Seminar Numerik 1. Seminar Numerik 1. Ulrike Leffler. Mathematisches Institut der Universität Leipzig. 13. und 15. April 2016

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1 Seminar Numerik 1 Ulrike Leffler Mathematisches Institut der Universität Leipzig 13. und 15. April 2016

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3 Aufgaben sollen in Gruppen von 3 bis 4 Studenten bearbeitet werden Lösungen sowie zusätzliche Aufgaben werden in den Übungen besprochen bzw. bearbeitet 50% der Punkte sind für die Zulassung zur Klausur hinreichend Quellcode sollte in C, C++, Java oder Fortran geschrieben werden und ist gut zu kommentieren! Programmausgabe und Quellcode ausdrucken und an die Papierhausaufgaben heften! Bitte an die die wissenschaftliche Notation der Ausgabe denken!

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5 Material und Informationen zur Vorlesung findet man auf der Homepage von Prof. Kunkel: kunkel/

6 Material und Informationen zur Vorlesung findet man auf der Homepage von Prof. Kunkel: kunkel/ Material und Informationen zur Übung findet man auf meiner Homepage: leffler/

7 Material und Informationen zur Vorlesung findet man auf der Homepage von Prof. Kunkel: kunkel/ Material und Informationen zur Übung findet man auf meiner Homepage: leffler/ Übungsaufgaben befinden sich auf der Homepage von Prof. Kunkel und dem Übungsaufgabenserver. Fragen/Probleme und Anregungen zu den Übungen bitte an: oder Sprechzeiten: nach Vereinbarung! Zimmer A-326

8 Klausur

9 Klausur Klausurtermin Dienstag von 9-11 Uhr im HS 7 Erlaubte Hilfsmittel sind beliebig viele Bücher, Skripte und eigene Aufzeichnungen sowie ein nichtprogrammierbarer Taschenrechner. Man beachte, daß Taschenrechner mit (numerischer) Differentiations- bzw. Integrationsfunktion als programmierbar gelten. Andere elektronische Geräte wie etwa Smartphones sind grundsätzlich nicht erlaubt.

10 Literatur

11 Literatur Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1; Springer. Deufelhard/Hohmann: Numerische Mathematik I; Walter de Gruyter.

12 Einleitung-Fehleranalyse Fehleranalyse

13 Einleitung-Fehleranalyse Fehleranalyse wichtigste Aufgabe der numerischen Mathematik ist die Beurteilung der Genauigkeit eines Rechenergebnisses es gibt im wesentlichen drei verschiedene Arten von Fehlern: Fehler in den Eingangsdaten (z.b. Messwerte) Rundungsfehler Approximationsfehler (Methode liefert meist nicht die Lösung eines Problems P sondern die eines Problems P, welches P approximiert.) Quelle: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1; Springer.

14 Einleitung-Fehleranalyse Beispiele Approximationsfehler Sei P das Problem der Berechnung der Zahl e mittels der unendlichen Reihe e = ! + 1 2! + 1 3! + P entspricht dann der Summation von endlich vielen Reihengliedern Abbrechfehler P erhält man häufig durch Diskretisierung von P Integrale werden durch endliche Summen approximiert Differentialquotienten durch Differenzenquotienten Diskretisierungsfehler Quelle: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1; Springer.

15 Numerische Effekte Numerische Effekte Auslöschung entsteht bei Subtraktion von nahezu gleichgroßen Werten. Aufgabe 1 Gegeben sind die beiden Terme x 2 + x x und x x 2 + x + x 1 Man zeige, dass die beiden Terme gleichwertig sind!

16 Numerische Effekte Numerische Effekte Auslöschung entsteht bei Subtraktion von nahezu gleichgroßen Werten. Aufgabe 1 Gegeben sind die beiden Terme x 2 + x x und 1 Man zeige, dass die beiden Terme gleichwertig sind! x x 2 + x + x 2 Man berechne mit dem Taschenrechner den Wert der Terme für die Argumente x = 10, x = 10 8, x = 10 18

17 Numerische Effekte Numerische Effekte Auslöschung entsteht bei Subtraktion von nahezu gleichgroßen Werten. Aufgabe 1 Gegeben sind die beiden Terme x 2 + x x und 1 Man zeige, dass die beiden Terme gleichwertig sind! x x 2 + x + x 2 Man berechne mit dem Taschenrechner den Wert der Terme für die Argumente x = 10, x = 10 8, x = Was kann man feststellen?

18 Numerische Effekte Numerische Effekte Lösung x x 2 + x x x x 2 + x + x 10 0, , , 5 0, , 0 0, 5 Fazit: Es ist zu erkennen, dass bei der Berechnung von analytisch äquivalenten Ausdrücken, unterschiedliche Ergebnisse auftreten können.

19 Numerische Effekte Numerische Effekte Beispiel Gegeben sind die beiden Terme 1 x ( 1 x) und x exp (ln(x)) Welchen exakten Wert haben beide Terme? In einem Rechner können die Werte für x = 10, 10 8, wie folgt berechnet sein: x 1 x ( ) 1 x x exp (ln(x)) 10 5, , , , , ,

20 Numerische Effekte Numerische Effekte Fazit: Ausdrücke, welche eigentlich Null sein müssten, sind bei der numerischen Berechnung fast nie genau Null. Meist liegen sie nur in einer Umgebung von Null. Dies ist bei Abbruchtests zu beachten!

21 Computerarithmetik Zahldarstellung zu deiner Basis Satz: Sei b N \ {1}. Jedes x R besitzt eine Darstellung x = ± d i b r i, i=1 mit d i {0,..., b 1} Bemerkung: Alternativ kann ein x R auch in der Form x = v m b e v ±1, m = i=1 d ib r e i v - Vorzeichen, b - Basis, m - Mantisse, e Z - Exponent dargestellt werden. Wählt man e = r so gilt m [0, 1]. Wählt man [ im ] Fall x 0 außerdem 1 r derart, dass d 1 0 ist, so gilt sogar m b, 1. Dies entspricht der normalisierten Darstellung von x.

22 Computerarithmetik Normalisierte Fließkommazahlen Definition: Die auf einem Rechner verfügbaren Zahlen (Maschinenzahlen) seien gegeben durch M b,l = {± l d i b r i d i {0,..., b 1}, d 1 0, r Z} {0} R i=1 wobei b N \ {1} und l N. Man nennt M b,l die Menge der normalisierten Fließkommazahlen zur Basis b mit Mantissenlänge l.

23 Computerarithmetik Fließkommarealisierung

24 Computerarithmetik Fließkommarealisierung Man kann bei den Grundrechenarten nicht erwarten, dass die Verknüpfung zweier Maschinenzahlen wieder eine Maschinenzahl ist. Als Modell verwenden wir deshalb für die Grundrechenarten folgende Fließkommarealisierungen: x y = fl(x + y), x y = fl(x y), x y = fl(x y), x y = fl(x/y), entsprechend für sogenannte Standardfunktionen f (x) = fl(f(x)), etwa mit f {sqrt, exp, log, sin, cos, arctan,... }

25 Wiederholung Rechnerarithmetik Wiederholung Aufgabe5 In der Arithmetik von M 10,3 berechne man den folgenden Wert: y = (x 1 x 2 + x 3 x 4 )(x 5 x 6 ) wobei x 1 = 0, 234; x 2 = 0, 341; x 3 = 0, 123; x 4 = 0, 143; x 5 = 0, 157; x 6 = 0, 888 sind.

26 Wiederholung Rechnerarithmetik Wiederholung Aufgabe5 In der Arithmetik von M 10,3 berechne man den folgenden Wert: y = (x 1 x 2 + x 3 x 4 )(x 5 x 6 ) wobei x 1 = 0, 234; x 2 = 0, 341; x 3 = 0, 123; x 4 = 0, 143; x 5 = 0, 157; x 6 = 0, 888 sind. Weitere Aufgaben in der Übung!