Numerische Mathematik 1

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1 Wichtige Infos Numerische Mathematik 1 Webseite: lehre/numerische-mathematik-i.html kshitij.kulshreshtha@upb.de Tutor: Henning Lindhorst killtech@mail.upb.de Abgabe der Übungszettel: Briefkasten Nr. 111 bis jeweils Freitag 12:00 Uhr Programmieraufgaben per

2 Themen & Literatur Themen: Polynominterpolation Lösung linearer Gleichungssysteme Fehleranalyse Spline Interpolation Numerische Quadratur und Extrapolation Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Anfangswertprobleme Literatur: [1] M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, 3. Auflage. Vieweg+Teubner (2009). [2] P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, Eine algorithmisch orientierte Einführung, de Gruyter, Berlin (2002) [3] H.-G. Roos, H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart (1999). [4] J. Stoer, R. Burlisch. Numerische Mathematik 1 + 2, Springer, Berlin (2005). [5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press (2002).

3 Themen & Literatur Themen: Polynominterpolation Lösung linearer Gleichungssysteme Fehleranalyse Spline Interpolation Numerische Quadratur und Extrapolation Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Anfangswertprobleme Literatur: [1] M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, 3. Auflage. Vieweg+Teubner (2009). [2] P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, Eine algorithmisch orientierte Einführung, de Gruyter, Berlin (2002) [3] H.-G. Roos, H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart (1999). [4] J. Stoer, R. Burlisch. Numerische Mathematik 1 + 2, Springer, Berlin (2005). [5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press (2002).

4 Themen & Literatur Themen: Polynominterpolation Lösung linearer Gleichungssysteme Fehleranalyse Spline Interpolation Numerische Quadratur und Extrapolation Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Anfangswertprobleme Literatur: [1] M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, 3. Auflage. Vieweg+Teubner (2009). [2] P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, Eine algorithmisch orientierte Einführung, de Gruyter, Berlin (2002) [3] H.-G. Roos, H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart (1999). [4] J. Stoer, R. Burlisch. Numerische Mathematik 1 + 2, Springer, Berlin (2005). [5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press (2002).

5 Themen & Literatur Themen: Polynominterpolation Lösung linearer Gleichungssysteme Fehleranalyse Spline Interpolation Numerische Quadratur und Extrapolation Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Anfangswertprobleme Literatur: [1] M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, 3. Auflage. Vieweg+Teubner (2009). [2] P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, Eine algorithmisch orientierte Einführung, de Gruyter, Berlin (2002) [3] H.-G. Roos, H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart (1999). [4] J. Stoer, R. Burlisch. Numerische Mathematik 1 + 2, Springer, Berlin (2005). [5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press (2002).

6 Themen & Literatur Themen: Polynominterpolation Lösung linearer Gleichungssysteme Fehleranalyse Spline Interpolation Numerische Quadratur und Extrapolation Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Anfangswertprobleme Literatur: [1] M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, 3. Auflage. Vieweg+Teubner (2009). [2] P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, Eine algorithmisch orientierte Einführung, de Gruyter, Berlin (2002) [3] H.-G. Roos, H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart (1999). [4] J. Stoer, R. Burlisch. Numerische Mathematik 1 + 2, Springer, Berlin (2005). [5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press (2002).

7 Themen & Literatur Themen: Polynominterpolation Lösung linearer Gleichungssysteme Fehleranalyse Spline Interpolation Numerische Quadratur und Extrapolation Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Anfangswertprobleme Literatur: [1] M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, 3. Auflage. Vieweg+Teubner (2009). [2] P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, Eine algorithmisch orientierte Einführung, de Gruyter, Berlin (2002) [3] H.-G. Roos, H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart (1999). [4] J. Stoer, R. Burlisch. Numerische Mathematik 1 + 2, Springer, Berlin (2005). [5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press (2002).

8 Themen & Literatur Themen: Polynominterpolation Lösung linearer Gleichungssysteme Fehleranalyse Spline Interpolation Numerische Quadratur und Extrapolation Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Anfangswertprobleme Literatur: [1] M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, 3. Auflage. Vieweg+Teubner (2009). [2] P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik I, Eine algorithmisch orientierte Einführung, de Gruyter, Berlin (2002) [3] H.-G. Roos, H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart (1999). [4] J. Stoer, R. Burlisch. Numerische Mathematik 1 + 2, Springer, Berlin (2005). [5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press (2002).

9 Was ist numerische Mathematik? Entwicklung und Anaylse von Methoden, mit denen die Lösung mathematischer Problemstellungen effektiv berechnet bzw. möglichst gut angenähert werden kann. Entwicklung und Theorie der auf Computern realisierbaren Algorithmen Entwicklung und Analyse von Algorithmen Für die Lösung von viele Probleme mit gleicher Struktur, z.b. ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b 2a ± 1 2a b2 4ac Größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen euklidscher Algorithmus Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b Lösung von Differentialgleichungen ẋ = f (x)

10 Was ist numerische Mathematik? Entwicklung und Anaylse von Methoden, mit denen die Lösung mathematischer Problemstellungen effektiv berechnet bzw. möglichst gut angenähert werden kann. Entwicklung und Theorie der auf Computern realisierbaren Algorithmen Entwicklung und Analyse von Algorithmen Für die Lösung von viele Probleme mit gleicher Struktur, z.b. ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b 2a ± 1 2a b2 4ac Größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen euklidscher Algorithmus Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b Lösung von Differentialgleichungen ẋ = f (x)

11 Was ist numerische Mathematik? Entwicklung und Anaylse von Methoden, mit denen die Lösung mathematischer Problemstellungen effektiv berechnet bzw. möglichst gut angenähert werden kann. Entwicklung und Theorie der auf Computern realisierbaren Algorithmen Entwicklung und Analyse von Algorithmen Für die Lösung von viele Probleme mit gleicher Struktur, z.b. ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b 2a ± 1 2a b2 4ac Größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen euklidscher Algorithmus Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b Lösung von Differentialgleichungen ẋ = f (x)

12 Was ist numerische Mathematik? Entwicklung und Anaylse von Methoden, mit denen die Lösung mathematischer Problemstellungen effektiv berechnet bzw. möglichst gut angenähert werden kann. Entwicklung und Theorie der auf Computern realisierbaren Algorithmen Entwicklung und Analyse von Algorithmen Für die Lösung von viele Probleme mit gleicher Struktur, z.b. ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b 2a ± 1 2a b2 4ac Größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen euklidscher Algorithmus Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b Lösung von Differentialgleichungen ẋ = f (x)

13 Was ist numerische Mathematik? Entwicklung und Anaylse von Methoden, mit denen die Lösung mathematischer Problemstellungen effektiv berechnet bzw. möglichst gut angenähert werden kann. Entwicklung und Theorie der auf Computern realisierbaren Algorithmen Entwicklung und Analyse von Algorithmen Für die Lösung von viele Probleme mit gleicher Struktur, z.b. ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b 2a ± 1 2a b2 4ac Größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen euklidscher Algorithmus Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b Lösung von Differentialgleichungen ẋ = f (x)

14 Was ist numerische Mathematik? Entwicklung und Anaylse von Methoden, mit denen die Lösung mathematischer Problemstellungen effektiv berechnet bzw. möglichst gut angenähert werden kann. Entwicklung und Theorie der auf Computern realisierbaren Algorithmen Entwicklung und Analyse von Algorithmen Für die Lösung von viele Probleme mit gleicher Struktur, z.b. ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = b 2a ± 1 2a b2 4ac Größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen euklidscher Algorithmus Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b Lösung von Differentialgleichungen ẋ = f (x)

15 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

16 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

17 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

18 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

19 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

20 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

21 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

22 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

23 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

24 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

25 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

26 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

27 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

28 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

29 Simulation komplexer Naturvorgänge auf dem Computer Experimente teuer sind, z.b.: Umströmung von Flugzeugen, Herzklappen, Schiffsschrauben,... Crashtests chemische Verfahrenstechnik Experimente unerwünschte Nebenwirkungen haben können, z.b. Naturkatastrophen: Lawinen Statik: Stabilität von Gebäuden Testen von Medikamenten, Experimente manchmal unmöglich sind Astrophysik: Entstehung von Galaxien Geophysik: Treibhauseffekt Wettervorhersage: Tornados- wo, wann, wie stark oder als Ersatz für analystische Lösungen, weil diese zu aufwändig sind Existenz und Eindeutigkeit zwar gesichert sind, aber die Lösung selbst unbekannt ist.

30 Anwendungen Transport: Navigationssystem, Fahrpläne, Packungsprobleme Medizin: Bildverarbeitung, Simulation des Blutkreislaufes, Entwicklung von Medikamenten Optimale Kontrolle von Robotern, Prozessen der chemische Verfahrenstechnik,... Wettervorhersage, Klimaanalyse...

31 Seit wann gibt es numerische Mathematik? Das Euklidsche Algorithmus gab es bereits seit ca. 300 v. Chr.

32 Seit wann gibt es numerische Mathematik? Das Euklidsche Algorithmus gab es bereits seit ca. 300 v. Chr. Muhammad ibn Musa al-khwarizmi um 780 zwischen 835 und 850

33 Seit wann gibt es numerische Mathematik? Das Euklidsche Algorithmus gab es bereits seit ca. 300 v. Chr. Erstes Werk: Kitab al-dscham wa-l-tafriq bi-hisab al-hind ( Über das Rechnen mit indischen Ziffern, um 825) Arbeit mit Dezimalzahlen, Einführung der Ziffer Null aus dem indischen in das arabische Zahlensystem und damit in alle modernen Zahlensysteme Muhammad ibn Musa al-khwarizmi um 780 zwischen 835 und 850 Lateinische Fassung dieser Schrift trug den Titel: Algorizmi de numero Indorum Daraus entstand Algorithmus

34 Anwednungsproblem Modellbildung Mathematisches Problem Mathematische Analyse Konstruktion eines Algorithmus Analyse des Algorithmus Implementierung Ergebnis Interpretaion und Anwendung der Ergebnisse

35 Konvergenzgeschwindigkeit Fehler linear superlinear quadratisch Iterationen

36 Zwei mögliche Interpolationspolynome Polynominterpolation

37 Lagrangsche Polynome L Lagrangepolynom L 0 für x 0 = 0, x 1 = 0.5, x 2 = 1, x 3 = 1.5, x 4 = 2

38 Lagrangsche Polynome L L Lagrangepolynome L 0, L 1 für x 0 = 0, x 1 = 0.5, x 2 = 1, x 3 = 1.5, x 4 = 2

39 Lagrangsche Polynome L 1 L L Lagrangepolynome L 0,..., L 2 für x 0 = 0, x 1 = 0.5, x 2 = 1, x 3 = 1.5, x 4 = 2

40 Lagrangsche Polynome L 1 L L L Lagrangepolynome L 0,..., L 3 für x 0 = 0, x 1 = 0.5, x 2 = 1, x 3 = 1.5, x 4 = 2

41 Lagrangsche Polynome L 1 L L L 0 L Lagrangepolynome L 0,..., L 4 für x 0 = 0, x 1 = 0.5, x 2 = 1, x 3 = 1.5, x 4 = 2