Effiziente Diskretisierungs- und Lösungstechniken für die Lattice-Boltzmann Equation auf unstrukturierten Gittern

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1 Effiziente Diskretisierungs- und Lösungstechniken für die Lattice-Boltzmann Equation auf unstrukturierten Gittern Thomas Hübner, Stefan Turek LS III: Angewandte Mathematik und Numerik TU Dortmund Vortrag, München

2 Inhalt 1. Lattice-Boltzmann Gleichung als PDE 2. Implizite Zeitdiskretisierung 3. Ortsdiskretisierung auf unstrukurierten Gittern 4. Konvergenz 5. Effiziente Löser 6. Neue Gleichgewichtsformulierung der LB Gleichung

3 Kapitel 1 Lattice-Boltzmann Gleichung als PDE

4 1. Lattice-Boltzmann Gleichung Lattice-Boltzmann Equation (LBE) für laminare, in- bzw. schwach kompressible Strömungen f i t + e i f i = 1 eq τ (fi f i ) bzw. stationäre Formulierung e i f i = 1 eq τ (fi f i )

5 1. Lattice-Boltzmann Gleichung e i f i = 1 eq (fi f i ) τ Approximiere Dichte und Geschwindigkeit durch Momente ρ = i f i, u = i e i f i Quadratischer Gleichgewichtsterm des inkompressiblen Modells f eq i = w i (ρ + 3 2c (e 2 i u) + 9 2c (e 4 i u) 2 3 2c u 2 ) 2 Viskosität bestimmt Relaxationszeit durch τ = 3ν c 2 Schallgeschwindigkeit c linear in e i, quadratisch in rechter Seite

6 Kapitel 2 Implizite Zeitdiskretisierung

7 2. Zeitdiskretisierung Zeitdiskretisierung f n+1 i fi n t + e i f n+1 i + 1 τ i (f n+1 i f eq,n+1 i ) = 0 Mit hi n := e i fi n + 1 τ (f i n f eq,n ) erhalte Time-Stepping-Schema f n+1 i + θ t h n+1 i = (θ 1) t hi n + fi n θ {0, 1 2, 1}: Expliziter Euler, Crank-Nicholson, Impliziter Euler

8 Kapitel 3 Ortsdiskretisierung auf unstrukurierten Gittern

9 3. Ortsdiskretisierung Ortsdiskretisierung gibt (lineare and nichtlineare) Operatoren T i F i e i f i, M i F i 1 τ f i, 8 j=0 N ij F j 1 τ f eq i Dann kann die LBE geschrieben werden als F n+1 i + t(t i F n+1 i + M i F n+1 i 8 j=0 N ijf n+1 j ) = F n i, i = 0,...,8 Resultiert in diskretem, gekoppelten, nichtlinearen Gleichungssystem T M N N 08 T := , M := , N := M T 8 N N 88 8 A = t(t + M N), B = (1 θ)af n + F n (Id + θa)f n+1 = B

10 3. Transport

11 3. 1D Ansatz für das Transportproblem Diskretsierung 2er Ordnung ergibt (mit h 1 + h 2 = r h 1 ) β u(v 0 ) = u (v 0 ) = (1 r2 )u(v 0 ) r 2 u(v 1 ) + u(v 2 ) h 1 (r 2 r) Hohe Genauigkeit Untere Dreiecksmatrizen löse Transportschritte direkt Nur möglich durch spezielles Sortierverfahren Matrixfreie Implementierung + O(h 1, h 2 ) 2

12 3. Knotennummerierung ausgehend vom Rand alle Knoten abarbeiten naiver Algorithmus sogar auf kartesischem Gitter inkonsistent Struktur der Differenzengleichung entspricht gerichtetem Graphen Hilfe aus der Graphentheorie (Topologische Nummerierung)

13 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

14 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

15 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

16 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

17 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

18 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

19 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

20 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

21 3. Transportoperatoren in der Praxis nz = 6925

22 Kapitel 4 Konvergenz

23 4. Testprobleme

24 4. Testprobleme

25 4. Rotating Couette Flow Analytische Lösung, unabhängig von Viskosität Fehlerraten gleichbleibend bei konstantem Verhältnis ν c

26 4. Rotating Couette Flow Analytische Lösung, unabhängig von Viskosität Fehlerraten gleichbleibend bei konstantem Verhältnis ν c

27 4. Rotating Couette Flow Analytische Lösung, unabhängig von Viskosität Fehlerraten gleichbleibend bei konstantem Verhältnis ν c

28 4. Rotating Couette Flow Analytische Lösung, unabhängig von Viskosität Fehlerraten gleichbleibend bei konstantem Verhältnis ν c

29 4. Driven Cavity Driven Cavity, CFD-Referenzlösung mit n= Gitterpunkten

30 4. Driven Cavity Driven Cavity, CFD-Referenzlösung mit n= Gitterpunkten

31 4. Driven Cavity Driven Cavity, CFD-Referenzlösung mit n= Gitterpunkten

32 4. Benchmark, Re=2 Zylinder im Kanal, CFD-Referenzlösung mit n=66976 Gitterpunkten

33 Kapitel 5 Effiziente Löser

34 5. Lösung der nichtlinearen Probleme Nichtlinearen Defekt lösen (auf 10 6 ) für stationären Benchmark Re = 2 c=1 c=10 c= Fixpunkt Newton Re = 20 c=1 c=10 c= Fixpunkt 180 > 300 > > >300 Newton = Newton Schema klappt gut für verschiedene h und Re

35 5. Preconditioner 1 Nummerierung entsprechend dem Transport Direkte Anwendung wegen der unteren Dreiecksstruktur nz = 6925

36 5. Preconditioner 1 Nummerierung entsprechend dem Transport Direkte Anwendung wegen der unteren Dreiecksstruktur

37 5. Eigenwertverteilung QR-Zerlegung für Driven Cavity (Re=100), c=1 Systemmatrix A der stationären Gleichung

38 5. Eigenwertverteilung QR-Zerlegung für Driven Cavity (Re=100), c=1 Modifizierte Eigenwerte durch Transport-Vorkonditionierer T 1 A

39 5. Kondition Eigenwerte der vollimpliziten Systemmatrix A bzw. der modifizierten Matrix T 1 A Kondition für c sehr schlecht max λ A max λ min λ min λ c1 n= E E E+02 n= E E E+03 n= E E E+03 c100 n= E E E+06 n= E E E+06 n= E E E+06 T 1 max λ A max λ min λ min λ c1 n= E E E+02 n= E E E+02 n= E E E+02 c100 n= E E E+04 n= E E E+04 n= E E E+04

40 5. Preconditioner 2 Alternative Nummerierung entsprechend den Kollisionen Block-Jacobi-Vorkonditionierer nz = 6925

41 5. Preconditioner 2 Alternative Nummerierung entsprechend den Kollisionen Block-Jacobi-Vorkonditionierer

42 5. Lösung der linearen Systeme Lineares System lösen (um 6 Stellen relativ) für Driven Cavity mit t = 1, Re = 100 Kleines c: Transport-Preconditioner levelunabhängig Dominante Kollisionen: Block-Jacobi Variante c-unabhängig plain bl-jac tr-pre c=1 n= n= n= n= c=10 n= n= n= n= c=100 n= n= n= n= c=1000 n= n= n= n= = Nicht optimal!

43 Kapitel 6 Gleichgewichtsformulierung der LB Gleichung

44 6. Umformulierung des Systems Versuche das System umzuformulieren, um den Transportlöser besser, direkter auszunutzen Analog zum Verfahren der generalized mean intensity (GMI) aus dem Gebiet des Strahlungstransports Neue generalized equilibrium formulation (GEF) der LB Gleichung Die invertierten Transportschritte sind dann Teil der (impliziten) Systemmatrix

45 6. Gleichgewichtsformulierung Ausgehend von der diskretisierten LBE, mit T i f i e i f i + 1 τ f i wird die Gleichung T i f i = 1 τ f eq i zu f i = T 1 1 i τ f eq i (1) und mit den entsprechenden Gewichten multipliziert und aufsummiert: f eq i = k w ik f k = k w ik T 1 1 k τ f eq k Erhalte Distributionen f i im postprocess direkt mit Gleichung (1)

46 6. Gleichgewichtsformulierung: System Id f eq i k w ik T 1 1 k τ f eq k = 0 ergibt ein LGS Ax = b mit impliziter Systemmatrix w 11 τ T 1 w 12 1 τ T 1 w 2 10 τ T 1 0 w 21 τ T 1 1 w 22 τ T w 01 τ T 1 1. w 00 τ T 1 0 f eq 1 f eq 2. f eq 0 Vorkonditionierung ist möglich, da Diagonalen der inversen Transportoperatoren bekannt sind invertiere 9x9 Systeme = 0

47 6. Performanz der Formulierung Vergleich mit Transport/Block-Jacobi Vorkonditionierer Direkte Formulierung über f i vs. Gleichgewichtsformulierung per f eq i plain bl-jac tr-pre c=1 n= n= n= n= c=10 n= n= n= n= c=100 n= n= n= n= c=1000 n= n= n= n= GEF GEF(diag) c=1 n= n= n= n= c=10 n= n= n= n= c=100 n= n= n= n= c=1000 n= n= n= n= = Nicht unabhängig von Gitterweite h!

48 Kapitel 7 Multigrid

49 7. Erste Schritte mit Mehrgitter Gute Mehrgitterraten mit beiden Glättervarianten Mehr Glättungsschritte besser, Levelabhängigkeit nur im positiven Sinne c10 c100 tr-pre bl-jac GEF GEF(diag) tr-pre bl-jac GEF GEF(diag) n= n= Aber: Gittertransfer noch nicht optimal

50 Zusammenfassung Moderne Numerik für PDE angewandt auf die LBE Finite-Differenzen Upwind Diskretisierung mit konst. Char. Auf unstrukturierten Gittern von 1er und 2er Ordnung Spezielle Nummerierung liefert untere Dreiecksmatrix für Transportoperator Implizite Zeitdiskretisierung sowie stationäre Formulierung Spezielle Vorkonditionierer für transport- und kollisionsdominante Systeme Gleichgewichtsformulierung liefert einen neuen Zugang zur LBE