Übersicht zur Numerik II für Ingenieure
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- Karl Glöckner
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1 Übersicht zur Numerik II für Ingenieure Petr Tichý und Jörg Liesen Technische Universität Berlin 19. Februar 2004
2 Modellierung Real world Problem Mathematisches Modell (Differentialgleichung) Diskretisierung Diskretes Problem LGS Lösung Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 2/60
3 Modellierung Real world Problem Mathematisches Modell (Differentialgleichung) Diskretisierung Diskretes Problem LGS Lösung Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 2/60
4 Typeinteilung Elliptische Randwertprobleme gewöhnliche partielle lineare nichtlineare homogene inhomogene Verschiedene DGLen erfordern verschiedene Lösungsmethoden. Übersicht zur Numerik II. 3/60
5 Typeinteilung Elliptische Randwertprobleme gewöhnliche partielle lineare nichtlineare homogene inhomogene Verschiedene DGLen erfordern verschiedene Lösungsmethoden. Wir konzentrieren uns auf lineare partielle (PDGL) zweiter Ordnung: n a ik (x)u xi x j + i,k=1 n b i (x)u xi + c(x)u = f(x) i=1 Koeffizienten a ik (x) definieren symmetrische Matrix A(x). Übersicht zur Numerik II. 3/60
6 Typeinteilung... nach Eigenwerten von A(x) und Rang von [A(x) b(x)] Typeinteilung Elliptische Randwertprobleme elliptische, z.b. u = f hyperbolische, z.b. (Poisson-Gleichung), 2 u t 2 2 u x 2 = 0 (Wellen-Gleichung), parabolische, z.b. u t 2 u x 2 = 0 (Wärmeleitung). Übersicht zur Numerik II. 4/60
7 Elliptische Randwertprobleme Typeinteilung Elliptische Randwertprobleme Modellproblem u = f in Ω + Randbedingungen auf Γ = Ω Übersicht zur Numerik II. 5/60
8 Elliptische Randwertprobleme Typeinteilung Elliptische Randwertprobleme Modellproblem u = f in Ω + Randbedingungen auf Γ = Ω Klassifikation von Randbedingungen (RB): Dirichlet RB u = g auf Γ i Γ, Neumann RB u ν = g auf Γ i Γ, Cauchy RB u ν + σ u = g auf Γ i Γ. Übersicht zur Numerik II. 5/60
9 Typeinteilung Elliptische Randwertprobleme Modellierung Diskretisierung Real world Problem Mathematisches Modell (Differentialgleichung) Diskretes Problem LGS Lösung Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 6/60
10 Typeinteilung Elliptische Randwertprobleme Modellierung Diskretisierung Real world Problem Mathematisches Modell (Differentialgleichung) Diskretes Problem LGS Lösung Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 6/60
11 Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Methode Übersicht zur Numerik II. 7/60
12 Idee: Taylor Entwicklung Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Taylor Entwicklung von u in Gitterpunkten v(x h) = v(x) h 1! v (x) + h2 2! v (x)... v(x + h) = v(x) + h 1! v (x) + h2 2! v (x) +... Übersicht zur Numerik II. 8/60
13 Idee: Taylor Entwicklung Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Taylor Entwicklung von u in Gitterpunkten v(x h) = v(x) h 1! v (x) + h2 2! v (x)... v(x + h) = v(x) + h 1! v (x) + h2 2! v (x) +... Elimination ungewollter niedriger Ableitungen ergibt v (x) = Approximation (schematisch): v(x h) + 2v(x) v(x + h) h 2 + O(h 2 ) v (x) h u Übersicht zur Numerik II. 8/60
14 Differenzen Sterne 2D Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung 5-Punkte-Stern: -1 u = h u + O(h 2 ) -1 Übersicht zur Numerik II. 9/60
15 Differenzen Sterne 2D Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung 5-Punkte-Stern: -1 u = h u + O(h 2 ) -1 kompakter 9-Punkte-Stern: u f = h u f + O(h 4 ) Übersicht zur Numerik II. 9/60
16 Differenzen Sterne 2D Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung 5-Punkte-Stern: -1 u = h u + O(h 2 ) -1 kompakter 9-Punkte-Stern: u f = Konsistenzordnung h u f + O(h 4 ) 1 Übersicht zur Numerik II. 9/60
17 Dirichlet Randbedingungen u/γ = g Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D -1 Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen u = h 2 f Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung -1 Darstellung Übersicht zur Numerik II. 10/60
18 Dirichlet Randbedingungen Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung u/γ = g u = h 2 f -1 Für u am Rand setzen wir g in den Differenzenstern ein. g überführen wir auf die rechte Seite. Übersicht zur Numerik II. 10/60
19 Dirichlet Randbedingungen Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung u/γ = g u = h 2 f + g(γ) -1 Für u am Rand setzen wir g in den Differenzenstern ein. g überführen wir auf die rechte Seite. Übersicht zur Numerik II. 10/60
20 Neuman Randbedingungen Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D u ν Γ = ϕ -1 Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen u = h 2 f Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung -1 Darstellung Übersicht zur Numerik II. 11/60
21 Neuman Randbedingungen Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung u ν Γ = ϕ Einseitige Differenz: Auf linkem Rand gilt u = h 2 f ϕ = u ν Wir approximieren RB durch = u(x) u(x h) h + O(h). u(x) = u(x + h) + h ϕ. Übersicht zur Numerik II. 11/60
22 Neuman Randbedingungen Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung u ν Γ = ϕ Einseitige Differenz: Auf linkem Rand gilt u = h 2 f + h ϕ(γ) ϕ = u ν Wir approximieren RB durch = u(x) u(x h) h + O(h). u(x) = u(x + h) + h ϕ. Übersicht zur Numerik II. 11/60
23 Idee von Finiten Differenzen Gegeben: Differentialgleichung, Randbedingungen, Gitter. Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Ersetze Differentialoperator in Gitterpunkten durch Differenzensterne (aus Taylor Entwicklung). 1 Stern in innerem Gitterpunkt = 1 Gleichung. In Differenzensternen betrachte auch Randbedingungen. Erzetze die Differentialgleichung durch Differenzengleichungen. Wir erhalten lineares Gleichungssystem. A h u h = b h. Übersicht zur Numerik II. 12/60
24 Konvergenz Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Definition: Konsistenz von Ordnung p: b h A h u h = O(h p ). Stabilität: Es gibt C unabhängig von h, so daß: Konvergenz von Ordnung p: A 1 h C <. u h u h = O(h p ). Übersicht zur Numerik II. 13/60
25 Konvergenz Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Definition: Konsistenz von Ordnung p: b h A h u h = O(h p ). Stabilität: Es gibt C unabhängig von h, so daß: Konvergenz von Ordnung p: A 1 h C <. u h u h = O(h p ). Konsistenz + Stabilität = Konvergenz Übersicht zur Numerik II. 13/60
26 Konvergenz Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Definition: Konsistenz von Ordnung p: b h A h u h = O(h p ). Stabilität: Es gibt C unabhängig von h, so daß: Konvergenz von Ordnung p: A 1 h C <. u h u h = O(h p ). Satz: Ein konsistentes und stabiles Verfahren ist konvergent und die Konvergenzordnung ist mindestens gleich der Konsistenzordnung. Übersicht zur Numerik II. 13/60
27 Beispiel: u = f, Ω = [0, 1] 2, Dirichlet RB Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Konsistez- Ordnung Konvergenz- Ordnung Glattheitt von u 5-P-S 2 2 u C 4 (Ω) komp. 9-P-S 4 4 u C 6 (Ω) komp. 9-P-S 4 6 u C 8 (Ω), f = 0 Übersicht zur Numerik II. 14/60
28 Vorteile und Nachteile - Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Vorteile: Einfaches mathematisches Konzept (Taylorentwicklung). Für regelmässige Gebiete einfache Implementation. Für regelmässige Gebiete gute Resultate. Übersicht zur Numerik II. 15/60
29 Vorteile und Nachteile - Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Vorteile: Einfaches mathematisches Konzept (Taylorentwicklung). Für regelmässige Gebiete einfache Implementation. Für regelmässige Gebiete gute Resultate. Nachteile: Hohe Voraussetzungen an die Glattheit von u. Probleme mit Geometrie bei allgemeinen Gebieten. Probleme mit Verfeinerung (große Anzahl neuer Gitterpunkte). Übersicht zur Numerik II. 15/60
30 Testproblem: u(x, y) = sin(πx) cos(πy) Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung u = f in Ω = [0, 1] [0, 1], u = g auf Ω, Lösung, sin(πx)cos(πy) Übersicht zur Numerik II. 16/
31 Darstellung Fehler, 5 P. Stern, N=39 x Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Fehler, 9 P. Stern, N= x Übersicht zur Numerik II /60 0
32 - Staudamm Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung u... Strömungspotential, k h, k v... Durchlässigkeit, Γ N Γ D (k h u x ) x (k v u y ) y = 0. Γ D Γ D Ω Γ N k h = 0.1, k v = 1 k h = 1, k v = 10 Übersicht zur Numerik II. 18/60 Γ D Γ N
33 Darstellung Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Übersicht zur Numerik II. 19/60
34 Real world Problem Idee: Taylor Entwicklung Differenzen Sterne 2D Dirichlet Randbedingungen Neuman Randbedingungen Idee von Finiten Differenzen Konvergenz Konvergenz-Beispiel Vorteile und Nachteile Testproblem Darstellung Darstellung Modellierung Diskretisierung Mathematisches Modell (Differential Gleichung) Diskretes Problem LGS Lösung Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 20/60
35 Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Finite-Element-Methode Übersicht zur Numerik II. 21/60
36 Gesucht: Methode zur Diskretisierung Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel auf beliebigen Gebieten, mit einfachen Möglichkeiten zur Gitterverfeinerung, die Konvergenz auch bei weniger glatten Lösungen garantiert, Neumann/Cauchy RB leicht berücksichtigen läßt und leicht algorithmisierbar ist. Übersicht zur Numerik II. 22/60
37 Gesucht: Methode zur Diskretisierung Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel auf beliebigen Gebieten, mit einfachen Möglichkeiten zur Gitterverfeinerung, die Konvergenz auch bei weniger glatten Lösungen garantiert, Neumann/Cauchy RB leicht berücksichtigen läßt und leicht algorithmisierbar ist. Um eine solche Methode zu entwickeln, muss man viel Mathematik benutzen (insbes. Funktionalanalysis). Übersicht zur Numerik II. 22/60
38 Matematische Grunglagen Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel (bi-)lineare Formen, Integralsätze im R n, Sobolev Räume, Sätze der Funktionalanalysis, Variationsmethoden (Galerkin, Ritz), u.v.m. Übersicht zur Numerik II. 23/60
39 Formen Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel f(v) ist Linearform wenn f(αu + βv) = α f(u) + β f(v), a(u, v) ist Bilinearform = linear in jeder Variable. Übersicht zur Numerik II. 24/60
40 Formen Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel f(v) ist Linearform wenn f(αu + βv) = α f(u) + β f(v), a(u, v) ist Bilinearform = linear in jeder Variable. Mögliche Eigenschaften einer Bilinearform a(u, v) sind (jeweils für alle u V, v V ): Symmetrie: a(u, v) = a(v, u) Definitheit: a(u, u) = 0 u = 0, Positivität: a(u, u) 0, V-Elliptizität: a(u, u) β u 2 für eine Konst. β > 0, Stetigkeit: a(u, v) α u v für eine Konst. α > 0. Übersicht zur Numerik II. 24/60
41 Integralsätze im R n Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Voraussetzungen: Ω R n kompakt, Γ = Ω glatter Rand, w : Ω R n partiell differenzierbares Vektorfeld, ν : Γ R n das äußeres Einheits-Normalenfeld, Übersicht zur Numerik II. 25/60
42 Integralsätze im R n Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Voraussetzungen: Ω R n kompakt, Γ = Ω glatter Rand, w : Ω R n partiell differenzierbares Vektorfeld, ν : Γ R n das äußeres Einheits-Normalenfeld, Gaußscher Integralsatz: Ω Greensche Formel: u v dω = Ω div w dω = Γ Γ u ν v dγ ν w dγ. Ω u v dω. Übersicht zur Numerik II. 25/60
43 Integralsätze im R n Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Voraussetzungen: Ω R n kompakt, Γ = Ω glatter Rand, w : Ω R n partiell differenzierbares Vektorfeld, ν : Γ R n das äußeres Einheits-Normalenfeld, Gaußscher Integralsatz: Ω Greensche Formel: u v dω = Ω div w dω = Γ Γ u ν v dγ ν w dγ. Ω u v dω. Verallgemeinerungen auf Lipschitz-Gebiete Ω und H 1 bzw. H 2 Funktionen existieren. Übersicht zur Numerik II. 25/60
44 Variationsproblem Beispiel: (1) u = q in Ω, u ν = ϕ auf Γ. Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Übersicht zur Numerik II. 26/60
45 Variationsproblem Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Beispiel: (1) u = q in Ω, u ν = ϕ auf Γ. Multipliziere (1) mit v V, V ist Grundraum. Integriere über Ω. Benutze Intergalsätze. Berücksichtige Randbedingungen. Übersicht zur Numerik II. 26/60
46 Variationsproblem Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Beispiel: (1) u = q in Ω, u ν = ϕ auf Γ. Multipliziere (1) mit v V, V ist Grundraum. Integriere über Ω. Benutze Intergalsätze. Berücksichtige Randbedingungen. Variationsproblem Suche u V mit a(u, v) = f(v) f.a. v V, a(u, v) = u v dω, f(v) = q v dω + ϕ v dγ. Ω Ω Γ Übersicht zur Numerik II. 26/60
47 Sobolev Räume Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel g ist schwache Ableitung von f nach x, wenn f ψ x dω = g ψ dω f.a. ψ C 0,. Ω Ω Übersicht zur Numerik II. 27/60
48 Sobolev Räume Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel g ist schwache Ableitung von f nach x, wenn f ψ x dω = g ψ dω f.a. ψ C 0,. Ω Ω Sobolev Raum H k (Ω) = Funktionen, deren schwache Ableitungen bis Ordnung k existieren und im L 2 (Ω) liegen (d.h. quadratisch integrierbar sind), Ω ist Lipschitz-Gebiet. Sobolev Raum H k (Ω) ist Hilbertraum. Übersicht zur Numerik II. 27/60
49 Sobolev Räume Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel g ist schwache Ableitung von f nach x, wenn f ψ x dω = g ψ dω f.a. ψ C 0,. Ω Ω Sobolev Raum H k (Ω) = Funktionen, deren schwache Ableitungen bis Ordnung k existieren und im L 2 (Ω) liegen (d.h. quadratisch integrierbar sind), Ω ist Lipschitz-Gebiet. Sobolev Raum H k (Ω) ist Hilbertraum. Variationsproblem Suche u V mit a(u, v) = f(v) f.a. v V. Wir lösen dies in schwachem Sinne, d.h. in Sobolevräumen. Übersicht zur Numerik II. 27/60
50 Lax-Milgram Satz Sei V ein Hilbertraum mit Skalarprodukt (u, v) und davon erzeugter Norm v = (v, v) 1/2. Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Sei a : V V R eine stetige, V-elliptische Bilinearform und f : V R eine stetige Linearform. Dann besitzt das Variationsproblem Suche u V mit a(u, v) = f(v) f.a. v V, eine eindeutig bestimmte Lösung. Übersicht zur Numerik II. 28/60
51 Diskretisierung Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Ansatzraum V h V, dim V h = N <, Basis v 1,..., v N, Betrachte N u h = α i v i. i=1 Idee: Löse Variationsproblem im V h. Übersicht zur Numerik II. 29/60
52 Diskretisierung Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Ansatzraum V h V, dim V h = N <, Basis v 1,..., v N, Betrachte N u h = α i v i. i=1 Idee: Löse Variationsproblem im V h. Galerkin-Ansatz Suche u h V h mit a(u h, v) = f(v) f.a. v V h, Ritz-Ansatz Suche u h V h mit F (u h ) F (v) f.a. v V h, wobei F (v) = 1 2a(v, v) f(v). Übersicht zur Numerik II. 29/60
53 Lineares Gleichungssystem Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Falls a(u, v) positiv und symmetrisch ist, sind beide Ansätze sind äquivalent und führen auf das lineares Gleichungssystem a(v 1, v 1 )... a(v 1, v N ).. a(v N, v 1 )... a(v N, v N ) α 1.. α N = f(v 1 ). f(v N ). Übersicht zur Numerik II. 30/60
54 Lineares Gleichungssystem Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Falls a(u, v) positiv und symmetrisch ist, sind beide Ansätze sind äquivalent und führen auf das lineares Gleichungssystem a(v 1, v 1 )... a(v 1, v N ).. a(v N, v 1 )... a(v N, v N ) α 1.. α N = f(v 1 ). f(v N ) FEM - basiert auf dem Galerkin-Ansatz, wählt geschickt: Ansatzraum V h (mit guten Approximationseigenchaften),. Basisfunktionen v j (so daß Matrix A h dünn besetzt ist). Übersicht zur Numerik II. 30/60
55 Idee der Finite-Element-Methode Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Zerlegung des Gebietes in viele Teilgebiete Ω i Ω = M i=1 Ω i. Man wählt Ansatzräume V h so daß sie stückweise polynomiale Funktionen v enthalten: v Ωi ist Polynom. Man wählt Basisfunktionen mit kleinem Träger. Übersicht zur Numerik II. 31/60
56 Idee der Finite-Element-Methode Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Zerlegung des Gebietes in viele Teilgebiete Ω i Ω = M i=1 Ω i. Man wählt Ansatzräume V h so daß sie stückweise polynomiale Funktionen v enthalten: v Ωi ist Polynom. Man wählt Basisfunktionen mit kleinem Träger. Anforderungen: Zerlegung ist zulässig. Eine Funktion aus V h ist auf einem Element Ω i eindeutig bestimmt durch die Werte oder Ableitungen in den Element-Knoten. Übersicht zur Numerik II. 31/60
57 Rechentechnische Realisierung Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel z.b. Dreieckelemente. Assemblierung des linearen Gleichungssystems mit Hilfe von Elementmatrizen und Elementvektoren: M a(v i, v j ) dω = a(v i, v j ) dω k Ω k=1 Ω k Übersicht zur Numerik II. 32/60
58 Rechentechnische Realisierung Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel z.b. Dreieckelemente. Assemblierung des linearen Gleichungssystems mit Hilfe von Elementmatrizen und Elementvektoren: M a(v i, v j ) dω = a(v i, v j ) dω k Ω k=1 Berechnung von Integralen über Ω k mit Hilfe von der Transformation: Ω i Ω k Referenzdreieck Übersicht zur Numerik II. 32/60
59 Konvergenz von FEM Lemma von Céa: Sei u h Galerkin Approximation. Falls a eine V-elliptische und stetige Bilinearform ist, dann gilt Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel u u h β α min v V h u v. Übersicht zur Numerik II. 33/60
60 Konvergenz von FEM Lemma von Céa: Sei u h Galerkin Approximation. Falls a eine V-elliptische und stetige Bilinearform ist, dann gilt Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel u u h β α min v V h u v. Satz: Sind alle Elemente Ω i vom gleichen Typ (Lagrange), sind die Polynome vom Grad k sowie u H k+1 (Ω). Dann gibt es eine Konstante c > 0 mit u u h H 1 (Ω) c h k. (c ist von h unabhängig aber von u abhängig) Übersicht zur Numerik II. 33/60
61 Beispiel: Konvergenz in H 1 (Ω)-Norm Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel u u h H 1 (Ω) Lineares Dreieckelement Quadratisches Dreieckelement u H 2 (Ω) O(h) O(h) u H 3 (Ω) O(h) O(h 2 ) Höherpolynomiale Ansätze bringen oft nur dann einen Vorteil, wenn genügend Glattheit der Lösung vorhanden ist. Übersicht zur Numerik II. 34/60
62 Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel z u = 32(y y 2 + x x 2 ) in Ω = (0, 1) (0, 1), u = 0 auf Ω. FEM Lösung u h absoluter Fehler u u h x z y x y x Übersicht zur Numerik II. 35/60
63 Real world Problem Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Modellierung Diskretisierung Mathematisches Model (Differentialgleichung) Diskretes Problem LGS Lösung Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 36/60
64 Real world Problem Matematische Grunglagen Formen Integralsätze im R n Variationsproblem Sobolev Räume Lax-Milgram Satz Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Idee der FEM Realisierung Konvergenz von FEM Konvergenz-Beispiel Modellierung Diskretisierung Mathematisches Model (Differentialgleichung) Diskretes Problem LGS Lösung Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 36/60
65 Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Ax = b Übersicht zur Numerik II. 37/60
66 Übersicht Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Aus Diskretisierung Systeme Ax = b mit Eigenschaften: A ist dünn besetzt. A kann sehr groß sein. Ax = b muß nicht unbedingt exakt gelöst werden ( Diskretisierungsfehler ohnehin vorhanden). Übersicht zur Numerik II. 38/60
67 Übersicht Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Aus Diskretisierung Systeme Ax = b mit Eigenschaften: A ist dünn besetzt. A kann sehr groß sein. Ax = b muß nicht unbedingt exakt gelöst werden ( Diskretisierungsfehler ohnehin vorhanden). Mögliche Verfahren zur Lösung: Direkte Verfahren (Gauss, LU, LL T ) Klassische Iterative Verfahren (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR) Projektionsmethoden (Krylov-Raum-Methoden) Multigrid (Mehrgitter) Verfahren Übersicht zur Numerik II. 38/60
68 Übersicht Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Aus Diskretisierung Systeme Ax = b mit Eigenschaften: A ist dünn besetzt. A kann sehr groß sein. Ax = b muß nicht unbedingt exakt gelöst werden ( Diskretisierungsfehler ohnehin vorhanden). Mögliche Verfahren zur Lösung: Direkte Verfahren (Gauss, LU, LL T ) Klassische Iterative Verfahren (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR) Projektionsmethoden (Krylov-Raum-Methoden) Multigrid (Mehrgitter) Verfahren In diesem Fall Krylov-Raum-Methoden sehr geeignet. Übersicht zur Numerik II. 38/60
69 Projektionsmethoden Grundidee: Gegeben A, b, x 0 Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid wobei Finde x i x 0 + S i mit r i C i, x i Approximation der Lösung, r i Residuum b Ax i, S i, C i i-dimensionale Räume Übersicht zur Numerik II. 39/60
70 Projektionsmethoden Grundidee: Gegeben A, b, x 0 Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Finde x i x 0 + S i mit r i C i, wobei x i Approximation der Lösung, r i Residuum b Ax i, S i, C i i-dimensionale Räume Ax = b wird projiziert auf kleineres System C T i AS i y i = C T i r 0. Die Spalten von C i bzw. S i sind Basisvektoren von C i bzw. S i. Übersicht zur Numerik II. 39/60
71 Krylov-Raum-Methoden Zur Definition von S i und C i werden Krylov-Räume benutzt, K i (A, r 0 ) := span{r 0, Ar 0,..., A i 1 r 0 } Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Übersicht zur Numerik II. 40/60
72 Krylov-Raum-Methoden Zur Definition von S i und C i werden Krylov-Räume benutzt, K i (A, r 0 ) := span{r 0, Ar 0,..., A i 1 r 0 } Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Beispiele der Wahl von S i und C i : Wenn A SPD, S i = C i := K i (A, r 0 ) CG-Verfahren x x i A = min x y A. y x 0 +K i (A,r 0 ) Für allgemeine (nichtsymmetrische) A, S i := K i (A, r 0 ), C i := AK i (A, r 0 ) GMRES-Verfahren b Ax i = min b Ay. y x 0 +K i (A,r 0 ) Übersicht zur Numerik II. 40/60
73 Implementation Man benötigt eine geeignete (idealerweise orthogonale) Basis der Krylov-Räume. Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Beispiel: Arnoldi-Verfahren konstruiert sukzessive eine Orthogonalbasis der Krylov-Räume, AV i = V i+1 H i+1,i. Übersicht zur Numerik II. 41/60
74 Implementation Man benötigt eine geeignete (idealerweise orthogonale) Basis der Krylov-Räume. Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Beispiel: Arnoldi-Verfahren konstruiert sukzessive eine Orthogonalbasis der Krylov-Räume, AV i = V i+1 H i+1,i. Im Allgemeinen ist H i+1,i eine obere Hessenberg Matrix um neuen Basis-Vektor v i+1 zu berechnen, benötigt man alle vorherige Basis-Vektoren v 1,..., v i Falls A = A T, ist H i+1,i tridiagonal um neuen Basis-Vektor v i+1 zu berechnen, benötigt man nur v i 1 und v i Lanzcos-Verfahren. Mit Hilfe der Basis-Vektoren konstruieren wir x i und r i. Übersicht zur Numerik II. 41/60
75 Beispiel Das CG-Verfahren Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Input: A R N N, b R N, x 0 R N. Initialisierung: r 0 = b Ax 0, p 0 = r 0. Für i = 0, 1, 2,... α i = (r i, r i ) (p i, Ap i ) x i+1 = x i + α i p i r i+1 = r i α i Ap i β i = (r i+1, r i+1 ) (r i, r i ) p i+1 = r i+1 + β i p i. Übersicht zur Numerik II. 42/60
76 Eigenschaften von CG in exakter Arithmetik Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Die A-Norm des Fehlers wird in jedem Schritt i minimiert, x x i A = min x y A. y x 0 +K i (A,r 0 ) {r 0,..., r i } ist eine orthogonale Basis von K i+1 (A, r 0 ), {p 0,..., p i } ist eine A-orthogonale Basis von K i+1 (A, r 0 ). Das CG-Verfahren terminiert nach höchstens N Schritten. Für d > 0, d N, gilt x x i 2 A x x i+d 2 A = i+d 1 j=i α j r j 2 > 0. Die euklidische Fehlernorm ist monoton fallend, d.h. x x i > x x i+1. Übersicht zur Numerik II. 43/60
77 Vorkonditionierung für CG Transformation des Systems Ax = b Ax = b ˆx = ˆb, Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid  = L 1 AL T, ˆb = L 1 b, ˆx = L T x. Übersicht zur Numerik II. 44/60
78 Vorkonditionierung für CG Transformation des Systems Ax = b Ax = b ˆx = ˆb, Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid  = L 1 AL T, ˆb = L 1 b, ˆx = L T x. CG wird formal auf das System ˆx = ˆb angewandt. Rückwärtstransformation x i := L T ˆx i. Formulierung eines neuen Algorithmus, der direkt x i berechnet. In jedem Schritt müssen wir LGS mit LL T lösen. Übersicht zur Numerik II. 44/60
79 Vorkonditionierung für CG Transformation des Systems Ax = b Ax = b ˆx = ˆb, Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid  = L 1 AL T, ˆb = L 1 b, ˆx = L T x. CG wird formal auf das System ˆx = ˆb angewandt. Rückwärtstransformation x i := L T ˆx i. Formulierung eines neuen Algorithmus, der direkt x i berechnet. In jedem Schritt müssen wir LGS mit LL T lösen. Mit Vorkonditionierung wollen wir Konvergenz beschleunigen. Übersicht zur Numerik II. 44/60
80 Vorkonditionierung für CG Transformation des Systems Ax = b Ax = b ˆx = ˆb, Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid  = L 1 AL T, ˆb = L 1 b, ˆx = L T x. CG wird formal auf das System ˆx = ˆb angewandt. Rückwärtstransformation x i := L T ˆx i. Formulierung eines neuen Algorithmus, der direkt x i berechnet. In jedem Schritt müssen wir LGS mit LL T lösen. Mit Vorkonditionierung wollen wir Konvergenz beschleunigen. Vorkonditionierung Kombination von iterativen Verfahren und direkten Verfahren. Übersicht zur Numerik II. 44/60
81 Algorithmus PCG Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Input: A R N N, L R N N, b R N, x 0 R N. Initialisierung: r 0 = b Ax 0, z 0 = (LL T ) 1 r 0, p 0 = z 0. Für i = 0, 1, 2,... α i = (r i, z i ) (p i, Ap i ) x i+1 = x i + α i p i r i+1 = r i α i Ap i z i+1 = (LL T ) 1 r i+1 β i = (r i+1, z i+1 ) (r i, z i ) p i+1 = z i+1 + β i p i. Übersicht zur Numerik II. 45/60
82 Konvergenz von Krylov-Raum-Methoden A = A T : Konvergenz ist im Allgemeinen abhängig von Eigenwertverteilung und vom Startvektor r 0. Worst-case Schranke für CG (unabhängig von r 0 ): Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid x x i A min max x x 0 p(λ j) A p(0)=1 1 j N deg p=i Übersicht zur Numerik II. 46/60
83 Konvergenz von Krylov-Raum-Methoden A = A T : Konvergenz ist im Allgemeinen abhängig von Eigenwertverteilung und vom Startvektor r 0. Worst-case Schranke für CG (unabhängig von r 0 ): Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid x x i A min max x x 0 p(λ j) A p(0)=1 1 j N deg p=i Allgemeines A: Konvergenz abhängig auch von Eigenraumstruktur. Wie? Offene Frage. Worst-case Schranke für GMRES wenn A diagonalisierbar, A = V DV 1, r i r 0 κ(v ) min max p(λ j) p(0)=1 1 j N deg p=i Übersicht zur Numerik II. 46/60
84 Konvergenzkriterien Vorteil von iterativen Verfahren: Prozess kann jederzeit beendet werden mit Approximation x i. Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Übersicht zur Numerik II. 47/60
85 Konvergenzkriterien Vorteil von iterativen Verfahren: Prozess kann jederzeit beendet werden mit Approximation x i. Wie können wir Qualität der Approximation messen? Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Übersicht zur Numerik II. 47/60
86 Konvergenzkriterien Vorteil von iterativen Verfahren: Prozess kann jederzeit beendet werden mit Approximation x i. Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Wie können wir Qualität der Approximation messen? Normweiser Rückwärtsfehler r i A x i + b < tol Begründung: Störungstheorie In CG: Relative A-Norm des Fehlers (Einschätzung) x x i A x x 0 A < tol Relative Residuennorm Begründung: Physikalische Bedeutung r i r 0 < tol Begründung: Einfach zu berechnen Übersicht zur Numerik II. 47/60
87 Endliche Arithmetik Einfluß von Endlicher Arithmetik kann wichtig sein. Beispiel CG-Verfahren: Orthogonalität geht verloren. Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid 10 0 (E) x x j A (FP) x x j A 10 2 (E) I V T j V j F (FP) I V T j V j F Sind alle schönen Eigenschaften von CG verloren? Übersicht zur Numerik II. 48/60
88 Endliche Arithmetik Einfluß von Endlicher Arithmetik kann wichtig sein. Beispiel CG-Verfahren: Orthogonalität geht verloren. Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid 10 0 (E) x x j A (FP) x x j A 10 2 (E) I V T j V j F (FP) I V T j V j F Sind alle schönen Eigenschaften von CG verloren? NEIN. Nur Konverzenzverzögerung. Übersicht zur Numerik II. 48/60
89 Eigenschaften von Krylov-Raum-Methoden Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Konstruieren Approximationen für die Lösung. Ermöglichen inexakte Lösung des Systems. Prozess kann jederzeit gestoppt werden, um Operationen zu sparen. Machen Projektionen auf Krylov Räume. Krylov Räume gute Approximationseigenschaften. Können sehr große Systeme mit dünn besetzter Matrix lösen. Benötigen nur Funktion, die A v berechnet, nicht A. Haben niedrige Speicheranforderungen (besonders CG). Zur Konvergenzbechleunigung Vorkonditionierung. u.v.m. Übersicht zur Numerik II. 49/60
90 Multigrid (Mehrgitter) Verfahren feines Gitter grobes Gitter h 2h = H Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid v h Restriktion Rh H Prolongation PH h v H Wir wollen A h x h = b h lösen. Idee: Reduziere niederfrequente Anteile auf groben Gitter. Übersicht zur Numerik II. 50/60
91 Grundschema von Multigrid Glättungsschritt I: x (j) h = Relax(A h, b h, x (j 1) h, m 1 ) z.b. m 1 Schritte Jacobi-Relaxation Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Übersicht zur Numerik II. 51/60
92 Grundschema von Multigrid Glättungsschritt I: x (j) h = Relax(A h, b h, x (j 1) h, m 1 ) z.b. m 1 Schritte Jacobi-Relaxation Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Korektur: Berechne Defekt: d (j) h Restriktion: d (j) H = RH h d(j) h = b h A h x (j) h Löse Defektgleichung auf grobem Gitter A H x (j) H Prolongation: y (j+1) h Korrektur: x (j+1) h = x (j) h = P h H x(j) H + y(j+1) h = d(j) H Übersicht zur Numerik II. 51/60
93 Grundschema von Multigrid Glättungsschritt I: x (j) h = Relax(A h, b h, x (j 1) h, m 1 ) z.b. m 1 Schritte Jacobi-Relaxation Übersicht Projektionsmethoden Krylov-Raum-Methoden Implementation Beispiel CG Eigenschaften von CG Vorkonditionierung für CG Algorithmus PCG Konvergenz Konvergenzkriterien Endliche Arithmetik Allgemeine Eigenschaften Multigrid Verfahren Grundschema von Multigrid Korektur: Berechne Defekt: d (j) h Restriktion: d (j) H = RH h d(j) h = b h A h x (j) h Löse Defektgleichung auf grobem Gitter A H x (j) H Prolongation: y (j+1) h Korrektur: x (j+1) h = x (j) h = P h H x(j) H + y(j+1) h = d(j) H Glättungsschritt II: x (j+2) h = Relax(A h, b h, x (j+1) h, m 2 ) Übersicht zur Numerik II. 51/60
94 Lösungsprozess und Fehler Darstellung Übersicht zur Numerik II. 52/60
95 Lösungsprozess und Fehler Lösungsprozess und Fehler Darstellung Real world Problem Mathematisches Modell (Differentialgleichung) Auf jedem Niveau gibt es Fehler. Es ist wichtig, diese Fehler einzuschätzen und zu verstehen. Diskretes Problem Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 53/60
96 Lösungsprozess und Fehler Lösungsprozess und Fehler Darstellung Real world Problem Mathematisches Modell (Differentialgleichung) Auf jedem Niveau gibt es Fehler. Es ist wichtig, diese Fehler einzuschätzen und zu verstehen. Nur dann wissen wir, wie exakt wir auf jedem Niveau lösen müssen. Diskretes Problem Linear algebraisches Problem Übersicht zur Numerik II. 53/60
97 Lösungsprozess und Fehler Lösungsprozess und Fehler Darstellung Real world Problem Mathematisches Modell (Differentialgleichung) Diskretes Problem Linear algebraisches Problem Auf jedem Niveau gibt es Fehler. Es ist wichtig, diese Fehler einzuschätzen und zu verstehen. Nur dann wissen wir, wie exakt wir auf jedem Niveau lösen müssen. Nur dann wissen wir, wie weit die Lösung des LGSs der Realität entspricht Übersicht zur Numerik II. 53/60
98 Wie exakt muss man LGS lösen? Lösungsprozess und Fehler Darstellung exakte Lösung der PDGL u exakte Lösung des Systems A h u h = b h u h Abstand wegen des Diskretisierungsfehlers Übersicht zur Numerik II. 54/60
99 Wie exakt muss man LGS lösen? Lösungsprozess und Fehler Darstellung CG konstruiert Approximationen x i zu u h. Man kann CG stoppen, falls x i u h u u h. u Dann ist u u h u x i. x i u h Übersicht zur Numerik II. 54/60
100 Wie exakt muss man LGS lösen? Lösungsprozess und Fehler Darstellung CG konstruiert Approximationen x i zu u h. Man kann CG stoppen, falls x i u h u u h. u Dann ist u u h u x i. x i u h Testproblem: u = 32(y y 2 + x x 2 ), u = 0 auf Ω. Lineare Dreieckelemente, Diskretisierungsfehler h 2. LGS: CG-Verfahren, Konvergenzkriterium r i A x i + b h3. Übersicht zur Numerik II. 54/60
101 Darstellung x 10 4 absoluter Fehler u u h, u h wurde "exakt" berechnet z Lösungsprozess und Fehler Darstellung absoluter Fehler u u h, u h wurde "unexakt" berechnet mit tol=h y x x z y 0 Übersicht zur Numerik II. x 55/60
102 Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Übersicht zur Numerik II. 56/60
103 Eliptische Eigenwertprobleme: Hyperbolische Anfangsrandwertaufgabe, w = w tt w(x, y, t) : Ω [0, T ] R. Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Übersicht zur Numerik II. 57/60
104 Eliptische Eigenwertprobleme: Hyperbolische Anfangsrandwertaufgabe, w = w tt w(x, y, t) : Ω [0, T ] R. Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Ansatz: w(x, y, t) = u(x, y) g(t) führt auf g u g u = 0 u u = g g := λ. Übersicht zur Numerik II. 57/60
105 Eliptische Eigenwertprobleme: Hyperbolische Anfangsrandwertaufgabe, w = w tt w(x, y, t) : Ω [0, T ] R. Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Ansatz: w(x, y, t) = u(x, y) g(t) führt auf g u g u = 0 u u = g g := λ. Gesucht eine Konstante λ mit u = λ u, (+ Randbedingungen). Eliptisches Eigenwertproblem g = λg dann leicht lösbar (gewöhliche DGL). Übersicht zur Numerik II. 57/60
106 Eliptische Eigenwertprobleme: Lösung Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode FD-Diskretisierung führt auf lineares Eigenwertproblem A h u h = λ u h. FEM-Diskretisierung führ auf verallgemeinertes lineares Eigenwertproblem A h u h = λ M h u h. Übersicht zur Numerik II. 58/60
107 Eliptische Eigenwertprobleme: Lösung Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode FD-Diskretisierung führt auf lineares Eigenwertproblem A h u h = λ u h. FEM-Diskretisierung führ auf verallgemeinertes lineares Eigenwertproblem Verfahren zur Lösung: A h u h = λ M h u h. Lanczos-Varfahren (falls A h, M h symmetrisch) Arnoldi-Verfahren (falls A h, M h unsymmetrisch) Typischerweise: A h (und M h ) groß und dünnbesetzt. Übersicht zur Numerik II. 58/60
108 Parabolische Anfangswertprobleme Wärmeleitung: Suche u(x, y, t) : Ω (0, T ) R u t u = f(x, y, t) in Ω (0, T ), u = 0 für (x, y) Ω, t [0, T ], u = u 0 (x, y) für (x, y) Ω, t = 0. Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Übersicht zur Numerik II. 59/60
109 Parabolische Anfangswertprobleme Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Wärmeleitung: Suche u(x, y, t) : Ω (0, T ) R Ansätze: u t u = f(x, y, t) in Ω (0, T ), Volldiskretisierung: u = 0 für (x, y) Ω, t [0, T ], u = u 0 (x, y) für (x, y) Ω, t = 0. u wird als Funktion von 3 gleichberechtigten Variablen betrachtet Anwendung von FD bzw. FEM. Semidiskretisierung Linienmethoden: Vertikale: Diskretisiere bzgl. der Raumvariablen (FD/FEM), dann löse System gewöhnlicher DGLen. Horizontale: Diskretisiere bzgl. der Zeitvariablen, dann löse Folge Eliptischer Randwertprobleme (FD/FEM). Übersicht zur Numerik II. 59/60
110 Vertikale Linienmethode Variationsproblem: Finde u V f.a. t mit u t L 2 (Ω) und (u t, v) + a(u, v) = (f, v) f.a. v V, sowie u = u 0 für t = 0. Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Übersicht zur Numerik II. 60/60
111 Vertikale Linienmethode Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Variationsproblem: Finde u V f.a. t mit u t L 2 (Ω) und (u t, v) + a(u, v) = (f, v) f.a. v V, sowie u = u 0 für t = 0. Semidiskretes Problem: Finde u h V h f.a. t mit ( u h t, v) + a(u h, v) = (f, v) f.a. v V h, (u h (x, y, 0), v) = (u 0, v) f.a. v V h. Übersicht zur Numerik II. 60/60
112 Vertikale Linienmethode Eigenwertprobleme Lösung von EE Parabolische PDGL Vertikale Linienmethode Variationsproblem: Finde u V f.a. t mit u t L 2 (Ω) und (u t, v) + a(u, v) = (f, v) f.a. v V, sowie u = u 0 für t = 0. Semidiskretes Problem: Finde u h V h f.a. t mit ( u h t, v) + a(u h, v) = (f, v) f.a. v V h, (u h (x, y, 0), v) = (u 0, v) f.a. v V h. Ansatz u h (x, y, t) = N α j (t) w j (x, y) j=1 führt auf Systeme gewöhnlicher DGLen der Form y t = By + f(t), y(0) = g. Übersicht zur Numerik II. 60/60
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