5. Die gelbe Doppellinie der Na-Spektrallampe ist mit dem Gitter (1. und 2. Ordnung) zu messen und mit dem Prisma zu beobachten.

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1 Universität Potsdam Institut für Physik und Astronomie Grundpraktikum O Gitter/Prisma Geräte, bei denen man von der spektralen Zerlegung des Lichts (durch Gitter bzw. Prismen) Gebrauch macht, heißen (Gitter- bzw. Prismen-) Spektralapparate. Je nachdem, ob man die Spektren beobachten oder in Abhängigkeit von der Wellenlänge registrieren bzw. messen will, unterscheidet man Spektroskope, Spektrografen und Spektrometer. Die Winkelmesseinrichtung des Spektrometers nennt man Goniometer. Aufgaben 1. Zunächst werden mit einem Handspektrometer die Spektrallinien einer Quecksilber- Cadmium-Niederdrucklampe beobachtet. Danach wird für ein Transmissionsgitter durch Messung der Winkel zwischen den Spektrallinien in der ersten Ordnung und dem Beugungsmaximum in der nullten Ordnung die Gitterkonstante g und deren Messunsicherheit bestimmt. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis zusätzlich mit der Herstellerangabe.. Das für die Auflösung der beiden benachbarten gelben Hg-Spektrallinien erforderliche spektrale (Mindest-) Auflösungsvermögen A S ist zu berechnen. 3. Das Auflösungsvermögen des Gitters ist durch Veränderung der Breite des auf das Gitter treffenden Lichtbündels zu variieren. Die für die Auflösung der beiden benachbarten gelben Spektrallinien (Hg und Na) in der ersten Ordnung erforderlichen Breiten sind zu messen und mit den berechneten Werten zu vergleichen. 4. Für ein gegebenes Prisma sind die Winkel der Minimalablenkung mehrerer Spektrallinien zu messen. Die Brechzahlen sind zu berechnen und die Dispersionskurve n = n() ist grafisch darzustellen. 5. Die gelbe Doppellinie der Na-Spektrallampe ist mit dem Gitter (1. und. Ordnung) zu messen und mit dem Prisma zu beobachten. Zubehör Hg-Cd-Spektrallampe sowie Na- Spektrallampe mit zugehöriger Drossel, Spektrometer- Goniometer mit Gitter und Prisma, Handspektrometer. 1

2 Grundlagen (siehe Literatur /1/-/3/) Auflösungsvermögen Das zur Trennung zweier benachbarter Spektrallinien mit den Wellenlängen 1 und erforderliche spektrale Auflösungsvermögen eines Spektralapparates ist definert als A S = λ Δ λ mit λ als arithmetischem Mittel der beiden Wellenlängen und mit als deren Abstand. (1) Gitter Folgende Beziehung gilt zwischen der Gitterkonstanten g, der Ordnungszahl m des Beugungsbildes und dem Winkel i unter dem das Beugungsbild der zur Messung benutzten Spektrallinie (Wellenlänge i ) erscheint: i = g m sin i () Für Gitter lässt sich zeigen, dass das spektrale Auflösungsvermögen von der Ordnung m und von der Anzahl der beleuchteten Gitterlinien L abhängig ist: A G = L m. (3) Bei einem Lichtstrahl der Breite D ist L = D g. (4) Prisma Ein optisches Prisma ist ein Körper aus einer lichtbrechenden Substanz der Brechzahl n, der von zwei ebenen, nicht parallelen Flächen begrenzt wird. Die Schnittgerade der beiden Flächen heißt brechende Kante, der Winkel zwischen den beiden Flächen brechender Winkel und jeder senkrecht zur brechenden Kante durch das Prisma gelegte Schnitt heißt Hauptschnitt. In Abbildung 1 ist die Zeichenebene ein Hauptschnitt. Abb.1: Optisches Prisma

3 Ein unter dem Winkel 1 einfallender Lichtstrahl, wird um den Winkel mit = 1 abgelenkt, wobei der Ausfallswinkel ist und der brechende Winkel des Prismas. Der Ablenkwinkel ist von der Wellenlänge abhängig = (). Abb. : Strahlenverlauf im Fall der Minimalablenkung Wenn Einfalls- und Ausfallswinkel gleich groß sind, erreicht die Ablenkung ihren kleinsten Wert min. Der im Prisma verlaufende Strahl steht in diesem Fall senkrecht auf der Winkelhalbierenden des brechenden Winkels. Für diese Ablenkung min gilt dann min = (5) Für den Fall der Minimalablenkung gilt für den Ausfallswinkel innerhalb des Prismas = Zusammen mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz ergibt sich die Brechzahl für das Prismenmaterial n = sin sin bzw. mit Gleichung (5) sin 1 min n = sin 1 (6) Die Brechzahl ist wie der Ablenkwinkel wellenlängenabhängig (Dispersion). 3

4 Abb. 3: Man findet zwei verschiedene Definitionen des Rayleigh- Kriteriums. Die erste ist, dass das Hauptbeugungsmaximum der einen Spektrallinie mit dem ersten Beugungsminimum der anderen Spektrallinie zusammenfällt. Die zweite ist, dass das lokale Intensitätsminimum, das sich durch die Überlagerung der Intensitäten der beiden Beugungsbilder ergibt, rund 81% der maximalen Intensität beträgt. Beide Definitionen sind äquivalent (siehe z.b. /4/). Auch beim Prisma ist das Auflösungsvermögen durch Beugungseffekte begrenzt. Nach dem Rayleigh-Kriterium (siehe Abbildung 3 und z.b. /4/) sind zwei Spektrallinien gerade noch zu trennen, wenn das Hauptbeugungsmaximum der einen Spektrallinie mit dem ersten Beugungsminimum der anderen Spektrallinie zusammenfällt. Für die Differenz min der Ablenkwinkel muss also min D (7) gelten. Aus Gleichung (6) ergibt sich durch Differenzieren oder cos min dn d = sin 1 d min d 4

5 sin d min d = cos min dn d (8) Wenn min hinreichend klein ist, dann ist d min d = D eine gute Näherung für die Steigung der Tangenten im Punkt. Zusammen mit (8) ergibt sich durch Gleichsetzen D = sin Für das erforderliche spektrale Auflösungsvermögen des Prismas ergibt sich somit cos min dn d A P = D sin cos dn min d (9) wobei die Betragsstriche dafür sorgen, dass das spektrale Auflösungsvermögen nur positive Werte annehmen kann. Abb. 4: Wirksame Basislänge b Das erforderliche spektrale Auflösungsvermögen des Prismas kann auch mit Hilfe der wirksamen Basislänge b dargestellt werden (Abbildung 4). 5

6 Mit B = D cos (10) und b = B sin (11) und Gleichung (9) ergibt sich A P = b dn d (1) für das erforderliche spektrale Auflösungsvermögen des Prismas. Versuchsdurchführung Siehe Platzanweisung! Versuchsauswertung Zu 1. Zu. Zu 3. Stellen Sie die Messdaten entsprechend Gleichung () in der Form () grafisch dar. Ermitteln Sie aus dem Anstieg der Ausgleichsgeraden die gesuchte Gitterkonstante. Die Standardabweichung des Anstiegs ist zur Ermittlung der Messunsicherheit geeignet. Vergleichen Sie das aus Ihren Messungen ermittelte Ergebnis mit der Angabe des Herstellers. Berechnen Sie das erforderliche Auflösungsvermögen nach Gleichung (1). Wenn man in Gleichung (3) für das Auflösungsvermögen des Gitters den in Aufgabe berechneten Wert für die erforderliche spektrale Auflösung der beiden benachbarten gelben Hg-Linien einsetzt, erhält man die Anzahl der Gitterlinien, die beleuchtet werden müssen. Mit dem Reziproken der Gitterkonstante aus Aufgabe 1 (Herstellerangabe) kann die notwendige Breite des Lichtbündels berechnet werden (Vergleich mit der gemessenen Spaltbreite). 6

7 Zu 4. Stellen Sie die Messdaten entsprechend Gleichung (6) in der Form n() grafisch dar. Schätzen Sie die Messunsicherheit ab und diskutieren Sie die Grafik. Hinweise zur Vorbereitung Huygens-Fresnelsches Prinzip, Definition der Brechzahl, Dispersion, Reflektions- und Brechungsgesetz, Intensitätsverläufe bei Beugung am Spalt und am Gitter, Berechnen Sie mit Gleichung (1) das erforderliche spektrale Auflösungsvermögen für die gelben Doppellinien in den Linienspektren von Quecksilber und Natrium (Spektraltabellen z.b. in /1/ oder //). Strahlengang durch Gitter und Prisma, brechender Winkel, brechende Kante, Minimalablenkung Diskutieren Sie anhand Abbildung 4 und Gleichung 1 das Auflösungsvermögens eines Prismas. Literatur /1/ Geschke, D.: Physikalisches Praktikum, Leipzig 001 // Walcher, W.: Praktikum der Physik, Stuttgart 006 /3/ Vogel, H.: Gerthsen Physik, Berlin 004 /4/ Born, M.; Wolf, E. Principles of Optics, Pergamon Press,

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