D-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner. Serie 12. Erinnerung: Der Laplace-Operator in n 1 Dimensionen ist definiert durch

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "D-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner. Serie 12. Erinnerung: Der Laplace-Operator in n 1 Dimensionen ist definiert durch"

Theodor Krause
vor 5 Jahren
Abrufe

1 D-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner Serie Laplace-Operator in ebenen Polarkoordinaten Erinnerung: Der Laplace-Operator in n 1 Dimensionen ist definiert durch ( ) 2 u(x 1,...x n ) := div grad u(x 1,..., x n ) = u(x x 2 1 x 2 1,..., x n ). n a) Sei n = 2. Nehmen Sie an, u kann geschrieben werden als u(x, y) = ũ(φ(x, y)) wobei (r, ϕ) = Φ(x, y) ebene Polarkoordinaten sind, also (x, y) = Φ 1 (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ). ( x2 + y 2, arctan ( y (i) Zeigen Sie: Φ(x, y) = x) ). ( (ii) Drücken Sie grad u(x, y) = x aus. Hinweis: Mit der Kettenregel erhalten Sie z.b. ϕ ϕũ(φ(x, y)). x u(x, y), y u(x, y) ) durch x rũ(r, ϕ) und ϕũ(r, ϕ) u(x, y) = rũ(φ(x, y)) r x + (iii) Berechnen Sie nun div grad u(x, y) mit der Darstellung aus (ii) und zeigen Sie somit: u = 2 r ũ r r ũ r 2 ϕ ũ 2 b) Berechnen Sie u für (i) u(x, y) = r α, α R (ii) u(x, y) = r 2 sin ϕ. Bitte wenden!

2 2. Diffusion von Membranproteinen und FRAP-Technik Bekanntermaßen sind Proteine in einer Zellmembran (Ionenkanäle, ATPasen,...) nicht fest in dieser verankert, sondern unterliegen einer Diffusionsbewegung. In dieser Aufgabe wollen wir eine Methode vorstellen, wie der Diffusionskoeffizient einer Klasse von Membranproteinen bestimmt werden kann, die FRAP(= Flourescence Recovery after Photobleaching )-Technik. Hierbei werden die untersuchten Membranproteine mit einem floureszierenden Molekül 1 markiert. In einem bestimmten Ausschnitt der Membran werden diese Marker durch einen starken Laserimpuls zerstört, sodass ein fluoreszenzfreier Streifen entsteht. Anschließend misst man, nach welcher Zeit die Fluoreszenz (durch die laterale Diffusion) zurückgekehrt ist. Schematisch: Wir gehen davon aus, dass die Konzentration c der markierten Membranproteine eine Diffusionsgleichung erfüllt: 2 c(t, x) D c(t, x) = 0. t x2 { c 0, L < x < a oder a < x < L Die Anfangsbedingung sei: c(0, x) = mit c 0 > 0, a x a 0 und die Randbedingungen seien c(t, L) = c(t, L) = 0 für alle t 0. x x a) Machen Sie den Separationsansatz c(t, x) = T (t)x(x) und bestimmen Sie alle geraden Lösungen für X, die den Randbedingungen genügen, für die also gilt: X (±L) = 0 und X( x) = X(x) für alle x R. b) Finden Sie durch Superposition die Lösung c(t, x) der Diffusionsgleichung, die den Rand- und Anfangsbedingungen genügt. Hinweis: Sie benötigen die reellen Fourierkoeffizienten der Funktion c(0, x). c) Berechnen Sie lim t c(t, x). Was bedeutet das Ergebnis? d) ( ) Sei nun a = L L2. Plotten Sie c(t, x) für t = 0, t =, t = L2 und t = 3 L2. 2 3Dπ 2 Dπ 2 Dπ 2 Erklären Sie, wie man prinzipiell D mithilfe der FRAP-Technik bestimmen kann. 1 z.b. dem bekannten GFP (grün fluoreszierndes Protein) Siehe nächstes Blatt!

3 3. Maximumprinzip für harmonische Funktionen Sei U R n eine beschränkte offene Menge, u C 2 (U) C 0 (U) und u = 0 auf U. a) Wir zeigen in mehreren Schritten das (schwache) Maximumprinzip: max U u = max U u, d.h. das Maximum von u wird auf dem Rand von U angenommen: (i) Betrachten Sie für ɛ > 0 die Funktion u ɛ (x 1,..., x n ) = u(x 1,..., x n ) + ɛ(x x 2 n) und zeigen Sie, dass u ɛ > 0 auf U sein muss. (ii) Nehmen Sie an, u ɛ nimmt in U ein Maximum an. Zeigen Sie, dass dies bedeuten würde, dass u ɛ 0. ( ) Hinweis: u ɛ (x 1,..., x n ) = Tr 2 x i x j u ɛ (x 1,..., x n ). Die Hesse-Matrix ( ) 1 i,j n 2 x i x j u ɛ (x 1,..., x n ) hat bei einem Maximum keine positiven Eigenwerte. 1 i,j n (iii) Folgern Sie die Aussage für u, indem Sie ɛ 0 betrachten. b) u erfülle nun u(x, y) = 0 auf Q = (0, 2) 2 sowie u(x, 0) = u(x, 2) = 0 für x [0, 2], u(0, y) = sin(πy) und u(2, y) = 4y(y 2)e y für y [0, 2]. Bestimmen Sie max (x,y) [0,2] 2 u(x, y) mit dem Maximumprinzip. c) Kann es eine Funktion w mit w(x, y) = 0 auf Q geben mit w(1, 1) = 2, w(x, 0) = w(x, 2) = w(0, y) = w(2, y) = 0 für x, y [0, 2]? d) ( ) Folgern Sie aus dem Maximumprinzip: Die Poisson-Gleichung mit Randwerten u = f in U, u = g auf U (1) für U R n offen und beschränkt, f C 0 (U), g C 0 (U) kann höchstens eine Lösung haben. Hinweis: Nehmen Sie an, u 1, u 2 seien 2 verschiedene Lösungen. Wenden Sie das Maximumprinzip auf ±(u 1 u 2 ) an. e) ( ) Neben dem schwachen Maximumprinzip gibt es auch das starke Maximumprinzip: Sei U R n zusammenhängend und offen. Falls eine Funktion u C 2 (U) C 0 (U) ihr Maximum in U annimmt, so muss sie schon konstant sein. Erklären Sie, wie für eine zusammenhängende offene Menge U aus dem starken das schwache Maximumprinzip folgt. Gilt die Aussage des starken Maximumprinzips immer noch, wenn U nicht zusammenhängend ist? Bitte wenden!

4. Strömung durch ein Rohr: Das Hagen-Poiseuille-Gesetz In dieser Aufgabe betrachten wir eine stationäre, laminare Strömung einer viskosen Flüssigkeit durch ein Rohr von Radius R > 0 und Länge L > 0,

4 4. Strömung durch ein Rohr: Das Hagen-Poiseuille-Gesetz In dieser Aufgabe betrachten wir eine stationäre, laminare Strömung einer viskosen Flüssigkeit durch ein Rohr von Radius R > 0 und Länge L > 0, in dem eine lineare Druckdifferenz δp = p 1 p 2 = const. > 0 herrscht. Bewegungen von Fluiden können grundsetzlich beschrieben werden durch die Navier- Stokes-Gleichungen, ein nichtlineares System partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung: v + (v ) v = p t ϱ + η v. (2) ϱ Hierbei ist ϱ = const. > 0 die Dichte der Flüssigkeit, η = const. > 0 die dynamische Viskosität, sowie p(t, x, y, z) der Druck und v(t, x, y, z) R 3 die Geschwindigkeit zur Zeit t 0 am Ort (x, y, z) R 3. 0 a) Machen Sie die Annahmen v(t, x, y, z) = 0 und p(t, x, y, z) = δp z. L v(x, y) Was bedeuten diese Annahmen physikalisch? Zeigen Sie, dass die Navier-Stokes- Gleichungen (2) auf die folgende partielle Differentialgleichung führen: v(x, y) = 1 η δp L. (3) b) Aus Symmetriegründen sollte die Geschwindigkeit im Rohr nur vom Radius 0 r R abhängen, also v(x, y) = ṽ(r) mit r(x, y) = x 2 + y 2. Benutzen Sie Siehe nächstes Blatt!

5 den Laplace-Operator in Polarkoordinaten und zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung von (3) gegeben ist durch: mit Konstanten a, b R. ṽ(r) = δp 4ηL r2 + a ln(r) + b c) Es muss gelten: ṽ(0) < sowie ṽ(r) = 0 (Warum?). Bestimmen Sie hieraus a und b. d) Die gesamte pro Zeiteinheit durch den Rohrquerschnitt fließende Flüssigkeitsmenge ist Q = ϱ B R v(x, y)da, wobei B R = {(x, y) R 2 : 0 r(x, y) R} den Rohrquerschnitt beschreibt. Zeigen Sie das Hagen-Poiseuille-Gesetz Q = ϱ πr4 8η e) ( ) Das Hagen-Poiseuille-Gesetz kann zur Abschätzung der Anzahl der Kapillaren im menschlichen Körper benutzt werden: Nehmen Sie an, dass die Aorta einen Durchmesser von D = 2.5 cm, die Kapillaren einen durchschnittlichen Durchmesser von d = 8µm haben. Außerdem sei der Druckabfall in den Kapillaren 6 mal so hoch wie in der Aorta. Schätzen Sie die Anzahl der Kapillaren. δp L. Abgabe der schriftlichen Aufgaben Dienstag, den in den Übungsstunden und ausserhalb der Zeiten in den Fächern im Flur vor Raum HG E Präsenz der Assistenzgruppe Zweimal in der Woche beantworten Assistierende in einer Präsenz Fragen: Montag und Donnerstag von 12 bis 13 Uhr im HG G Zusätzliche Präsenz auf Anfrage Zusätzlich zu den regulären Präsenzstunden findet Freitag, zwischen 11:00 und 12:00 Uhr im HG G 32.6 eine weitere Präsenz statt, falls daran Interesse besteht. Falls Sie kommen möchten, schreiben Sie bitte vor Dienstag, Uhr eine Mail an den Koordinator der Vorlesung.

Ähnliche Dokumente

D-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner. Lösung 11. Bitte wenden!

D-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner. Lösung 11. Bitte wenden! D-HEST, Mathematik III HS 07 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner Lösung Bitte wenden! . Lösen von partiellen Differentialgleichungen mit Separationsansätzen a Betrachten Sie für D > 0 die partielle Differentialgleichung