Versuche P1-31,40,41. Vorbereitung. Thomas Keck Gruppe: Mo-3 Karlsruhe Institut für Technologie, Bachelor Physik Versuchstag: 8.11.

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1 Versuche P1-31,40,41 Vorbereitung Thomas Keck Gruppe: Mo-3 Karlsruhe Institut für Technologie, Bachelor Physik Versuchstag:

2 1 Vorwort Für den Versuch der geometrischen Optik gibt es eine Fülle an Material, welches es galt durchzuarbeiten. In dieser Vorbereitung kann nur ein kleiner Teil dargestellt werden. Ich habe mich deshalb auf die für die eigentliche Aufgaben im Praktikum wesentliche Teile beschränkt, infolgedessen konnten auch nicht alle verwendeten Begriffe vollständig definiert werden, bei Unklarheiten wird auf die Literatur zum Versuch verwiesen. Formeln und Gesetzmäßigkeiten werden weiterhin normalerweise ohne Herleitung angegeben werden, da dies den Rahmen der Vorbereitung bei Weitem sprengen würde. 2 Allgemeine Begriffe der geometrischen Optik 2.1 Lichtausbreitung In der geometrischen Optik werden Strukturen betrachtet die wesentlich größer sind als die Wellenlänge des betrachteten Lichtes. Hauptarbeitsmittel ist die Vorstellung des Lichtstrahles welcher sich geradlinig ausbreitet und nur an Grenzflächen zu anderen Medien gebrochen und reflektiert wird. Es gelten folgende Gesetze: Reflektionsgesetz α e = α a (1) Snelliussche Brechungsgesetz n alt sin α e = n neu sin α a (2) Grenzwinkel Totalreflexion sin α g = n neu n alt (3) Alle Winkel werden dabei gegen das Lot auf die Grenzfläche gemessen. Der Brechungsindex n hängt vom Medium und von der Wellenlänge des Lichtes ab (Dispersion). Der Lichtweg ist in der geometrischen Optik umkehrbar. 2.2 Linsen Man unterscheidet sphärische und asphärische Linsen. Sphärische Linsen werden von Kugeloberflächen begrenzt. Hier unterscheidet man ganz grundlegend 3 Formen: konvex, plan und konkav. Linsen besitzen eine sogenannt Brennweite f, dies ist der Abstand der Hauptebene zu dem Punkt in dem sich die Lichtstrahlen von parallel auf die Linse einfallendem Licht kreuzen. Bei konkaven Linsen muss man die Lichtstrahlen dabei rückwärtig verlängern, und erhält so eine negative Brennweite! Dicke Linsen besitzen 2 Hauptebenen, dies sind die Ebenen in der Linse an denen einfallende Strahlen scheinbar gebrochen werden, oder wie es die Wikipedia ausdrückt:,,unter den Hauptebenen eines optischen Systems versteht man den äquivalenten Ort der Brechung von Lichtstrahlen, die achsparallel in das System einfallen. Hieran wird auch deutlich, dass der Begriff nicht nur auf dicke Linsen beschränkt ist, sondern man auch von Hauptebenen ganer optischer Systeme sprechen kann. Bei dünnen Linsen fallen die beiden Hauptebenen mit der Mittelebene zusammen. 2

3 Abbildung 1: Linsenarten Abbildung 2: Brennweite einer dünnen Linse 3 Brennweiten Bestimmung Folgende Formeln werden der Literatur entnommen: Brennweite einer dicken Linse in Luft f = 1 n 1 nr 1 r 2 (4) n(r 2 r 1 ) + d(n 1) Brennweite einer dünnen Linse in Luft f = 1 ( 1 n 1 1 ) 1 (5) r 1 r 2 ( 1 Brennweite zweier dünner Linsen f = + 1 ) 1 (6) f 1 f 2 3

4 Sei a der Abstand zum Objekt und a der Abstand zum Bild des Objektes hinter der Linse, so gilt folgende Abbildungsgleichung Abbildungsgleichgung 1 a + 1 a = 1 f (7) Um im Experiment die Brennweite einer Linse mithilfe eines Maßstabes zu ermitteln benutzt, man nun einfach die obige Formel 7. Die obigen Formeln benutzen außerdem gewisse Näherungen, die sich später z.b. in der sphärischen Abberation bemerkbar machen. 3.1 Besselsches Verfahren zur Brennweitenbestimmung Auf einer optischen Bank mit Basislänge a und a > 4f gibt es genau 2 Positionen für eine Linse mit Brennweite f, an denen ein Gegenstand G in sein Bild B scharf auf einen Schirm abgebildet wird. Diese beiden Positionen x 1 und x 2 werden nun mehrmals bestimmt. Abbildung 3: Besselsches Verfahren Über den Mittelwert der beiden Größen erhält man deren gemittelten Abstand e, die Brennweite erhält man dann über: f = a2 e 2 4 a (8) Das Verfahren erlaubt eine präzise Bestimmung der Brennweite auch bei dicken Linsen. Dabei muss die Lage der Hauptebenen der Linse nicht bekannt sein. Ferner kann man über eine Fehlerrechnung auch den Fehler der Brennweitenbestimmung erhalten. 3.2 Sphärische und chromatische Abberation Um die bei der Berechnung der Brechung auftretenden trigonometrischen Funktionen zu vermeiden, wird oft in erster Näherung das Paraxialgebiet der Linse betrachtet indem gilt sinα α. Das Snelliussche Brechungsgesetz wird hier zu: Brechungsgesetz für das Paraxialgebiet n α = n α (9) (10) 4

5 Weiterhin werden infolge der Dispersion Lichtwellen unterschiedlicher Wellenlänge unterschiedlich stark gebrochen, dieser Aspekt wird jedoch bei der Berechnung von Brennweiten und der Angabe der Brechzahl n normalerweise nicht berücksichtigt. Da diese Näherungen in der Wirklichkeit nicht immer erfüllt sind, kommt es zur sogenannten sphärischen Abberation: Achsenparallel einfallende Strahlen werden im Randgebiet der Linse stärker gebrochen als die Näherung 9 angibt, dadurch schneiden sich nicht alle vom Objekt kommenden Strahlen in einem gemeinsamen Brennpunkt und es kommt zu einer unscharfen Abbildung. chromatischen Abberation: Durch die Disperion werden kurzwellige Lichtstrahlen stärker gebrochen als langwellige, für verschiedenen Wellenlängen gibt es also leicht unterschiedliche Brennweiten, es entstehen unscharfe, farbige Ränder bei der Abbildung von nicht monochromatischem Licht. Abbildung 4: chromatische Abbertion 3.3 Abbesches Verfahren zur Brennweitenbestimmung Das Abbesche Verfahren hat gegenüber dem Besselschen den Vorteil, dass es sich auch auf Linsensysteme anwenden lässt und man die Lage der Hauptebenen ebenfalls darüber erhält. Das Linsensystem wird dabei starr auf einer optischen Bank befestigt und der Gegenstand mit Größe G und der Schirm so positioniert dass eine scharfe Abbildung der Größe B erhält. Der Abstand des Linsensystems (mit einem beliebigen Bezugspunkt) zum Gegenstand x und der Abstand zum Schirm y werden dabei ebenfalls mit protokolliert. Dieser Schritt wird mehrmals wiederholt, sodass man eine Messreihe für die Größen x, y, B erhält. ( x = f 1 + G ) + h (11) B ( y = f 1 + B ) + h (12) G 5

6 Über diese Formeln kann man mithilfe einer linearen Regression über die vorhandene Messreihe nun die Brennweite f des Linsensystems, sowie die Lage der gegenstandsseitigen bzw. bildseitigen Hauptebenen (vom Bezugspunkt aus gesehn) h bzw. h ermitteln. 4 Aufbau optischer Instrumente 4.1 Keplersches Fernrohr Das Keplersche Fernrohr besteht aus einem Objektiv (1) mit Brennweite f 1 welches ein weit entferntes Objekt (4) (a ) in seine Brennebene abbildet. Das nachfolgende Okular (2) wirkt nun als Lupe für dieses Bild. Abbildung 5: Keplersches Fernrohr Es ergibt sich für die Winkelvergrößerung des keplerschen Fernrohres Γ = f Objektiv f Okular (13) Es bleibt hier zu erwähnen, dass das entstehende Bild (6) natürlich auf dem Kopf steht. Die Baulänge des Fernrohres entspricht gerade der Summe der Brennweiten der beiden Linsen. 4.2 Galileisches Fernrohr Das Galileische Fernrohr besitzt den gleichen Aufbau wie das Keplersche Fernrohr, nur wird hier anstelle einer Sammellinse eine Zerstreuungslinse als Okular verwendet, ies reduziert die Baulänge des Fernrohrs. Die Winkelvergrößerung ergibt sich hier zu: Γ = f Objektiv f Okular (14) 6

7 4.3 Projektionsapperat Ein Projektionsapperat besteht aus einer Lichtquelle, die über einen Kondensor gesammelt und auf ein Diabild projektziert wird. Über eine Sammellinse, die als Objektiv dient wird das Objekt auf einen Schirm vergrößert abgebildet. Dies ist im Prinzip gerade die Umkehrung des Objektivs des Keplerschen Fernrohres, da der Lichtweg umkehrbar ist! Abbildung 6: Diaprojektor Die genauen Abbildungsverhältnisse kann man mit der Formel 7 errechnen, die bereits im Abschnitt Brennweiten Bestimmung behandelt wurde. 4.4 Mikroskop Das Mikroskop übernimmt jeweils gewisse Prinzipien von den vorherigen beiden optischen Geräten. Das Präperat wird von unten beleuchtet, wie beim Projektor kommt hier ein Kondensor zum Einsatz, und das Bild wird über ein Objektiv auf die Feldlinse abgebildet. Der obere Teil des Mikroskops (Okular) wirkt nun wie im keplerschen Fernrohr als Lupe und,,zoomt das Präperat an den Beobachter über dem Mikroskop heran. Die erreichte Vergrößerung ist dabei das Produkt aus der Vergrößerung des Objektivs V Ob, multipliziert mit der Vergrößerung des Okulars V Ok. d sei dabei der Abstand vom Objektiv zur Brennebene des Okulars. V = V Ob V Ok (15) V Ob = d f Ob f Ob (16) V Ok = 25cm f Ok (17) Durch das einfügen von weiteren Linsen die wie Lupen wirken, könnte man das Bild weiter vergrößern, allerdings begrenzen Abbildungsfehler (Abberation) und Beugungserscheinungen die maximal nutzbare Vergrößerung 7

8 Abbildung 7: Mikroskop Abbildungsverzeichnis 1 svg svg Method.gif aberration_convex.svg svg Aus der Literatur zum Versuch geometrische Optik htm

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