a) In einer Reihenschaltung gilt: R g = R 1 + R 2 + R 3 = 11, 01 MΩ Der Gesamtstrom ist dann nach dem Ohm schen Gesetz (U g = R g I g ): I g = Ug

Transkript

1 Aufgabe 1: Die Abbildung zeigt eine Reihenschaltung a) und eine Parallelschaltung b) der Widerstände R 1 = 10 MΩ, R 2 = 10 kω und = 1 MΩ an einer konstant Spannungsquelle mit U g = 5 V (Batterie). (5) (a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung, den Strom I g, sowie die einzelnen Spannungsabfälle U 1, U 2 und U 3. (b) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Parallelschaltung, den Strom I g, sowie die einzelnen Ströme I 1, I 2 und I 3. a) In einer Reihenschaltung gilt: = R 1 + R 2 + = 11, 01 MΩ Der Gesamtstrom ist dann nach dem Ohm schen Gesetz (U g = I g ): I g = Ug = 5 V = 45, 41 µa. 11,01 MΩ Die Spannungsabfälle an den einzelnen Widerständen sind gegeben durch: U i = R i I g, jedoch ist es genauer I g = Ug einzusetzen und man erhält: U 1 = R 1 U g = U 2 = U 3 = 10 MΩ 5 V 4, 5413 V 11, 01 MΩ 0, 01 MΩ 5 V 0, 0045 V 11, 01 MΩ 1, 0 MΩ 5 V 0, V 11, 01 MΩ Kontrollrechnung U g = U 1 + U 2 + U 3 = 5 V.

2 b) Bei der Parallelschaltung gilt: I g = I 1 + I 2 + I 3 und U g = I g = R 1 I 1 = R 2 I 2 = I 3 und damit gilt: 1 = 1 R R = 9, 9 kω R 1 R 2 R 1 +R 2 +R 1 R 2 = 10 0, ,01+0,1 MΩ = 0,1 10,11 MΩ I 1 = I 2 = I 3 = I g = I g = U g R 1 = i I i Ug = 5 V 10,11 0, Ω 5 V 0, 5 µa 10 MΩ 5 V 0, 5 ma 0, 01 MΩ 5 V 1 MΩ 5 µa = 0, 5055 ma = 0, 5055 ma

3 Aufgabe 2: Die Abbildung zeigt einen belasteten Spannungsteiler mit den Widerständen R 1 = 10 MΩ, R 2 = 1 MΩ und = 1 kω und einer konstant Spannungsquelle mit U g = 5 V. (5) Berechnen Sie die Spannungsabfälle U 1,2,3 und die Ströme I g = I 1, I 2 und I 3. Da parallel zu R 2 geschaltet ist erhält man für den Gesamtwiderstand = R 1 + R 2 R 2 + = 10 MΩ + 0,001 MΩ 10, 001 MΩ 1,001 Für den Gesamtstrom ergibt sich daraus I g = Ug 5 V = 0, 4995 µa 10,001 MΩ Aus U 2 = U 3, U g = U 1 + U 2, U 2 = I 2 R 2 = I 3 und I g = I 2 + I 3 folgt I 3 = U 3 R = I 2 1 g R 2 + = I g 0, µa, 1,001 mit U 2 = U g U 1 = ( R 1 )I g. Analog gilt für I 2 R I 2 = I 3 0,001 g R 2 + = I g 0, na 1,001 Damit lassen sich nun die Spannungsabfälle berechnen: U 2 = U 3 = R 2 R 2 + I g = 0,001 5 V 0, 5 mv 1,001 10,001 U 1 = U g U 2 4, 995 V bzw. U 1 = R 1 I g.

4 Aufgabe 3: Die Abbildung zeigt eine Wheatstonesche Brücke, welche zur genauen Bestimmung von Widerständen verwendet werden kann (R 5 ist dann gegen ein Amperemeter oder Voltmeter zu ersetzen). (5) (a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung, den Gesamtstrom I g und den Strom I 5 der durch den Widerstand R 5 fließt, wenn R 1 = 8 Ω, R 2 = 8 Ω, = 12 Ω, = 12 Ω, und R 5 = 10k Ω gilt. (b) Wie groß muss gewählt werden damit durch R 5 kein Strom fließt, wenn R 1 = 10 Ω, R 2 = 12 Ω, = 9, 6 Ω gilt? a) Elegante Aufgrund der Symmetrie der Wheatstone schen Brückenschaltung kann man die Bedingung U 5 = 0 I 5 = 0 annehmen (Raten) und die Richtigkeit der Annahme zeigen. Dann gilt I 1 = I 4 und I 2 = I 3 (Knotenregel links und rechts von R 5 ) und man erhält für die Spannungsabfälle: U 1 = R 1 I 1 U 4 = I 1 U 2 = R 2 I 2 U 3 = I 2 Da U 5 = 0 angenommen wurde gilt U 1 = U 2 und U 4 = U 3. Setzt man nun diese beiden ins Verhältnis so ergibt sich; R 1 I 1 I 1 = R 2 I 2 I 2 R 1 = R 2 Was gerade die Abgleichbedingung für die Wheatstonsche Brücke ist. Zur Berechnung des Gesamtwiderstandes kann die Schaltung in zwei parallel geschaltete Reihenschaltungen (R 1 + und R 2 + ) zerlegt werden. Somit ist Rg 1 = (R 1 + ) 1 + (R 2 + ) 1 = 2 R 1 + = 0, 5 (R 1 + ) = 10 Ω und I g = Ug = 0, 5 A b) Aus a) wissen wir, daß für I 5 = 0 die Bedingung R 1 Damit gilt: = R 2 R 1 = 9,6 10 Ω = 8 Ω 12 = R 2 gelten muß.

5 Allg. Lösung der Wheatstoneschen Brücke:Aus den Maschen- und Knotenregeln ergibt sich: U 1 = I 4 (1) U U 1 = R 1 I 1 (2) U 2 = I 3 (3) U U 2 = R 2 I 2 (4) I 1 = I 4 + I 5 (5) I 3 = I 2 + I 5 (6) U 1 U 2 = R 5 I 5 (7) Aus den Gleichungen (1), (3) und (7) folgt: R 5 I 5 = I 4 I 3 Aus den Gleichungen (1), (2) und (5)folgt: Aus den Gleichungen (3), (4) und (6)folgt: I 4 = R 5I 5 + I 3 (8) U = I 4 (R 1 + ) + R 1 I 5 (9) U = I 3 (R 2 + ) R 2 I 5 (10) Endlich erhält man aus den Gleichungen (9) und (10) die folgende Beziehung: [ ] R5 U = I 3 (R 1 + ) + I 5 (R 1 + ) + R 1 (11) Löst man nun noch (10) nach I 3 auf,setze in (11) ein und Stellt (11) nach I 5 um erhält man die allg. Gleichung für den Strom durch R 5 : R 2 R 1 I 5 = U R 1 (R 2 + ) + R 2 (R 1 + ) + R 5 (R 1 + ) (R 2 + ) (12) Auch hier sieht man sofort, das I 5 = 0 gilt wenn für die Widerstände folgende bedingung erfüllt ist: R 2 = R 1 R 1 = R 2

6 Aufgabe 4: Doppler-Effekt: Die Frequenz einer Autohupe betrage ν = 400 Hz. (5) (a) Wie groß ist die beobachtete Frequenz, wenn sich der hupende Wagen mit einer Geschwindigkeit von v = 34 m/s bei Windstille auf einen ruhenden Empfänger zu bewegt? (c = 340 m/s) (b) Wie groß ist die beobachtete Frequenz, wenn sich der hupende Wagen in ruhe befindet und der Empfänger mit einer Geschwindigkeit von v = 34 m/s bei Windstille auf den ruhenden Sender zubewegt? (c = 340 m/s) a) Bewegte Quelle: ν = ν v c ν = Hz = Hz 444 Hz b) Ruhende Quelle: ν = ν 0 ( 1 + v c ) = 400 (1, 1)Hz = 440 Hz