Programm Praxis Band 3. Herausgegeben von: Walter Gander (ETH Zurich) Gerhard Jager (Universitat Bern)

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2 Programm Praxis Band 3 Herausgegeben von: Walter Gander (ETH Zurich) Gerhard Jager (Universitat Bern)

3 Walter Gander Computermathematik Springer Basel AG

4 Prof. Dr. Walter Gander Institut fur Wissenschaftliches Rechnen ETH-Zentrum CH-8092 Zurich Die Deutsche Bibliothek - CIP - Einheitsaufnahme Gander, Walter: Computermathematik / Walter Gander. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser IHauptbd.J.- 2., uberarb. Aufl. mit TURBO PASCAL Programmen (Programm-Praxis; Bd. 3) NE: GT Das Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere der Ubersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Die Vergutungsanspruche des 54, Abs. 2 Urhg werden durch die «Verwertungsgesellschaft Wort», Munchen, wahrgenommen Springer Basel AG Ursprung1ich erschienen bei Birkhauser Verlag Basel1992. Umschlaggestaltung: Markus Etterich, Basel camera-ready manuscript ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Rechnen mit Computern 1.1 Endliche Arithmetik Approximations- und Rundungsfehler 1.3 Stabilitat und Kondition Elementare Algorithmen 2.1 Quadratische Gleichungen 2.2 Bruchrechnen Polarkoordinaten Summen und Reihen 2.5 Komplexe Zahlen Matrizenoperationen 2.7 Mehrfach genaues Rechnen 3 Nichtlineare Gleichungen 3.1 Der Bisektionsalgorithmus. 3.2 Iteration Iterationsverfahren hoherer Ordnung 4 Poly nome 4.1 Division durch einen Linearfaktor. 4.2 Zahlenumwandlungen U mentwickeln von Polynomen. 4.4 N ullstellen von Polynomen. 4.5 Das Newtonverfahren Der Algorithmus von Nickel. 4.7 Das Verfahren von Laguerre. 5 Lineare Gleichungssysteme 5.1 Theoretische Losung Das Gauss'sche Eliminationsverfahren 5.3 Elimination durch Givensrotationen

6 6 INHALTSVERZEICHNIS 5.4 Ausgleichsrechnung. 6 Interpolation 6.1 Polynominterpolation 6.2 Extrapolation Spline-Interpolation. 6.4 Kubische Splinefunktionen. 6.5 Bestimmung der Ableitungen 6.6 Echte Splinefunktionen Tridiagonale lineare Gleichungssysteme. 6.8 Interpolation von Kurven Numerische Integration 7.1 Die Trapezregel Die Regel von Simpson. 7.3 Das Romberg Verfahren 7.4 Adaptive Quadratur Differentialgleichungen. 7.6 Die Verfahren von Euler und Heun 7.7 Die Fehlerordnung eines Verfahrens. 7.8 Das Runge-Kutta Verfahren Das Runge-Kutta-Fehlberg Verfahren. 8 Hinweise zur Programmierung 8.1 Darstellung von Algorithmen. 8.2 Implementation eines Algorithmus 8.3 Das Aufiosen einer Rekursion Differentiation von Programmen Anhang: Plotprozeduren zum Zeichnen von Funktionen 255 Literaturverzeichnis 263 Index 264

7 Vorwort Das vorliegende Buch ist aus zehnjahriger U nterrichtserfahrung des Autors am Neu-Technikum Buchs und an der ETH Zurich entstanden. Uberall urn uns herum finden wir Computer, welche als wunderbare neue Instrumente die Moglichkeiten der Technik entscheidend erweitern. Das Umgehen mit Computern gehort zur Allgemeinbildung. Man fuhrt Programmierkurse nicht nur in den Schulen, sondern auch in der Erwachsenenbildung und mittels speziellen Impulsprogrammen durch. Dieses Buch ist keine Einfuhrung in die Programmierung, sondern setzt voraus, dass der Leser bereits eine Programmiersprache kennt und schon Programme geschrieben hat. Ziel dieses Buches ist es, den Computer als faszinierendes neues Instrument im Mathematikunterricht in hoheren Schulen (Mittelschulen, Ingenieurschulen und Einfuhrungsvorlesungen an Universitaten) einzusetzen, und damit Aufgaben zu losen, die man vor dem Computerzeitalter nicht angepackt hatte. Vieles, was fruher fur die mathematische Allgemeinbildung unerlasslich schien, kann heute weggelassen werden, z. B. muss man bei der Integration nicht mehr soviele Kunstgriffe lernen, urn moglichst viele Integrale analytisch losen zu konnen, oder bei den Differentialgleichungen ist es auch nicht mehr notig, jeden noch analytisch losbaren Typ zu kennen. Viel wichtiger ist zu lernen, wie man eine Differentialgleichung auf ein System erster Ordnung zuruckfiihrt. Nach wie vor sind aber fundament ale Kenntnisse in Analysis und linearer Algebra unerlasslich. Diese werden hier oft benuzt und es ist zu hoffen, dass die Matrizenrechnung bald, wie vor ca. 40 Jahren die Differentialrechnung, in die Mittelschule einziehen wird. Wenn man mit mathematischen Problemen auf einen Computer geht, wird man unweigerlich mit der Unvollkommenheit der endlichen Arithmetik konfrontiert und muss sich mit den Rundungsfehlern abgeben. Die Numerische Mathematik, die sich damit beschaftigt, ist die aiteste Disziplin der Informatik. Sie hat sich etabliert, und es ist heute bekannt, welchen Einfluss Rundungsfehler haben, welche Algorithmen empfehlenswert sind und benutzt werden sollen. 1m vorliegenden Buch wird eine Auswahl dieser Algorithmen gegeben und der Leser angeleitet, viele Programme selbst zu schreiben und auch bestehende Pro-

8 8 VORWORT gramme zu modifizieren. Das Buch enthalt viele Ubungsaufgaben und ein Losungsbuch dazu wird auch erscheinen 1. Als Dokumentationssprache wird PASCAL verwendet, eine Sprache, die von N. Wirth in Ziirich entwickelt wurde, und die heute weltweit vor allem im Unterricht verwendet wird. Grossen Wert wird auf Leserlichkeit eines Algorithmus gelegt. Zudem zeigen wir in Kap. 8, wie ein in PASCAL dokumentierter Algorithmus systematisch in BASIC umgeschrieben und damit auf einem Computer, der keinen PASCAL-Compiler besitzt, implementiert werden kann. Das Buch soll vor allem diejenigen Leser ansprechen, welche Freude an algorithmischer Mathematik haben oder die Mathematik als Werkzeug zum Losen von technischen Problemen beniitzen. Das vorliegende Buch wurde in kurzer Zeit hier in Stanford unter Beniitzung von 'lex, einem von Donald E. Knuth entwickelten vollautomatischen Textsystem geschrieben, welches besonders gut dazu geeignet ist, mathematische Texte aesthetisch schon zu schreiben. Donald E. Knuth gebiihrt nicht nur mein, sondern der Dank vieler Kollegen, die von diesem wunderbaren System Gebrauch machen. Mein Dank geht auch an Leslie Lamport, der 'lex durch ein System von Programmen erweitert hat und das System DTEX geschaffen hat, welches dem Autor eines Buches viel administrative Arbeit abnimmt. Mein herzlichster Dank geht an Gene Golub, Chairman ofthe Computer Science Departement, und an die Stanford Universitat fiir die Gastfreundschaft die ich hier genies sen durfte und ohne diese ich nicht in der Lage gewesen ware, 'lex und DTEX zu lernen und zu beniitzen. Vieles, das ich jetzt weiss, verdanke ich Mark Kent, einem 'lex-wizard, der mir uneigenniitzig beistand. Mein Dank geht schliesslich an das Neu-Technikum Buchs, fiir die Freiheit des Unterrichts, die ich in den ersten Jahren geniessen konnte. Dank dieser Freiheit, die nicht durch starre Lehrplane eingeschrankt wurde, war es moglich, neue Methoden zu unterrichten. Ferner mochte ich Herrn Direktor Keller und meinen Kollegen dafiir danken, dass sie mir die Moglichkeit eines Freisemesters gegeben haben, das ich fiir diese Arbeit beniitzen konnte. lw. Gander, Computermathematik Lasungen der Aufgaben mit Turbo Pascal Programmen, Birkhauser Verlag, Reihe Programm Praxis, 1986

9 VORWORT 9 Ein spezieller Dank gilt meiner Frau Heidi, welche mich oft beim Schreiben ermuntert und bei der Druckfehlersuche unterstiitzt hat. Ich widme dieses Buch meinen beiden Tochtern, Marie-Louise und Beatrice, als Stellvertreter einer neuen Generation, die gerade in der rohstoffarmen Schweiz lernen muss, Computer iiberlegen zu bedienen und einzusetzen. Stanford, Oktober 1984, Walter Gander Vorwort zur zweiten Auftage Bei der Neuauflage dieses Buches wurde der Inhalt, der sich bewahrt hat, beibehalten. Die Beschrankung auf das Wesentliche und auf Standard PASCAL in der ersten Auflage hat gezeigt, dass es der richtige Weg war: Die Algorithmen sind auch heute noch aktuell und lauffahig. Die Programmiersprache PASCAL wurde in den letzten Jahren vor allem von der Firma Borland gepflegt und weitentwickelt. Ihr Produkt TURBO PASCAL ist damit zum de facto Standard von PASCAL geworden. Weil die Programme in der ersten Aufiage nicht auf eine spezielle Implementation von PASCAL ausgerichtet sind, konnten sie praktisch ohne Anderungen iibernommen werden. Die Tabellen wurden unter Verwendung von TURBO PASCAL 6 neu berechnet, die Werte weichen wegen der Real-Arithmetik geringfiigig von denjenigen der erst en Auflage abo TURBO PASCAL 6 bietet mehrere Typen von reellen Variabeln von verschiedener Genauigkeit an: Typenname Rechenbereich Anzahl Anzahl Dezimalstellen Bytes real 2.9E E single 1.5E E double 5.0E E extended 4.3E E Je nach Anwendung kann es durchaus von Vorteil sein, den einen oder anderen Typus einzusetzen. Allerdings muss davor gewarnt

10 10 VORWORT werden, unbedacht mehrere Typen zu mischen und dadurch mit einer unausgeglichenen Arithmetik zu arbeiten. In vorliegenden Lehrbuch wird bewusst nur der Typus real verwendet, der im Standard PAS CAL als einziger Typus fur Real-Arithmetik vorgesehen ist. Urn eine hohere Genauigkeit zu erhalten, genugt es die Deklarationen real durch etwa double zu ersetzen. Dagegen wurde bei den ganzen Zahlen yom neuen Typus longint Gebrauch gemacht. Longint Variabeln konnen Werte im Bereich von -2'147'483'648 bis 2'147'483'647 annehmen. Damit wird z. B. beim exakten Rechnen mit Bruchen doch den Rechenbereich signifikant erweitert. Der Standard Typus integer ist auf Zahlen mit dem Betrag kleiner als 32'767 beschrankt. Das 1986 auch in der PROGRAMM PRAXIS REIHE erschiene Losungsbuch Computermathematik, Losungen der Aufgaben mit Turbo Pascal Programmen enthait die Losungen aller Aufgaben und verwendet TURBO PASCAL 2. Die dort angegebenen Programme sind mit TURBO PASCAL 6 weitgehend kompatibel und konnen meistens ohne Anderungen verwendet werden. Der Filemechanismus ist auch weitgehend gleich geblieben. Wenn kein Filename angegeben wird, werden fur die Ein- und Ausgabe nun in TURBO PASCAL 6 die Standardfiles INPUT und OUTPUT verwendet, welche gewohnlich der Tastatur und dem Bildschirm zugeordnet sind. Die Plotprozeduren haben von TURBO PASCAL 2 zu TURBO PASCAL 6 sehr geandert. 1m vorliegenden Buch wird zwar kein Gebrauch davon gemacht. 1m Losungsbuch dagegen werden im Kapitel 8 Prozeduren angegeben, die graphischen Output ermoglichen. Es geht dabei hauptsachlich urn das Zeichnen von Funktionen und Kurven. Ich habe deshalb die Plotprozeduren angepasst und sie bei der Neuauflage des vorliegenden Buches im Anhang angegeben. Damit kann der Leser die Programme des Losungsbuches weiterhin auch in TURBO PASCAL 6 verwenden. Zurich, November 1991 Walter Gander