4. Zahlendarstellungen
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- Evagret Böhme
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 Zahlendarstellungen Wertebereich der Typen int, float und double Gemischte Ausdrücke und Konversionen; Löcher im Wertebereich; Fliesskommazahlensysteme; IEEE Standard; Grenzen der Fliesskommaarithmetik; Fliesskomma-Richtlinien;
2 Binäre Zahlendarstellungen 122 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 2 0
3 Binäre Zahlendarstellungen 122 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0
4 Binäre Zahlendarstellungen 122 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 Beispiel:
5 Binäre Zahlendarstellungen 122 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 Beispiel: entspricht
6 Binäre Zahlendarstellungen 122 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 Beispiel: entspricht 43.
7 Binäre Zahlendarstellungen 122 Binäre Darstellung ("Bits" aus {0, 1}) b n b n 1... b 1 b 0 entspricht der Zahl b n 2 n + + b b 0 Beispiel: entspricht 43. Höchstes Bit, Most Significant Bit (MSB) Niedrigstes Bit, Least Significant Bit (LSB)
8 Bina re Zahlen: Zahlen der Computer? Wahrheit: Computer rechnen mit Binärzahlen. 123
9 Binäre Zahlen: Zahlen der Computer? 124 Klischee: Computer reden 0/1-Kauderwelsch.
10 Wertebereich des Typs int 126 public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("Minimum int value is "); Out.println(Integer.MIN_VALUE); Out.print("Maximum int value is "); Out.println(Integer.MAX_VALUE); } }
11 Wertebereich des Typs int 126 public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("Minimum int value is "); Out.println(Integer.MIN_VALUE); Out.print("Maximum int value is "); Out.println(Integer.MAX_VALUE); } } Minimum int value is Maximum int value is
12 Wertebereich des Typs int 126 public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("Minimum int value is "); Out.println(Integer.MIN_VALUE); Out.print("Maximum int value is "); Out.println(Integer.MAX_VALUE); } } Minimum int value is Maximum int value is Woher kommen diese Zahlen?
13 Wertebereich des Typs int 127 Repräsentation mit 32 Bits. Wertebereich { 2 31,..., 1, 0, 1,..., , }
14 Wertebereich des Typs int 127 Repräsentation mit 32 Bits. Wertebereich { 2 31,..., 1, 0, 1,..., , } Woher kommt gerade diese Aufteilung?
15 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 128 Einfache Addition
16 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 128 Einfache Subtraktion
17 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 129 Addition mit Überlauf (1)0000
18 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 129 Negative Zahlen? ( 5)???? 0 (1)0000
19 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 130 Einfacher: ( 1) (1)0000
20 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 130 Nutzen das aus: ? +????
21 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 131 Invertieren! ( 4) = 2 B 1
22 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 131 a a +( a 1) ā = 2 B 1
23 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 132 Negation: Inversion und Addition von 1 a = ā + 1
24 Rechnen mit Binärzahlen (4 Stellen) 132 Wrap-around Semantik (Rechnen modulo 2 B ) a = 2 B a
25 Warum das funktioniert Modulo-Arithmetik: Rechnen im Kreis mod mod 12 = mod 12 4 Die Arithmetik funktioniert auch mit Dezimalzahlen (und auch für die Multiplikation) 133
26 Negative Zahlen (3 Stellen) 134 a a
27 Negative Zahlen (3 Stellen) 134 a a
28 Negative Zahlen (3 Stellen) 134 a a
29 Negative Zahlen (3 Stellen) 134 a a
30 Negative Zahlen (3 Stellen) 134 a a
31 Negative Zahlen (3 Stellen) 134 a a
32 Negative Zahlen (3 Stellen) 134 a a
33 Negative Zahlen (3 Stellen) a a Das höchste Bit entscheidet über das Vorzeichen. 134
34 136 Überlauf und Unterlauf Arithmetische Operationen (+,-,*) können aus dem Wertebereich herausführen. Ergebnisse können inkorrekt sein. power8: 15 8 = power20: 3 20 = Es gibt keine Fehlermeldung!
35 ,,Richtig Rechnen 137 public class Main { } public static void main(string[] args) { Out.print("Celsius: "); int celsius = In.readInt(); int fahrenheit = 9 celsius / ; Out.print(celsius + " degrees Celsius are "); Out.println(fahrenheit + " degrees Fahrenheit"); } 28 degrees Celsius are 82 degrees Fahrenheit.
36 ,,Richtig Rechnen public class Main { } public static void main(string[] args) { Out.print("Celsius: "); int celsius = In.readInt(); int fahrenheit = 9 celsius / ; Out.print(celsius + " degrees Celsius are "); Out.println(fahrenheit + " degrees Fahrenheit"); } 28 degrees Celsius are 82 degrees Fahrenheit. richtig wäre
37 ,,Richtig Rechnen 137 public class Main { } public static void main(string[] args) { Out.print("Celsius: "); float celsius = In.readInt(); float fahrenheit = 9 celsius / ; Out.print(celsius + " degrees Celsius are "); Out.println(fahrenheit + " degrees Fahrenheit"); } 28 degrees Celsius are 82.4 degrees Fahrenheit.
38 138 Typen float und double sind die fundamentalen Typen für Fliesskommazahlen approximieren den Körper der reellen Zahlen (R, +, ) in der Mathematik haben grossen Wertebereich, ausreichend für viele Anwendungen (double hat mehr Stellen als float) sind auf vielen Rechnern sehr schnell
39 138 Typen float und double sind die fundamentalen Typen für Fliesskommazahlen approximieren den Körper der reellen Zahlen (R, +, ) in der Mathematik haben grossen Wertebereich, ausreichend für viele Anwendungen (double hat mehr Stellen als float) sind auf vielen Rechnern sehr schnell
40 138 Typen float und double sind die fundamentalen Typen für Fliesskommazahlen approximieren den Körper der reellen Zahlen (R, +, ) in der Mathematik haben grossen Wertebereich, ausreichend für viele Anwendungen (double hat mehr Stellen als float) sind auf vielen Rechnern sehr schnell
41 138 Typen float und double sind die fundamentalen Typen für Fliesskommazahlen approximieren den Körper der reellen Zahlen (R, +, ) in der Mathematik haben grossen Wertebereich, ausreichend für viele Anwendungen (double hat mehr Stellen als float) sind auf vielen Rechnern sehr schnell
42 139 Fixkommazahlen feste Anzahl Vorkommastellen (z.b. 7) feste Anzahl Nachkommastellen (z.b. 3)
43 139 Fixkommazahlen feste Anzahl Vorkommastellen (z.b. 7) feste Anzahl Nachkommastellen (z.b. 3) 82.4 =
44 139 Fixkommazahlen feste Anzahl Vorkommastellen (z.b. 7) feste Anzahl Nachkommastellen (z.b. 3) 82.4 = Nachteile Wertebereich wird noch kleiner als bei ganzen Zahlen.
45 139 Fixkommazahlen feste Anzahl Vorkommastellen (z.b. 7) feste Anzahl Nachkommastellen (z.b. 3) = dritte Stelle abgeschnitten Nachteile Repräsentierbarkeit hängt von der Stelle des Kommas ab.
46 140 Fliesskommazahlen feste Anzahl signifikante Stellen (z.b. 10) plus Position des Kommas 82.4 = = Zahl ist Signifikand 10 Exponent
47 140 Fliesskommazahlen feste Anzahl signifikante Stellen (z.b. 10) plus Position des Kommas 82.4 = = Zahl ist Signifikand 10 Exponent
48 140 Fliesskommazahlen feste Anzahl signifikante Stellen (z.b. 10) plus Position des Kommas 82.4 = = Zahl ist Signifikand 10 Exponent
49 Wertebereich 141 Ganzzahlige Typen: Über- und Unterlauf häufig, aber...
50 Wertebereich 141 Ganzzahlige Typen: Über- und Unterlauf häufig, aber... Wertebereich ist zusammenhängend (keine Löcher ): Z ist diskret.
51 Wertebereich 141 Fliesskommatypen: Über- und Unterlauf selten, aber...
52 Wertebereich 141 Fliesskommatypen: Über- und Unterlauf selten, aber... es gibt Löcher: R ist kontinuierlich.
53 Löcher im Wertebereich public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("First number =? "); float n1 = In.readFloat(); Out.print("Second number =? "); float n2 = In.readFloat(); Out.print("Their difference =? "); float d = In.readFloat(); } Out.print("computed difference input difference = "); Out.println(n1 n2 d); } 142
54 Löcher im Wertebereich public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("First number =? "); Eingabe 1.5 float n1 = In.readFloat(); Out.print("Second number =? "); float n2 = In.readFloat(); Out.print("Their difference =? "); float d = In.readFloat(); Eingabe 1.0 Eingabe 0.5 } Out.print("computed difference input difference = "); Out.println(n1 n2 d); } 142
55 Löcher im Wertebereich public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("First number =? "); Eingabe 1.5 float n1 = In.readFloat(); Out.print("Second number =? "); float n2 = In.readFloat(); Out.print("Their difference =? "); float d = In.readFloat(); Eingabe 1.0 Eingabe 0.5 } Out.print("computed difference input difference = "); Out.println(n1 n2 d); } Ausgabe 0 142
56 Löcher im Wertebereich public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("First number =? "); Eingabe 1.1 float n1 = In.readFloat(); Out.print("Second number =? "); float n2 = In.readFloat(); Out.print("Their difference =? "); float d = In.readFloat(); Eingabe 1.0 Eingabe 0.1 } Out.print("computed difference input difference = "); Out.println(n1 n2 d); } 142
57 Löcher im Wertebereich public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("First number =? "); Eingabe 1.1 float n1 = In.readFloat(); Out.print("Second number =? "); float n2 = In.readFloat(); Out.print("Their difference =? "); float d = In.readFloat(); Eingabe 1.0 Eingabe 0.1 } Out.print("computed difference input difference = "); Out.println(n1 n2 d); } Ausgabe E-8 142
58 Löcher im Wertebereich public class Main { public static void main(string[] args) { Out.print("First number =? "); Eingabe 1.1 float n1 = In.readFloat(); } Out.print("Second number =? "); float n2 = In.readFloat(); Out.print("Their difference =? "); float d = In.readFloat(); Eingabe 1.0 Eingabe 0.1 Out.print("computed difference input difference = "); Out.println(n1 n2 d); } Ausgabe E-8 Ja was ist denn hier los? 142
59 Fliesskommazahlensysteme 143 Ein Fliesskommazahlensystem ist durch vier natürliche Zahlen definiert: β 2, die Basis,
60 Fliesskommazahlensysteme 143 Ein Fliesskommazahlensystem ist durch vier natürliche Zahlen definiert: β 2, die Basis, p 1, die Präzision (Stellenzahl),
61 Fliesskommazahlensysteme 143 Ein Fliesskommazahlensystem ist durch vier natürliche Zahlen definiert: β 2, die Basis, p 1, die Präzision (Stellenzahl), e min, der kleinste Exponent,
62 Fliesskommazahlensysteme 143 Ein Fliesskommazahlensystem ist durch vier natürliche Zahlen definiert: β 2, die Basis, p 1, die Präzision (Stellenzahl), e min, der kleinste Exponent, e max, der grösste Exponent.
63 Fliesskommazahlensysteme 143 Ein Fliesskommazahlensystem ist durch vier natürliche Zahlen definiert: β 2, die Basis, p 1, die Präzision (Stellenzahl), e min, der kleinste Exponent, e max, der grösste Exponent. Bezeichnung: F (β, p, e min, e max )
64 Fliesskommazahlensysteme 144 F (β, p, e min, e max ) enthält die Zahlen p 1 ± d i β i β e, i=0 d i {0,..., β 1}, e {e min,..., e max }.
65 Fliesskommazahlensysteme 144 F (β, p, e min, e max ) enthält die Zahlen p 1 ± d i β i β e, i=0 d i {0,..., β 1}, e {e min,..., e max }. In Basis-β-Darstellung: ± d 0 d 1... d p 1 β e,
66 Fliesskommazahlensysteme 145 Beispiel β = 10 Darstellungen der Dezimalzahl , , ,...
67 Normalisierte Darstellung 146 Normalisierte Zahl: ± d 0 d 1... d p 1 β e, d 0 0 Bemerkung 1 Die normalisierte Darstellung ist eindeutig und deshalb zu bevorzugen.
68 Normalisierte Darstellung 146 Normalisierte Zahl: ± d 0 d 1... d p 1 β e, d 0 0 Bemerkung 1 Die normalisierte Darstellung ist eindeutig und deshalb zu bevorzugen.
69 Normalisierte Darstellung 146 Normalisierte Zahl: ± d 0 d 1... d p 1 β e, d 0 0 Bemerkung 2 Die Zahl 0 (und alle Zahlen kleiner als β e min ) haben keine normalisierte Darstellung (werden wir später beheben)!
70 Menge der normalisierten Zahlen 147 F (β, p, e min, e max )
71 Normalisierte Darstellung 148 Beispiel F (2, 3, 2, 2) (nur positive Zahlen) d 0 d 1 d 2 e = 2 e = 1 e = 0 e = 1 e = = = 7
72 Normalisierte Darstellung 148 Beispiel F (2, 3, 2, 2) (nur positive Zahlen) d 0 d 1 d 2 e = 2 e = 1 e = 0 e = 1 e = = = 7
73 Normalisierte Darstellung 148 Beispiel F (2, 3, 2, 2) (nur positive Zahlen) d 0 d 1 d 2 e = 2 e = 1 e = 0 e = 1 e = = = 7
74 Normalisierte Darstellung 148 Beispiel F (2, 3, 2, 2) (nur positive Zahlen) d 0 d 1 d 2 e = 2 e = 1 e = 0 e = 1 e = = = 7
75 Normalisierte Darstellung 148 Beispiel F (2, 3, 2, 2) (nur positive Zahlen) d 0 d 1 d 2 e = 2 e = 1 e = 0 e = 1 e = = = 7
76 Binäre und dezimale Systeme 149 Intern rechnet der Computer mit β = 2 (binäres System) Literale und Eingaben haben β = 10 (dezimales System)
77 Binäre und dezimale Systeme 149 Intern rechnet der Computer mit β = 2 (binäres System) Literale und Eingaben haben β = 10 (dezimales System)
78 Umrechnung (0 < x < 2) 150 Berechnung der Binärdarstellung: 0 x = b i 2 i i=
79 Umrechnung (0 < x < 2) 150 Berechnung der Binärdarstellung: x = b 0 b 1 b 2 b 3...
80 Umrechnung (0 < x < 2) 150 Berechnung der Binärdarstellung: x = b 0 b 1 b 2 b 3... = b b 1 b 2 b 3...
81 Umrechnung (0 < x < 2) 150 Berechnung der Binärdarstellung: x = b 0 b 1 b 2 b 3... = b b 1 b 2 b 3... =
82 Umrechnung (0 < x < 2) 150 Berechnung der Binärdarstellung: x = b 0 b 1 b 2 b 3... = b b 1 b 2 b 3... = (x b 0 ) = 0 b 1 b 2 b 3 b 4...
83 Umrechnung (0 < x < 2) 150 Berechnung der Binärdarstellung: x = b 0 b 1 b 2 b 3... = b b 1 b 2 b 3... = 2 (x b 0 ) = b 1 b 2 b 3 b 4...
84 Umrechnung (0 < x < 2) 150 Berechnung der Binärdarstellung: x = b 0 b 1 b 2 b 3... = b b 1 b 2 b 3... = 2 (x b 0 ) = b 1 b 2 b 3 b 4...
85 Umrechnung (0 < x < 2) 150 Berechnung der Binärdarstellung: x = b 0 b 1 b 2 b 3... = b b 1 b 2 b 3... = 2 (x b 0 ) = b 1 b 2 b 3 b 4...
86 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = 1
87 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 =
88 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = 0
89 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 =
90 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = 0
91 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 =
92 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = b 3 = 0
93 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = b 3 =
94 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = 1
95 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 =
96 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = b 5 = 1
97 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = b 5 =
98 152 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = b 5 =
99 Binärdarstellung von 1.1 x b i x b i 2(x b i ) 1.1 b 0 = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = b 5 = , periodisch, nicht endlich 152
100 Binärdarstellungen von 1.1 und sind nicht endlich Fehler bei der Konversion 1.1f und 0.1f: Approximationen von 1.1 und = f =
101 Binärdarstellungen von 1.1 und sind nicht endlich Fehler bei der Konversion 1.1f und 0.1f: Approximationen von 1.1 und = f =
102 Binärdarstellungen von 1.1 und sind nicht endlich Fehler bei der Konversion 1.1f und 0.1f: Approximationen von 1.1 und = f =
103 Rechnen mit Fliesskommazahlen 154 ist fast so einfach wie mit ganzen Zahlen.
104 154 Rechnen mit Fliesskommazahlen Beispiel (β = 2, p = 4): Exponenten anpassen durch Denormalisieren einer Zahl
105 154 Rechnen mit Fliesskommazahlen Beispiel (β = 2, p = 4): Exponenten anpassen durch Denormalisieren einer Zahl
106 154 Rechnen mit Fliesskommazahlen Beispiel (β = 2, p = 4): Binäre Addition der Signifikanden
107 154 Rechnen mit Fliesskommazahlen Beispiel (β = 2, p = 4): = Binäre Addition der Signifikanden
108 154 Rechnen mit Fliesskommazahlen Beispiel (β = 2, p = 4): = Renormalisierung
109 154 Rechnen mit Fliesskommazahlen Beispiel (β = 2, p = 4): = Renormalisierung
110 154 Rechnen mit Fliesskommazahlen Beispiel (β = 2, p = 4): = Runden auf p signifikante Stellen, falls nötig
111 154 Rechnen mit Fliesskommazahlen Beispiel (β = 2, p = 4): = Runden auf p signifikante Stellen, falls nötig
112 155 Der IEEE Standard 754 legt Fliesskommazahlensysteme und deren Rundungsverhalten fest wird fast überall benutzt
113 155 Der IEEE Standard 754 legt Fliesskommazahlensysteme und deren Rundungsverhalten fest wird fast überall benutzt
114 Der IEEE Standard Single precision (float) Zahlen: F (2, 24, 126, 127) plus 0,,... Double precision (double) Zahlen: F (2, 53, 1022, 1023) plus 0,,... Alle arithmetischen Operationen runden das exakte Ergebnis auf die nächste darstellbare Zahl
115 Der IEEE Standard Single precision (float) Zahlen: F (2, 24, 126, 127) plus 0,,... Double precision (double) Zahlen: F (2, 53, 1022, 1023) plus 0,,... Alle arithmetischen Operationen runden das exakte Ergebnis auf die nächste darstellbare Zahl
116 32-bit Darstellung einer Fliesskommazahl ± Exponent Mantisse 2 126,..., 2 ± ,,
117 Fliesskomma-Richtlinien Regel Regel 1 Teste keine gerundeten Fliesskommazahlen auf Gleichheit! for (float i = 0.1; i!= 1.0; i += 0.1){ Out.println(i); }
118 Fliesskomma-Richtlinien Regel Regel 1 Teste keine gerundeten Fliesskommazahlen auf Gleichheit! for (float i = 0.1; i!= 1.0; i += 0.1){ Out.println(i); }
119 Fliesskomma-Richtlinien Regel Regel 1 Teste keine gerundeten Fliesskommazahlen auf Gleichheit! for (float i = 0.1; i!= 1.0; i += 0.1){ Out.println(i); } Endlosschleife, weil i niemals exakt 1 ist!
120 Fliesskomma-Richtlinien Regel Regel 2 Addiere keine zwei Zahlen sehr unterschiedlicher Grösse!
121 160 Fliesskomma-Richtlinien Regel 2 Regel 2 Addiere keine zwei Zahlen sehr unterschiedlicher Grösse!
122 160 Fliesskomma-Richtlinien Regel 2 Regel 2 Addiere keine zwei Zahlen sehr unterschiedlicher Grösse! =
123 160 Fliesskomma-Richtlinien Regel 2 Regel 2 Addiere keine zwei Zahlen sehr unterschiedlicher Grösse! = = (Rundung auf 4 Stellen)
124 160 Fliesskomma-Richtlinien Regel 2 Regel 2 Addiere keine zwei Zahlen sehr unterschiedlicher Grösse! = = (Rundung auf 4 Stellen) Addition von 1 hat keinen Effekt!
125 Fliesskomma-Richtlinien Regel Regel 3 Subtrahiere keine zwei Zahlen sehr ähnlicher Grösse! Auslöschungsproblematik (ohne weitere Erklärung).
126 Wahrheitswerte Boolesche Funktionen; der Typ boolean; logische und relationale Operatoren; Kurzschlussauswertung
127 Wo wollen wir hin? 163 int a = In.readInt(); if (a % 2 == 0){ Out.println("even"); } else { Out.println("odd"); }
128 Wo wollen wir hin? 163 int a = In.readInt(); if (a % 2 == 0){ Out.println("even"); } else { Out.println("odd"); } Verhalten hängt ab vom Wert eines Booleschen Ausdrucks
129 Wo wollen wir hin? 163 int a = In.readInt(); if (a % 2 == 0){ Out.println("even"); } else { Out.println("odd"); } Verhalten hängt ab vom Wert eines Booleschen Ausdrucks
130 Boolesche Werte in der Mathematik 164 Boolesche Ausdrücke können zwei mögliche Werte annehmen: F oder T
131 Boolesche Werte in der Mathematik 164 Boolesche Ausdrücke können zwei mögliche Werte annehmen: F oder T F entspricht falsch T entspricht wahr
132 Der Typ boolean in Java 165 Repräsentiert Wahrheitswerte
133 Der Typ boolean in Java 165 Repräsentiert Wahrheitswerte Literale false und true
134 Der Typ boolean in Java 165 Repräsentiert Wahrheitswerte Literale false und true Wertebereich {false, true} boolean b = true; // Variable mit Wert true (wahr)
135 Relationale Operatoren 166 a < b (kleiner als) Zahlentyp Zahlentyp boolean
136 Relationale Operatoren 166 a < b (kleiner als) boolean b = (1 < 3); // b =
137 Relationale Operatoren 166 a < b (kleiner als) boolean b = (1 < 3); // b = true (wahr)
138 Relationale Operatoren 166 a >= b (grösser gleich) int a = 0; boolean b = (a >= 3); // b =
139 Relationale Operatoren 166 a >= b (grösser gleich) int a = 0; boolean b = (a >= 3); // b = false (falsch)
140 Relationale Operatoren 166 a == b (gleich) int a = 4; boolean b = (a % 3 == 1); // b =
141 Relationale Operatoren 166 a == b (gleich) int a = 4; boolean b = (a % 3 == 1); // b = true (wahr)
142 Relationale Operatoren 166 a!= b (ungleich) int a = 1; boolean b = (a!= 2 a 1); // b =
143 Relationale Operatoren 166 a!= b (ungleich) int a = 1; boolean b = (a!= 2 a 1); // b = false (falsch)
144 Boolesche Funktionen in der Mathematik 167 Boolesche Funktion F entspricht falsch. T entspricht wahr. f : {F, T } 2 {F, T }
145 AND(x, y) x y 168 Logisches Und F entspricht falsch. T entspricht wahr. f : {F, T } 2 {F, T } x y AND(x, y) F F F F T F T F F T T T
146 Logischer Operator && 169 a && b (logisches Und) boolean boolean boolean
147 Logischer Operator && 169 a && b (logisches Und) int n = 1; int p = 3; boolean b = (n < 0) && (0 < p); //
148 Logischer Operator && 169 a && b (logisches Und) int n = 1; int p = 3; boolean b = (n < 0) && (0 < p); // b = true (wahr)
149 OR(x, y) x y 170 Logisches Oder F entspricht falsch. T entspricht wahr. f : {F, T } 2 {F, T } x y OR(x, y) F F F F T T T F T T T T
150 Logischer Operator 171 a b (logisches Oder) boolean boolean boolean
151 Logischer Operator 171 a b (logisches Oder) int n = 1; int p = 0; boolean b = (n < 0) (0 < p); //
152 Logischer Operator 171 a b (logisches Oder) int n = 1; int p = 0; boolean b = (n < 0) (0 < p); // b = false (falsch)
153 NOT(x) x 172 Logisches Nicht F entspricht falsch. T entspricht wahr. f : {F, T } {F, T } x F T NOT(x) T F
154 Logischer Operator! 173!b (logisches Nicht) boolean boolean
155 Logischer Operator! 173!b (logisches Nicht) int n = 1; boolean b =!(n < 0); //
156 Logischer Operator! 173!b (logisches Nicht) int n = 1; boolean b =!(n < 0); // b = true (wahr)
157 Präzedenzen 174!b && a
158 Präzedenzen 174!b && a (!b) && a
159 Präzedenzen 174 a && b c && d
160 Präzedenzen 174 a && b c && d (a && b) (c && d)
161 Präzedenzen 174 a b && c d
162 Präzedenzen 174 a b && c d a (b && c) d
163 Präzedenzen x < y && y!= 3 * z! b
164 Präzedenzen 175 Der unäre logische Operator! bindet stärker als 7 + x < y && y!= 3 * z (!b)
165 Präzedenzen 175 Der unäre logische Operator! bindet stärker als binäre arithmetische Operatoren. Diese binden stärker als (7 + x) < y && y!= (3 * z) (!b)
166 Präzedenzen 175 Der unäre logische Operator! bindet stärker als binäre arithmetische Operatoren. Diese binden stärker als relationale Operatoren, und diese binden stärker als ((7 + x) < y) && (y!= (3 * z)) (!b)
167 Präzedenzen Der unäre logische Operator! bindet stärker als binäre arithmetische Operatoren. Diese binden stärker als relationale Operatoren, und diese binden stärker als binäre logische Operatoren. ((7 + x) < y) && (y!= (3 * z)) (!b) Einige Klammern auf den vorher gezeigten Folien waren unnötig. 175
168 DeMorgansche Regeln 176!(a && b) == (!a!b)
169 DeMorgansche Regeln 176!(a && b) == (!a!b)! (reich und schön) == (arm oder hässlich)
170 DeMorgansche Regeln 176!(a && b) == (!a!b)!(a b) == (!a &&!b)! (reich und schön) == (arm oder hässlich)
171 Anwendung: Entweder... Oder (XOR) 177 (x y) &&!(x && y)
172 Anwendung: Entweder... Oder (XOR) 177 (x y) &&!(x && y) x oder y, und nicht beide
173 Anwendung: Entweder... Oder (XOR) 177 (x y) &&!(x && y) x oder y, und nicht beide (x y) && (!x!y)
174 Anwendung: Entweder... Oder (XOR) 177 (x y) &&!(x && y) x oder y, und nicht beide (x y) && (!x!y) x oder y, und eines nicht
175 Anwendung: Entweder... Oder (XOR) 177 (x y) &&!(x && y) x oder y, und nicht beide (x y) && (!x!y) x oder y, und eines nicht!(!x &&!y) &&!(x && y)
176 Anwendung: Entweder... Oder (XOR) 177 (x y) &&!(x && y) x oder y, und nicht beide (x y) && (!x!y) x oder y, und eines nicht!(!x &&!y) &&!(x && y) nicht keines, und nicht beide
177 Anwendung: Entweder... Oder (XOR) 177 (x y) &&!(x && y) x oder y, und nicht beide (x y) && (!x!y) x oder y, und eines nicht!(!x &&!y) &&!(x && y) nicht keines, und nicht beide!(!x &&!y x && y)
178 Anwendung: Entweder... Oder (XOR) 177 (x y) &&!(x && y) x oder y, und nicht beide (x y) && (!x!y) x oder y, und eines nicht!(!x &&!y) &&!(x && y) nicht keines, und nicht beide!(!x &&!y x && y) nicht: keines oder beide
179 178 Kurzschlussauswertung Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet.
180 178 Kurzschlussauswertung Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 6 x!= 0 && z / x > y
181 178 Kurzschlussauswertung Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 6 true && z / x > y
182 178 Kurzschlussauswertung Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 6 true && z / x > y
183 178 Kurzschlussauswertung Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 0 x!= 0 && z / x > y
184 178 Kurzschlussauswertung Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 0 false && z / x > y
185 178 Kurzschlussauswertung Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 0 false (falsch)
186 178 Kurzschlussauswertung Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 0 x!= 0 && z / x > y Keine Division durch 0
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99 2. Ganze Zahlen Auswertung arithmetischer Ausdrücke, Assoziativität und Präzedenz, arithmetische Operatoren, Wertebereich der Typen int, unsigned int Celsius to Fahrenheit // Program: fahrenheit.cpp
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1. Ganze Zahlen Auswertung arithmetischer Ausdrücke, Assoziativität und Präzedenz, arithmetische Operatoren, Wertebereich der Typen int, unsigned int 1 Celsius to Fahrenheit // Program: fahrenheit.cpp
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74 2. Ganze Zahlen Auswertung arithmetischer Ausdrücke, Assoziativität und Präzedenz, arithmetische Operatoren, Wertebereich der Typen int, unsigned int Celsius to Fahrenheit 75 // Program: fahrenheit.cpp
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