Angewandte Mathematik am Rechner 1

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1 Michael Wand Institut für Informatik. Angewandte Mathematik am Rechner 1 SOMMERSEMESTER 2017 Kapitel 5 Grundlagen Analysis

2 Kontinuierliche Mengen

3 Vollständige Mengen Folgen Iterative Berechnungen Grenzwert: Beliebig genaue Annährung an Wert Konvergenz: Cauchy-Kriterium Vollständige Mengen Jede Cauchy-Folge konvergiert gegen ein Element in der selben Menge Beispiele Reelle Zahlen R, reelle Vektoren R d komplexe Zahlen/Vektoren C d

4 Ableitungen und Integrale

5 Ableitungen (1D)

6 Ableitung Ableitung einer Funktion d dx f x + h f x f x : = lim h 0 h Alternative Notation d dx f x = f x = f x wenn klar ist welche Variable gemeint ist Zeit als Variable d k dt k f x = f(k) x wiederholte Ableitung (Ableitung höherer Ordnung)

7 Differenzierbarkeit f(x) f(x) x x differenzierbar nicht differenzierbar h h f x + h f x f x + h f x f x+h f x h fester Wert f x+h f x h {+1,-1}

8 Diskrete Analogie Funktion f Analogie f(x) f (x) f(x) f (x i ) y i y i 1 x Steigung der Tangente h Differenzen zu Nachbarn x f: R R f x = lim h 0 f x + h f x h f = (y 1,, y n ) f x i y i y i 1 h

9 Funktionsapproximation

10 Lokale Approximation Taylorreihe f x f x 0 + d dx f x 0 x x k! d 2 dx 2 f x 0 x x 0 2 d k dx k f x 0 x x 0 k Konvergiert für holomorph fortsetzbare Funktions C ω In der Regel: gute Approximation für hinreichend glatte Funktionen +O x x 0 k+1

11 Taylor-Approximation Taylorreihe für eine Funktion f 1 st order 0 th order 2 nd order 3 rd order f(x) x 0 (schematische Skizze, nicht berechnet)

12 Faustregel Polynome und Ableitungen Polynom: f x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 Ableitung 0. Ordnung: f 0 = c 0 Ableitung 1. Ordnung: f 0 = c 1 Ableitung 2. Ordnung: f 0 = 2c 2 Ableitung 3. Ordnung: f 0 = 6c 3... Faustregel Derivatives entsprechend Polynomkoeffizienten Monombasis 1, x, x², x³, Ableitungen schätzen Polynome fitten

13 Ableitungen in der Praxis

14 Ableitung: ill-posed problem h Ableitung ist instabil Je kleiner h, desto empfindlicher Störungen, Rauschen Formal schlecht gestelltes Problem Praxis: Tiefpassfilter

15 Ableitungen von Daten Ableitungen in real-world Daten Rauschen in Meßdaten unvermeidlich Regularisierung notwendig Regularisierung: Feine Details ignorieren! Option 1: h nicht zu klein machen Option 2: Tiefpassfilter (Blatt 02) Mittelwert über Funktionswerte bilden Danach geglättete Funktion ableiten (Differenzen bilden) Option 3: Moving Least Squares Polynomfit sorgt für Glättung, danach direkt ableiten

16 Glättung Rohdaten Geglättet f(x) f(x) f (x i ) y i f (x i ) y i y i 1 y i 1 Differenzen zu Nachbarn h x vorher: laufender Mittelwert h x Filtern der Daten Laufenden Mittelwert über Nachbarwerte Besser: gewichteter Mittelwert (z.b. Glockenkurve)

17 Moving Least-Squares Moving Least Squares Approximation y Zielwerte x z.b. 1, x, x 2 z.b. exp Δx 2 Verschiebe Basisfunktionen und Gewichte, Berechne Approximation neu

18 Moving Least-Squares Moving Least Squares Approximation Zielwerte Approximation

19 Integration (1D)

20 Integral einer Function Funktion f: R R Integral a f(x) + Integral a b f x dx mißt die Fläche unter der Kurve (mit Vorzeichen) f b x

21 Integral f(x) h x Numerische Approximation Summe von integrierbaren Formen Riemann sche Definition: Grenzwert h 0 a b n f x dx = lim h 0 i=1 hf(x i ), h = b a Intuition: Summe von Zahlen in einem Array n, x i = a + h i

22 Mehrdimensionale Integrale Integrale von Funktionen mit mehreren Eingaben Funktion f: R n R Teile Definitionsmenge in Polygone, forme Balken 1,4 1,4 1,2 1, ,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, ,8 0,6 0,4 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, ,8 0,6 0,4 0,2

23 Bessere Numerische Verfahren Höhere Ordnung Interpolation mit Graden, Parabeln, etc. Integral auf jedem Balken analytisch ausrechnen. Newton -Integration Optimierung: Gauss-Integration (Stützstellen geschickt platzieren) Alles das funktioniert besser als Riemann-Summe bei glatten Funktionen Unstetigkeiten nicht modelliert nur bei geringer Dimension (Gitter exp. in d)

24 Zusammenhang zwischen Integration und Ableitung

25 Integration und Ableitung h h 0 x x n 0 x x n F x n h n i=0 y i f x n y n y n 1 h

26 Hauptsatz der Int und Diff -rechn. h 0 x n d F x = f x dx diskret: x n 1 1 n y i h n 1 y i = y n h h i=0 i=0

27 Ableitungen mehrdimensionaler Funktionen

28 Mehrdimensionale Ausgabe Mehrdimensionale Ausgabe f: R R d f : R R d d dt f t = f t = d dt f 1 t d dt f 2 t d dt f d t Jede Ausgabedimension ableiten.

29 Spezialfälle Mehrdimensionale Ableitungen Funktionen f: R R n ( Kurven ) Funktionen f: R n R ( Skalarfelder ) Funktionen f: R n R m (allgemeiner Fall) t x 2 x 3 curves x 1

30 Ableitungen von Kurven Ableitungen vektorwertiger Funktionen Funktion f: R R n ( Kurve ) f t = f 1 (t) f n t Ableitung für alle Ausgabedimensionen d dt f t d dt f 1 t d dt f n t = f t = f t

31 Geometrisch: Tangentialvektor f(t) Tangentialvektor f ist der Tangentialvektor Ableitungen höherer Ordnung sind auch Vektoren! Physikalisches Partikel (Blatt 05/06) Erste Ableitung f = Geschwindigkeit Zweite Ableitung f = Beschleunigung t f (t)

32 Geometrische Anschauung Mehrdimensionale Ableitungen Funktionen f: R R n ( Kurven ) Funktionen f: R n R ( Skalarfelder ) Funktionen f: R n R m (allgemeiner Fall) f(x, y) x 2 height field x 1

33 Partielle Ableitung Multivariate Notation krummes d f x x 1,, x k,, x n k f x 1,, x k + h,, x n h lim h 0 f x 1,, x k,, x n Alternative Notation x k f x = k f x = f xk x

34 Gradient Skalarfeld f: R n R Gradientenvektor f x = x 1 x n f x = f(x) x 1 f(x) x n

35 Gradient f(x) x 1 f(x) x f(x) f x f x 0 + f x 0 (x x 0 ) x 0 x 1 x2 x2 Richtung des steilsten Anstiegs Länge gibt die Stärke (Steilheit) des Anstiegs an Taylorapproximation erster Ordnung f x f x 0 + f x 0 (x x 0 )

36 Spezialfälle Mehrdimensionale Ableitungen Funktionen f: R n R ( Skalarfelder ) Funktionen f: R R n ( Kurven ) Funktionen f: R n R m (allgemeiner Fall) w u v x 2 x 3 x 1 space warp R 3 R 3

37 Jacoby-Matrix: Jacoby-Matrix f x = J f x = f x 1,, x n = f 1 x 1,, x n f m x 1,, x n = x1 f 1 x xn f 1 x x1 f m x xn f m x Taylor Approximation erster Ordnung f x f x 0 + J f x 0 (x x 0 ) Matrix-Vektor Produkt

38 Intuition x 2 2 f(x) 1 f(x) x 1 Jacoby-Matrix / f