Rundungsfehler und Gleitkommaarithmetik Vorlesung vom

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1 Rundungsfehler und Gleitkommaarithmetik Vorlesung vom Runden und Rundungsfehler: Der absolute Rundungsfehler ist nicht gleichmäßig beschränkt. Der relative Rundungsfehler ist gleichmäßig beschränkt. Obere Schranke: Maschinengenauigkeit eps = eps(q, l). Praktische Realisierung von Gleitkommazahlen: Endlicher Exponentenbereich bewirkt endlichen Zahlenvorrat. Datentypen: double, float. Zahlenmengen statt Zahlen: Menge aller Gleitkomma-Approximationen von x R mit relativem Fehler eps(q, l). Menge aller reellen Zahlen, die auf x G(q,l) gerundet werden. Folgerung: Gleichheitsabfragen von Gleitkommazahlen verboten. Algebraische Eigenschaften: Gleitkommaarithmetik, Verlust von Assoziativität, Distributivität, Invertierbarkeit. Folgerung: Übliche Umformungen sind nicht mehr äquivalent.

2 Kondition Auswirkung von Eingabefehlern auf das Ergebnis

3 Das Landau-Symbol o Definition Sei f : I R mit I = ( a,a) eine Funktion. Wir verabreden die Schreibweise f(ε) lim ε 0 ε = 0 f(ε) = o(ε) (für ε 0). Beispiele: ε 2 = o(ε), ε 28 ε + ε (sin(ε)) i = o(ε),... i=1

4 Relative Kondition der Multiplikation gegeben: x,y R, x, y 0. Approximationen mit relativem Fehler ε: x = x(1 + ε x ), ỹ = y(1 + ε y ), ε = max{ ε x, ε y } Satz: Es gilt (x y) ( x ỹ) x y 2 ε + ε 2.

5 Relative Kondition der Multiplikation gegeben: x,y R, x, y 0. Approximationen mit relativem Fehler ε: x = x(1 + ε x ), ỹ = y(1 + ε y ), ε = max{ ε x, ε y } Satz: Es gilt (x y) ( x ỹ) x y 2 ε + ε 2. Dominierender Fehleranteil: 2ε

6 Relative Kondition der Multiplikation gegeben: x,y R, x, y 0. Approximationen mit relativem Fehler ε: x = x(1 + ε x ), ỹ = y(1 + ε y ), ε = max{ ε x, ε y } Satz: Es gilt (x y) ( x ỹ) x y 2 ε + ε 2. Dominierender Fehleranteil: 2ε Vernachlässigung des Terms höherer Ordnung o(ε) = ε 2

7 Relative Kondition der Multiplikation gegeben: x,y R, x, y 0. Approximationen mit relativem Fehler ε: x = x(1 + ε x ), ỹ = y(1 + ε y ), ε = max{ ε x, ε y } Satz: Es gilt (x y) ( x ỹ) x y 2 ε + ε 2. Dominierender Fehleranteil: 2ε Vernachlässigung des Terms höherer Ordnung o(ε) = ε 2 Die relative Kondition ist der Verstärkungsfaktor κ von ε: κ = 2

8 Relative Kondition der Division und Addition Satz: (Division) Es gilt (x/y) ( x/ỹ) x/y 2 ε + o(ε). relative Kondition der Division: κ = 2.

9 Relative Kondition der Division und Addition Satz: (Division) Es gilt (x/y) ( x/ỹ) x/y 2 ε + o(ε). relative Kondition der Division: κ = 2. Satz: (Addition) Es sei x,y > 0. Dann gilt (x + y) ( x + ỹ) x + y 1ε. relative Kondition der Addition: κ = 1.

10 Relative Kondition der Subtraktion Satz: (Subtraktion) Es sei x,y > 0. Dann gilt (x y) ( x ỹ) x y ( ) x + y x y ε. relative Kondition der Subtraktion: κ = x + y x y Auslöschung: Ist x y, so wird κ = x + y x y beliebig groß!!!

11 Matlab Beispiel >> format long; x = double(pi) x = >> y=double(pi+1e-14) y = >> y-x ans = e-14

12 Nieder mit der Auslöschung Subtraktion fast gleich großer Zahlen vermeiden!

13 Einlochen eines Golfballs f(x) d f(x) π/2 π/2 x x Distanz zum Loch: d, Radius des Lochs: r L, Abschlagswinkel: x minimaler Abstand zum Lochmittelpunkt: f(x) = d sin(x)

14 Einlochen eines Golfballs f(x) d f(x) π/2 π/2 x x Distanz zum Loch: d, Radius des Lochs: r L, Abschlagswinkel: x minimaler Abstand zum Lochmittelpunkt: f(x) = d sin(x) optimal: x 0 = 0, erlaubte Toleranz: x x 0 < arcsin(r L /d)

15 Kondition der Funktionsauswertung gegeben: Intervall I R, f : I R, x 0 I Problem: ( ) Auswertung von f an der Stelle x 0

16 Kondition der Funktionsauswertung gegeben: Intervall I R, f : I R, x 0 I Problem: ( ) Auswertung von f an der Stelle x 0 Definition (Absolute Kondition) Die absolute Kondition κ abs von ( ) ist die kleinste Zahl mit der Eigenschaft f(x 0 ) f(x) κ abs x 0 x + o( x 0 x ). Liegt dies für keine reelle Zahl κ abs vor, so wird κ abs = gesetzt.

17 Absolute Kondition und Ableitung Satz: Ist f differenzierbar in x 0, so gilt κ abs = f (x 0 ).

18 Absolute Kondition und Ableitung Satz: Ist f differenzierbar in x 0, so gilt κ abs = f (x 0 ). Beispiel: Sei f(x) = x 2, x 0 R. Dann ist κ abs = f (x 0 ) = 2 x 0.

19 Kondition und Lipschitz-Stetigkeit Definition: Die Funktion f : I R heißt Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L, falls f(x) f(y) L x y x,y I. Beispiel: f(x) = x ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L = 1. Satz: Ist f : I R Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L, so genügt die absolute Kondition κ abs von ( ) der Abschätzung κ abs L.

20 Geschachtelte Funktionen Satz: Geschachtelte Funktionsauswertung: f(x) = g h(x) = g(h(x)). κ abs (h,x 0 ): abs. Kondition der Auswertung von h an der Stelle x 0. κ abs (g,y 0 ): abs. Kondition der Auswertung von g an der Stelle y 0 = h(x 0 ). Dann gilt κ abs κ abs (g,y 0 ) κ abs (h,x 0 ). Ist h differenzierbar in x 0 und g differenzierbar in y 0, so liegt Gleichheit vor. Beispiel: Das Golfproblem f(x) = d sin(x) = h(g(x)), h(y) = y, g(x) = d sin(x), x 0 = 0 κ abs (h,x 0 ) = d, κ abs (h,x 0 ) = 1 = κ abs d

21 Geschachtelte Funktionen Satz: Geschachtelte Funktionsauswertung: f(x) = g h(x) = g(h(x)). κ abs (h,x 0 ): abs. Kondition der Auswertung von h an der Stelle x 0. κ abs (g,y 0 ): abs. Kondition der Auswertung von g an der Stelle y 0 = h(x 0 ). Dann gilt κ abs κ abs (g,y 0 ) κ abs (h,x 0 ). Ist h differenzierbar in x 0 und g differenzierbar in y 0, so liegt Gleichheit vor. Beispiel: Das Golfproblem f(x) = d sin(x) = g(h(x)), g(y) = y, h(x) = d sin(x), x 0 = 0 κ abs (g,h(x 0 )) = d, κ abs (h,x 0 ) 1 = κ abs d

22 Relative Kondition von Funktionsauswertungen gegeben: Intervall I R, f : I R, 0 x 0 I, f(x 0 ) 0 Problem: ( ) Auswertung von f an der Stelle x 0 Definition 3.6 (Relative Kondition) Die relative Kondition κ rel von ( ) ist die kleinste Zahl mit der Eigenschaft f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) κ rel x 0 x x 0 + o( x 0 x ). Liegt dies für keine reelle Zahl κ rel vor, so wird κ rel = gesetzt.

23 Relative versus absolute Kondition absolute Kondition f(x 0 ) f(x) κ abs x 0 x + o( x 0 x ) relative Kondition f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) κ rel x 0 x x 0 + o( x 0 x ) Satz: Es gilt κ rel = x 0 f(x 0 ) κ abs

24 Relative versus absolute Kondition absolute Kondition f(x 0 ) f(x) κ abs x 0 x + o( x 0 x ) relative Kondition f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) κ rel x 0 x x 0 + o( x 0 x ) Satz: Es gilt κ rel = x 0 f(x 0 ) κ abs.

25 Beispiel: f(x) = ax, Relative versus absolute Kondition absolute Kondition: κ abs = f (x 0 ) = a relative Kondition: κ rel = x 0 f(x 0 ) κ abs = x 0 ax 0 a = 1 Folgerung: Relative und absolute Kondition können sich beliebig stark unterscheiden. aus a 1 folgt κ abs κ rel aus a 1 folgt κ abs κ rel

26 Beispiel: f(x) = ax, Relative versus absolute Kondition absolute Kondition: κ abs = f (x 0 ) = a relative Kondition: κ rel = x 0 f(x 0 ) κ abs = x 0 ax 0 a = 1 Folgerung: Relative und absolute Kondition können sich beliebig stark unterscheiden. aus a 1 folgt κ abs κ rel aus a 1 folgt κ abs κ rel

27 Beispiel: f(x) = ax, Relative versus absolute Kondition absolute Kondition: κ abs = f (x 0 ) = a relative Kondition: κ rel = x 0 f(x 0 ) κ abs = x 0 ax 0 a = 1 Folgerung: Relative und absolute Kondition können sich beliebig stark unterscheiden. aus a 1 folgt κ abs κ rel aus a 1 folgt κ abs κ rel weiteres Beispiel: absolute Kondition der Subtraktion