KAPITEL 2. Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität. Datenfehler. Dahmen-Reusken Kapitel 2 1
|
|
- Hartmut Bader
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 KAPITEL 2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität Datenfehler Fehler im Algorithmus Fehler im Resultat Dahmen-Reusken Kapitel 2 1
2 Kondition eines Problems Analyse der Fehlerverstärkung bei Datenfehlern: Konzept der Kondition eines Problems Dies ist zunächst unabhängig von einem speziellen Lösungsweg (Algorithmus) und gibt nur an, welche Genauigkeit man bestenfalls (bei exakter Rechnung) bei gestörten Eingangsdaten erwarten kann Um dies etwas präziser beschreiben zu können, fassen wir den mathematischen Prozeß oder das Problem als Aufgabe auf, eine gegebene Funktion an einer Stelle x X auszuwerten f : X Y Dahmen-Reusken Kapitel 2 2
3 Elementare Beispiele Beispiel 21 Die Berechnung der Multiplikation von x 1 und x 2 : f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, und X = R 2, Y = R Beispiel 22 Die Berechnung der Summe von x 1 und x 2 : f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2, und X = R 2, Y = R Dahmen-Reusken Kapitel 2 3
4 Beispiel 23 Man bestimme die kleinere der Nullstellen der Gleichung y 2 2x 1 y + x 2 = 0, mit x 2 1 > x 2 Die Lösung y ist y = f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 1 x 2 In diesem Fall gilt X = {(x 1, x 2 ) R 2 x 2 1 > x 2 }, Y = R Dahmen-Reusken Kapitel 2 4
5 Beispiel 24 Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden: G 1 = {(y 1, y 2 ) R 2 a 1,1 y 1 + a 1,2 y 2 = x 1 } G 2 = {(y 1, y 2 ) R 2 a 2,1 y 1 + a 2,2 y 2 = x 2 }, wobei x = (x 1, x 2 ) T R 2 und a i,j gegeben seien Schreibt man kurz so gilt A = ( ) a1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 Ay = x Annahme: det A 0, Dann ist u gerade durch y = A 1 x, gegeben Also Auswertung der Funktion dh X = Y = R 2 f(x) = A 1 x, Dahmen-Reusken Kapitel 2 5
6 Beispiel 25 Es soll das Integral I n = 1 0 t n t + 5 dt für n = 30 berechnet werden Für I n (n = 1,2, ) gilt die Rekursionsformel I n + 5I n 1 = Durch die Rekursion 1 0 t n + 5t n 1 t + 5 dt = 1 0 tn 1 dt = 1 n J 0 R, J n = 1 n 5J n 1, n = 1,2,,30, wird eine Funktion f : R R, f(j 0 ) = J 30 definiert Das Problem besteht in der Auswertung dieser Funktion an der Stelle I 0 : I 30 = f(i 0 ) = f(ln( 6 5 )), X = Y = R Dahmen-Reusken Kapitel 2 6
7 Allgemeiner Rahmen Eingabedaten x X, die mit Fehlern x = x x behaftet sind Problem, Prozeß f Ausgabedaten y = f( x) Y mit Fehlern y = f( x) f(x) Es geht nun darum, den Ausgabefehler y ins Verhältnis zum Eingabefehler x zu setzen Dahmen-Reusken Kapitel 2 7
8 Abbildung 22 Kondition bei der Bestimmung des Schnittpunktes: Dahmen-Reusken Kapitel 2 8
9 Bemessen, Normen Eine Abbildung : V R heißt Norm auf V, falls (N1) v 0, v V und v = 0 impliziert v = 0; (N2) Für alle a K, v V gilt av = a v ; (N3) Für alle v, w V gilt die Dreiecksungleichung v + w v + w Wenn eine Norm auf V definiert ist, nennt man V oft einen linearen normierten Raum Dahmen-Reusken Kapitel 2 9
10 Beispiele Die - oder Sup-Norm x := max x i, x R n, i=1,,n f := f L (I) := max f(t), t I definiert eine Norm auf R n bzw C(I) f C(I), Es kostet etwas mehr Mühe zu zeigen, daß für 1 p < auch mit x p := n i=1 x i p 1/p, x R n, ( 1/p, f p = f Lp (I) dt) I := f(t) p f C(I), Normen auf R n bzw C(I) gegeben sind Für p = 2: x 2 = (x, x) 1/2, (x, y) := x T y = dh, Norm wird durch ein Skalarprodukt induziert n i=1 x i y i, Dahmen-Reusken Kapitel 2 10
11 Beispiele Beispiel 29 Man sollte beim Begriff endlich-dimensionaler Vektorraum nicht nur an R n denken: Π m := { m i=0 a i x i a i R } ist ein R-Vektorraum der Dimension m + 1 Die Monome m i (x) := x i, i = 0,, m, dienen hier als Basis (ein System von Elementen, deren Linearkombinationen den ganzen Raum ausfüllen und die linear unabhängig sind) Π m läßt sich zb folgendermaßen normieren Man fixiere ein Intervall, zb I = [0,1] und verwende die Sup-Norm für Funktionen P := P L (I) = max x I P(x) Dahmen-Reusken Kapitel 2 11
12 Satz 210 Auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V sind alle Normen äquivalent Das heißt, zu je zwei Normen, existieren beschränkte, positive Konstanten c, C, so daß c v v C v für alle v V Beispiel: x x 2 n x, für alle x R n Dahmen-Reusken Kapitel 2 12
13 Relative und Absolute Kondition absolute Fehler: x X, y Y, relative Fehler: δ x = x X x X, δ y = y Y y Y Mit der relativen/absoluten Kondition eines (durch f beschriebenen) Problems bezeichnet man nun das Verhältnis δ y y bzw Y δ x x X des relativen/absoluten Ausgabefehlers zum relativen/absoluten Eingabefehler also die Sensitivität des Problems unter Störung der Eingabedaten Wenn man über die Kondition eines Problems spricht, wird meistens die relative Kondition gemeint Ein Problem ist umso besser konditioniert, je kleinere Schranken für δ y /δ x (mit δ x 0) existieren Dahmen-Reusken Kapitel 2 13
14 Landau-Symbol Seien g, h : R n R m und R n, R m Normen auf R n bzw R m Sei x 0 R n Wenn es Konstanten C > 0, δ > 0 gibt, so daß für alle x mit x x 0 R n < δ gilt, sagt man: g(x) R m C h(x) R m g ist von der Ordnung groß O von h für x gegen x 0 Dafür wird oft die Notation g(x) = O(h(x)) (x x 0 ) verwendet Dahmen-Reusken Kapitel 2 14
15 Beispiel 211 Für n = m = 1 gilt sin x = O(x) (x a) für alle a R, x 2 + 3x = O(x) (x 0), x 2 x 6 = O(x 3) (x 3) Für n = 2, m = 1, g(x 1, x 2 ) = x 2 1 (1 x 2) + (x x 1)(1 x 2 1 ) gilt g(x 1, x 2 ) = O(x 1 + x 3 2 ) ((x 1, x 2 ) (0,0)), g(x 1, x 2 ) = O( 1 x x 2 ) ((x 1, x 2 ) (1,1)) Dahmen-Reusken Kapitel 2 15
16 Taylorentwicklung Für hinreichend oft differenzierbares f : R R gilt f( x) = f(x) + f (x)( x x) + f(2) (x) ( x x) f(k 1) (x) (k 1)! ( x x)k 1 + f(k) (ξ) ( x x) k, k! wobei ξ eine Zahl zwischen x und x ist Das Polynom p k 1 ( x) := f(x)+f (x)( x x)+ f(2) (x) ( x x) f(k 1) (x) 2 (k 1)! ( x x)k 1 wird das Taylorpolynom vom Grad k 1 in x genannt Für k = 1 erhält man als Spezialfall den Mittelwertsatz f( x) f(x) = f (ξ), x x wobei ξ eine Zahl zwischen x und x ist Oft wird die Darstellung verwendet f( x) = p k 1 ( x) + O( x x k ) ( x x) Dahmen-Reusken Kapitel 2 16
17 Für hinreichend oft differenzierbares f : R n R gilt f( x) = f(x) + + n i,j=1 Setzt man kurz 1 2 n j=1 f(x) = f (x) = f x j (x)( x j x j ) 2 f(x) ( x i x i )( x j x j ) + O( x x 3 2 ), x x x i x j ( f(x),, f(x) ) T Gradient, x 1 x n ( 2 ) n f(x) Hesse-Matrix, x i x j i,j=1 läßt sich dies kompakt auch folgendermaßen schreiben: f( x) = f(x) + ( f(x) ) T ( x x) ( x x)t f (x)( x x) + O( x x 3 2 ) f( x) = f(x) + ( f(x) ) T ( x x) + O( x x 2 ), ( x x) Dahmen-Reusken Kapitel 2 17
18 Man schreibt f( x) = f(x) + ( f(x) ) T ( x x), um anzudeuten, daß beide Seiten nur in den Anteilen nullter und erster Ordnung übereinstimmen Hieraus folgt dann f( x) f(x) f(x) = n j=1 f(x) x j Definiert man also die Verstärkungsfaktoren erhält man φ j (x) = f(x) x j x j f(x) x j x j x j x j f(x), f( x) f(x) } f(x) {{ } rel Fehler der Ausgabe = n φ j (x) j=1 }{{} Fehlerverstärkung x j x j x j }{{} rel Fehler der Eingabe Dahmen-Reusken Kapitel 2 18
19 f( x) f(x) mit f(x) κ rel (x) n j=1 x j x j x j κ rel (x) = κ rel (x) = max φ j (x) j, Ein besonders einfacher Fall ergibt sich noch, wenn n = 1 ist, die Funktion f also nur von einer Variablen abhängt, X = Y = R Man erhält dann die Form f( x) f(x) x x = κ f(x) rel (x) x mit κ rel (x) := f (x) x f(x), Dahmen-Reusken Kapitel 2 19
20 Beispiel 212 Gegeben sei die Funktion f : R R, f(x) = e 3x2 Für die relative Konditionszahl erhält man κ rel (x) = f (x) x f(x) = 6x2 Daraus folgt, daß diese Funktion für x klein (groß) gut (schlecht) konditioniert ist Zum Beispiel: x = 01, x = x x x = 10 4 f f(x) f( x) f(x) = x = 4, x = x x x = 10 4 f f(x) f( x) f(x) = Dahmen-Reusken Kapitel 2 20
21 Beispiel 213 (Multiplikation) x = (x 1, x 2 ) T, f(x) = x 1 x 2, φ j (x) = x 1x 2 f(x) = 1, j = 1,2 f(x) x 1 = x 2, f(x) x 2 = x 1, Daraus folgt, daß κ rel (x) = 1 (von x unabhängig!) Die Multiplikation ist also für alle Eingangsdaten gut konditioniert Für die Multiplikation ergibt sich dann x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 = f( x 1, x 2 ) f(x 1, x 2 ) f(x 1, x 2 ) κ rel 1 ( δ x1 + δ x2 ) 2ǫ ( x 1 x 1 x 1 + x 2 x 2 x 2 ) Für die Division gilt ein ähnliches Resultat: Eine Verstärkung des relativen Fehlers um einen beschränkten Faktor (κ rel 1) Dahmen-Reusken Kapitel 2 21
22 Beispiel 214 (Addition) x = (x 1, x 2 ) T, f(x) = x 1 + x 2, Daraus folgt φ j (x) = f(x) x j κ rel (x) = max { x j f(x) = Mit f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 gilt dann ( x 1 + x 2 ) (x 1 + x 2 ) x 1 + x 2 = x 1 x 1 + x 2 f(x) f(x) = 1, = 1, x 1 x 2 x j, j = 1,2 x 1 + x 2, x 2 x 1 + x 2 f( x 1, x 2 ) f(x 1, x 2 ) f(x 1, x 2 ) κ rel ( x 1 x 1 x 1 + Bei zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen: κ rel 1 Aber: κ rel (x) 1 wenn x 1 x 2 } x 2 x 2 x 2 ) κ rel 2ǫ Dahmen-Reusken Kapitel 2 22
23 Beispiel 215 (Nullstelle) Bestimmung der kleineren Nullstelle y von y 2 2x 1 y + x 2 = 0: x = (x 1, x 2 ) T, f(x) = x 1 x 2 1 x 2 = y f(x) x 1 = φ 1 (x) = φ 2 (x) = x 2 1 x 2 x 1 x 2 1 x 2 y x 1 x 2 1 x 2 x 2 2y x 2 1 x 2 = y x 2, 1 x 2 y = x 1 x 2 1 x 2 = x x 2 1 x 2 x 2 1 x 2 f(x) x 2 = 1 2 x 2 1 x 2 = φ 1(x) Die Kondition hängt stark von der Stelle (x 1, x 2 ) ab Wenn x 2 < 0: φ 1 (x) 1 und κ rel (x) 1 Wenn x 2 x 2 1 : φ 1(x) 1 und κ rel 1 Dahmen-Reusken Kapitel 2 23
24 Operatornormen, Konditionszahlen linearer Abbildungen Eine Abbildung L : X Y heißt linear, falls für x, z X und α, β R L(αx + βz) = αl(x) + βl(z) Operatornorm von L: L X Y := sup L(x) Y x X =1 Man sagt, L ist beschränkt, wenn L X Y endlich ist Diese Definition ist äquivalent zu L X Y := sup x 0 L(x) Y x X Daraus wiederum folgt sofort folgende wichtige Eigenschaft L(x) Y L X Y x X, x X Dahmen-Reusken Kapitel 2 24
25 Beispiel: Bemerkung 220 Sei X = R n, Y R m und B R m n eine (m n)-matrix Stattet man X und Y mit der p-norm für 1 p aus, bezeichnet man die entsprechende Operatornorm kurz als B p := B X Y Es gilt: sowie Ferner gilt für A R n n B = max i=1,,m B 1 = max i=1,,n A 2 = n k=1 m k=1 b i,k, b k,i, λ max (A T A), wobei A T die Transponierte von A ist, (dh ( A T ) i,j = a j,i) und λ max der größte Eigenwert ist Dahmen-Reusken Kapitel 2 25
26 Beispiel 221 Für A = ( ) ergibt sich: A = 5, A 1 = 4 Die Eigenwerte der Matrix A T A = ( 5 λ 5 det 5 10 λ bestimmen Also ) ( ) kann man über = 0 (5 λ)(10 λ) 25 = 0 λ 1 = 1 2 (15 5 5), λ 2 = 1 2 ( ), und damit A 2 = 12 ( ) Dahmen-Reusken Kapitel 2 26
27 Unter obigen Voraussetzungen gilt Satz 223 L( x) L(x) Y L(x) Y κ(l) x x X x X, wobei κ(l) = sup x X =1 L(x) Y inf x X =1 L(x) Y = L X Y inf x X =1 L(x) Y κ(l) wird (relative) Konditionszahl von L (bezüglich der Normen X, Y ) Offensichtlich gilt stets κ(l) 1 Wenn L : X Y bijektiv ist, dann erhält man κ(l) = L X Y L 1 Y X Dahmen-Reusken Kapitel 2 27
28 Bemerkung 226 (i) Die Zahl κ(l) ist eine obere Schranke für die relative Kondition des Problems der Auswertung der Funktion L(x) Sie ist unabhängig vom speziellen Auswertungspunkt x und wird oft (relative) Konditionszahl von L genannt (ii) Die Zahl κ(l) hängt von den Normen V, W ab (iv) Falls L bijektiv ist, haben L und L 1 dieselbe Konditionszahl! (v) Geometrische Interpretation: L(x) x L Dahmen-Reusken Kapitel 2 28
29 Beispiel 228 Die Bestimmung des Schnittpunktes der Geraden 3u u 2 = u u 2 = 4003, (fast parallel!) ergibt das Problem u = A 1 b mit ( ) ( A =, b = ) Die Lösung ist u = (1, 1) T Wir berechnen den Effekt einer Störung in b: ( ) 2002 b =, ũ := A 1 b 4 Man rechnet einfach nach, daß A 1 = ( ), ũ = ( ) Dahmen-Reusken Kapitel 2 29
30 Als Norm wird die Maximumnorm genommen: Es gilt x = x := max i x i und b b x = (Störung der Daten) ũ u = 18 u 1 = 18 (Änderung des Resultats) Schlechte Kondition wird quantifiziert durch A A 1 = Dahmen-Reusken Kapitel 2 30
31 Beispiel 229 (Integralberechnung über Rekursion) Sei Ĩ 0 I 0 ein gestörter Startwert f(ĩ 0 ) = Ĩ 30 folgt aus Ĩ n = 1 n 5Ĩ n 1, n = 1,2,,30 Für das Resultat ohne Störung, I 30 = f(i 0 ), gilt I n = 1 n 5I n 1, n = 1,2,,30 Daraus folgt, daß Ĩ 30 I 30 = 5(Ĩ 29 I 29 ) = 5 2 (Ĩ 28 I 28 ) = = 5 30 (Ĩ 0 I 0 ) und damit f(ĩ 0 ) f(i 0 ) f(i 0 ) = Ĩ 30 I 30 I 30 = 530 I 0 I 30 Ĩ 0 I 0 I 0 Für den gesuchten Wert I 30 gilt I 30 = Also: κ rel := 530 I 0 I ln( 6 5 ) = Dahmen-Reusken Kapitel 2 31
32 Tabelle 21 Integralberechnung über Rekursion n I n e e e e e e e e e e e e e e e e 02 n I n e e e e e e e e e e e e e e e+04 Dahmen-Reusken Kapitel 2 32
33 Rundungfehler und Gleitpunktarithmetik Zahlendarstellungen Man kann zeigen, daß für jedes feste b N, b > 1, jede beliebige reelle Zahl x 0 sich in der Form ( ) x = ± d j b j j=1 darstellen läßt, wobei der ganzzahlige Exponent e so gewählt werden kann, daß d 1 0 gilt b e Dahmen-Reusken Kapitel 2 33
34 Rundungfehler und Gleitpunktarithmetik Normalisierte Gleitpunktdarstellung (floating point representation): x = f b e, wobei b N \ {1} die Basis (oder Grundzahl) ist, der Exponent e eine ganze Zahl ist: r e R, die Mantisse f eine feste Anzahl m (die Mantissenlänge) von Stellen hat: f = ± 0d 1 d m, d j {0,1,, b 1} für alle j Um die Eindeutigkeit der Darstellung zu erreichen, wird für x 0 die Forderung d 1 0 gestellt (Normalisierung) ( ) mj=1 Mit dieser Darstellung erhält man somit: x = ± d j b j b e Dahmen-Reusken Kapitel 2 34
35 Beispiel 231 Wir betrachten als Beispiel die Zahl = = 2 7 ( ) Diese Zahl wird in einem sechsstelligen dezimalen Gleitpunkt-Zahlensyste (b = 10, m = 6) als dargestellt In einem 12-stelligen binären Gleitpunkt-Zahlensystem (b = 2, m = 12) wird sie als dargestellt Dahmen-Reusken Kapitel 2 35
36 Beispiel 232 Menge M(2,48, 1024,1024) enthält positive Zahlen Anzahl der Zahlen in dieser Menge: x MIN = , x MAX = ( ) k 48 2 k k k 1 2 k 2 k+1 2 k }{{} 48 2 k }{{} 48 2 k 0 10 } {{ 010 } 2 k+2 48 Dahmen-Reusken Kapitel 2 36
37 Rundung, Maschinengenauigkeit x ±[x MIN, x MAX ] habe die Darstellung ( ) x = ± d j b j b e j=1 Die Reduktionsabbildung wird definiert durch fl(x) := ± ( mj=1 d j b j) b e falls d m+1 < b 2, ( mj=1 d j b j + b m) b e falls d m+1 b 2, dh, die letzte Stelle der Mantisse wird um eins erhöht bzw beibehalten, falls die Ziffer in der nächsten Stelle b 2 bzw < b 2 ist Dahmen-Reusken Kapitel 2 37
38 Beispiel 233 In einem Gleitpunkt-Zahlensystem mit Basis b = 10 und Mantissenlänge m = 6 erhält man folgende gerundete Resultate: x fl(x) fl(x) x x 1 3 = = e 10 = e 10 = = Im Fall b = 2, m = 10 erhält man: x fl(x) fl(x) x x e e Dahmen-Reusken Kapitel 2 38
39 Maschinengenauigkeit fl(x) x x b m 2 be b 1 b e = b1 m 2 Die Zahl eps := b1 m 2 wird (relative) Maschinengenauigkeit genannt Diese Zahl charakterisiert das Auflösungsvermögen des Rechners Es gilt nämlich: eps = inf{δ > 0 fl(1 + δ) > 1} Diese Abschätzung besagt ferner, daß für eine Zahl ǫ mit ǫ eps, nämlich ǫ = fl(x) x x, gilt fl(x) = x(1 + ǫ) Dahmen-Reusken Kapitel 2 39
40 Beispiel 234 Für die Zahlensysteme in Beispiel 233 ergibt sich: b = 10, m = 6 eps = b = 2, m = 10 eps = = Die Werte für den relativen Rundungsfehler ǫ, mit ǫ wie in (248), findet man in der dritten Spalte der Tabellen in Beispiel 233 Dahmen-Reusken Kapitel 2 40
41 Gleitpunktarithmetik bei elementaren Rechenoperationen Die Verknüpfung von Maschinenzahlen durch eine exakte elementare arithmetische Operation liefert nicht notwendig eine Maschinenzahl Beispiel 235 b = 10, m = 3 : = Ähnliches passiert bei Multiplikation und Division Die üblichen arithmetischen Operationen müssen also durch geeignete Gleitpunktoperationen, {+,,, }, ersetzt werden (Pseudoarithmetik) Dahmen-Reusken Kapitel 2 41
42 Forderung: Für {+,,, } gelte x y = fl(x y) für x, y M(b, m, r, R) Wegen (248) werden wir also stets annehmen, daß für {+,,, } x y = (x y)(1 + ǫ) für x, y M(b, m, r, R) und ein ǫ mit ǫ eps gilt Nichtsdestoweniger hat die Realisierung einer solchen Pseudoarithmetik eine Reihe unliebsamer Konsequenzen: Zum Beispiel geht die Assoziativität der Addition verloren, dh, im Gegensatz zur exakten Arithmetik spielt es eine Rolle, welche Zahlen zuerst verknüpft werden Dahmen-Reusken Kapitel 2 42
43 Beispiel 236 Zahlensystem mit b = 10, m = 3 Maschinenzahlen x=6590= y= 1 = z= 4 = Exakte Rechnung: (x+y)+z = (y+z)+x = 6595 Pseudoarithmetik: aber x y = und (x y) z = , y z = und (y z) x = Entsprechend gilt auch das Distributivgesetz nicht mehr: Beispiel 237 Für b = 10, m = 3, x = und y = aber (x y) (x y) = 001 (x y) (x y) = , (x x) (x y) (y x) (y y) = Dahmen-Reusken Kapitel 2 43
44 Bezeichne wieder δ x, δ y die relativen Fehler der Größen x, ỹ gegenüber den exakten Werten x, y, dh x = x(1 + δ x ), ỹ = y(1 + δ y ) Ferner nehmen wir an, daß δ x, δ y ǫ < 1 In Beispiel 213 hatten wir bereits gesehen, κ rel für die Multiplikation f(x, y) = xy den Wert κ rel = 1 hat Falls insbesondere δ x, δ y ǫ eps, bleibt bei der Multiplikation der relative Fehler im Rahmen der Maschinengenauigkeit, denn aus Beispiel 213 folgt xỹ xy xy 2 eps Für die Division gilt ein ähnliches Resultat Dahmen-Reusken Kapitel 2 44
45 Beispiel 238 (Auslöschung) Betrachte x = , y = , x y = Bei 3-stelliger Rechnung (b = 10, m = 3,eps = ) ergibt sich x = fl(x) = 0736, δ x = ỹ = fl(y) = 0734, δ y = Die relative Störung im Resultat der Subtraktion ist hier ( x ỹ) (x y) x y = = 064, also sehr groß im Vergleich zu δ x, δ y Dahmen-Reusken Kapitel 2 45
46 Zusammenfassend: (x y) (x y) (x y) eps x, y M, {+,,, } dh, die relativen Rundungsfehler bei den elementaren Gleitpunktoperationen sind betragsmäßig kleiner als die Maschinengenauigkeit, wenn die Eingangsdaten x, y Maschinenzahlen sind Sei f(x, y) = x y, x, y R, {+,,, } und κ rel die relative Konditionszahl von f Es gilt {, } : κ rel 1 für alle x, y, {+, } : κ rel 1 wenn x y max{ x, y } Also: möglich sehr große Fehlerverstärkung bei +, (Auslöschung) Dahmen-Reusken Kapitel 2 46
47 Stabilität eines Algorithmus Ein Algorithmus heißt gutartig oder stabil, wenn die durch ihn im Laufe der Rechnung erzeugten Fehler in der Größenordnung des durch die Kondition des Problems bedingten unvermeidbaren Fehlers bleiben Dahmen-Reusken Kapitel 2 47
48 Beispiel 239 Bestimmung von u = f(a 1, a 2 ) = a 1 a 2 1 a 2 Algorithmus I: y 1 = a 1 a 1 y 2 = y 1 a 2 y 3 = y 2 u = y 4 = a 1 y 3 Für a 1 = , a 2 = 001 in einem Gleitpunkt-Zahlensystem mit b = 10, m = 5 bekommt man das Ergebnis Exakte Lösung: ũ = u = Da das Problem für diese Eingangsdaten a 1, a 2, gut konditioniert ist, ist der durch den Algorithmus erzeugte Fehler sehr viel größer als der unvermeidbare Fehler Algorithmus I ist also nicht stabil Dahmen-Reusken Kapitel 2 48
49 Alternative: Algorithmus II: u = a 1 + a 2 a 2 1 a 2 y 1 = a 1 a 1 y 2 = y 1 a 2 y 3 = y 2 y 4 = a 1 + y 3 u = y 5 = a 2 y 4 Hiermit ergibt sich mit b = 10, m = 5 ũ = Hier tritt keine Auslöschung auf Der Gesamtfehler bleibt im Rahmen der Maschinengenauigkeit Algorithmus II ist somit stabil Dahmen-Reusken Kapitel 2 49
50 Rückwärtsanalyse Interpretiere sämtliche im Laufe der Rechnung auftretenden Fehler als Ergebnis exakter Rechnung zu geeignet gestörten Daten Abschätzungen für diese Störung der Daten, verbunden mit Abschätzungen für die Kondition des Problems, ergeben dann Abschätzungen für den Gesamtfehler exakte Daten x f (exakt) f(x) Rückwärtsfehler gestörte Daten x f (numerisch) Fehler im Resultat f (exakt) f(x) = f( x) Dahmen-Reusken Kapitel 2 50
51 Beispiel 240 x 1, x 2, x 3 seien Maschinenzahlen Maschinengenauigkeit = eps Aufgabe: Berechne die Summe S = (x 1 + x 2 ) + x 3 Man erhält S = ((x 1 + x 2 )(1 + ǫ 2 ) + x 3 )(1 + ǫ 3 ), mit ǫ i eps, i = 2,3 Daraus folgt wobei S = x 1 (1 + ǫ 2 )(1 + ǫ 3 ) + x 2 (1 + ǫ 2 )(1 + ǫ 3 ) + x 3 (1 + ǫ 3 ) = x 1 (1 + ǫ 2 + ǫ 3 ) + x 2 (1 + ǫ 2 + ǫ 3 ) + x 3 (1 + ǫ 3 ) = x 1 (1 + δ 1 ) + x 2 (1 + δ 2 ) + x 3 (1 + δ 3 ) =: ˆx 1 + ˆx 2 + ˆx 3, δ 1 = δ 2 = ǫ 2 + ǫ 3 2 eps, δ 3 = ǫ 3 eps Also: fehlerbehaftetes Resultat S als exaktes Ergebnis zu gestörten Eingabedaten ˆx i = x i (1 + δ i ) Dahmen-Reusken Kapitel 2 51
52 Sei f(x) = f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 2 + x 3 mit rel Konditionszahl κ rel, dann gilt für den unvermeidbaren Fehler F Daten (x) = j=1 f( x) f(x) 3 f(x) κ rel (x) x j x j κ rel (x)3 eps, wobei angenommen wird, daß die Daten mit höchstens Maschinengenauigkeit gestört werden ( x i = x i (1 + ǫ), ǫ eps) Der durch Rechnung bedingte Fehler ist höchstens F Rechnung (x) = x j f(ˆx) f(x) 3 f(x) κ rel (x) κ rel (x) 3 j=1 j=1 δ j κrel (x)5 eps ˆx j x j Man sieht: F Rechnung (x) ist höchstens in der Größenordnung F Daten (x) x j Deshalb ist die Berechnung von S ein stabiler Algorithmus Dahmen-Reusken Kapitel 2 52
53 Zusammenfassend: Kenntnisse über die Kondition eines Problems sind oft für die Interpretation oder Bewertung der Ergebnisse von entscheidender Bedeutung und sind Operationen die für alle Eingangsdaten gut konditioniert sind ± kann schlecht konditioniert sein Dadurch können bei einer Subtraktion Rundungsfehler enorm verstärkt werden: Auslöschung In einem Algorithmus sollen (wegen Stabilität) Auslöschungseffekte vermieden werden Bei einem stabilen Lösungsverfahren bleiben die im Laufe der Rechnung erzeugten Rundungsfehler in der Größenordnung der durch die Kondition des Problems bedingten unvermeidbaren Fehler Dahmen-Reusken Kapitel 2 53
Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang. Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
MehrGleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.
Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten
Mehr1. Einführung. Umwelt-Campus Birkenfeld Numerische Mathematik
. Einführung Die numerische Mathematik, kur Numerik genannt, beschäftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen für technisch-naturwissenschaftliche Probleme..
MehrComputerarithmetik ( )
Anhang A Computerarithmetik ( ) A.1 Zahlendarstellung im Rechner und Computerarithmetik Prinzipiell ist die Menge der im Computer darstellbaren Zahlen endlich. Wie groß diese Menge ist, hängt von der Rechnerarchitektur
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
MehrBeispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =
Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.
MehrKAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:
KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrLineare Algebra - alles was man wissen muß
Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger
MehrLösungen: zu 1. a.) 0 0 1 1 b.) 1 1 1 1 c.) 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 1 1 + 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1
Lösungen: zu 1. a.) 0 0 1 1 b.) 1 1 1 1 c.) 0 1 1 0 + 1 1 0 0 + 0 0 1 1 + 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 vorzeichenlose Zahl: 15 vorzeichenlose Zahl: 18 vorzeichenlose Zahl: 13 Zweierkomplement: - 1
Mehr2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )
MehrFehler in numerischen Rechnungen
Kapitel 1 Fehler in numerischen Rechnungen Analyse numerischer Rechnungen: - Welche möglichen Fehler? - Einfluss auf Endergebnis? - Nicht alles in der Comp.Phys./Numerical Analysis dreht sich um Fehler
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
MehrComputergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik
Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2012/13 Wie rechnet ein Computer? Ein Mikroprozessor ist ein Netz von Transistoren,
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
Mehr2 Gleitpunktarithmetik und Fehleranalyse
Numerik 47 2 Gleitpunktarithmetik und Fehleranalyse Einführendes Beispiel: Berechnung von π. y (cos(2π/n)/2, π = Umfang eines Kreises mit Radius r = 1 2, U n = Umfang eines einbeschriebenen regelmäßigen
Mehr1 Zahlen. 1.1 Die reellen Zahlen
Zahlen Die aus dem Alltagsleben bekannten rationalen Zahlen (Bruchzahlen) reichen nicht aus, um Analysis rigoros betreiben zu können. Die historische Entwicklung zeigt vielmehr, dass für die Belange der
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrEinführung in die Numerische Mathematik
Einführung in die Numerische Mathematik Steffen Börm Stand 7. Februar 2016 Alle Rechte beim Autor. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 2 Kondition, Maschinenzahlen und Stabilität 7 2.1 Kondition....................................
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrGleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien
Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 18. Juli 2006 1 Einleitung
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
MehrGF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)
GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr
MehrBitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.
Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht
Mehrklar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s
Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen
MehrLösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 0 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Math Jürgen Bräckle Nikola Tchipev, MSc Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung Übungsblatt: Zahlendarstellung,
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
MehrKapitel 2. Zahlensysteme, Darstellung von Informationen
Kapitel 2 Zahlensysteme, Darstellung von Informationen 1 , Darstellung von Informationen Ein Computer speichert und verarbeitet mehr oder weniger große Informationsmengen, je nach Anwendung und Leistungsfähigkeit.
MehrGleitkommaarithmetik und Fehleranalyse
Gleitkommaarithmetik und Fehleranalyse Olaf Schenk Departement Informatik, Universität Basel http://informatik.unibas.ch 8 Mai 2003 IEEE Gleitkommaarithmetik und Fehleranalyse 1 IEEE Gleitkommaarithmetik
MehrTechnische Informatik I
Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt jschmidt@techfak.uni-bielefeld.de Übersicht Geschichte der Zahlen Zahlensysteme Basis / Basis-Umwandlung Zahlsysteme im Computer Binärsystem,
Mehr183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10.
VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 2: Numerik, Boolesche Algebra 183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. Aufgabe 1: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Addition & Subtraktion Gegeben sind die Zahlen: A
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
Mehr17. Penalty- und Barriere-Methoden
H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
MehrTeil II. Nichtlineare Optimierung
Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene
Mehr21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer?
Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen
Mehru + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
MehrKapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe
Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
MehrZuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
MehrPraktische Mathematik I
Praktische Mathematik I ausgearbeitet von Sandra Görke und Simon Jörres nach einer Vorlesung von Prof Dr Angela Kunoth im Wintersemester 2002/2003 an der Rheinischen Friedrich Wilhelms Universität Bonn
MehrKAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren
KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren Beispiel 3.2. Gesucht u(x), das eine Differentialgleichung vom Typ u (x) + λ(x)u(x) = f(x), x [0,], mit den Randbedingungen u(0) = u() = 0
MehrEinstieg in die Informatik mit Java
1 / 34 Einstieg in die Informatik mit Java Zahldarstellung und Rundungsfehler Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 34 1 Überblick 2 Darstellung ganzer Zahlen,
MehrErgänzungen zur Analysis I
537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen
MehrMathematische Ökologie
Mathematische Ökologie Eine Zusammenfassung von Bernhard Kabelka zur Vorlesung von Prof. Länger im WS 2002/03 Version 1.04, 15. März 2004 Es sei ausdrücklich betont, dass (1) dieses Essay ohne das Wissen
MehrKapitel 15: Differentialgleichungen
FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen
MehrOPERATIONS-RESEARCH (OR)
OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:
MehrNumerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 16 4. Groß-O R. Steuding (HS-RM)
Mehra n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n
Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrEin polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird.
Zahlensysteme Definition: Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. In der Informatik spricht man auch von Stellenwertsystem,
Mehr4. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04
4. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 JOACHIM VON ZUR GATHEN, OLAF MÜLLER, MICHAEL NÜSKEN Abgabe bis Freitag, 14. November 2003, 11 11 in den jeweils richtigen grünen oder roten Kasten
MehrNeuronale Netze mit mehreren Schichten
Neuronale Netze mit mehreren Schichten Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz Institut für Informatik Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (Lehrstuhl Informatik 8) Neuronale Netze mit mehreren
MehrLektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik
Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik Helmar Burkhart Departement Informatik Universität Basel Helmar.Burkhart@unibas.ch Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1:
MehrEinführung in die Informatik I
Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
Mehr11. Primfaktorzerlegungen
78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung
MehrHinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft
Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 8 Projektive Invarianz und das kanonische Kamerapaar Kanonisches Kamerapaar aus gegebener Fundamentalmatrix Freiheitsgrade
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen
MehrIn diesem Abschnitt werden die verschiedenen (diskreten) Zahldarstellungen im Computer diskutiert, insbesondere die floating point Darstellung.
2 Zahlen und Fehler Literatur zu diesem Teil: Zu Zahlen und Fehlern: Numerical Recipes [1], Stoer [2], Hamming [3]. Zum Benfordschen Gesetz: Hamming [3], Kapitel 2.8, und [4-7]. 2.1 Zahldarstellungen In
Mehrin vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen
Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen erforderlich: hohe Präzision große Dynamik möglich durch Verwendung von Gleitkommazahlen allgemeine Gleitkommazahl zur Basis r
MehrGrundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen
Zahlendarstellung Zahlen und ihre Darstellung in Digitalrechnern Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen Linear organisierter Speicher zu einer Adresse gehört ein Speicher mit 3 Bit-Zellen
Mehr2 Rechnen auf einem Computer
2 Rechnen auf einem Computer 2.1 Binär, Dezimal und Hexadezimaldarstellung reeller Zahlen Jede positive reelle Zahl r besitzt eine Darstellung der Gestalt r = r n r n 1... r 1 r 0. r 1 r 2... (1) := (
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
MehrZahlendarstellungen und Rechnerarithmetik*
Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* 1. Darstellung positiver ganzer Zahlen 2. Darstellung negativer ganzer Zahlen 3. Brüche und Festkommazahlen 4. binäre Addition 5. binäre Subtraktion *Die Folien
Mehr3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper
32 Andreas Gathmann 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt
MehrTechnische Informatik - Eine Einführung
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Ausgabe: 2005-02-21 Abgabe: 2005-02-21 Technische Informatik - Eine
MehrGrundlagen der Technischen Informatik Wintersemester 12/13 J. Kaiser, IVS-EOS
Gleit komma zahlen Gleitkommazahlen in vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen wird eine große Dynamik benötigt: sowohl sehr kleine als auch sehr große Zahlen sollen einheitlich dargestellt
MehrWie viele Nullstellen hat ein Polynom?
Wie viele Nullstellen hat ein Polynom? Verena Pölzl 0812265 Sabine Prettner 8930280 Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis 1 Warum will man wissen, wie viele Nullstellen ein Polynom hat? 3 2 Oligonome 4 3 Die
MehrKapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme
Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren
MehrInformation in einem Computer ist ein
4 Arithmetik Die in den vorhergehenden Kapiteln vorgestellten Schaltungen haben ausschließlich einfache, Boole sche Signale verarbeitet. In diesem Kapitel wird nun erklärt, wie Prozessoren mit Zahlen umgehen.
MehrBinäre Gleitkommazahlen
Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 72
MehrCodierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9
Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets
MehrLogische Verknüpfungen. while-schleifen. Zahlendarstellung auf dem Computer. Formatierung von Zahlen in MATLAB.
Logische Verknüpfungen. while-schleifen. Zahlarstellung auf dem Computer. Formatierung von Zahlen in MATLAB. Logische Verknüpfungen In der letzten Sitzung haben wir kennengelernt, wie wir Zahlen mit Operationen
MehrKapitel 6. Komplexität von Algorithmen. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung
Kapitel 6 Komplexität von Algorithmen 1 6.1 Beurteilung von Algorithmen I.d.R. existieren viele Algorithmen, um dieselbe Funktion zu realisieren. Welche Algorithmen sind die besseren? Betrachtung nicht-funktionaler
MehrMathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens
Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................
MehrEinführung in die Numerische Mathematik
Einführung in die Numerische Mathematik Thomas Richter thomas.richter@iwr.uni-heidelberg.de Thomas Wick thomas.wick@iwr.uni-heidelberg.de Universität Heidelberg 30. Oktober 2012 Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis
MehrExtremwertverteilungen
Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen
MehrVorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems
MehrNumerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
Kapitel 2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 21 Aufgabenstellung und Motivation Ist f eine in einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] stetige und reellwertige Funktion, so heißt
MehrAlgorithmische Mathematik
Algorithmische Mathematik Skript zur Vorlesung im Wintersemester 2007/8 und Sommersemster 2008 Helmut Harbrecht Stand: 14. Oktober 2008 3 Vorwort Diese Mitschrift kann und soll nicht ganz den Wortlaut
Mehr