Laden und Entladen eines Kondensators

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1 Universität Potsdam Institut für Physik und Astronomie Grundpraktikum E5 Laden und Entladen eines Kondensators Bei diesem Versuch werden Sie mit dem zeitlichen Verlauf der Spannungen und Ströme beim Aufund Entladen eines Kondensators vertraut gemacht. Aufgaben 1. Es ist der zeitliche Verlauf der Spannung beim Auf- und Entladen eines Kondensators über einen Widerstand punktweise aufzunehmen. 2. Mit Hilfe eines Oszilloskops sind der zeitliche Spannungs- und Stromverlauf gleichzeitig darzustellen. 3. Die Zeitkonstanten der RC-Kombinationen sind nach verschiedenen Methoden zu bestimmen. Zubehör 1 Gleichspannungsquelle, 1 Digitalmultimeter, 1 Umschalter, 1 Kondensator (im µf-bereich), 1 Hochohmwiderstand (im MΩ-Bereich), 1 akustischer Taktgeber, 1 Stoppuhr, 1 RCL-Meßbrücke. Zusätzlich für die oszillografische Aufnahme der Lade- und Entladekurven: 1 Oszilloskop, 1 Rechteckgenerator, 1 Kondensator (im nf-bereich), 1 Widerstand (im kω- Bereich). 1

2 Grundlagen Abb.1: Schaltung zur Aufnahme des zeitlichen Verlaufs von Spannung und Stromstärke beim Auf- und Entladen eines Kondensators. Die Schaltung nach Abb.1 ermöglicht das Laden (Schalterstellung 1) bzw. Entladen (Schalterstellung 2) eines Kondensators. Für das Laden gilt nach der 2. Kirchhoffschen Regel (Maschensatz): U 0 U R = 0. (1) Der Ladestrom fließt durch den in Reihe zum Kondensator C geschalteten Widerstand R: I = U R R (2) und transportiert Ladungen zum Kondensator I := dq Mit Q= C folgt I = d C (3) 2

3 Einsetzen von (2) und (3) in (1) ergibt die (inhomogene) Differentialgleichung d 1 RC = 1 RC U 0 Zunächst wird die Lösung der homogenen Differentialgleichung. (4) d 1 RC = 0 (5) gesucht. Hiermit wird das Entladen des Kondensators (Abb. 1, Schalterstellung 2) beschrieben. Die Lösung ergibt den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator t = U 0 e 1 RC t. (6) Für den zeitlichen Verlauf der Stromstärke beim Entladen ergibt sich hieraus I t = I 0 e 1 RC t mit I 0 = U 0 R. (7) Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (4) beschreibt den Spannungsverlauf am Kondensator während des Ladevorgangs: t = U 0 1 e 1 RC t. (8) Daraus folgt für den Ladestrom I t = I 0 e 1 RC t. (9) Die durch die Gleichungen (8) und (6) beschriebenen Ein- und Ausschaltvorgänge werden in Abb.2 dargestellt 3

4 Abb.2: Zeitverlauf der Spannung am Kondensator beim Entladen. Bei der Schalterstellung 1 liegt am Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung = 0 V an; die Spannung am Kondensator erhöht sich während des Ladevorgangs gemäß (6) auf t = U 0. Die Stromstärke erreicht im Einschaltmoment ihren Maximalwert und nimmt dann zeitlich nach U = U 0 t ab und geht für t U 0 gegen Null. In Schalterstellung 2 entlä sich der Kondensator über den Widerstand. Die Spannung am Kondensator nimmt entsprechend (5) exponentiell mit wachsender Zeit ab. Der Strom fließt beim Entladen in entgegengesetzter Richtung zum Ladestrom. Sein Betrag ist im Umschaltmoment (t = 0) maximal und nimmt ebenfalls exponentiell ab. In allen Strom- und Spannungsfunktionen I(t) bzw. U(t) tritt eine Exponentialfunktion der Form e t RC auf. Das Produkt RC := τ heißt Zeitkonstante der Schaltung. Zur Zeit t = τ haben daher I(t) und U(t) etwa 63% ihres Endwertes erreicht bzw. sind auf etwa 37% des Anfangswertes abgefallen. Neben der Zeitkonstante gibt man auch oft die Halbwertszeit T 1/ 2 an, die mit der Zeitkonstante durch die Beziehung T 1 / 2 = ln2 0,693 verknüpft ist. Zur Zeit T 1 / 2 haben dann U(t) und I(t) 50% ihres Endwertes erreicht bzw. sind auf 50% ihres Anfangswertes abgefallen. 4

5 Versuchsdurchführung Siehe Platzanweisung! Versuchsauswertung Zu 1. Zu 3. Die Funktionen U(t) für die Auf- und Entladung werden grafisch dargestellt. a) Die Zeitkonstanten τ und die Halbwertszeit T 1/ 2 sind für beide Teilexperimente jeweils aus R und C zu berechnen. b) Die Halbwertszeit T 1 / 2 ist als Näherungswert aus den Auf- und Entladungskurven zu bestimmen (siehe Abb.2) und mit den aus R und C berechneten Werten zu vergleichen. c) Die Funktionsgleichungen (6) und (8) für den zeitlichen Verlauf der Spannung beim Laden und Entladen sind durch geeignete Umformung (Logarithmieren) zu linearisieren und grafisch darzustellen. Aus dem Geradenanstieg der Trendlinien ist jeweils die Zeitkonstante τ zu ermitteln und wiederum und mit den aus R und C berechneten Werten zu vergleichen. d) τ ergibt sich auch aus folgender Überlegung: Da die Zeitkonstante τ ein Maß für die Aufund Entladezeit ist, erhält man für den Fall t = τ aus (5) die Spannung am Kondensator beim Entladen: = U 0 e 1 Für R, C, τ und T 1 / 2 sind die Meßunsicherheiten anzugeben. Hinweise zur Vorbereitung Definition der physikalischen Größen elektrische Feldstärke, Ladung, Kapazität, Spannung, Stromstärke. Herleitung der Gleichung (1). Linearisierung der Exponentialfunktionen (6) bis (9) durch Logarithmieren Zeitkonstante, Halbwertszeit und ihre Bestimmung. Bestimmung der Kapazität eines Kondensators aus dessen Entladekurve. 5

6 Literatur /1/ Walcher, W.: Praktikum der Physik, Stuttgart /2/ Kuhn, W.: Handbuch der experimentellen Physik, Band 5/I, Aulis 1998 und Band 7, Aulis 2001 /3/ Tipler, P. A., Mosca, G.: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum 2007 /4/ Grehn, J.: Metzler Physik, Hannover