Rechnet mein Taschenrechner richtig?
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- Edwina Straub
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1 Rechnet mein Taschenrechner richtig? René Lamour Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Lange Nacht der Wissenschaften 2011
2 Unser Institutsgebäude c 2010 WISTA-MANAGEMENT GMBH
3 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Taschenrechner lösen unsere täglichen kleinen Rechenaufgaben. Bekommt jeder (egal auf welchen Weg) immer das Gleiche heraus? Ist das (Taschenrechner-) Ergebnis überhaupt richtig? Sehen wir uns ein Beispiel an!
4 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Taschenrechner lösen unsere täglichen kleinen Rechenaufgaben. Bekommt jeder (egal auf welchen Weg) immer das Gleiche heraus? Ist das (Taschenrechner-) Ergebnis überhaupt richtig? Sehen wir uns ein Beispiel an!
5 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Taschenrechner lösen unsere täglichen kleinen Rechenaufgaben. Bekommt jeder (egal auf welchen Weg) immer das Gleiche heraus? Ist das (Taschenrechner-) Ergebnis überhaupt richtig? Sehen wir uns ein Beispiel an!
6 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Taschenrechner lösen unsere täglichen kleinen Rechenaufgaben. Bekommt jeder (egal auf welchen Weg) immer das Gleiche heraus? Ist das (Taschenrechner-) Ergebnis überhaupt richtig? Sehen wir uns ein Beispiel an!
7 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? 1 a + b a
8 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? 1 a + b a = a + b + a ( a + b a)( a + b + a)
9 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? 1 a + b a = a + b + a ( a + b a)( a + b + a)
10 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? 1 a + b a = a + b + a ( a + b a)( a + b + a) = a + b + a b
11 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? 1 a + b a = a + b + a ( a + b a)( a + b + a) = a + b + a b Wir benutzen hier bekannte mathematische Regeln beim Rechnen mit Zahlen wie Kommutativität, Distributivität und Assoziativität
12 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Rechnen wir mit Zahlen und setzen für a = 10 5 und b = 10 4 ein. 1 a + b + a = a + b a b
13 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Rechnen wir mit Zahlen und setzen für a = 10 5 und b = 10 4 ein. 1 a + b + a = a + b a b =
14 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Rechnen wir mit Zahlen und setzen für a = 10 5 und b = 10 4 ein. 1 a + b + a = a + b a b =
15 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Rechnen wir mit Zahlen und setzen für a = 10 5 und b = 10 4 ein. 1 a + b + a = a + b a b ? =
16 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Rechnen wir mit Zahlen und setzen für a = 10 5 und b = 10 4 ein. 1 a + b + a = a + b a b ? = Das ist ein Unterschied von bei mathematisch identischen Ausdrücken! Die vierte Stelle ist falsch bei 10-stelliger Anzeige
17 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Was ist anders bei der Computerrechnung? Wir verwenden keine reellen Zahlen mehr. Für Festkommazahlen bedeutet Mantissenlänge die Anzahl der mitgeführten gültigen Ziffern: Der Computer verwendet normalisierte Gleitkommazahlen. Beispiel: ± ±9 Hier entspricht die Mantissenlänge der Anzahl der Ziffern nach dem Komma.
18 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Was ist anders bei der Computerrechnung? Wir verwenden keine reellen Zahlen mehr. Für Festkommazahlen bedeutet Mantissenlänge die Anzahl der mitgeführten gültigen Ziffern: Der Computer verwendet normalisierte Gleitkommazahlen. Beispiel: ± ±9 Hier entspricht die Mantissenlänge der Anzahl der Ziffern nach dem Komma.
19 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Was ist anders bei der Computerrechnung? Wir verwenden keine reellen Zahlen mehr. Für Festkommazahlen bedeutet Mantissenlänge die Anzahl der mitgeführten gültigen Ziffern: Der Computer verwendet normalisierte Gleitkommazahlen. Beispiel: ± ±9 Hier entspricht die Mantissenlänge der Anzahl der Ziffern nach dem Komma.
20 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Was ist anders bei der Computerrechnung? Wir verwenden keine reellen Zahlen mehr. Für Festkommazahlen bedeutet Mantissenlänge die Anzahl der mitgeführten gültigen Ziffern: Der Computer verwendet normalisierte Gleitkommazahlen. Beispiel: ± ±9 Hier entspricht die Mantissenlänge der Anzahl der Ziffern nach dem Komma.
21 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Was ist anders bei der Computerrechnung? Wir verwenden keine reellen Zahlen mehr. Für Festkommazahlen bedeutet Mantissenlänge die Anzahl der mitgeführten gültigen Ziffern: Der Computer verwendet normalisierte Gleitkommazahlen. Beispiel: ± ±9 Hier entspricht die Mantissenlänge der Anzahl der Ziffern nach dem Komma.
22 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Was ist anders bei der Computerrechnung? Wir verwenden keine reellen Zahlen mehr. Für Festkommazahlen bedeutet Mantissenlänge die Anzahl der mitgeführten gültigen Ziffern: Der Computer verwendet normalisierte Gleitkommazahlen. Beispiel: ± ±9 Hier entspricht die Mantissenlänge der Anzahl der Ziffern nach dem Komma.
23 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Was ist anders bei der Computerrechnung? Wir verwenden keine reellen Zahlen mehr. Für Festkommazahlen bedeutet Mantissenlänge die Anzahl der mitgeführten gültigen Ziffern: Der Computer verwendet normalisierte Gleitkommazahlen. Beispiel: ± ±9 Hier entspricht die Mantissenlänge der Anzahl der Ziffern nach dem Komma.
24 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner?
25 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner? Wir testen, wann (1 + ε) = 1 mit 1 ε > 0.
26 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner? Wir testen, wann (1 + ε) = 1 mit 1 ε > 0. Mantissenlänge 1 Stellen {}}{
27 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner? Wir testen, wann (1 + ε) = 1 mit 1 ε > 0. Mantissenlänge 1 Stellen {}}{
28 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner? Wir testen, wann (1 + ε) = 1 mit 1 ε > 0. Mantissenlänge 1 Stellen {}}{
29 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner? Wir testen, wann (1 + ε) = 1 mit 1 ε > 0. Mantissenlänge 1 Stellen {}}{
30 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner? Wir testen, wann (1 + ε) = 1 mit 1 ε > 0. Mantissenlänge 1 Stellen {}}{ = 10 Mantissenlänge
31 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner? Wir testen, wann (1 + ε) = 1 mit 1 ε > 0. Mantissenlänge 1 Stellen {}}{ = 10 Mantissenlänge Wir testen ( s ) 1 = 0?
32 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Mit welcher Mantissenlänge rechnet mein Taschenrechner? Wir testen, wann (1 + ε) = 1 mit 1 ε > 0. Mantissenlänge 1 Stellen {}}{ = 10 Mantissenlänge Wir testen ( s ) 1 = 0? Mein Taschenrechner hat 10 angezeigte Stellen, aber 11 Mantissenstellen.
33 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Es gelten nicht: Assoziativgesetz und Distributivgesetz (ε + 1) 1 ε + (1 1) Kommt daher das schlechte Ergebnis des Beispiels? Durch notwendige Rundung werden Fehler gemacht. Wie wirken sich diese Fehler auf ein Berechnungsergebnis aus? Betrachten wir die Berechnung eines Funktionswertes y einer Funktion f mit y = f (d), f C 1 (R n, R), d R n. Wir wollen die Abhängigkeit des relativen Fehlers von y vom relativen Fehler von d untersuchen.
34 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Es gelten nicht: Assoziativgesetz und Distributivgesetz (ε + 1) 1 ε + (1 1) Kommt daher das schlechte Ergebnis des Beispiels? Durch notwendige Rundung werden Fehler gemacht. Wie wirken sich diese Fehler auf ein Berechnungsergebnis aus? Betrachten wir die Berechnung eines Funktionswertes y einer Funktion f mit y = f (d), f C 1 (R n, R), d R n. Wir wollen die Abhängigkeit des relativen Fehlers von y vom relativen Fehler von d untersuchen.
35 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Es gelten nicht: Assoziativgesetz und Distributivgesetz (ε + 1) 1 ε + (1 1) Kommt daher das schlechte Ergebnis des Beispiels? Durch notwendige Rundung werden Fehler gemacht. Wie wirken sich diese Fehler auf ein Berechnungsergebnis aus? Betrachten wir die Berechnung eines Funktionswertes y einer Funktion f mit y = f (d), f C 1 (R n, R), d R n. Wir wollen die Abhängigkeit des relativen Fehlers von y vom relativen Fehler von d untersuchen.
36 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Es gelten nicht: Assoziativgesetz und Distributivgesetz (ε + 1) 1 ε + (1 1) Kommt daher das schlechte Ergebnis des Beispiels? Durch notwendige Rundung werden Fehler gemacht. Wie wirken sich diese Fehler auf ein Berechnungsergebnis aus? Betrachten wir die Berechnung eines Funktionswertes y einer Funktion f mit y = f (d), f C 1 (R n, R), d R n. Wir wollen die Abhängigkeit des relativen Fehlers von y vom relativen Fehler von d untersuchen.
37 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Es gelten nicht: Assoziativgesetz und Distributivgesetz (ε + 1) 1 ε + (1 1) Kommt daher das schlechte Ergebnis des Beispiels? Durch notwendige Rundung werden Fehler gemacht. Wie wirken sich diese Fehler auf ein Berechnungsergebnis aus? Betrachten wir die Berechnung eines Funktionswertes y einer Funktion f mit y = f (d), f C 1 (R n, R), d R n. Wir wollen die Abhängigkeit des relativen Fehlers von y vom relativen Fehler von d untersuchen.
38 Rechnet ihr Taschenrechner richtig? Es gelten nicht: Assoziativgesetz und Distributivgesetz (ε + 1) 1 ε + (1 1) Kommt daher das schlechte Ergebnis des Beispiels? Durch notwendige Rundung werden Fehler gemacht. Wie wirken sich diese Fehler auf ein Berechnungsergebnis aus? Betrachten wir die Berechnung eines Funktionswertes y einer Funktion f mit y = f (d), f C 1 (R n, R), d R n. Wir wollen die Abhängigkeit des relativen Fehlers von y vom relativen Fehler von d untersuchen.
39 Fehleranalyse Wir betrachten für festes d R n und einen festen Fehlervektor d R n die skalare Funktion F mit hinreichend glattem f F (s) := f (d + s d). Für F gilt der Mittelwertsatz und daher F (1) F (0) = f (d + d) f (d) = F (θ)(1 0). F (θ) = f (d + θ d) = ( f (d+θ d) d 1... ) f (d+θ d) d n d 1. d n.
40 Fehleranalyse Wir betrachten für festes d R n und einen festen Fehlervektor d R n die skalare Funktion F mit hinreichend glattem f F (s) := f (d + s d). Für F gilt der Mittelwertsatz und daher F (1) F (0) = f (d + d) f (d) = F (θ)(1 0). F (θ) = f (d + θ d) = ( f (d+θ d) d 1... ) f (d+θ d) d n d 1. d n.
41 Fehleranalyse Wir betrachten für festes d R n und einen festen Fehlervektor d R n die skalare Funktion F mit hinreichend glattem f F (s) := f (d + s d). Für F gilt der Mittelwertsatz und daher F (1) F (0) = f (d + d) f (d) = F (θ)(1 0). F (θ) = f (d + θ d) = ( f (d+θ d) d 1... ) f (d+θ d) d n d 1. d n.
42 Fehleranalyse Wir betrachten für festes d R n und einen festen Fehlervektor d R n die skalare Funktion F mit hinreichend glattem f F (s) := f (d + s d). Für F gilt der Mittelwertsatz und daher F (1) F (0) = f (d + d) f (d) = F (θ)(1 0). F (θ) = f (d + θ d) = ( f (d+θ d) d 1... ) f (d+θ d) d n d 1. d n.
43 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d)
44 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d) = f (d + θ d)
45 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d) = f (d + θ d) = ( f d 1... f d n ) d 1. d n
46 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d) = f (d + θ d) = = ( f d 1... f n i=1 f d i d i d n ) d 1. d n
47 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d) = f (d + θ d) = = ( f d 1... f n i=1 d n ) f d i d i = d 1. d n n f d i d i d i d i i=1
48 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d) = f (d + θ d) = = ( f d 1... f n i=1 d n ) f d i d i = d 1. d n n f d i d i d i d i i=1 Wegen y = f (d) ist für y 0
49 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d) = f (d + θ d) n f = d i = d i i=1 n i=1 Wegen y = f (d) ist für y 0 y y = n d i f d i = f (d) d i d i i=1 d i f d i d i d i ( d1 f f (d) d 1... ) d n f f (d) d n d 1 d 1. d n d n
50 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d) = f (d + θ d) n f = d i = d i i=1 n i=1 Wegen y = f (d) ist für y 0 y y = n d i f d i = f (d) d i d i i=1 d i f d i d i d i ( d1 f f (d) d 1... ) d n f f (d) d n d 1 d 1. d n d n
51 Fehleranalyse y = f (d + d) f (d) = f (d + θ d) n f = d i = d i i=1 n i=1 Wegen y = f (d) ist für y 0 y y y y = n d i f d i = f (d) d i d i i=1 d i f d i d i d i ( d1 f f (d) d 1... ( ) d1 f d f (d) d 1... n f f (d) d n }{{} :=K - relative Kondition d 1 d 1. d n d n ) d n f f (d) d n d 1 d 1. d n d n
52 Fehleranalyse Wir wählen die Unendlichnorm v := max v i. i Die induzierte Matrixnorm ist die Zeilensummennorm A := max i n a ij. j=1
53 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? Grundrechenarten: + /
54 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? Grundrechenarten: + / zwei Operanden y = f (d 1, d 2 )
55 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? Grundrechenarten: + / zwei Operanden y = f (d 1, d 2 ) y y K(d 1, d 2, d 1, d 2 ) max( d 1 d 1, d 2 d 2 )
56 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? Grundrechenarten: + / zwei Operanden y = f (d 1, d 2 ) K = y y K(d 1, d 2, d 1, d 2 ) max( d 1 d 1, d 2 d 2 ) d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2
57 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? K = d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + Addition: f (d) := d 1 + d 2, d 1, d 2 > 0, d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2
58 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? K = d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2 Addition: f (d) := d 1 + d 2, d 1, d 2 > 0, f d i = 1
59 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? K = d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2 Addition: f (d) := d 1 + d 2, d 1, d 2 > 0, f d i = 1 K = d 1 d 1 +d 2 + d 2 d 1 +d 2 = 1.
60 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? K = d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2 Addition: f (d) := d 1 + d 2, d 1, d 2 > 0, f d i = 1 K = d 1 d 1 +d 2 + d 2 d 1 +d 2 = 1. Multiplikation: f (d) := d 1 d 2, d 1, d 2 > 0
61 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? K = d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2 Addition: f (d) := d 1 + d 2, d 1, d 2 > 0, f d i = 1 K = d 1 d 1 +d 2 + d 2 d 1 +d 2 = 1. Multiplikation: f (d) := d 1 d 2, d 1, d 2 > 0, f d 1 = d 2, f d 2 = d 1
62 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? K = d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2 Addition: f (d) := d 1 + d 2, d 1, d 2 > 0, f d i = 1 K = d 1 d 1 +d 2 + d 2 d 1 +d 2 = 1. Multiplikation: f (d) := d 1 d 2, d 1, d 2 > 0, f d 1 K = d 1 d 1 d 2 d 2 + d 2 d 1 d 2 d 1 = 2. = d 2, f d 2 = d 1
63 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? K = d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2 Addition: f (d) := d 1 + d 2, d 1, d 2 > 0, f d i = 1 K = d 1 d 1 +d 2 + d 2 d 1 +d 2 = 1. Multiplikation: f (d) := d 1 d 2, d 1, d 2 > 0, f d 1 K = d 1 d 1 d 2 d 2 + d 2 d 1 d 2 d 1 = 2. Division: f (d) := d 1 d 2, d 1, d 2 > 0, f d 1 K = d 1 d 1 1 d 2 + d 2 d 1 d 2 d 1 d d = 2. = d 2, f d 2 = d 1 = 1 d 2, f d 2 = d 1 d 2 2
64 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? K = d 1 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 1 + d 2 f f (d 1,d 2 ) d (d 1 + d 1,d 2 + d 2 ) 2 Addition: f (d) := d 1 + d 2, d 1, d 2 > 0, f d i = 1 K = d 1 d 1 +d 2 + d 2 d 1 +d 2 = 1. Multiplikation: f (d) := d 1 d 2, d 1, d 2 > 0, f d 1 K = d 1 d 1 d 2 d 2 + d 2 d 1 d 2 d 1 = 2. Division: f (d) := d 1 d 2, d 1, d 2 > 0, f d 1 = d 2, f d 2 = d 1 = 1 d 2, f d 2 = d 1 d 2 2 K = d 1 d 1 1 d 2 + d 2 d 1 d 2 d 1 d d = 2. Subtraktion: f (d) := d 1 d 2, d 1 d 2 0 K = d 1 d 1 d 2 + d 2 d 1 d 2 = d 1+d 2 d 1 d 2
65 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? Subtraktion: f (d) := d 1 d 2, d 1 d 2 0 K = d 1 d 1 d 2 + d 2 d 1 d 2 = d 1+d 2 d 1 d 2 für d 2 d 1
66 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? Dieser Effekt wird Auslöschung genannt, weil zwei etwa gleich große Gleikommazahlen viele gleiche Ziffern haben, die sich bei der Differenzbildung auslöschen.
67 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? Dieser Effekt wird Auslöschung genannt, weil zwei etwa gleich große Gleikommazahlen viele gleiche Ziffern haben, die sich bei der Differenzbildung auslöschen. Die Auslöschung ist hauptverantwortlich für extrem ungenaue Rechnerergebnisse, aber sie ist manchmal schwer zu entdecken.
68 Wie ist die Kondition für die Grundrechenarten? Dieser Effekt wird Auslöschung genannt, weil zwei etwa gleich große Gleikommazahlen viele gleiche Ziffern haben, die sich bei der Differenzbildung auslöschen. Die Auslöschung ist hauptverantwortlich für extrem ungenaue Rechnerergebnisse, aber sie ist manchmal schwer zu entdecken. 1 a + b + a = a + b a b
69 Numerische Überraschungen Beispiel S.M. Rump. Algorithms for Verified Inclusions - Theory and Practice. In R.E. Moore, editor, Reliability in Computing, Volume 19 of Perspectives in Computing, pages Academic Press, 1988.
70 Numerische Überraschungen Beispiel Es ist zu berechnen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) für a = und b =
71 Numerische Überraschungen Beispiel Es ist zu berechnen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) für a = und b = Rump gab für unterschiedliche Mantissenlängen folgende Ergebnisse an:
72 Numerische Überraschungen Beispiel Es ist zu berechnen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) für a = und b = Rump gab für unterschiedliche Mantissenlängen folgende Ergebnisse an: IBM S/370, FORTRAN float y = double y = extended y =
73 Numerische Überraschungen Neue Rechnung y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) b 2 = b b b 4 = b 2 b 2 b 6 = b 2 b 4 b 8 = b 4 b 4 a 2 = a a y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b)
74 Numerische Überraschungen Neue Rechnung y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) b 2 = b b b 4 = b 2 b 2 b 6 = b 2 b 4 b 8 = b 4 b 4 a 2 = a a y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) Ergebnis: Typ y float e+29
75 Numerische Überraschungen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) Andere Rechnung ȳ = b b b b b b + a a (11 a a b b b b b b b b 121 b b b b 2) b b b b b b b b + a/(2b) Ergebnis: Typ y float e+29
76 Numerische Überraschungen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) Andere Rechnung ȳ = b b b b b b + a a (11 a a b b b b b b b b 121 b b b b 2) b b b b b b b b + a/(2b) Ergebnis: Typ y ȳ float e e+29
77 Numerische Überraschungen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) Andere Rechnung ȳ = b b b b b b + a a (11 a a b b b b b b b b 121 b b b b 2) b b b b b b b b + a/(2b) Ergebnis: Typ y ȳ float e e+29 double e+21
78 Numerische Überraschungen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) Andere Rechnung ȳ = b b b b b b + a a (11 a a b b b b b b b b 121 b b b b 2) b b b b b b b b + a/(2b) Ergebnis: Typ y ȳ float e e+29 double e
79 Numerische Überraschungen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) Andere Rechnung ȳ = b b b b b b + a a (11 a a b b b b b b b b 121 b b b b 2) b b b b b b b b + a/(2b) Ergebnis: Typ y ȳ float e e+29 double e Stellen dito
80 Numerische Überraschungen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) Andere Rechnung ȳ = b b b b b b + a a (11 a a b b b b b b b b 121 b b b b 2) b b b b b b b b + a/(2b) Ergebnis: Typ y ȳ float e e+29 double e Stellen dito ab 37 Stellen dito
81 Numerische Überraschungen y = b 6 + a 2 (11a 2 b 2 b 6 121b 4 2) + 5.5b 8 + a/(2b) Andere Rechnung ȳ = b b b b b b + a a (11 a a b b b b b b b b 121 b b b b 2) b b b b b b b b + a/(2b) Ergebnis: Typ y ȳ float e e+29 double e Stellen dito ab 37 Stellen dito
82 Numerische Überraschungen Das Rump sche Beispiel läßt sich umformen zu: y = ( ) ( )
83 Numerische Überraschungen Das Rump sche Beispiel läßt sich umformen zu: y = ( ) ( ) Dabei ist = e+39
84 Numerische Überraschungen Das Rump sche Beispiel läßt sich umformen zu: y = ( ) ( ) Dabei ist = e+39 und =
85 Numerische Überraschungen Das Rump sche Beispiel läßt sich umformen zu: y = ( ) ( ) Dabei ist = e+39 und = Kommt eine solche Auslöschungsituation in der Praxis vor?
86 Numerische Überraschungen Das Rump sche Beispiel läßt sich umformen zu: y = ( ) ( ) Dabei ist = e+39 und = Kommt eine solche Auslöschungsituation in der Praxis vor? Murphys Gesetz lautet: Whatever can go wrong, will go wrong!
87 Numerische Überraschungen Seien Sie wachsam, überprüfen Sie die Ergebnisse Ihres Taschenrechners, misstrauen Sie dem Vorzeichen!
88 Numerische Überraschungen Seien Sie wachsam, überprüfen Sie die Ergebnisse Ihres Taschenrechners, misstrauen Sie dem Vorzeichen! Weiterhin viel Vergnügen und vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
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