdrücken. Je näher ein egenstand gegebener röße sich am Auge beindet, umso größer ist das Bild au der Netzhaut und damit der entsprechende Sehwinkel. 25 mm ε 1 ε 2 ε 1 B 1 g 1 ε 2 B 2 ür kleine Winkel gilt: ε B 25mm bzw. ε g B 25mm g

12 22.2 Die Lupe Eine Lupe dient dazu, kleine egenstände größer wahrnehmen zu können, als dies bei gegebener deutlicher Sehweite der all wäre. Beindet sich der egenstand am Nahpunkt, also in einem Abstand vom Auge, der der deutlichen Sehweite s 0 entspricht, dann ergibt sich der maximale Sehwinkel ε 0, unter dem der egenstand vom bloßen Auge noch schar wahrgenommen werden kann: ε 0 s 0 Lupe ε ε ε 0 ε 0 s 0 Eine Lupe ist eine Sammellinse mit Brennweite. Hält man eine Lupe vor das Auge und bringt den egenstand in ihre Brennebene, so werden die vom egenstand ausgehenden Lichtstrahlen von der Lupe in parallele Lichtbündel gebrochen, und erscheinen dem Auge als virtuelles Bild, das im Unendlichen steht. Dieses Bild kann vom Auge mühelos abgebildet werden.

13 Der Sehwinkel, unter dem der egenstand mit Verwendung der Lupe wahrgenommen wird, ist dann ε Man deiniert die Vergrößerung v L einer Lupe mit Brennweite als den den Sehwinkel ε unter Verwendung der Lupe geteilt durch den Sehwinkel ε 0, unter dem der egenstand im Abstand der deutlichen Sehweite mit bloßem Auge wahrgenommen werden kann: ε s 0 vl ε 0 Die Vergrößerung ist nicht zu verwechseln mit dem Abbildungsmaßstab V B/ -b/g, der eine Kenngröße der Linse ist. Die Vergrößerung ist bezogen au die durchschnittliche Leistungsähigkeit des bloßen Auges, der eine Konvention zugrunde liegt, nämlich die deutliche Sehweite s 0. In der Praxis können höhere Vergrößerungen erzielt werden, wenn der egenstand näher an die Linse herangebracht wird. Dann erscheint der egenstand dem Auge aber nicht mehr im Unendlichen, das Auge muss akkomodieren.

14 22.3 Das Mikroskop Ein Mikroskop dient dazu, sehr kleine egenstände ür das Auge sichtbar zu machen. Ein Mikroskop ist im einachsten all ein System von zwei Sammellinsen. Der egenstand beindet sich dicht vor dem Brennpunkt der ersten Sammellinse, dem so genannten Objektiv. Das Objektiv erzeugt ein reelles Zwischenbild B am Ort der Brennebene der zweiten Sammellinse, dem Okular. Objektiv Ob β t β B Okular Ok Das Okular unktioniert wie eine Lupe, durch die das reelle Zwischenbild betrachten werden kann. Da das Zwischenbild in der Brennebene des Okulars steht, treen die vom Zwischenbild ausgehenden Lichtstrahlen als parallele Lichtbündel au das Auge des Betrachters, das Bild erscheint dem Betrachter also aus dem Unendlichen stehend und kann mühelos von der Augenlinse au die Netzhaut abgebildet werden.

15 Den Abstand zwischen der Brennebene des Objektivs und der Brennebene des Okulars bezeichnet man als die Tubuslänge t des Mikroskops. Ein typischer Wert ist t 16 cm. ür das Objektiv gilt: tan β Ob B t Damit olgt ür den Abbildungsmaßstab des Objektivs: V Ob B t Ob ür die Vergrößerung des Okulars (Lupe) gilt: v Ok s 0 Ok Daraus erhält man die Vergrößerung des Mikroskops: v M V Ob v Ok t Ob s 0 Ok

16 Beispiel zum Mikroskop: Die Brennweite des Objektivs betrage Ob 1,2 cm, die Brennweite des Okulars Ok 2 cm. Der Abstand der beiden Linsen beträgt 20 cm. Wie groß ist die Vergrößerung des Mikroskops? Die Tubuslänge t ist der Abstand der Brennebenen von Objektiv und Okular, also t 20cm Ob Ok 20cm 1, 2cm 2cm 16, 8cm Damit ergibt sich ür die Vergrößerung v M t s Ob 0 Ok 16, 8cm 25cm 1, 2cm 2cm 175