Physikpraktikum für Pharmazeuten Universität Regensburg Fakultät Physik. 6. Versuch: Kondensatorladung und e-funktion

Transkript

1 Physikpraktikum für Pharmazeuten Universität Regensburg Fakultät Physik 6. Versuch: Kondensatorladung und e-funktion

2 1 Einführung Im letzten Experiment hatten wir es mit konstanten Strömen, die durch einen Widerstand, beziehungsweise zwei Widerstände parallel oder in Serie, flossen, zu tun. Dies sind die einfachsten Situationen, die man finden kann. Sehr oft ist es viel komplizierter die Schaltung zu verstehen und zu lösen. Einerseits kann die Konfiguration der Elemente der Schaltung komplexer sein, andererseits können andere Elemente, wie Kondensatoren und Induktivitäten, verbaut sein, deren zeitliche Antwort nicht so trivial ist wie die des Widerstands. Legen wir an einen ohmschen Widerstand ein Spannungssignal U(t) an, so wird die Stromantwort I(t) = U(t)/R(t) sein, woraus folgt, dass U und I zu jeder Zeit proportional zueinander sind. Für einen Kondensator ist das anders. Ein Kondensator ist ein Objekt, das eine Ladung Q ansammeln kann, wenn es mit einer Spannung U aufgeladen wird. Q ist proportional zu U: Q = CU. Die Konstante C ist die Kapazität. Da Q endlich ist, wenn wir die Spannung U 0 einer Batterie anlegen, erwarten wir anfangs einen starken Stromfluss von der Batterie zum Kondensator um diesen mit der Ladung Q 0 = CU 0 aufzuladen. Wenn allerdings das Level Q 0 erreicht ist, gibt es nichts mehr, um den Kondensator weiter aufzuladen, wodurch der Storm stoppen wird. Wir erkennen also, dass dieser Vorgang nicht statisch ist. Obwohl U 0 statisch ist, ist es I nicht. Eine der Aufgaben dieses Versuchs wird es daher sein I(t) präzise zu bestimmen. Die Analyse von Schaltungen mit sogenannten AC Elementen 1 wie Kondensatoren und Induktivitäten geht weit über den Rahmen dieses Praktikums hinaus. In diesem Versuch werden wir als Erstes zu verstehen versuchen wie man die bereits vorherigen Versuch 5 vorgestellten Kirchhoffschen Regeln nutzen kann, um (zumindest im Prinzip) jede beliebig komplizierte generische Schaltung mit einem Widerstand lösen kann. Danach werden wir untersuchen was ein Kondensator aus physikalischer Sicht eigentlich ist. Wir werden die Kirchhoffschen Regeln nutzen um die oben erwähnte Funktion I(t) zu finden, wenn wir einen Kondensator C durch einen Widerstand R laden. Um I(t) zu finden, müssen wir die Differentialgleichung f (t) = af(t) lösen. Das Zeichen steht für die erste Ableitung der Funktion f und a ist eine positive oder negative Konstante (können sie eine mögliche Lösung bereits jetzt erraten?). Solch eine Differentialgleichung taucht sehr oft in vielen Bereichen der Wissenschaft auf (als Beispiele aus der Biologie können die Replikation eines Virus oder die Absorption eines Medikaments in Blut, welche durch die Gleichung bestimmt werden, angeführt werden). 1 Englisch für alterning current (Wechselstrom). 2

3 Daher ist es lehrreich, diese Gleichung bei der Arbeit zu sehen, indem wir einen Kondensator benutzen. Im nächsten Versuch werden wir sogar noch weitergehen. Wir werden den Kondensator nutzen um sogar noch kompliziertere Vorgänge zu modellieren. 3

4 2 Theorie 2.1 Kapazität - Kondensator Ein idealer Kondensator besteht aus zwei Leiterplatten, die sowohl zur Umgebung als auch gegeneinander elektrisch isoliert sind 1. Legt man an einem elektrischen Kondensator eine Spannung an, fließt ein Gleichstrom, der die Kondensatorplatten gegenpolig auflädt: die beiden Platten haben betragsmäßig gleich große, aber ungleichnamige elektrische Ladungen +q und q. Das sich aufbauende elektrische Potential zwischen den Kondensatorplatten lässt im Raum zwischen den Elektroden ein elektrisches Feld E entstehen (Feldlinien laufen von der positiven zur negativen Ladung), dessen Feldstärke der aufgebauten Spannung proportional ist. Die Aufladung folgt solange einer Exponentialfunktion, bis die Spannung an den Elektroden gleich der anliegenden Spannung ist und der Stromfluss zum Erliegen kommt. Dann sperrt der Kondensator den Gleichstromkreis. Die Kapazität C wird in der Einheit Farad (F) angegeben und hängt von der Ladung Q und der Spannung U zwischen den Platten ab: C = Q U (2.1) Zur Berechnung wird nur die Ladung einer Polarität verwendet, da die Ladung der entgegengesetzten Platte durch Influenz hervorgerufen wird und daher symmetrisch ist. Um die Kapazität eines Kondensators zu erhöhen, wird oft zwischen die beiden Platten ein Dielektrikum eingebracht, das eine bessere Isolation als Luft/Vakuum gewährleistet Auf-/Entladung eines Kondensators Die Entladung eines aufgeladenen Kondensator über einen angeschlossenen Widerstand lässt sich mit dem Herausfließen von Wasser aus einem Gefäß vergleichen, das unten ein Loch hat. Der herausfließende Wasserstrom I ist je größer, desto höher der Wasserstand U im Gefäß ist. Das bedeutet, dass der Wasserstrom I (Anzahl der austretenden Wassermoleküle pro Sekunde) mit sinkendem Wasserspiegel (Abnahme von U) immer kleiner wird. Die insgesamt im Gefäß vorhandene Wassermenge Q erhält man, wenn der Wasserstrom I als Funktion der Zeit aufsummiert (integriert) wird: Q = I(t) dt (2.2) 1 In Wirklichkeit gibt es eine große Anzahl von verschiedenen Typen von Kondensatoren. Die Darstellung eines Kondensator als parallele Platten ist nur ein idealisiertes Modell. 4

5 Gleichbedeutend mit dieser Aussage ist, dass der Wasserstrom I aus dem Gefäß die Abnahme dq der Wassermenge Q während eines Zeitintervalls dt ist: I(t) = + dq dt 2.2 Kirchhoffsche Regeln (Wiederholung) (2.3) In Versuch 5 haben wir die zwei Kirchhoffschen Regeln kennengelernt. Wir wiederholen sie hier kurz: Knotenregel. In jedem Knotenpunkt ist die Summe der zufließenden Ströme i in gleich der Summe der abfließenden Ströme i out oder die Summe aller Ströme i in + i out gleich Null (wobei i in > 0 und i out < 0). Siehe Abb. 2.1(a). Maschenregel. In jedem geschlossenem Stromkreis ist die Summe der Quellenspannungen gleich der Summe aller Spannungsabfälle oder die Summe aller Spannungen ist Null (siehe Abb. 2.1(b)). Diese Regel gilt nur in Abwesenheit sich zeitlich veränderlicher magnetischer Felder. (a) i 1 +i 2 -i 3 -i 4 = 0 i 1 i 2 i 3 i 4 (b) A B D (V A -V B )+(V B -V C )+(V C -V D )+(V D -V A )= 0 Abbildung 2.1: a) Knotenregel: In jedem Knotenpunkt ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme oder die Summe aller Ströme ist Null. Merke: Der Knoten selbst kann keine Ladung speichern. b) Maschenregel: In jedem geschlossenem Stromkreis ist die Summe der Quellenspannungen gleich der Summe aller Spannungsabfälle oder die Summe aller Spannungen ist Null. Der graue kreisförmige Pfeil gibt die vorher ausgewählte Betrachtungsrichtung an. Er bestimmt das Vorzeichen der Potentialdifferenzen. So beträgt diese zum Beispiel für den oberen Widerstand V A V B, für den rechten Kondensator V B V C, usw. C 5

6 2.3 Lösung der Differentialgleichung zur Bestimmung von U(t) Zu jedem Zeitpunkt der Kondensatorladung gilt (Abb. 2.2): U C (t) = U R (t) (2. Kirchhoff-Regel) (2.4) und mit I(t) = U R(t) R (Ohm sches Gesetz) (2.5) dq(t) = C du C = C du R (aus C = Q U ) (2.6) erhält man die Differentialgleichung: Die Integration liefert I = dq dt = C du C dt = C du R dt = U R R (2.7) C du R = U R (2.8) dt R 1 du R = 1 dt (2.9) U R RC ln(u R ) = 1 R C t + Konst. U R = e ( 1 R C t Konst.) U R = e ( 1 R C t) e (Konst.) (2.10) In einem weiteren Schritt benennen wir dann erhalten wir eine vereinfachte Form: e (Konst.) U 0, (2.11) U R = U 0 e ( 1 R C t) (2.12) Diese Formel lässt sich noch weiter verkürzen, indem man an dieser Stelle die Zeitkonstante t 0 = R C 6

7 einführt: U R = U 0 e ( ) t t 0 (2.13) Die Anfangsbedingung, dass zum Zeitpunkt t = 0 s die Spannung U R = U 0 sein soll, also U R (t = 0s) = U 0 liefert U R = U 0 e 1 R C t (2.14) mit der Integrationskonstanten U 0 = e Konst. (2.15) I(t) U C (t) U R (t) Abbildung 2.2: Entladung des Kondensators über den Widerstand R: U C nimmt als Funktion der Zeit ab. Dem entsprechend wird auch U R immer kleiner bis zum vollständigen Ladungsausgleich. 2.4 Die Zeitkonstante t 0 aus dem Graphen bestimmen Zunächst lässt sich folgende Anfangsbedingung finden: Zum Zeitpunkt t = 0 nimmt die Spannung einen Wert von U(t) = U 0 an und sinkt dann exponentiell ab. Aus dieser Überlegung heraus, erhält man drei Methoden, die eine Bestimmung der Zeitkonstanten möglich machen. Methode 1: Indem man aus dem Graphen herausliest welcher Wert von t dem Spannungswert von U = U 0 e entspricht. Methode 2: Indem man eine Tangente an U 0 (bei dem Wert t = 0) zeichnet und darüber bestimmt, an welchem Punkt die Tangente die Zeitachse des Graphen schneidet. 7

8 U (V) U 0 U(t)=U 0 e -t/t 0 U 0 /2 U 0 /e 0 t 0 t (s) Abbildung 2.3: In diesem Graphen ist der exponentielle Abfall der Kondensatorspannung in Abhängigkeit der Zeit zu sehen. Um die Zeitkonstante t 0 zu bestimmen, sind die im Text gelisteten drei Methoden möglich. Methode 3: Indem man über QTI-Plot die Kurve des Graphen mit der bestmöglichen Exponentialfunktion fittet. Im QTI-Programm wird dann die Zeitkonstante t 0 und der zugehörige Fehler angegeben. 8

9 3 Versuchsdurchführung In diesem Versuch soll die Abnahme der Spannung über einem Kondensator als Funktion der Zeit gemessen werden, wenn die Kondensatorladung sich über einen angeschlossenen Widerstand entladen kann. Dafür ist folgender Aufbau nötig. 3.1 Messaufbau - die Schaltung Abbildung 3.1: Diese Schaltung besteht aus dem HP-Netzteil als Netzgerät, dem Keithley 2000 Multimeter als Voltmeter, einem Elektrolytkondensator mit C = 2200µF Kapazität und einem Widerstand R. Als Schalter dient das Kabel. ACHTUNG!!! Es wird ein Elektrolytkondensator verwendet. Dieser darf maximal mit einer Spannung von 10V aufgeladen und keinesfalls falsch gepolt werden, da er sonst explodieren und das Elektrolyt auslaufen kann. Achten Sie deshalb auf die Beschriftung + und - des Kondensators und des Netzgeräts. Schließen Sie + des Netzteils an + des Kondensators. Die Messung wird mit einem LabView-Programm durchgeführt. Zusätzlich sei erwähnt, dass wir keinen echten Schalter verwenden. Wir laden einfach den Kondensator auf eine Spannung von 5V auf und ziehen das Kabel, welches diesen mit dem HP Gerät verbindet, im selben Moment ab, in welchen wir das Messprogramm starten. Genauere Anweisungen erhalten Sie von Ihren Betreuern. 9

10 3.2 Aufgaben Nehmen Sie mit dem oben beschriebenen Versuchsaufbau drei Entladungskurven U = f(t) für R 1 = 10 kω R 2 = 22 kω R 3 = 47 kω auf. Die Kapazität des Elektrolytkondensators beträgt C = 2200 µf. Die Messkurven sollen mit Qti-Plot geöffnet und mit folgendem theoretischen Kurvenverlauf verglichen werden: U(t) = U 0 e t t 0 wobei U 0 = Anfangswert der Spannung zum Zeitpunkt t = 0 s ist und t 0 = R C die Zeitkonstante des RC-Gliedes ist. QTI-Plot enthält hierfür die Möglichkeit, einen exponentiellen Abfall zu fitten (zuvor beschriebene Methode 3). Hierzu klicken Sie bei der Tabelle mit Rechtsklick auf die Y-Spalte, dort auf Diagramm und weiter auf Punkte. Dies sollte Ihnen ein neues Fenster mit einer Darstellung Ihrer Messkurve liefern. Um Ihre Messkurve nun exponentiell zu fitten, muss das Grafikfenster markiert sein. Gehen Sie nun in das Menüband und klicken auf Analyse. In diesem Reiter befindet sich ungefähr mittig die Funktion exponentiellen Abfall anpassen. Hierzu wählen Sie die Option 1. Ordnung. Der Fit wird Ihnen farbig in die Grafik eingetragen. Vergessen Sie nicht, nun auch den Graphen noch ordentlich zu beschriften. Vergleichen Sie den erhaltenen Parameter t 0 aus dem Fit mit dem theoretisch erwarteten Wert R C! Zu welchem Zeitpunkt ist die Spannung U(t) auf 1 e U 0 abgesunken? Hierzu wenden Sie die vorhin beschriebene Methode 1 an. Vergleichen Sie anschließend das über QTI ermittelte t 0 mit dem Wert t 0, der aus den graphischen Methoden (1 und 2) hervorgeht. Welche Aussage können Sie treffen? Die im Widerstand verbrauchte Leistung ist P (t) = U(t) I(t). Welchen Verlauf hat P (t)? Und wie groß ist die Zeitkonstante jetzt? Hierzu verwenden Sie das Ohm sche Gesetz und berechnen das Ergebnis ohne QTI. 10