Elektrische und Magnetische Felder

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1 Q1 LK Physik s6dea Themen für Kursarbeit Nr.2 am Elektrische und Magnetische Felder Statische elektrische Felder, Kondensatoren Zusammenhang zwischen Ladung und Stromstärke elektrische Energie und Leistung Definition der elektrischen Feldstärke über Kraft auf eine Probeladung Arbeit in einem elektrischen Feld: Spannungsbegriff Feldstärke und Flächenladungsdichte einer Influenzladung, Dielektrizitätskonstante Homogenes elektrisches Feld: der Plattenkondensator, Zusammenhang zwischen Spannung und elektrischer Feldstärke Zusammenhang zwischen Spannung und Plattenladung: Kapazität Einfluss eines Dielektrikums, Formel für Kapazität des Plattenkondensators Zylinderkondensator / Blockkondensator Auf und Entladen von Kondensatoren, exponentielle Gesetze/Halbwertszeit, Kapazitätsmessung Energiespeicherung in einem Kondensator Parallel und Reihenschaltung von Kondensatoren Beschleunigung von Elektronen im elektrischen Feld Statische Magnetfelder Magnetfeld eines stromdurchflossenen geraden Leiters, einer Leiterschleife, einer Spule. Vektorcharakter der magnetischen Feldstärke. Kraft auf stromdurchflossene Leiterschleife, Definition der magnetischen Flussdichte durch B=F/(I l), Vektorcharakter, Richtungsabhängigkeit (Linke Hand Regel, I senkrecht zu B) Kraft auf bewegte Ladungsträger (Lorentz Kraft) Abhängigkeit der Lorentzkraft vom Winkel zwischen Leiter/Geschwindigkeit und Magnetfeld Hall Effekt, Flussdichte Messung mit Hall Sonde Kraft auf bewegten Leiter in Magnetfeld _ > Induktionsspannung Magnetische Flussdichte eines geraden Leiters Kräfte zwischen parallelen Leitern. Amperedefinition Magnetische Flussdichte des homogenen Innenfeldes einer langgestreckten Spule Bewegte Ladungsträger im homogenen Magnetfeld, Kreis /Spiralbewegung

2 Schauen Sie nach, welche dieser Formeln sie wo in der Formalsammlung finden. Die dort nicht aufgeführten werden auf dem Aufgabenblatt angegeben Formeln Ohmsches Gesetz: U = R I Leistung: P = U I W F Grundgrößen: ΔQ = I Δt, U =, E = Flächenladungsdichte: σ = ε 0 E q q A Kondensator: Q = C U, W = ½ CU² Plattenkondensator: U = E d, C = ε ε 0 r d t / TH Entladung eines Kondensators: I ( t) = I Halbwertszeit dabei: T H = ln(2) C R 0 2 Magnetische Flussdichte: F = B I l sin(α ), Lorentzkraft: F L = B e v sin(α ) Hall Spannung: U H = b v B µ 0I n Magnetfeld eines geraden Leiters B = einer langgestreckten Spule B = µ 0 µ r I 2πr l s Kinematik: v =, s = vt t (gleichförmig), s = ½ at², v = at (gleichmäßig beschleunigt) gleichförmige Kreisbewegung α = ω t v = ω r Dynamik: F = m a, W kin = ½ mv² ; 2 mv F z = r

3 Q1 LK Physik s6dea Übungen zur Kursarbeit Nr.2 am Gegeben sind die folgenden Konstanten: Elementarladung: Elektronenmasse: Protonenmasse: e = 1, m e m p 19 = 9, = 1, C kg kg 12 As ε 0 = 8,85 10 ; Vm 7 Vs µ 0 = 4π 10 Am Aufgabe 1: Aus Haushaltsmaterialien kann auf einfache Art ein Kondensator hergestellt werden: Zwischen zwei Streifen Aluminiumfolie (Länge l, Breite 20 cm, Stärke 100 µm) wird ein Streifen Wachspapier (selbe Länge und Breite, Stärke 50 µm, ε r = 3) gelegt, so dass sich die Alustreifen nirgends berühren. Dann werden die drei Streifen fest zusammen gepresst. a) Wie lang müssen die Streifen sein, damit der Kondensator die Kapazität 85 nf erhält? b) Der Kondensator wird an eine Spannung von 50 V angeschlossen. Berechnen Sie i. die Ladung auf den Aluminiumfolienstreifen ii. die Stärke des elektrischen Feldes im Wachspapier iii. die Ladungsdichte auf den Aluminiumfolienstreifen iv. die gespeicherte elektrische Energie. c) Man schaltet den Kondensator in Reihe mit einem Widerstand von 22 kω an einen Rechteckgenerator. Welche Frequenz sollte man für diesen wählen, damit man am Oszillographen die Entladekurve bis auf 1 / 32 der maximalen Ladung beobachten kann? d) Nun wird ein weiterer Streifen Wachspapier gleicher Größe und Stärke darauf gelegt. Dann rollt man die vier Streifen fest zu einem Zylinder zusammen und schließt ihn an dieselbe Spannung von 50 V an. i. Welche Kapazität hat der Zylinderkondensator? Begründen Sie! ii. Berechnen Sie die Energiedichte (in J/m³).

4 Blockkondensator Aufgabe 2: Um einen Blockkondensator zu bauen wird zwischen zwei gleich große Blätter Aluminiumfolie (Fläche A) ein Blatt Backpapier (Stärke 8, m, Dielektrizitätszahl 2,5) gelegt. Das ganze wird so fest zusammengedrückt, dass keine Luft zwischen den Blättern ist. Die beiden Aluminiumfolien werden an eine 12 V Gleichspannungsquelle angeschlossen. a) Die Kapazität des so erhaltenen (noch nicht aufgerollten) Kondensators beträgt C 0 =1, F. i. Berechne die Fläche A. ii. iii. iv. Berechne die Ladung des Kondensators. Berechne die Stärke des elektrischen Feldes im Backpapier. Berechne die in dem Kondensator gespeicherte elektrische Energie. b) Der Kondensator wird nun zu einem Zylinder aufgerollt. i. Was muss man vor dem Aufrollen unbedingt beachten? ii. Begründe, dass sich die Kapazität dadurch verdoppelt. c) Der Kondensator hat nun die Kapazität C 1 = 300 nf. Er soll mit einem zweiten Kondensator so zusammengeschaltet werden, dass sich eine Gesamtkapazität C ergibt. Wie groß muss die Kapazität C 1 gewählt werden und wie müssen die beiden geschaltet werden, wenn i. C = 500 nf betragen soll? ii. C = 200 nf betragen soll? d) Der Kondensator wird mit einem Widerstand R in Reihe geschaltet. Mit Hilfe eines Spannungssensors und dem TI Nspire wird ein Entladevorgang aufgezeichnet. Dabei erhält man das abgebildete Diagramm. x Achse: Abstand der Gitterpunkte 0,1 s. y Achse: Abstand der Gitterpunkte 0,2 V. Bestimme i. die Halbwertszeit und ii. daraus die Größe des Widerstandes R.

5 Aufgabe 3: Vier Kondensatoren sind wie abgebildet geschaltet und an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen. a) Berechnen Sie die Gesamtkapazität der Schaltung. b) Wie müssen die vier Kondensatoren geschaltet werden, um i. eine möglichst kleine C 1 = 1,0 µf C 2 = 0,50 µf C 3 = 2 µf C 4 = 0,20 µf ii. eine möglichst große U = 40 V Gesamtkapazität zu erhalten? Berechnen Sie jeweils die Gesamtkapazität und skizzieren Sie die Schaltbilder. c) Tragen Sie in den Schaltungen aus b) jeweils die Plattenladungen der einzelnen Kondensatoren ein.

6 Aufgabe 4: In das Innere einer zylinderförmige Spule (Länge 40,0 cm, Querschnittsfläche 70,0 cm²) mit Windungen wird durch einen schmalen Spalt eine Leiterschleife (6,00 cm breit) gehängt, die an einem sehr empfindlichen Kraftmesser hängt. Die Spule ist an eine Gleichspannungsquelle 1 angeschlossen, so dass in ihren Windungen ein Strom der Stärke 0,750 A fließt. + Spannungsquelle 2 a) Berechnen Sie die Stärke des Magnetfeldes im Spuleninnern. + Spannungsquelle 1 b) Die Spule ist wie abgebildet gewickelt. Bestimmen Sie die Richtung des Magnetfeldes und erläutern Sie knapp, wie Sie dabei vorgehen. c) Solange kein Strom durch die Leiterschleife fließt, zeigt der Kraftmesser 50,0 mn an. Danach wird die Spannungsquelle 2 eingeschaltet, so dass die Leiterschleife wird von einem Gleichstrom von 6,50 A durchflossen wird. i. In welche Richtung wirkt die Kraft auf die Leiterschleife? Erläutern Sie, wie Sie diese Richtung bestimmen. ii. Welche Anzeige des Kraftmessers ist nun zu erwarten? d) Bei genauer Beobachtung stellt man fest, dass beim Ausschalten und erneuten Einschalten von Spannungsquelle 1 die Kraft nicht sofort, sondern erst mit einer Verzögerung von etwa einer halben Sekunde wirksam ist. Welche Ursache hat dies?

7 Aufgabe 5: Eine Rakete (zylinderförmig, Länge 70 Meter, Durchmesser 8 Meter, Rumpf völlig aus Titan) fliegt mit der Geschwindigkeit 700 m/s senkrecht nach oben in einer Region, in der das Erdmagnetfeld die Feldstärke 5, T hat. Der magnetische Feldstärkevektor zeigt unter einen Winkel von 13 zur Horizontalen in die Erde hinein, seine Horizontalkomponente zeigt exakt nach Norden. a) i. Erklären Sie (knapp), warum im Rumpf der Rakete eine Spannung entsteht. ii. Wo sammeln sich die negativen Ladungen? iii. Zwischen welchen Stellen der Rakete ist diese Spannung am größten? iv. Leiten Sie eine Formel für diese Spannung her und berechnen Sie ihren Wert. b) Wie muss die Rakete fliegen, damit keine Spannung entsteht? Aufgabe 6: Ein Elektron gelangt mit der Geschwindigkeit v = 1, m/s in ein homogenes Magnetfeld mit der Feldstärke 4,0 mt. Es wird dadurch auf eine Kreisbahn gelenkt. a) i. Wie kann man einen Strahl von solchen Elektronen erzeugen? ii. Berechnen Sie die nötige Beschleunigungsspannung. b) i. Wie muss das Magnetfeld gerichtet sein, damit das Elektron eine Kreisbahn beschreibt? ii. Was passiert, wenn das Magnetfeld eine andere Richtung hat? iii. Begründen Sie, warum das Elektron unter der in i. genannten Voraussetzung eine gleichförmige Kreisbewegung vollführt. iv. Leiten Sie eine Formel für den Radius dieser Kreisbahn her und v. Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn für die angegebenen Größen. c) Ein Positron ist ein Teilchen, das dieselbe Masse wie ein Elektron hat, allerdings positiv geladen ist. Was passiert mit einem Positron in demselben Magnetfeld? Begründen Sie. d) Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Proton in das Magnetfeld eintreten, damit es eine Kreisbahn mit dem Radius 5,0 cm beschreibt?.

8 Q1 LK Physik s6dea Lösungen der Übungen zur Kursarbeit Nr.2 Aufgabe 1: Aus Haushaltsmaterialien kann auf einfache Art ein Kondensator hergestellt werden: Zwischen zwei Streifen Aluminiumfolie (Länge l, Breite 20 cm, Stärke 100 µm) wird ein Streifen Wachspapier (selbe Länge und Breite, Stärke 50 µm, ε r = 3) gelegt, so dass sich die Alustreifen nirgends berühren. Dann werden die drei Streifen fest zusammen gepresst. a) Wie lang müssen die Streifen sein, damit der Kondensator die Kapazität 85 nf erhält? 9 6 C d Nötige Plattenfläche A = ε 0 ε = m² = 0,16 m². 12 r 8, l = A / b = 0,16 m² / 0,2 m = 0,8 m = 80 cm. b) Der Kondensator wird an eine Spannung von 50 V angeschlossen. Berechnen Sie i. die Ladung auf den Aluminiumfolienstreifen Q = CU = F 50 V = 4, C = 4,25 µc. ii. die Stärke des elektrischen Feldes im Wachspapier E = U/d = 50 V / ( m) = 10 6 V/m = 1,0 MV/m. iii. die Ladungsdichte auf den Aluminiumfolienstreifen σ = ε 0 E = 8, C/Vm 10 6 V/m = 8, C/m². iv. die gespeicherte elektrische Energie. W = ½CU² = ½ F (50 V)² = 1, J = 0,106 mj. c) Man schaltet den Kondensator in Reihe mit einem Widerstand von 22 kω an einen Rechteckgenerator. Welche Frequenz sollte man für diesen wählen, damit man am Oszillographen die Entladekurve bis auf 1 / 32 der maximalen Ladung beobachten kann? (Zur Erinnerung: ln 2 0,69. ) Halbwertszeit der Entladung: T H = 0,69CR = 0, s = 1, s. log 2 ( 1 / 32 ) = 5, also muss man 5 Halbwertszeiten auf dem Schirm beobachten können, das sind 5T H = 6, s. Dazu braucht man eine Frequenz von f = 1/(5T H ) = 155 Hz. d) Nun wird ein weiterer Streifen Wachspapier gleicher Größe und Stärke darauf gelegt. Dann rollt man die vier Streifen fest zu einem Zylinder zusammen und schließt ihn an dieselbe Spannung von 50 V an. i. Welche Kapazität hat der Zylinderkondensator? Begründen Sie! Die Kapazität verdoppelt sich, da jetzt sowohl die Ober als auch die Unterseite der Folie aufgeladen werden, damit ist C = 170 nf. ii. Berechnen Sie die Energiedichte (in J/m³). Die vier Streifen Alu und Wachspapier sind zusammen 300 µm dick, also hat der Zylinderkondensator das Volumen V = 0,16 m² m = m³ (=48 cm³). Die gespeicherte Energie hat sich gegenüber dem Ergebnis aus b)iv. (mit C) verdoppelt, somit ist W/V = 2, J / m³ = 4,4 J/m³.

9 Aufgabe 2: Blockkondensator

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11 Aufgabe 3: Vier Kondensatoren sind wie abgebildet geschaltet und an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen. a) Berechnen Sie die Gesamtkapazität der Schaltung. Die Reihenschaltung von C 2 und C 3 hat die Kapazität C 5 = 1/(1/2 + 1/0,5) µf = 0,40 µf. Die Parallelschaltung von diesen mit C 5 hat daher C 6 = C 4 + C 5 = 0,6 µf. Die Reihenschaltung von C 1 und C 6 hat schließlich C = 1/(1/1 + 1/0,6) µf = 0,375 µf = 375 nf. C 1 = 1,0 µf C 2 = 0,50 µf C 3 = 2 µf U = 40 V C 4 = 0,20 µf b) Wie müssen die vier Kondensatoren geschaltet werden, um i. eine möglichst kleine alle in Reihe, dann ist C = 1/(1/1 + 1/0,5 + 1/2 + 1/0,2) µf = 0,118 µf = 118 nf. ii. eine möglichst große alle parallel, dann ist C = (1 + 0, ,2) µf = 3,7 µf. Gesamtkapazität zu erhalten? Berechnen Sie jeweils die Gesamtkapazität und skizzieren Sie die Schaltbilder. c) Tragen Sie in den Schaltungen aus b) jeweils die Plattenladungen der einzelnen Kondensatoren ein. i. Bei der Reihenschaltung ist die Ladung auf allen gleich groß (Influenz!), Q = CU = 4,7 µc. ii. Bei der Parallelschaltung liegt jeweils die gleiche Spannung an, damit ist Q 1 = C 1 U usw., so dass gilt Q 1 = 40 µc, Q 2 = 20 µc, Q 3 = 80 µc und Q 4 = 8 µc.

12 Aufgabe 4: In das Innere einer zylinderförmige Spule (Länge 40,0 cm, Querschnittsfläche 70,0 cm²) mit Windungen wird durch einen schmalen Spalt eine Leiterschleife (6,00 cm breit) gehängt, die an einem sehr empfindlichen Kraftmesser hängt. Die Spule ist an eine Gleichspannungsquelle 1 angeschlossen, so dass in ihren Windungen ein Strom der Stärke 0,750 A fließt. + Spannungsquelle 2 + Spannungsquelle 1 a) Berechnen Sie die Stärke des Magnetfeldes im Spuleninnern. n Langgestreckte Spule: B = µ 0 I = 4π 10 0, 75 T = 0, T = 35,3 mt. l 0,4 b) Die Spule ist wie abgebildet gewickelt. Bestimmen Sie die Richtung des Magnetfeldes und erläutern Sie knapp, wie Sie dabei vorgehen. Linke Faust Regel: Die Elektronen fließen im vorne sichtbaren Teil der Windungen von oben nach unten, daher verlaufen die Magnetfeldlinien im Spuleninnern von rechts nach links, das linke Ende wird also zum magnetischen Nordpol. c) Solange kein Strom durch die Leiterschleife fließt, zeigt der Kraftmesser 50,0 mn an. Danach wird die Spannungsquelle 2 eingeschaltet, so dass die Leiterschleife wird von einem Gleichstrom von 6,50 A durchflossen wird. i. In welche Richtung wirkt die Kraft auf die Leiterschleife? Erläutern Sie, wie Sie diese Richtung bestimmen. Linke Hand Regel: Der Daumen zeigt in die Bewegungsrichtung der Elektronen in der Leiterschleife, also nach vorne, der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes; der Mittelfinger zeigt dann nach unten, also wirkt die Lorentzkraft nach unten. ii. Welche Anzeige des Kraftmessers ist nun zu erwarten? Lorentzkraft: F = B I l = 0, T 6,50 A 0,06 m = 0,0138 N = 13,8 mn. Der Kraftmesser wird also 50,0 mn + 13,8 mn = 63,8 mn anzeigen. d) Bei genauer Beobachtung stellt man fest, dass beim Ausschalten und erneuten Einschalten von Spannungsquelle 1 die Kraft nicht sofort, sondern erst mit einer Verzögerung von etwa einer halben Sekunde wirksam ist. Welche Ursache hat dies? Selbstinduktion in der Spule! Sie hat eine hohe Induktivität (4,95 H) und erzeugt daher beim Einschalten eine Induktionsspannung, die gemäß der Lenzschen Regel ihrer Ursache entgegen wirkt. Daher bremst sie das Anwachsen der Stromstärke.

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14 Aufgabe 6: Ein Elektron gelangt mit der Geschwindigkeit v = 1, m/s in ein homogenes Magnetfeld mit der Feldstärke 4,0 mt. Es wird dadurch auf eine Kreisbahn gelenkt. a) i. Wie kann man einen Strahl von solchen Elektronen erzeugen? Man nutzt den Glühelektrischen Effekt: Aus glühendem Draht treten Elektronen aus. Diese werden mit einer Gleichspannung beschleunigt und durch ein geeignetes elektrisches Feld zu einem Strahl fokussiert. ii. Berechnen Sie die nötige Beschleunigungsspannung. Wenn die Elektronen die Spannung U durchfallen, wird ihre potentielle Energie eu vollständig in kinetische Energie ½mv² umgewandelt. Also gilt mev 9, (1,2 10 ) U = = V = 409 V. 19 2e 2 1, b) i. Wie muss das Magnetfeld gerichtet sein, damit das Elektron eine Kreisbahn beschreibt? Es muss senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen verlaufen. ii. Was passiert, wenn das Magnetfeld eine andere Richtung hat? Wenn das Magnetfeld parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen ist, ist die Lorentzkraft gleich Null und die Elektronen bewegen sich geradlinig gleichförmig weiter. Ist das Magnetfeld schräg zur Bewegungsrichtung der Elektronen, so beschreiben die Elektronen eine Spiralbahn, da die Kreisbewegung in der Ebene senkrecht zu der Komponente von B, die senkrecht auf v steht, mit der gleichförmigen Bewegung in Richtung dieser orthogonalen Komponente überlagert wird. iii. Begründen Sie, warum das Elektron unter der in i. genannten Voraussetzung eine gleichförmige Kreisbewegung vollführt. Die Lorentzkraft F L (und somit auch der Beschleunigungsvektor) steht senkrecht auf v und auf B, so dass die Bewegung in der von v und F L definierten Ebene verläuft. Da F L senkrecht auf v steht ist, verrichtet die Lorentzkraft keine Arbeit, so dass die kinetische Energie und somit auch der Betrag der Geschwindigkeit konstant bleibt. Damit bleibt aber auch der Betrag der Lorentzkraft konstant. Eine Kraft mit konstantem Betrag, die zu jeder Zeit senkrecht auf der Bahn steht, zwingt einen Körper auf eine Kreisbahn. Daher vollführen die Elektronen eine gleichförmige Kreisbewegung. iv. Leiten Sie eine Formel für den Radius dieser Kreisbahn her und v. Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn für die angegebenen Größen. Die Lorentzkraft ist die Zentripetalkraft der Kreisbewegung der Elektronen, somit ist F Z = F L mv mv 9, ,2 10 = qvb r = = m = 0,017 m = 1,7 cm r qb 1, c) Ein Positron ist ein Teilchen, das dieselbe Masse wie ein Elektron hat, allerdings positiv geladen ist. Was passiert mit einem Positron in demselben Magnetfeld? Begründen Sie. Die Lorentzkraft ist dann genau so groß, wirkt allerdings in die entgegengesetzte Richtung. Daher beschreibt das Positron eine Kreis bzw. Spiralbahn mit dem gleichen Radius allerdings in der umgekehrten Orientierung (gegen den Uhrzeigersinn statt mit ihm bzw. umgekehrt). d) Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Proton in dieses Magnetfeld eintreten, damit es eine Kreisbahn mit dem Radius 5,0 cm beschreibt? mv qbr 1, ,05 m = qvb v = = = m/s senkrecht zur 27 r m 1, s Magnetfeldrichtung.