Computer-orientierte Mathematik

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Computer-orientierte Mathematik"

Wilhelmine Kohler
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Computer-orientierte Mathematik 8. Vorlesung - Christof Schuette

2 Memo: Stabilität Stabilität: Motivation des Stabilitäts- und Algorithmusbegriffs. Abgrenzung zur Kondition. Relative Stabilität von Algorithmen zur Funktionsauswertung. Definition und Beispiele. Gesamtfehlerabschätzungen: Satz: Der Gesamtfehler lässt sich abschätzen durch die Summe von Eingabefehler, verstärkt durch die Kondition, und Auswertungsfehler, verstärkt durch die Stabilität. Stabilitätsabschätzungen: Kondition der Elementarfunktionen und Stabilität: Grundrechenarten und Elementarfunktionen. Beispiele. Schlecht konditionierte Elementarfunktionen vermeiden! Das Polynom-Desaster in Matlab: Vereinfachte Stabilitätsanalyse.

3 Stabilitätsabschätzungen: Grundrechenarten Satz: Es sei f (x 0 ) 0 sowie g(x 0 ), h(x 0 ) 0 und g(x 0 ) = g n g n 1 g 1 (x 0 ), h(x 0 ) = h m h m 1 h 1 (x 0 ) Algorithmen zur Auswertung von g(x 0 ) und h(x 0 ) mit der relativen Stabilität σ g, σ h. Dann gilt jeweils

4 Stabilitätsabschätzungen: Grundrechenarten Satz: Es sei f (x 0 ) 0 sowie g(x 0 ), h(x 0 ) 0 und g(x 0 ) = g n g n 1 g 1 (x 0 ), h(x 0 ) = h m h m 1 h 1 (x 0 ) Algorithmen zur Auswertung von g(x 0 ) und h(x 0 ) mit der relativen Stabilität σ g, σ h. Dann gilt jeweils f (x 0 ) = g(x 0 ) + h(x 0 ) : r 1 + max{σ g, σ h }, f (x 0 ) = g(x 0 ) h(x 0 ) : r 1 + g(x 0) + h(x 0 ) g(x 0 ) h(x 0 ) max{σ g, σ h }, f (x 0 ) = g(x 0 ) h(x 0 ) : r max{σ g, σ h }, f (x 0 ) = g(x 0 )/h(x 0 ) : r max{σ g, σ h }, wobei in den ersten beiden Fällen g(x 0 ), h(x 0 ) > 0 vorausgesetzt ist.

5 Hintereinanderausführung Es seien h : I I g R und g : I g R zwei Funktionen und h(x 0 ) = h n h 1 (x 0 ) ein Algorithmus zur Auswertung von h(x 0 ). Bezeichnet κ g die Kondition der Auswertung von g an der Stelle y = h(x 0 ) und σ h die Stabilität des obigen Algorithmus für h, so gilt für die Stabilität r von f (x 0 ) = g h n h 1 (x 0 ) die Abschätzung r 1 + κ g σ h.

6 Beispiel-Vergleich zweier Algorithmen Für F (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 betrachten wir die zwei Auswertungen F 1 (x 1, x 2 ) = f 2 (f 1 (x 1, x 2 )), f 1 (x, y) = x y, f 2 (x) = x 2 ( ) ) F 2 (x 1, x 2 ) = f 5 f 1 (f 2 (x 1 ), f 4 (f 3 (x 1, x 2 )), f 2 (x 2 ), f 3 (x, y) = xy, f 4 (x) = 2x, f 5 (x, y) = x + y

7 Auswertungsbäume F 1 (x 1, x 2 ) = f 2 (f 1 (x 1, x 2 )), f 1 (x, y) = x y, f 2 (x) = x 2 ( ) ) F 2 (x 1, x 2 ) = f 5 f 1 (f 2 (x 1 ), f 4 (f 3 (x 1, x 2 )), f 2 (x 2 ), f 3 (x, y) = xy, f 4 (x) = 2x, f 5 (x, y) = x + y

8 Teilbäume

9 Auswertunsbäume formal gesehen Wir bezeichnen einen Auswertungsbaum mit β bezeichnen und mit #β die Anzahl der Knoten in dem Baum β. Von seiner Wurzel aus gesehen, ist der Baum eindeutig dadurch gekennzeichnet, dass man die (Teil-)Bäume angibt, in die er nach Wegnahme der zur Wurzel führenden Kanten zerfällt: β = [β 1,..., β m ], wobei β 1,..., β m die Teilbäume bezeichnen. Die Gesamtzahl von Knoten ist dann #β = 1 + #β #β m. Der einfachste Baum hat nur einen Knoten (seine Wurzel) und die Form β = [ ], mit #β = 1.

10 Beispiel 1: β F1 = [β 1 ], β 1 = [β 0,1, β 0,2 ] wobei die beiden Bäume β 0,1 = β 0,2 = [] die Blätter darstellen, mit den Eingabewerten x k in β 0,k, k = 1, 2.

11 Beispiel 2: β F2 = [β e, β f ] β e = [β a, β b ], β f = [β d ] β a = [β 0,i ], β b = [β c ], β c = [β 0,ii, β 0,iii ], β d = [β 0,iv ] wobei die vier Bäume β 0,k = [], k = i, ii, iii, iv die Blätter darstellen.

12 Auswertung eines Auswertungsbaumes Für die assoziierte Auswertung ordnen wir jedem Knoten, der kein Blatt ist, eine Elementarfunktion zu. Wir bezeichnen die mit dem Teilbaum β assoziierte Elementarfunktion mit f β. Durch die Auswertung ergeben sich in den Knoten (Zwischen-)Ergebnisse. Das Zwischenergebnis in dem Knoten, der die Wurzel des Teilbaumes β ist, bezeichnen wir mit z β.

13 Auswertung eines Auswertungsbaumes Für die assoziierte Auswertung ordnen wir jedem Knoten, der kein Blatt ist, eine Elementarfunktion zu. Wir bezeichnen die mit dem Teilbaum β assoziierte Elementarfunktion mit f β. Durch die Auswertung ergeben sich in den Knoten (Zwischen-)Ergebnisse. Das Zwischenergebnis in dem Knoten, der die Wurzel des Teilbaumes β ist, bezeichnen wir mit z β. z β berechnet sich mittels der Elementarfunktion f β aus den (vorher zu berechnenden) Ergebnissen z β 1,..., z βm der Berechnungen in den Teilbäumen β 1,..., β m die durch Kanten mit der Wurzel von β verbunden sind. Stellt β ein Blatt dar, so ist z β ein Eingabewert.

14 Auswertung eines Auswertungsbaumes Für die assoziierte Auswertung ordnen wir jedem Knoten, der kein Blatt ist, eine Elementarfunktion zu. Wir bezeichnen die mit dem Teilbaum β assoziierte Elementarfunktion mit f β. Durch die Auswertung ergeben sich in den Knoten (Zwischen-)Ergebnisse. Das Zwischenergebnis in dem Knoten, der die Wurzel des Teilbaumes β ist, bezeichnen wir mit z β. z β berechnet sich mittels der Elementarfunktion f β aus den (vorher zu berechnenden) Ergebnissen z β 1,..., z βm der Berechnungen in den Teilbäumen β 1,..., β m die durch Kanten mit der Wurzel von β verbunden sind. Stellt β ein Blatt dar, so ist z β ein Eingabewert. { z β z β falls #β = 1 = f β (z β 1,..., z βm ) falls #β = m + 1 > 1, β = [β 1,..., β m ] wobei eine zusätzliche Zuordnung angibt, welche Eingabewerte den Größen z β mit #β = 1 zu geordnet sind.

15 Beispiel 1: β F1 = [β 1 ], β 1 = [β 0,1, β 0,2 ] wobei die beiden Bäume β 0,1 = β 0,2 = [] die Blätter darstellen, mit den Eingabewerten x k in β 0,k, k = 1, 2.

16 Beispiel 1: β F1 = [β 1 ], β 1 = [β 0,1, β 0,2 ] f β F 1 = f2, f β1 = f 1, z β 0,k = xk, k = 1, 2

17 Beispiel 2: β F2 = [β e, β f ] β e = [β a, β b ], β f = [β d ] β a = [β 0,i ], β b = [β c ], β c = [β 0,ii, β 0,iii ], β d = [β 0,iv ] f β F 2 = f5, f βe = f 1, f β f = f 2, f βa = f 2, f β b = f4, f βc = f 3, f β d = f2,

18 Stabilitätsabschätzung Die Stabilitätsindikatoren der rekursiven Auswertungsvorschrift { z β z β falls #β = 1 = f β (z β 1,..., z βm ) falls #β = m + 1 > 1, β = [β 1,..., β m ] lassen sich mittels 1 falls #β = 1 σ β 1 + κ(f β ) max(σ β 1,..., σ βm ) falls #β = m + 1 > 1, und β = [β 1,..., β m ] rekursiv abschätzen, wobei κ(f β ) die relative Kondition der Funktion f β in den Eingabewerten z β 1,..., z βm bezeichnet.

19 Beispiel 1: β F1 = [β 1 ], β 1 = [β 0,1, β 0,2 ] f β F 1 = f2, f β1 = f 1, z β 0,k = xk, k = 1, 2

20 Beispiel 1: Wir wählen konkrete Eingabewerte: x 1 = = , x 2 =

21 Beispiel 1: Wir wählen konkrete Eingabewerte: x 1 = = , x 2 = Aus σ 0,k 1 für die Eingabebäume mit k = 1, 2 und κ(f β 1 ) = κ(f 1 ) = x 1 + x 2 x 1 x 2 = , erhalten wir sofort σ β

22 Beispiel 1: Wir wählen konkrete Eingabewerte: x 1 = = , x 2 = Aus σ 0,k 1 für die Eingabebäume mit k = 1, 2 und κ(f β 1 ) = κ(f 1 ) = x 1 + x 2 x 1 x 2 = , erhalten wir sofort σ β Dann mit κ(f β 2 ) = κ(f 2 ) 2 weiterhin sofort σ F 1 = σ β

23 Beispiel 1: Wir wählen konkrete Eingabewerte: x 1 = = , x 2 = Aus σ 0,k 1 für die Eingabebäume mit k = 1, 2 und κ(f β 1 ) = κ(f 1 ) = x 1 + x 2 x 1 x 2 = , erhalten wir sofort σ β Dann mit κ(f β 2 ) = κ(f 2 ) 2 weiterhin sofort σ F 1 = σ β Für den maximalen (relativen) Rundungsfehler auf einer Maschine mit Maschinengenauigkeit ε = ergibt das F (x 1, x 2 ) F 1 (x 1, x 2 ) F (x 1, x 2 ) σ F 1 ε ( ) ε

24 Beispiel 2: β F2 = [β e, β f ] β e = [β a, β b ], β f = [β d ] β a = [β 0,i ], β b = [β c ], β c = [β 0,ii, β 0,iii ], β d = [β 0,iv ] f β F 2 = f5, f βe = f 1, f β f = f 2, f βa = f 2, f β b = f4, f βc = f 3, f β d = f2,

25 Beispiel 2: Wieder sei x 1 = , x 2 = Aus σ 0,k 1 für die Eingabebäume mit k = i, ii, iii, iv und κ(f βc ) = κ(f 3 ) 2, κ(f βa ) = κ(f β d ) = κ(f 2 ) 2, κ(f β b ) = κ(f 4 ) 2, erhalten wir σ βc 3, σ β d 3, σ βa 3 und σ β b 7.

26 Beispiel 2: Wieder sei x 1 = , x 2 = Aus σ 0,k 1 für die Eingabebäume mit k = i, ii, iii, iv und κ(f βc ) = κ(f 3 ) 2, κ(f βa ) = κ(f β d ) = κ(f 2 ) 2, κ(f β b ) = κ(f 4 ) 2, erhalten wir σ βc 3, σ β d 3, σ βa 3 und σ β b 7. Dann mit κ(f βe ) x x 1x 2 x 2 1 2x 2x 1 = , und sofort κ(f β F 2 ) x x 2 1 2x 1x 2 x x 2 1 2x 2x 1 = , σ βe 1 + 7κ(f βe ) 22 σ F 2 = σ β F σ βe κ(f β F 2 )

27 Beispiel 2: Fortsetzung Wir erwarten bei der Auswertung F 2 mit den Eingabewerten x 1 = und x 2 = auf einer Maschine mit Maschinengenauigkeit ε = also einen maximalen (relativen) Rundungsfehler von F (x 1, x 2 ) F 2 (x 1, x 2 ) F (x 1, x 2 ) σ F 2 ε Die Durchführung dieser Berechnung auf einem handelsüblichen Taschenrechner liefert in der Tat F 2 (x 1, x 2 ) = , also einen Fehler (relativ und absolut) von ca

Ähnliche Dokumente

Computer-orientierte Mathematik

Computer-orientierte Mathematik 6. Vorlesung - Christof Schuette 30.11.18 Memo: Relative und Absolute Kondition Relative Kondition der Grundrechenarten: Addition, Multiplikation und Division liefern beruhigende