Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 2014/15. Kapitel 0

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1 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Wintersemester 2014/15 Kapitel 0 Jun.-Prof. Dr. Thorsten Raasch Johannes Gutenberg-Universität Mainz Institut für Mathematik 29. Oktober 2015

2 Numerik was ist das? Was ist Numerische Mathematik? Numerische Mathematik bedeutet Konstruktion und mathematische Analyse von Algorithmen, d.h. auf Computern realisierbaren Rechenmethoden zur konkreten, meist approximativen Lösung mathematischer Probleme. Numerische Algorithmen sind erforderlich zur stabilen Lösung von Problemen ohne expliziter oder mit ungeeigneter Lösungsdarstellung.

3 Numerik Ziele? Numerische Mathematik: Übergreifende Ziele Beurteilung von Algorithmen hinsichtlich Stabilität (Entstehung/Fortpflanzung von Rundungsfehlern) Konvergenz (Abschätzung von Diskretisierungs-/Abbruchfehlern) Komplexität (Abschätzung von Speicherbedarf und Rechenzeit)

4 Numerik Einordnung? Analysis Algebra Stochastik Numerik Wissenschaftliches Rechnen Math. Modellierung Num. Simulation Informatik Anwendung

5 Numerik in Mainz Vorlesungszyklus Grundlagen der Numerik (SS 2014) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (WS 2014/15) Numerik partieller Differentialgleichungen (jährlich im WS, z.b. 2015/16) Modellierungspraktikum (jährlich im SS, z.b. 2016) Hauptseminare Spezialvorlesungen

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Normalform einer gewöhnlichen Differentialgleichung: y (t) = f ( t, y(t) ), für alle t (a, b) R n. Dabei ist die rechte Seite f : R R n R n gegeben, und die gesuchte Lösung y : (a, b) R n ist eine Kurve. Herkunft gewöhnlicher Differentialgleichungen: Modellierung zeitabhängiger Probleme mit endlich-dimensionalem Zustandsraum, z.b. Wirtschaftswissenschaften (Märkte) Biologie (Populationsmodelle) Chemie (Reaktionskinetik) Physik (Himmelsmechanik) Technik (elektrische Schaltkreise) Teilproblem in analytischen oder numerischen Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen

7 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Inhalte? Anfangswertprobleme gewöhnl. Differentialgleichungen { y (t) = f ( t, y(t) ), t [t 0, T ] (AWP) y(t 0 ) = y 0 Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen { y (t) = f ( t, y(t) ), t [a, b] r ( y(a), y(b) ) (RWP) = 0 Lösungstheorie für (AWP) und (RWP) Numerische Standardverfahren für (AWP) und (RWP) Numerische Verfahren für Spezialprobleme

8 Literatur Deuflhard/Bornemann: Numerische Mathematik II, 3. Aufl., de Gruyter, 2008 Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, 3. Aufl., Vieweg+Teubner, 2009 Hairer/(Nørsett/)Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I/II, 3. Aufl., Springer, 2009/2004 Skript

9 Kriterien für die Kreditpunkte 9 Kreditpunkte für diese Veranstaltung erhält man so: Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen Anwesenheit in den Übungen Vorrechnen der theoretischen Aufgaben Präsentation der Programmieraufgaben 50% der Punkte der Programmieraufgaben 50% der Punkte aus 14tägigen Tests Bestehen der Klausur (Termin: )

10 Übungsbetrieb Übungen (Leitung: Georgij Bispen): 2 Gruppen (provisorische Termine: Mo 12-14, Di 16-18) 1 Übungsblatt pro Woche Bearbeitung der Übungsaufgaben zu zweit Anmeldung über ilias.uni-mainz.de, siehe Link auf Vorlesungs-Homepage Die Übungen finden wöchentlich statt und beginnen in der zweiten Vorlesungswoche ( 3. November 2014) jeweils mit der Besprechung von Übungsblatt 0 (bitte vorbereiten!)