5.6 Aperiodische und periodische Vorgänge *)

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1 298 5 Elektrizitätslehre 5.6 Aperiodische und periodische Vorgänge *) Schaltvorgänge. Zeitkonstanten Grundlagen Schließt man in Fig. 5.72a, b zur Zeit t = 0 den Schalter S derart, daß die Kontakte a und c verbunden werden, so springt die Spannung an den Netzwerken "momentan" von U = 0 auf U = U K. Einen derartigen Zeitverlauf der Spannung nennt man die "Sprungfunktion" (auch Einschaltfunktion bzw. Ausschaltfunktion; vgl. Fig. 5.73). a S a S h b c er c U + Uc a) 9 f C 3 b I p U~ K, (1,5V) t _ K2 Ulip t Usp sp h tu... =E p e 2 USp UL--C:t L.. tji z-l- di dt 3 b) 9 f Fig.5.72 Netzwerke zum Studium von Schaltvorgängen und Zeitkonstanten (zum Vorzeichen von e vgl. Abschn ) In Fig. 5.72a liegt am Kondensator C zur Zeit t = 0 die Spannung U c= 0; der Kondensator lädt sich mit der Zeit langsam über auf U e (t = 00) = U K auf. In Fig. 5.72b fließt durch den Widerstand und die Spule (Widerstand sp ' Induktivität L) zur Zeit t = 0 der Strom 1= 0, seine Änderung (di/dt)t = 0 erzeugt eine der angelegten Spannung U K gerade entgegengesetzt gleiche Spannung UL(t = 0) = + L(dI/dt), =o' Der Strom I steigt mit der Zeit langsam auf den Endwert I(t = (0) = UK/( + sp ) an. In jedem Zeitpunkt gilt für die Schleife K l' a, C, d, e, f, K 2 das zweite Kirchhoffscbe Gesetz GI. (5.13 b). U + Uc - U K = 0 U + U sp + U L - U K = 0 (5.168a, b) Dabei gelten die Verknüpfungen U = I, CU c = J Idt oder duc/dt= I/ ~, und USp = I sp + L(dI/dt). Setzt man diese Beziehungen in GI. (5.168a, b) ein, so resultieren die Differentialgleichungen di I O=-+ dt C mit den allgemeinen Lösungen 1(1)= iexp ( - ;c) *) Bearbeitet von Wolfgang Fischer. 1 - (5.169a, b). ( + s ) U K let) = I exp - t L P + + ; (5.170a, b)

2 5.6 Aperiodische und periodische Vorgänge 299 Die Integrationskonstanten i müssen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Beim Einschalten gilt zur Zeit t = 0 Ue(t = 0) = 0, woraus die Konstanten ~ I(t=O)=~ ( di) L - =U K dt t;: 0. U K 1=- und damit die Einschaltvorgänge t_) I(t) = UKexp( C. U K 1= sp l(t) = U K ( 1 - exp [+ - t s J) p + sp L (5.171a, b) bzw. unter Verwendung von GI. (5.168a, b) U23 = Ud/) = U K (1 ~ exp (~ ;c)) U 23 (/) = USp(t) = UK (1 ~ + sp folgen. x (1 ~ exp [ ~ t +L s p J) Beim Ausschalten (Verbindung von Kontakt c mit Kontakt b) ist für die Schleife b, c, d, e, f, g in die Schleife h, d, e, f, g, h in Fig. 5.72a Fig. 5.72b ) (5.172a, b) oder oder mit ges = + sp + ~ di I -+-= O dt C Diese Differentialgleichungen haben mit den Anfangsbedingungen U K Uc(t=O)= U K, U(t=O)= - U K l(t=o)= -~ + sp =I(I=O)' die Lösungen für die Ausschaltvorgänge t_) I(t) = _ U K exp ( C UK (ges) I(t) = exp - t - (+ sp ) L (5.174a b) (5.175 a, b) Das Minuszeichen in Gl. (5.175a) bedeutet, daß der Strom / (t) die en~gegenge etz~e ichtung des in Fig a eingezeichneten Strompfeils hat. DamIt werden die

3 300 5 Elektrizitätslehre Spannungen U 23 = Uc(t) = ukexp ( - :c) +p U 23 = USp(t) = - U K + Sp xexp(-ty) (5.176a,b) Das Minuszeichen in GI. (5.176b) bedeutet, daß Klemme 3 positiv und Klemme 2 negativ ist, U 23 also die entgegengesetzte ichtung des Pfeils U Sp hat. Die durch GI. (5.172a) und (5.176a) dargestellten Einschalt- und Ausschaltvorgänge sind in Fig. 5.73, die Ein- und Ausschaltvorgänge nach GI. (5.172b) bzw. GI. (5.176b) sind in Fig dargestellt. Man zeichne und diskutiere auch die Strom- bzw. Spannungsfunktionen für die anderen Bauelemente der Netzwerke nach Fig a, b. IJ Z3 EinschCllltfunktion tj K r--"--...,r---~--- "/2 '[-e t Ausschaltfunktion 1,/2 1: -e f Fig Zeitverlauf der Spannung am Kondensator des Netzwerks Fig.5.72a IJ U 13 - Emschaltfunktion t t Fig Zeitverlauf der Spannung an der Spule des Netzwerks Fig.5.72b In allen Strom- und Spannungsfunktionen let) bzw. U (t) tritt eine Exponentialfunktion der Form exp (- tlr,) auf~ Die Größe r, bezeichnet man als die Zeitkonstante des Netzwerks. Zur Zeit t=r, haben daher let) und U(t) etwa 63% ihres Endwerts erreicht bzw. sind auf etwa 37 % des Anfangswerts abgefallen. Neben der Zeitkonstante gibt man oft auch die Halbwertszeit T 1 / 2 des Netzwerks an (vgl. dazu auch GI. (6.34) und (6.35», die mit der Zeitkonstante durch die Beziehung verknüpft ist. T 1 / 2 = r, 'In2 ~ 0,693' T, Ein- und Ausschaltvorgänge sind zwar nichtperiodische Vorgänge, können aber dennoch sehr gut mit einem Elektronenstrahl-Oszillographen (vgl. Abschn ) untersucht werden. Handelt es sich um Zeitkonstanten von der Größenordnung

4 5.6 Aperiodische und periodische Vorgänge 301 einiger Sekunden dann sieht man auf dem Oszillographen schirm einen wandernden Leuchtflec. ein zeitlicher Verlauf kann in diesem Fall mit Hilfe des asters auf dem Schinn verfolgt werden. nsbesondere läßt sich die Halbwertszeit T 1 / 2 leicht ennitteln. Bei kleineren Zeitkonstanten sorgt man durch einen periodischen Umschaltkontakt, daß die Ein- und Ausschaltvorgänge periodisch wiederholt werden und man dadurch ein stehendes Bild auf dem Schirm erhält. Ein derart periodischer Schalter ist z. B. der in Fig skizzierte magnetisch gesteuerte Umschaltkontakt (eedrelais). Das elais wird mit technischem Wechselstrom betrieben. Der Kontakt ist also etwa je 10 ms geöffnet und geschlossen. Man kann aber auch wesentlich kleinere Zeitkonstanten messen, wenn man, wie in Fig gezeigt, nur einen kleinen Teil des Vorgangs herausschneidet. Fig Umschaltrelais. Bei stromloser Spule sind die Kontakte bund c verbunden b~~:_ Umschaltkontakte schließen und öffnen häufig nicht momentan, sie "prellen". Den störenden Einfluß dieses Prellens kann man durch ein e-glied zwischen den Kontakten a und c vermindern. Steht ein Zweikanaloszillograph zur Verfügung, so kann man neben der Spannung U 23 auch U 13, die Sprungfunktion, beobachten. Abweichungen von der Sprungfunktion haben ihre Ursache z.b. im Innenwiderstand der Spannungsquelle oder im Schaltvorgang, z.b. beim,,ausschalten" nach Fig. 5.72b Gang des Versuchs und Auswertung 1) Man bestimme für alle e-glieder, die als Kombination der vorgegebenen Widerstände und Kondensatoren gebildet werden können, entsprechend der Schaltung in Fig a die Halbwertszeiten T 1 /2 Da es bei dieser Messung nicht auf die Absolutwerte der Spannung U c ankommt, ist durch optimale Wahl der variablen, nicht kalibrierten Verstärkereinstellung die gesamte Höhe des Leuchtschirms auszunützen. - 2) Man berechne aus T 1 / 2 die Zeitkonstanten 1: und stelle diese als Funktion von e dar. - 3) Man nehme bei einem L Glied sowohl das Anwachsen des Spulenstroms als auch die Abnahme de Spulenstroms auf für eine Schaltung, wie sie in Fig b skizziert ist. - 4) en Wert l(t = 00) = UK/( + sp ) bestimme man aus dem Spannungsabfall an wenn die Kontakte a und c dauernd verbunden sind. - 5) Man stelle die in Ziffer 3 gerne enen Funktionen 1(t) in Koordinatenpapier mit logarithmisch geteilter Ordinate dar und ermittle aus dieser Darstellung die Zeitkonstanten 1: e = L/( + sp) (vgl. GI. (5.171 b») des Einschaltvorgangs und t a = L /( + sp + ~) (vgl. GI. (5.175b» des Au chaltvorgangs. - 6) Man berechne aus den beiden Zeitkonstanten die Induktivität L der Spule. Die Größe der ohmsehen Widerstände bestimme man mit einem kommerziellen Widerstandsmesser Anmerkung In Fig, 5.27 ist gezeigt, daß am Eingang des EO ein e-glied liegt (CE Z. B. die Kapazität des abgeschirmten Kabels E Eingangswiderstand). Dieses e-glied kann bewirken, daß der Zeitverlauf des zu untersuchenden

5 302 5 Elektrizitätslehre Vorgangs "verformt' wird. Daher ist dem Einfluß dieses Glieds - wie auch dem anderer C-Kopplungsglieder- bei der Untersuchung schneller Vorgänge besondere Aufmerksamkeit zu widmen Elektrische Schwingungen Grundlagen Die im rechten Teil der Fig.5.76 (Masche bdefc) skizzierte Hintereinanderschaltung eines Kondensators C, einer Spule L und eines Wirkwiderstands bezeichnet man als elektrischen Schwingkreis. Wenn der Schalter S in Fig.5.76 die Kontakte a und c verbindet, wird der Kondensator C über den Fig.5.76 Netzwerk zum Studium elektrischer Schwingungen 1, 2, 3 Anschlüsse für den Kathodenstrahl Oszillographen. Der Widerstand L der Spule L soll in mit enthalten sein strombegrenzenden Widerstand e auf Ue = U K = : Uo aufgeladen (vgl. Fig und GI. (5.172a)). Wird der Schalter S zur Zeit t = 0 umgelegt, so daß die Kontakte b und c verbunden sind, dann wird der Kondensator C über die Spule L und den Widerstand durch den Strom [= - C -Oe entladen. Dabei - zunächst sei = 0 angenommen - wird elektrische Feldenergie (E e1 = C ul:12) in magnetische Feldenergie (E mag = L [2/2) umgewandelt. Daher kann nach Entladung des Kondensators, wenn also U c = 0 geworden ist - der Strom habe zu diesem Zeitpunkt den Wert [ = der Strom Iweiterfließen und den Kondensator auf umgekehrte Polarität, also auf U e = - U o ' aufladen, wobei die magnetische Feldenergie L1Ö/2 wieder in elektrische Feldenergie C U~/2 umgewandelt wird, so daß nach t = To/2 ein Vorgang mit umgekehrter Stromrichtung einsetzt. Man erhält auf diese Weise eine Wechselspannung Ue(t) der Amplitude U o und einen Wechselstrom let) der Amplitude 1 0 oderanders bezeichnet - eine elektrische Schwingung der Periode T o, bei der ständig elektrische und magnetische Feldenergie ineinander umgewandelt werden; die Summe der Momentanwerte von E e1 und E mag, also die Gesamtenergie E ges = E el + E mag, bleibt dabei konstant. Ist der Widerstand von Null verschieden, so wird in ihm bei der Stromstärke [die Leistung P = 1 2 in Wärme umgesetzt. Da diese aber nur aus.der Gesamtenergie E ges des Schwingkreises gedeckt werden kann muß E ges mit der Zelt abnehmen, d.h. deges/dt = sein. Die Schwingung ist demnach gedämpft; die Amplituden gehen mit der Zeit gegen Null. Für den zeitlichen Verlauf von Ue findet man mit Hilfe des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes (vgl. Abschn ) für die Schleife c, f, e, d, b, c in Fig die Gleichung U e - U - U L = 0 oder U c - I - L 1 = 0 ( a, b)